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数列.版块三.等比数列-等比数列的通项公式与求和.学生版

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等比数列的通项公式与求和

典例分析
【例1】 在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a5 ? 128 ,则它的公比 q ? _______ ,前 n 项和
Sn ? _______.

【例2】 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 ? 5 ,则 a4 ?



【例3】 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 A. 2 B.

S6 S ? 3 ,则 9 ? ( S6 S3


D. 3

7 3

C.

8 3

(n ?1 , 2 , ? ) , 【例4】 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, q ? 1 , 令 bn ? an ? 1 若数列 ?bn ? 有

? 23 , 19 , 37 , 82? 中,则 6q ? 连续四项在集合 ??53 ,



【例5】 等比数列 ?an? 的首项 a1 ? ?1 ,前 n 项和为 Sn ,公比 q ? 1 ,若

S10 a 31 = ,则 10 等 S5 a5 32





1 a1 ? 512 , ?n ? a1a2 ...an , 【例6】 等比数列 ?an ? 中, 公比 q ? ? , 用 ? n 表示它前 n 项的积: 2 则 ?1 , ? 2 ,…, ? n 中最大的是_______.

1 【例7】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? (an ? 1)(n ? N? ) . 3 ⑴求 a1 , a 2 , a 3 的值;
⑵求 a n 的通项公式及 S10 .

【例8】 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 27 , a2 ? a4 ? 30 试求:⑴ a1 和公比 q ;⑵前 6 项的和 S6 .

【例9】 在 等 比 数 列 ?an ? 中 , 已 知 对 任 意 正 整 数 n , 有 Sn ? 2n ? 1 , 则
2 ________. a12 ? a2 2? ? ? an ?

【例10】 求和: (a ? 1) ? (a2 ? 2) ? ? ? (an ? n),(a ? 0) .

【例11】 在 等 比 数 列 ?an? 中 , a4 ?

2 20 , a3 ? a5 ? . 若 数 列 ?an? 的 公 比 大 于 1 , 且 3 9

bn ? lo g 3

an ,求数列 ?bn? 的前 n 项和 Sn . 2

【例12】 在 各项 均为 正数 的等 比数 列 ?bn ? 中 ,若 b7 ? b8 ? 3 , 则 log 3 b1 ? log 3b 2? … …
? log 3 b1 4 等于(


C. 7 D. 8

A. 5

B. 6

【例13】 等比数列 {an } 中,已知对任意自然数 n , a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 2 n ? 1 ,
2 2 则 a12 ? a2 ? ??? ? an ?(

A. ? 2n ? 1?

2

) 1 B. ? 2n ? 1? 3

C. 4 n ? 1

D.

1 n ? 4 ? 1? 3

【例14】 若 lg x ? lg x2 ??? lg x10 ? 110 ,求 lg x ? lg2 x ??? lg10 x 的值.

【例15】 在 等 比 数 列 ?an? 中 , a4 ?

2 20 , a3 ? a5 ? . 若 数 列 ?an? 的 公 比 大 于 1 , 且 3 9

bn ? lo g 3

an ,求数列 ?bn? 的前 n 项和 Sn . 2

【例16】 在等比数列 ?an ? 的前 n 项中, a1 最小,且 a1 ? an ? 66, a2 an?1 ? 128 ,前 n 项和
Sn ? 126 ,求 n 和公比 q .

【例17】 设等比数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? S6 ? 2S9 ,求数列的公比 q .

1 an?1 是方程 x2 ? cn x ? ( )n ? 0 的两根,且 a1 ? 2 ,求数列 {cn } 【例18】 {an } 的相邻两项 an , 3

的前 n 项和 Sn .

1 1 1 【例19】 已知数列 ?an ? : 1 , 2(? ) , 3(? )2 ,…, n(? )n ?1 ,求它的前 n 项和. 2 2 2

n 【例20】 已知:数列 {an } 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ? ? 3n?1 an ? , a ? N? . 3 ⑴求数列 {an } 的通项; n ⑵设 bn ? , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn an

【例21】 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 5n ,求其前 n 项和公式.

【例22】 求数列 a , 2 a 2 , 3a 3 ,…, na n ,…, ( a 为常数)的前 n 项的和.

【例23】 已知等差数列 ?an ? ,公差为 d ,求 Sn ? a1 x ? a2 x3 ? a3 x5 ? ?an x2 n?1 ( x ? 1且x ? 0)

【例24】 设 ?an ? 为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ???2an ?1 ? an ,已知 T1 ? 1 , T2 ? 4 . ⑴求数列 ?an ? 的首项和公比; ⑵求数列 ?Tn ? 的通项公式.

【例25】 已 知 a ? 1 , 数 列 {an } 是 首 项 为 a , 公 比 为 a 的 等 比 数 列 , 令
bn ? an lg a n (a ? 0, n ? N? ) ,

⑴当 a ? 2 时,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ; ⑵若数列 {bn } 中的每一项总小于它后面的项时,求 a 的取值范围.

【例26】 已知函数 f ? x ? 是一次函数,且 f ?8? ? 15 , f ? 2 ? , f ? 5? , f ?14? 成等比数列,

设 an ? f ? n ? , ? n ? N* ? .
⑴ 求 Tn ; ⑵ 设 bn ? 2n ,求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Sn .

【例27】 设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,前 n 项和 Sn ? 0 ? n ? N? ? . ⑴求 q 的取值范围; 3 ⑵设 bn ? an? 2 ? an ?1 ,记 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,试比较 Sn 与 Tn 的大小. 2

【例28】 设

?an ?

是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , Sn 是 前 n 项 和 , 证 明
l o S0ng ?.
5

l o 0 g. S5n ? 2

? log2 0 .S 5 n?

1

【例29】 设 ?an ? 是由正数组成的等比数列, Sn 是前 n 项和.

lg Sn ? lg Sn ? 2 ? lg Sn ?1 ; 2 lg ? S n ? C ? ? lg? S n? 2 ? C ? ? lg ? S n?1 ? C ? 成立?并证明 ⑵是否存在常数 C ? 0 使得 2 你的结论.
⑴证明:

【例30】 用分期付款方式购买家用电器一件,价格为 1150 元,购买当天先付 150 元,以

后每月这一天都交付 50 元,并加付欠款的利息,月利率为 1 %,若交付 150 元 后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月该交付多 少钱?全部货款付清后,买这件家电实际花了多少钱?

【例31】 从盛满 a 升 (a ? 1) 纯酒精的溶液里倒出 1 升,然后填满水,再倒出 1 升混合溶液

后又用水填满.如此继续下去,那么第 n 次操作后溶液的浓度是多少?

【例32】 某企业年初有资金 1000 万元, 如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长

率为 50 %,但每年年底都要扣除消费基金 x 万元,余下基金投入再生产,为 实现经过 5 年资金达到 2000 万元(扣除消费基金后) ,那么每年应扣除消费基 金多少万元(精确到万元)?

【例33】 小芳同学若将每月省下的零花钱 5 元在月末存入银行,月利按复利计算,月利

率为 0.2 %, 每够一年就将一年的本利和改存,年利按复利计算,年利率为 6 %,问三年后取出 本利共多少元(保留到个位)?

【例34】 用 n 个不同的实数 a1 , a2 ,?, an 可得到 n ! 个不同的排列,每个排列为一行写成一

个 n ! 行的数阵。对第 i 行 ai1 , ai 2 ,?, ain ,记 bi ? ?ai1 ? 2ai 2 ? 3ai3 ? .... ? (?1)n nain ,
i ? 1, 2,3,? , n !。

例如:用 1, 2, 3 、可得数阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是 12 ,所以,
b1 ? b2 ? ? ? b6 ? ?12 ? 2 ? 12 ? 3 ? 12 ? ?24 ,那么,

在用 1, 2, 3, 4, 5 形成的数阵中, b1 ? b2 ? ? ? b120 =________。
1 1 2 2 3 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1

【例35】 我们在下面的表格内填写数值:先将第 1 行的所有空格填上 1 ;再把一个首项为

1 ,公比为 q 的数列 ?an ? 依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数

是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格. 第1列 第2列 第3列 … 第n列 第1行 … 1 1 1 1 q 第2行
第3行 … 第n行

q2
… q n ?1

⑴ 设第 2 行的数依次为 B1 ,B2 , ?,Bn ,试用 n , q 表示 B1 ? B2 ? ? ? Bn 的值; , ?, nc , 求 证 : 对 于 任 意 非 零 实 数 ⑵ 设 第 3 行 的 数 依 次 为 c1 ,c2, c3
q, c1 ? c3 ? 2c2 ; ⑶ 请在以下两个问题中选择一个进行研究(只能选择一个问题, 如果都选, 被认为 选择了第一问). ① 能 否 找 到 q 的 值 , 使 得 ⑵ 中 的 数 列 c1 , c2, c, 3 ? , n c的 前 m 项

c1 , c2 , ?, cm ? m ≥ 3? 成为等比数列?若能找到, m 值有多少个?若不能找

到,说明理由. ②能否找到 q 的值,使得填表格后,除第 1 列外,还有不同的两列数的前三项 各自依次成等比数列?并说明理由.

【例36】 已知数列 a0 , a1 , a2 , ?, an , ? 满足关系式 ? 3 ? an?1 ?? 6 ? an ? ? 18 ,且 a0 ? 3 ,则

?a
i ?0

n

1
i

的值是

.

【例37】 在 n 行 n 列矩阵
n ? ? 1 2 3 ??? n ? 2 n ? 1 ? ? n 1 ? ? 2 3 4 ??? n ? 1 ? 3 4 5 ??? n 1 2 ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? n 1 2 ??? n ? 3 n ? 2 n ? 1? ? ?

2, ??? , n) . 中,记位于第 i 行第 j 列的数为 aij (i, j ? 1,
当 n ? 9 时, a11 ? a22 ? a33 ? ??? ? a99 ? .

【例38】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N* ⑴ 证明: ?an ? 1? 是等比数列; ⑵ 求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出 n 为何值时, Sn 取得最小值,并说明理由.

【例39】 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ≠ 0 ,其前 n 项的和为 Sn ,且 Sn ?1 ? 2Sn ? a1 ,则 lim A.0 B.

n ??

an ? Sn

1 2

C. 1

D.2

?1? s n 是 ?an ? 的前 n 项和, 【例40】 已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, 且 9s3 ? s6 , 则数列 ? ? ? an ?

的前 5 项和为 15 A. 或 5 8

B.

31 或5 16

C.

31 16

C.

15 8

【例41】 设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 A.11 B.5 C. ?8

S5 ? S2

D. ?11

【例42】 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? can ? cn?1 ? 2n ? 1? n ? N* ,其中实数 c ? 0 . ⑴求 ?an ? 的通项公式; ⑵若对一切 k ? N 有 a2 k ? azk ?1 ,求 c 的取值范围.
*

?

?

【例43】 设 ?an ? 是由正数组成的等比数列, 已知 a2 a4 ? 1 , 则 S5 ? Sn 为其前 n 项和. S3 ? 7 ,
15 A. 2 31 B. 4 33 C. 4 17 D. 2

【例44】 设等比数列 {an } 的公比为 q ?

S 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? a4 2



【例45】 设 {an } 是等比数列,若 a1 ? 1, a4 ? 8 ,则 q ?
S6 ?

,数列 {an } 的前 6 项的和



【例46】 在数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ? 2an?1 ? n ? 2 (n ≥ 2 且 n ? N* ) . ⑴求 a 2 , a 3 的值; ⑵证明:数列 {an ? n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; ⑶求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

【例47】 在数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ? ?an ?1 ? 2n ? 1 (n ≥ 2 且 n ? N* ) . ⑴求 a 2 , a 3 的值; ⑵证明:数列 {an ? n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; ⑶求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

n ? N? , 【例48】 设数列 {an } 为等比数列, 数列 {bn } 满足 bn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an ,

3m ,其中 m ? 0 . 2 ⑴求数列 {an } 的首项和公比;

已知 b1 ? m , b2 ?

⑵当 m ? 1 时,求 bn ; ⑶设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, 若对于任意的正整数 n , 都有 Sn ?[1, 3] , 求实数 m 的取值范围.

【例49】 若 a, 4, 3a 为等差数列的连续三项,则 a0 ? a1 ? a 2 ? ??? ? a9 的值为( A.1023 B.1025 C.1062 D.2047




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