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高中数学第一章计数原理3第一课时组合与组合数公式教学案北师大版选修2 3(数学教案)

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第一课时 组合与组合数公式 [对应学生用书P10] 组合的有关概念 [例 1] 给出下列问题: (1)从 a,b,c,d 四名学生中选两名学生完成一件工作,有多少种不同的安排方法? (2)从 a,b,c,d 四名学生中选两名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的安排方 法? (3)a,b,c,d 四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场? (4)a,b,c,d 四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果? 在上述问题中,哪些是组合问题,哪些是排列问题? [思路点拨] 要分清是组合还是排列问题,只要确定取出的这些元素是否与顺序有关. [精解详析] (1)两名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题; (2)两名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题; (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题; (4)冠亚军是有顺序的,是排列问题. [一点通] 区分一个问题是排列问题还是组合问题, 关键是看它有无“顺序”, 有顺序 就是排列问题,无顺序就是组合问题.要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来,看交 换元素的顺序对结果有无影响,有影响就是“有序”,也就是排列问题;没有影响就是“无 序”,也就是组合问题. 1.判断下列问题是组合问题,还是排列问题. (1)设集合 A={a,b,c,d},则集合 A 的含有 3 个元素的子集有多少个? (2)从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个做加法,其结果有多少种不同的可能? (3)从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个做除法,其结果有多少种不同的可能? (4)会场有 50 个座位, 要求选出 3 个座位有多少种方法?若选出 3 个座位安排 3 个客人 入座,又有多少种方法? (5)把 4 本相同的数学书分给 5 个学生,每人至多得一本,有多少种分配方法? (6)4 个人去干 5 种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法? 解:(1)组合问题,因为集合中取出元素具有“无序性”. 1 (2)组合问题,由于加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做加法时,与两个元素 的位置无关. (3)排列问题,两个元素做除法时,谁作除数,谁作被除数不一样,此时与位置有关. (4)第一问是组合问题,第二问是排列问题,“入座”问题同“排队”,与顺序有关. (5)组合问题,由于 4 本数学书是相同的,不同的分配方法取决于从 5 个学生中选择哪 4 个人,这和顺序无关. (6)排列问题,因为 5 种工作是不同的,一种分工方法就是从 5 种不同的工作中选出 4 种,按一定的顺序分配给 4 个人,它与顺序有关. 有关组合数的计算与证明 [例 2] 求值:(1)C10-C7A3;(2)C100+C200; (3)C3n +C21+n. [思路点拨] 用组合数公式和组合数的性质解决. [精解详析] (1)原式=C10-A7 = 10×9×8×7 -7×6×5=210-210=0. 4×3×2×1 4 3 38-n 3n 4 3 3 98 199 100×99 98 199 2 1 (2)C100+C200=C100+C200= +200 2 =4 950+200=5 150. ?38-n≤3n, ? (3)∵? ? ?3n≤21+n, ∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N+,∴n=10. ∴C3n +C21+n=C30+C31=C30+C31 = 30×29 +31=466. 2×1 38-n 3n 28 30 2 1 [一点通] (1)对于组合数的有关运算,除了利用组合数公式外,还要注意利用组合数 的两个性质,对式子进行适当的变形,选择最恰当的公式计算. (2)有关组合数的证明问题,一般先依据组合数的性质化简,再用组合数的阶乘形式证 明. 2.若 Cn=28,则 n 的值为( A.9 C.7 2 ) B.8 D.6 2 解析:∵Cn= 2! 2 n! n- = ! n n- 2 =28, ∴n(n-1)=56,即 n=8. 答案:B 3.若 Cn,Cn,Cn成等差数列,则 Cn 的值为________. 解析:由已知,得 2Cn=Cn+Cn, 所以 2· 5! 2 5 4 6 4 5 6 12 n! n- = ! 4! n! n- + ! 6! n! n- , ! 整理,得 n -21n+98=0,解得 n=7 或 n=14. 要求 Cn 的值,故 n≥12,所以 n=14, 14×13 12 2 于是 C14=C14= =91. 2×1 答案:91 4.证明:Cn= Cn-1. 证明:∵ ·Cn-1= · = = m 12 n m m-1 n m m-1 n m m- ! n- n- ! - m- ! n! [m m- ! n-m ! n! m =Cn, m! n-m ! m ∴Cn= Cn-1成立. 简单的组合应用题 [例 3] (12 分)一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球. (1)从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法? [思路点拨] 先判断是不是组合问题,再用组合数公式写出结果,最后求值. 8×7×6 3 [精解详析] (1)从口袋内的 8 个球中取出 3 个球,取法种数是 C8= = 3×2×1 分) (2)从口袋内取出 3 个球有 1 个是黑球,于是还要从 7 个白球中再取出 2 个,取法种数 7×6 1 2 是 C1C7= =21. 2×1 n m m-1 3 分) (3)由于所取出的 3 个球中不含黑球,也就是要从 7 个白球中取出 3 个球,取法种数是 7×6×5 3 C7= =35. 3×2×1 分) [一点通] 解简单的组合应用题, 要首先判断它是不是组合问题, 即取出的元素是“合 成一组”还是“排成一列

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