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2018_2019高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2证明不等式的基本方法导学案

时间:

2.2
学习目标

证明不等式的基本方法

1.了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点. 2.会用综合法 、分析法证明简单的不等式. 一、自学释疑 根据线上提交的自学检测,生生、师生交流讨论,纠正共性问题。

二、合作探究 探究 1 如何理解分析法寻找的是充分条件?

探究 2 综合法与分析法有何异同点?

1.综合法证明不等式 (1)用综合法证明不等式需要把“从已知出发,借助不等式的性质和有关 定理,经过逐 步的逻辑推理,最后达到待证不等式得证”的全过程写出来,其特点可描述为“ 由因导 果”.可图示为 P? Q1 ? Q1? Q2 ? …? Qn? Q .图中 P 表示已知或已有的定义、定理、性质 等,Q 为要证的结论. (2)综合法证明时常用的不等式:a +b ≥2ab(当且仅当 a=b 时,取等号),
2 2 2 2

a+b
2

≥ ab

(a,b∈R+,当且仅当 a=b 时,取等号),a ≥0,|a|≥0,(a-b) ≥0, + ≥2(ab>0). 2.分析法证明不等式 (1)当证明题不知从何入手时,可以用分析法而获得解决.它从待证的结论入手,步步 寻求结论成立的充分条件,直至这个充分条件是显然成立的. (2)用分析法证“若 A 则 B”这个命题的模式是: 欲证 B 成立, 只需证 B1 成立, 只需证 B2 成立,

b a a b

…… 只需证 A 成立,而 A 已知成立,从而知“若 A 则 B”为真. (3)用分析法证明不等式的逻辑关系是:B?B1?B2…?Bn?A. 3.分析综合法证明不等式 一般来说,对于较复杂的不等式,直接运用综合法往往不易下 手,因而常用分析法寻 求解题途径,然后用综合法进行证明.还有些不等式的证明,需一边分析一边综合,称之为 分析综合法(或两头凑法).分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提,相互渗透,相互 转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点.

?1 ??1 ? ?1 ? 【例 1】 已知 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,求证:? -1?? -1?? -1?≥8. ?a ??b ?? c ?

【变式训练 1】 已知 a>0,b>0,c>0, 1 1 1 1 1 1 求证: + + ≥ + + .

a b c

ab

bc

ac

【例 2】 已知 a>b>0, 求证:

( a ? b) 2 (a ? b) 2 a+b < - ab< . 2 8b 8a

(2)不等式两边需平方或开方时,不等式两边必须是非负数. 【变式训练 2】 已知 a,b∈R+,2c>a+b, 求证:(1)c >ab;
2

(2)c- c -ab<a<c+ c -ab.

2

2

【例 3】 △ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,其角 A,B,C 的对边分别为 a,b,

c,求证:(a+b)-1+ (b+c)-1=3(a+b+c)-1.

【变式训练 3】 已知 a>0,b>0,且 a+b=1. 求证:

a+ +

1 2

b+ ≤2.

1 2

参考答案 探 究 1 【提示】 用分析法证明,其叙述格式是:要证明 A,只需证明 B.即说明只要 有 B 成立, 就一定有 A 成立. 因此分析法是“执果索因”, 步步寻求上一步成立的充分条件. 分 析法体现了数学中“正难则反”的原则, 也是思维中的逆向思维, 逆求(不是逆推)结论成立 的充分条件. 探究 2 【提示 】 综合法与分析法的异同点

方法

证明的起始步骤

证法过程前后逻辑关系

证题方向

综合法

已知条件或已学过的定 义、定理、性质等

格式:A? B1? B2? …? Bn? B 由已知条件开始推导其成立的必要条件(结论)

由因导果

分析法

要证明的结论

格式:B?B1?B2?…?Bn?A 由结论开始探索其成立的充分条件(已知)

执 果索因

【例 1】用综合法证明如下. 【证明】 ∵a,b,c 均为正数,a+b+c=1, 1 1-a b+c b c bc ∴ -1= = = + ≥2· .

a

a

a

a a

a

1 ac 同理 -1≥2· ,

b

b

1

c

-1≥2·

ab . c

由于上面三个不等式两边均为正,分别相乘,得

?1-1??1-1??1-1?≥2 bc·2 ac·2 ab=8 ?a ??b ?? c ? a b c ? ?? ?? ?
1 当且仅当 a=b=c= 时,取等号. 3 【变式训练 1】证明 ∵a>0,b>0,c>0, 1 1 ∴ + ≥2 1

a b

a b

1 2 · = .

ab

1 1 2 1 1 2 同理 + ≥ , + ≥ .

b c

bc c a

ac

以上三个不等式相加,得

?1 1 1? 2 + 2 + 2 . 2? + + ?≥ ?a b c?
a b c ab bc ac
1 1 1 1 1 1 ∴ + + ≥ + + .

ab

bc

ac

当且仅当 a=b=c 时,取等号. 【例 2】 【证明】 ∵a>b>0,要证 只需证 即证 即证

( a ? b ) 2 a+ b ( a ? b) 2 < - ab< , 2 8a 8b

( a ? b) 2 ( a ? b) 2 <a+b-2 ab< , 4a 4b

2 ( a ? b) 2 2 ( a ? b) <( a- b) < , 4a 4b

a-b a-b < a- b< , 2 a 2 b a+ b a+ b <2< , a b b a <2<1+ , a b b <1< a a b a . b b a

即证

即证 1+

即证

∵a>b>0,∴ >1,0< <1. ∴ ∴

a >1, b

b <1 成立. a

(a ? b) 2 a+b ( a ? b) 2 < - ab< 成立. 2 8a 8b

【变式 训练 2】证明 (1)∵2c>a+b,a>0,b>0, ∴4c >(a+b) =a +b +2ab≥2ab+2ab=4ab. ∴c >ab. (2)要证 c- c -ab<a<c+ c -ab, 只需证- c -ab<a-c< c -ab, 只需证|a-c|< c -ab, 只需证|a-c| <( c -ab) , 即证 a -2ac+c <c -ab,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

即证 a +ab<2ac. ∵a>0,∴只需证 a+b<2c. 这是题设条件,显然成立,故原不等式成立. 【例 3】 【证明】 要证(a+b) +(b+c) =3(a+b+c) 成立, 即证 即证 即 1
-1 -1 -1

2

a+b b+c a+b+c



1



3

成立,

a+b+c a+b+c + =3, a+b b+c

a+b c a b+c + + + =3, a+b a+b b+c b+c c a + =1, a+b b+c

即证

又需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 即 c +a =b +ac. 又△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列, π 所以 B= , 3
2 2 2

a2+c2-b2 1 由余弦定理 cosB= = , 2ac 2
所以 a +c -b =ac, 所以原命题成立.
2 2 2

【变式训练 3】证明 要证 1 1 只需证 a+ +b+ +2 2 2 即证

a+ +

1 2

b+ ≤2,

1 2

?a+1??b+1?≤4, ? 2?? 2? ? ?? ?

?a+1??b+1?≤1, ? 2?? 2? ? ?? ?

1 1 只需证 ab+ (a+b)+ ≤1, 2 4 1 只需证 ab≤ . 4 ∵a>0,b>0,a+b=1, ∴ab≤?

?a+b?2=1. ? ? 2 ? 4

∴原不等式成立.


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