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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 平面向量的数量积及其应用学案 理 新人教A版

时间:2014-07-29

平面向量的数量积及其应用
导学目标: 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向 量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积 表示两个向量的夹角, 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简 单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

自主梳理 1.向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义: ____________________________________________, 其中|a|cos 〈a,b〉叫做向量 a 在 b 方向上的投影. (2)向量数量积的性质: ①如果 e 是单位向量,则 a?e=e?a=__________________; ②非零向量 a,b,a⊥b?________________; ③a?a=________________或|a|=________________; ④cos〈a,b〉=________; ⑤|a?b|____|a||b|. 2.向量数量积的运算律 (1)交换律:a?b=________; (2)分配律:(a+b)?c=________________; (3)数乘向量结合律:(λ a)?b=________________. 3.向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和,即若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a?b=________________________; (2)设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a⊥b?________________________; (3)设向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2), 则|a|=________________,cos〈a,b〉=____________________________. → → (4) 若 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 | AB = ________________________ ,所以 | AB | = _____________________. 自我检测 → → 1.(2010?湖南)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则AB?AC等于 ( ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 2 .(2010?重庆 ) 已知向量 a , b 满足 a?b = 0 , |a| = 1 , |b| = 2 ,则 |2a - b| = ( ) A.0 B.2 2 C.4 D.8 3 . (2011? 福 州 月 考 ) 已 知 a = (1,0) , b = (1,1) , (a + λ b) ⊥ b , 则 λ 等 于 ( ) 1 1 A.-2 B.2 C. D.- 2 2 4.平面上有三个点 A(-2,y) ,B(0, 程为________________. → 1→ 2→ → → 5. (2009? 天津) 若等边△ABC 的边长为 2 3 , 平面内一点 M 满足CM= CB+ CA, 则MA?MB 6 3 =________.

y → → ) ,C(x,y) ,若A B⊥BC,则动点 C 的轨迹方 2

1

探究点一 向量的模及夹角问题 例 1 (2011?马鞍山月考)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)?(2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ ;(2)求|a+b|; → → (3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的面积.

变式迁移 1 (1)已知 a, b 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量 c 满足(a-c)?(b c) = 0 , 则 |c| 的 最 大 值 是 ) A.1 B.2 2 C. 2 D. 2 (2)已知 i,j 为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λ j,且 a 与 b 的夹角为锐角, 实数 λ 的取值范围为________. 探究点二 两向量的平行与垂直问题 例 2 已知 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),且 ka+b 的长度是 a-kb 的长度的 3倍(k>0). (1)求证:a+b 与 a-b 垂直; (2)用 k 表示 a?b; (3)求 a?b 的最小值以及此时 a 与 b 的夹角 θ . - (

变式迁移 2 (2009?江苏)设向量 a=(4cos α ,sin α ),b=(sin β ,4cos β ),c =(cos β ,-4sin β ). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α +β )的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tan α tan β =16,求证:a∥b.

探究点三 向量的数量积在三角函数中的应用 3 3 ? ? 例 3 已知向量 a=?cos x,sin x?, 2 2 ? ? x x π π? ? ? ? b=?cos ,-sin ?,且 x∈?- , ?. 2 2? ? ? 3 4? (1)求 a?b 及|a+b|; (2)若 f(x)=a?b-|a+b|,求 f(x)的最大值和最小值.

变式迁移 3 (2010?四川)已知△ABC 的面积 S=

1→ → 3 AB?AC?=3,且 cos B= ,求 cos C. 5 2

2

1.一些常见的错误结论: 2 2 (1)若|a|=|b|,则 a=b;(2)若 a =b ,则 a=b;(3)若 a∥b,b∥c,则 a∥c;(4)若 a?b=0, 则 a=0 或 b=0; (5)|a?b|=|a|?|b|; (6)(a?b)c=a(b?c); (7)若 a?b=a?c, 则 b=c.以上结论都是错误的,应用时要注意. 2.平面向量的坐标表示与向量表示的比较: 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是向量 a 与 b 的夹角. 向量表示 坐标表示 2 2 2 向量 a 的模 |a|= a?a= a |a|= x1+y1 a 与 b 的数量积 a?b=|a||b|cos θ a?b=x1x2+y1y2 a 与 b 共线的充要条件 A∥b(b≠0)?a=λ b a∥b?x1y2-x2y1=0 非零向量 a, b 垂直的充要条件 a⊥b?a?b=0 a⊥b?x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2 a?b cos θ = 2 2 向量 a 与 b 的夹角 cos θ = 2 |a||b| x1+y1 x2 2+y2 3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有: →2 →2 → → (1)要证 AB=CD,可转化证明AB =CD 或|AB|=|CD|. → → (2)要证两线段 AB∥CD,只要证存在唯一实数 ? ≠0,使等式AB=λ CD成立即可. → → (3)要证两线段 AB⊥CD,只需证AB?CD=0.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1. (2010?重庆)若向量 a=(3, m), b=(2, -1), a?b=0, 则实数 m 的值为 ( ) 3 3 A.- B. 2 2 C.2 D.6 2.已知非零向量 a,b,若|a|=|b|=1,且 a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),则实数 k 的 值 为 ( ) A.-6 B.-3 C.3 D.6 15 → → 3.已知△ABC 中, AB=a, AC=b, a?b<0, S△ABC= , |a|=3, |b|=5, 则∠BAC 等于 ( ) 4 A.30° B.-150° C.150° D.30°或 150° 4.(2010?湖南)若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)?b=0,则 a 与 b 的夹角为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 5 . 已 知 a = (2,3) , b = ( - 4,7) , 则 a 在 b 上 的 投 影 为 ( ) 13 65 A. B. 5 5 C. 65 13 D. 13 13
3

题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2010?湖南长沙一中月考)设 a=(cos 2α ,sin α ),b=(1,2sin α -1),α ∈ π ? ,π ?,若 a?b=2,则 sin α =________. ?2 ? 5 ? ? 7.(2010?广东金山中学高三第二次月考)若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且 c⊥a,则向 量 a 与 b 的夹角为________. 3π 8 .已知向量 m = (1,1) ,向量 n 与向量 m 夹角为 ,且 m?n =- 1 ,则向量 n = 4 __________________. 三、解答题(共 38 分) → → → → → 9.(12 分)已知OA=(2,5), OB=(3,1), OC=(6,3), 在线段 OC 上是否存在点 M, 使MA⊥MB, 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

?π ? 10. (12 分)(2011?杭州调研)已知向量 a=(cos(-θ ), sin(-θ )), b=(cos? -θ ?, ?2 ? π ? ? sin? -θ ?). ?2 ? (1)求证:a⊥b; 2 (2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t,使 x=a+(t +3)b,y=-ka+tb,满足 x⊥y,试求 2 k+t 此时 的最小值.
t

? ? π? ? 11.(14 分)(2011?济南模拟)已知 a=(1,2sin x),b=?2cos?x+ ?,1?,函数 f(x) 6? ? ? ? =a?b (x∈R). (1)求函数 f(x)的单调递减区间; π? 8 ? (2)若 f(x)= ,求 cos?2x- ?的值. 3? 5 ?

答案 自主梳理 2 1.(1)a?b=|a||b|cos〈a,b〉 (2)①|a|cos〈a,e〉 ②a?b=0 ③|a|

a?a

a?b ④ |a||b|
⑤≤ 2.(1)b?a (2)a?c + b?c (3)λ (a?b) a1b1+a2b2
2 a2 1+a2 2 b2 1+b2 (4)(x2-x1,y2-y1) 2

3.(1)a1b1 + a2b2

(2)a1b1 + a2b2 = 0

(3)

2 a2 1+a2

?x2-x1? +?y2-y1?

2

自我检测
4

2.B [|2a-b|= ?2a-b? 2 2 = 4a -4a?b+b = 8=2 2.] 2 3.D [由(a+λ b)?b=0 得 a?b+λ |b| =0, 1 ∴1+2λ =0,∴λ =- .] 2 2 4.y =8x(x≠0) y? → ? 解析 由题意得AB=?2,- ?, 2? ? → → → → → ? y? BC=?x, ?,又AB⊥BC,∴AB?BC=0,

2

?

2?

即?2,- ???x, ?=0,化简得 y =8x(x≠0). 2? ? 2? ? 5.-2 解析 合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设 C(0,0),A(2 3,0),B( 3, 1? → ? 3 1? → ? 3 5? → ? 3 → → 3), 这样利用向量关系式, 求得MA=? ,- ?, MB=? ,- ?, MB=?- , ?, 所以MA?MB 2? 2? ?2 ?2 ? 2 2? =-2. 课堂活动区 例 1 解 (1)∵(2a-3b)?(2a+b)=61, 2 2 ∴4|a| -4a?b-3|b| =61. 又|a|=4,|b|=3,∴64-4a?b-27=61, ∴a?b=-6. a?b -6 1 ∴cos θ = = =- . |a||b| 4?3 2 2π 又 0≤θ ≤π ,∴θ = . 3
2

?

y? ?

y?

(2)|a+b|= ?a+b? 2 2 = |a| +2a?b+|b| = 16+2??-6?+9= 13. 2π → → (3)∵AB与BC的夹角 θ = , 3 2π π ∴∠ABC=π - = . 3 3 → → 又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3, 1 → → ∴S△ABC= |AB||BC|sin∠ABC 2 1 3 = ?4?3? =3 3. 2 2 变式迁移 1 (1)C [∵|a|=|b|=1,a?b=0, 2 展开(a-c)?(b-c)=0? |c| =c?(a+b) =|c|?|a+b|cos θ ,∴|c|=|a+b|cos θ = 2cos θ , ∴|c|的最大值是 2.] 1 (2)λ < 且 λ ≠-2 2
5

2

π 解析 ∵〈a,b〉∈(0, ),∴a?b>0 且 a?b 不同向. 2 1 2 2 即|i| -2λ |j| >0,∴λ < . 2 当 a?b 同向时,由 a=kb(k>0)得 λ =-2. 1 ∴λ < 且 λ ≠-2. 2 例 2 解题导引 1.非零向量 a⊥b?a?b=0?x1x2+y1y2=0. 2.当向量 a 与 b 是非坐标形式时,要把 a、b 用已知的不共线的向量表示.但要注意运 算技巧,有时把向量都用坐标表示,并不一定都能够简化运算,要因题而异. 解 (1)由题意得,|a|=|b|=1, 2 2 ∴(a+b)?(a-b)=a -b =0, ∴a+b 与 a-b 垂直. 2 2 2 2 2 (2)|ka+b| =k a +2ka?b+b =k +2ka?b+1, 2 2 ( 3|a-kb|) =3(1+k )-6ka?b. 2 2 由条件知,k +2ka?b+1=3(1+k )-6ka?b, 2 1+k 从而有,a?b= (k>0). 4k 2 1+k 1 1 1 (3)由(2)知 a?b= = (k+ )≥ , 4k 4 k 2 1 当 k= 时,等号成立,即 k=±1.

k

∵k>0,∴k=1.

a?b 1 π 此时 cos θ = = ,而 θ ∈[0,π ],∴θ = . |a||b| 2 3 1 π 故 a?b 的最小值为 ,此时 θ = . 2 3 变式迁移 2 (1)解 因为 a 与 b-2c 垂直, 所以 a?(b-2c) =4cos α sin β -8cos α cos β +4sin α cos β +8sin α sin β =4sin(α +β )-8cos(α +β )=0. 因此 tan(α +β )=2. (2)解 由 b+c=(sin β +cos β ,4cos β -4sin β ), 2 2 得|b+c|= ?sin β +cos β ? +?4cos β -4sin β ? = 17-15sin 2β ≤4 2. π 又当 β =- 时,等号成立,所以|b+c|的最大值为 4 2. 4 4cos α sin α (3)证明 由 tan α tan β =16 得 = , sin β 4cos β 所以 a∥b. 例 3 解题导引 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热 点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式,向量模、夹角的坐标 运算公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识. 3 x 3 x 解 (1)a?b=cos xcos -sin xsin =cos 2x, 2 2 2 2
|a+b|=

?cos 3x+cos ? 2 ?

x?2 ? 3 x? ? +?sin x-sin ?2
2?

?

2

2?

= 2+2cos 2x=2|cos x|,

6

? π π? ∵x∈?- , ?,∴cos x>0, ? 3 4? ∴|a+b|=2cos x. 2 (2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos x-2cos x-1 1?2 3 ? =2?cos x- ? - . 2? 2 ? 1 ? π π? ∵x∈?- , ?,∴ ≤cos x≤1, 2 ? 3 4? 1 3 ∴当 cos x= 时,f(x)取得最小值- ; 2 2 当 cos x=1 时,f(x)取得最大值-1.
1 1 变式迁移 3 解 由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c,则 S= bcsin A= . 2 2 → → AB?AC=bccos A=3>0, ? π? ∴A∈?0, ?,cos A=3sin A. 2? ? 2 2 又 sin A+cos A=1, 10 3 10 ∴sin A= ,cos A= . 10 10 3 4 由题意 cos B= ,得 sin B= . 5 5 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B= ∴cos C=cos[π -(A+B)]=- 10 . 10 10 . 10

课后练习区 1.D [因为 a?b=6-m=0,所以 m=6.] 2.D [由(2a+3b)?(ka-4b)=0 得 2k-12=0,∴k=6.] 1 15 3.C [∵S△ABC= |a||b|sin∠BAC= , 2 4 1 ∴sin∠BAC= .又 a?b<0, 2 ∴∠BAC 为钝角.∴∠BAC=150°.] 2 4.C [由(2a+b)?b=0,得 2a?b=-|b| . 1 2 - |b| 2 a?b 1 cos〈a,b〉= = 2 =- . |a||b| |b| 2 ∵〈a,b〉∈[0°,180°],∴〈a,b〉=120°.] 5.B [因为 a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉 , 所以,a 在 b 上的投影为|a|?cos〈a,b〉 a?b 21-8 13 65 = = 2 = = .] 2 |b| 5 4 +7 65 6. 3 5

2 2 解析 ∵a?b=cos 2α +2sin α -sin α = , 5 2 3 2 2 ∴1-2sin α +2sin α -sin α = ,∴sin α = . 5 5
7

7.120° 解析 设 a 与 b 的夹角为 θ ,∵c=a+b,c⊥a, 2 ∴c?a=0,即(a+b)?a=0.∴a +a?b=0. 又|a|=1,|b|=2,∴1+2cos θ =0. 1 ∴cos θ =- ,θ ∈[0°,180°]即 θ =120°. 2 8.(-1,0)或(0,-1) 解析 设 n=(x,y),由 m?n=-1, 有 x+y=-1.① 3π 由 m 与 n 夹角为 , 4 3π 有 m?n=|m|?|n|cos , 4 2 2 ∴|n|=1,则 x +y =1.② 由①②解得?
? ?x=-1 ? ?y=0

或?

? ?x=0 ? ?y=-1



∴n=(-1,0)或 n=(0,-1). → → 9.解 设存在点 M,且OM=λ OC=(6λ ,3λ ) (0≤λ ≤1), → → MA=(2-6λ ,5-3λ ),MB=(3-6λ ,1-3λ ).………………………………………… (4 分) → → ∵MA⊥MB, ∴(2-6λ )(3-6λ )+(5-3λ )(1-3λ )=0, ……………………………………………… (8 分) 1 11 2 即 45λ -48λ +11=0,解得 λ = 或 λ = . 3 15 ?22 11? ∴M 点坐标为(2,1)或? , ?. ?5 5? 22 11 → → 故在线段 OC 上存在点 M,使MA⊥MB,且点 M 的坐标为(2,1)或( , ).………(12 分) 5 5 ?π ? ?π ? 10.(1)证明 ∵a?b=cos(-θ )?cos? -θ ?+sin(-θ )?sin? -θ ? 2 ? ? ?2 ? = sin θ cos θ - sin θ cos θ = 0. ∴ a⊥b.……………………………………………………(4 分) (2)解 由 x⊥y 得,x?y=0, 2 即[a+(t +3)b]?(-ka+tb)=0, 2 3 2 2 ∴-ka +(t +3t)b +[t-k(t +3)]a?b=0, 2 3 2 ∴-k|a| +(t +3t)|b| =0.………………………………………………………………(6 分) 2 2 又|a| =1,|b| =1, 3 3 ∴-k+t +3t=0,∴k=t +3t.………………………………………………………… (8 分) k+t2 t3+t2+3t 2 ∴ = =t +t+3

t

t

? 1?2 11 =?t+ ? + .…………………………………………………………………………… (10 ? 2? 4
分) 1 k+t 11 故当 t=- 时, 有最小值 .………………………………………………………(12 2 t 4
8
2

分)

? π? 11.解 (1)f(x)=a?b=2cos?x+ ?+2sin x 6? ? π π =2cos xcos -2sin xsin +2sin x 6 6 ? π? = 3cos x+sin x=2sin?x+ ?.…………………………………………………………(5 3? ?
分) π π 3π +2kπ ≤x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 3 2 π 7π 得 +2kπ ≤x≤ +2kπ ,k∈Z. 6 6 所以 f(x)的单调递减区间是 ?π +2kπ ,7π +2kπ ? (k∈Z).…………………………………………………………… ?6 ? 6 ? ? (8 分) ? π? (2)由(1)知 f(x)=2sin?x+ ?. 3? ? π 8 ? ? 又因为 2sin?x+ ?= , 3? 5 ? ? π? 4 所以 sin?x+ ?= ,…………………………………………………………………… (11 3? 5 ? 分) ? π? ?π ? ? π? 4 即 sin?x+ ?=cos? -x?=cos?x- ?= . 3 6 6? 5 ? ? ? ? ? π? π? 7 ? 2? 所以 cos?2x- ?=2cos ?x- ?-1= .………………………………………………(14 3? 6? 25 ? ? 分) 由

9


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