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2019高中数学(人教A版)必修3同步练习题: 第2章 学业分层测评14

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学业分层测评(十四)

变量间的相关关系

(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.有几组变量: ①汽车的重量和汽车每消耗 1 升汽油所行驶的平均路程; ②平均日学习时间和平均学习成绩; ③立方体的棱长和体积. 其中两个变量成正相关的是( A.①③ C.② 【解析】 【答案】 ) B.②③ D.③ ①是负相关;②是正相关;③是函数关系,不是相关关系. C )

2.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是( A.都可以分析出两个变量的关系 B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C.都可以作出散点图 D.都可以用确定的表达式表示两者的关系

【解析】 由两个变量的数据统计,不能分析出两个变量的关系,A 错;不 具有线性相关的两个变量不能用一条直线近似地表示他们的关系, 更不能用确定 的表达式表示他们的关系,B,D 错. 【答案】 C

^+b ^x 中,回归系 3.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程^ y=a ^( 数b ) A.不能小于 0 C.不能等于 0 B.不能大于 0 D.只能小于 0

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【解析】 能小于 0. 【答案】

^ ^ 当b=0 时,r=0,这时不具有线性相关关系,但b能大于 0,也

C

4.四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系,并求得回 归直线方程,分别得到以下四个结论: ①y 与 x 负相关且^ y=2.347x-6.423;②y 与 x 负相关且^ y=-3.476x+5.648; ③y 与 x 正相关且^ y=5.437x+8.493;④y 与 x 正相关且^ y=-4.326x-4.578. 其中一定不正确 的结论的序号是( ... A.①② C.③④ 【解析】 【答案】 ) B.②③ D.①④ 由正负相关性的定义知①④一定不正确. D

5.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x/万元 销售额 y/万元 4 49 2 26 3 39 5 54

^x+a ^中的b ^为 9.4, 根据上表可得回归方程^ y=b 据此模型预报广告费用为 6 万 元时,销售额为( A.63.6 万元 C.67.7 万元 【解析】 ) B.65.5 万元 D.72.0 万元

1 x =4(4+2+3+5)=3.5,

1 y =4(49+26+39+54)=42, ^= y -b ^ x =42-9.4×3.5=9.1, 所以a 所以回归方程为^ y=9.4x+9.1, 令 x=6,得^ y=9.4×6+9.1=65.5(万元).故选 B. 【答案】 B

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二、填空题 6.若施化肥量 x(千克/亩)与水稻产量 y(千克/亩)的回归方程为^ y=5x+250, 当施化肥量为 80 千克/亩时,预计水稻产量为亩产________千克左右. 【解析】 【答案】 当 x=80 时,^ y=400+250=650. 650

7. 已知一个回归直线方程为^ y=1.5x+45, x∈{1,7,5,13,19}, 则 y =________. 【解析】 1 因为 x =5(1+7+5+13+19)=9,

且回归直线过样本中心点( x , y ), 所以 y =1.5×9+45=58.5. 【答案】 58.5

8.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万 元),调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程:^ y=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增 加 1 万元,年饮食支出平均增加________万元. 【解析】 加 0.254 万元. 【答案】 三、解答题 9.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据: 产量 x(千件) 成本 y(万元) (1)画出散点图; (2)求成本 y 与产量 x 之间的线性回归方程.(结果保留两位小数) 【解】 (1)散点图如图所示. 2 7 3 8 5 9 6 12 0.254 由于^ y=0.254x+0.321 知,当 x 增加 1 万元时,年饮食支出 y 增

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^x+a ^, (2)设 y 与产量 x 的线性回归方程为^ y=b x= 2+3+5+6 7+8+9+12 = 4 , y = =9, 4 4 y

?xiyi-n x
^= b
i=1

n

?xi2-n x 2
i =1

n



?x1y1+x2y2+x3y3+x4y4?-4 x
2 2 2 x1 +x2 2+x3+x4-4

y

x

2

11 =10

=1.10, ^= y -b ^- a x =9-1.10×4=4.60. ∴回归方程为:^ y=1.10x+4.60. [能力提升] 1.根据如下样本数据: x y 3 4.0 4 2.5 5 -0.5 ) B.a>0,b<0 D.a<0,b<0 6 0.5 7 -2.0 8 -3.0

得到的回归方程为^ y=bx+a,则( A.a>0,b>0 C.a<0,b>0 【解析】 作出散点图如下:

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观察图象可知,回归直线^ y=bx+a 的斜率 b<0,当 x=0 时,^ y=a>0.故 a >0,b<0. 【答案】 B

2.期中考试后,某校高三(9)班对全班 65 名学生的成绩进行分析,得到数 学成绩 y 对总成绩 x 的回归直线方程为^ y=6+0.4x.由此可以估计:若两个同学的 总成绩相差 50 分,则他们的数学成绩大约相差________分. 【解析】 令两人的总成绩分别为 x1,x2.

则对应的数学成绩估计为 ^ y1=6+0.4x1,^ y2=6+0.4x2, 所以|^ y1-^ y2|=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20. 【答案】 20

3. 从某居民区随机抽取 10 个家庭, 获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位: 千元) 与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得 ?xi=80, ?yi=20, ?xiyi=184, ?x
i =1 i=1 i=1 i=1 2 i =720. 10 10 10 100

(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

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i=1

?xiyi-n x y ?x2 i -n x 2
n

n

附:线性回归方程 y=bx+a 中,b=

,a= y -b x ,其中 x ,

i =1

^x+a ^. y 为样本平均值,线性回归方程也可写为^ y =b 【解】 1 n 80 (1)由题意知 n=10, x =n ?xi=10=8,
i=1

1 n 20 y =n ?yi=10=2,
i =1

又 lxx= ?xi2-n x 2=720-10×82=80,
i=1

n

lxy= ?xiyi-n x y =184-10×8×2=24,
i=1

n

lxy 24 由此得 b=l =80=0.3,a= y -b x =2-0.3×8=-0.4.
xx

故所求线性回归方程为 y=0.3x-0.4. (2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b=0.3>0), 故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y=0.3×7-0.4=1.7(千 元).

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