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数列通项公式的十种求法[1]

时间:2013-07-26


数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1

已知数列 {an } 满足 an ?1

? 2an ? 3 ? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

an?1 an 3 a a a 3 ? n ? ,则 n?1 ? n ? ,故数列 { n } 是以 n ?1 n ?1 n 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a1 2 3 ? ? 1 为首项,以 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 n ? 1 ? (n ? 1) ,所以数 n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
解: an ?1

? 2an ? 3 ? 2n 两边除以 2n?1 ,得

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1

? 2an ? 3 ? 2n 转化为

an?1 an 3 a ? n ? ,说明数列 { n } 是 n ?1 2 2 2 2n

等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出

an 3 ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 {an } 的通项公式。 n 2 2

二、累加法

例2

已知数列 {an } 满足 an ?1

? an ? 2n ? 1,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:由 an ?1

? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 2[( n ? 1) ? ( n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? ( n ? 1) ? 1 (n ? 1) n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)( n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an

? n2 。

评注:本题解题的关键是把递推关系式

an?1 ? an ? 2n ? 1 转 化 为 an?1 ? an ? 2n ? 1 , 进 而 求 出

(an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。

例3

已知数列 {an } 满足 an ?1

? an ? 2 ? 3n ? 1,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n







an?1 ? an ? 2 ?

? 3



1

an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1



an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1
所以 an

? 3n ? n ? 1. ? an ? 2 ? 3n ? 1 转化为 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,进而求出

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。
例4 已知数列 {an } 满足 an ?1

? 3an ? 2 ? 3n ? 1,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

解: an ?1

? 3an ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3n?1 ,得

an?1 an 2 1 ? ? ? 3n?1 3n 3 3n?1





an?1 an 2 1 ,故 ? ? ? 3n?1 3n 3 3n ?1

an an a a an ? 2 an ? 2 an ?3 a2 a1 a ? ( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ( n ? 2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 n 3 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an



2 1 1 ? ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2
? 3an ? 2 ? 3n ? 1 转化为

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1

an?1 an 2 1 ? ? ? 3n?1 3n 3 3n ?1

,进而求

出(

an an ?1 an ?1 an ?2 an ?2 an ?3 a2 a1 a ? an ? ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ?2 ) ? ( n ?2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 ,即得数列 ? n ? 的通项公 n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ?3 ?

式,最后再求数列 {an } 的通项公式。 三、累乘法 已知数列 {an } 满足 an ?1

例5

? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:因为 an ?1

? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2( n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n( n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1)? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3? 2
n ?1 n ( n ?1) 2

?5

? n!

所以数列 {an } 的通项公式为 an

? 3 ? 2n?1 ? 5

n ( n ?1) 2

? n!.
an ?1 n ? 2(n ? 1)5 ,进而求出 an

评注:本题解题的关键是把递推关系

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ? an 转化为

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 an ?1 an ? 2 a2 a1
例6 (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。
解:因为 an

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an?1 (n ? 2)




所以 an ?1

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 ? nan ? nan .

用②式-①式得 an ?1 ? an

则 an ?1

? (n ? 1)an (n ? 2)



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an ? an an ?1 a n! ? ?? ? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ?? ? 4 ? 3]a2 ? a2 . an ?1 an ? 2 a2 2

所以 an



由 an

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) , 取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知

a1 ? 1 ,则 a2 ? 1 ,代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ?
所以, {an } 的通项公式为 an

n! 。 2

?

n! . 2
? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1

an ?1 ? n ? 1(n ? 2) ,进而求出 an

an an ?1 a ? ?? ? 3 ? a2 ,从而可得当 n ? 2时,an 的表达式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 an ?1 an ? 2 a2
四、待定系数法 例7 已知数列 {an } 满足 an ?1

? 2an ? 3 ? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。


解:设 an ?1 ? x ? 5

n ?1

? 2(an ? x ? 5n )

将 an ?1 得

? 2an ? 3 ? 5n 代入④式,得 2an ? 3 ? 5n ? x ? 5n ?1 ? 2an ? 2 x ? 5n ,等式两边消去 2an ,
, 两 边 除 以 ⑤

3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 x ? 5n

5n

, 得

3 ? 5 ? 2则, x ? ?代 入 x x 1,

④ 式 得

an?1 ? 5n ?1 ? 2(an ? 5n )



a1 ? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及 ⑤ 式 得 an ? 5 ? 0
1
n

,则

an ?1 ? 5n ?1 ? 2 , 则 数 列 {an ? 5n }是 以 n an ? 5

a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 数列 {an

? 2an ? 3 ? 5n 转化为 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n ) ,从而可知

? 5n } 是等比数列,进而求出数列 {an ? 5n } 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。

例8

已知数列 {an } 满足 an ?1
n ?1

? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。


解:设 an ?1 ? x ? 2

? y ? 3(an ? x ? 2n ? y )

将 an ?1

? 3an ? 5 ? 2n ? 4 代入⑥式,得

3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n ?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)
整理得 (5 ? 2 x) ? 2
n

? 4 ? y ? 3 x ? 2n ? 3 y 。

令?

?5 ? 2 x ? 3 x ?x ? 5 ,则 ? ,代入⑥式得 ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2


an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)
由 a1 ? 5 ? 2
1

? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式,

得 an

? 5 ? 2n ? 2 ? 0 ,则

an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3, an ? 5 ? 2n ? 2
3 为公比的等比数列,因此

故数列 {an

? 5 ? 2n ? 2}是以 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13为首项,以

n an ? 5 ? 2n ? 2 ? 13? 3 ?1 ,则 an ? 13 ? 3n ?1 ? 5 ? 2n ? 2 。

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1

? 3an ? 5 ? 2n ? 4 转化为

an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ,从而可知数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列,进而求出数
列 {an

? 5 ? 2n ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。
已知数列 {an } 满足 an ?1

例9

? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。


解:设 an ?1 ? x(n ? 1)

2

? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z )

将 an ?1

? 2an ? 3n 2 ? 4n ? 5 代入⑧式,得

2an ? 3n 2 ? 4n ? 5 ? x(n ? 1) 2 ? y (n ? 1) ? z ? 2(an ? xn 2 ? yn ? z ) ,则

2an ? (3 ? x)n 2 ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2 xn 2 ? 2 yn ? 2 z
等式两边消去 2an ,得 (3 ? x)n
2

? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2 xn 2 ? 2 yn ? 2 z ,

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ? 2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?
an ?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n 2 ? 10n ? 18)
由 a1 ? 3 ?1
2



? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 0

an ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n 2 ? 10n ? 18} 为以 则 2 an ? 3n ? 10n ? 18
a1 ? 3 ?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n? 4 ? 3n2 ? 10n ? 18 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1

? 2an ? 3n 2 ? 4n ? 5 转化为

an ?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n 2 ? 10n ? 18) ,从而可知数列

{an ? 3n 2 ? 10n ? 18} 是等比数列,进而求出数列 {an ? 3n 2 ? 10n ? 18} 的通项公式,最后再求出数
列 {an } 的通项公式。 五、对数变换法 已知数列 {an } 满足 an ?1
5 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

例 10

解:因为 an ?1 数得 lg an ?1

5 5 ? 2 ? 3n ? an,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。在 an?1 ? 2 ? 3n ? an 式两边取常用对

? 5lg an ? n lg 3 ? lg 2



设 lg an ?1 ? x(n ? 1) ?

y ? 5(lg an ? xn ? y)

11 ○

将⑩式代入○ 11式,得 5lg an

? n lg 3? lg 2? x (n ? 1)? y ? 5(lgan ? xn ? y ),两边消去 5lg an 并

整理,得 (lg3 ? x)n ? x ?

y ? lg 2 ? 5xn ? 5 y ,则

lg 3 ? ?x ? 4 ?lg 3 ? x ? 5 x ? ,故 ? ? ? x ? y ? lg 2 ? 5 y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
代入○ 11式,得 lg an ?1 ? 由 lg a1 ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) 4 16 4 4 16 4

12 ○

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及12式, ○ 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ? 0, 4 16 4

得 lg an

?

lg an ?1 ?


lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ?5, lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? n? ? 4 16 4
?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 为首项, 5 为公比的等比数列, 以 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n?1 则 lg an ? n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg an

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1

? (lg 7 ? lg 3 4 ? lg 3 6 ? lg 2 4 )5n ?1 ? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7
5 n ?1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 n 1 1

?3

5n?1 ? n 4

?3

5n?1 ?1 16

?2 )

5n?1 ?1 4

)

? lg(75 n ?1 ? 3

5 n ? 4 n ?1 16

?2

5n?1 ?1 4

则 an

?7

5n?1

?3

5 n ? 4 n ?1 16

?2

5n?1 ?1 4


5 ? 2 ? 3n ? an 转化为

评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an ?1

lg an ?1 ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ,从而可知数列 4 16 4 4 16 4

{lg an ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 是等比数列,进而求出数列 {lg an ? n? ? } 的通项公式, 4 16 4 4 16 4

最后再求出数列 {an } 的通项公式。 六、迭代法
3( ? an n ?1)2 ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

例 11

已知数列 {an } 满足 an ?1
3( ? an n ?1)2

解:因为 an ?1

n

,所以 an

3 n? ? an ?12

n?1

3( ? [an ?n2?1)?2 ]3n?2

n?2

n?1

3 ? an ?(2n ?1)?n?2
2

( n? 2 )?( n?1)

3( ? [an ?n ? 2)?2 ]3 3
3

n ?3

2

( n ?1)?n?2( n?2 )?( n?1)
( n?3)?( n ? 2 )?( n ?1)

3 ? an ?(3n ? 2)( n ?1) n?2

?? ? a13 ?a
n?1

?2?3??( n ? 2)?( n ?1)?n?21? 2????( n?3)?( n?2 )?( n?1)
n ( n?1) 2

3n?1 ?n!?2 1

又 a1

? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 53

n?1

?n!?2

n ( n?1) 2


3( ? an n ?1)2

评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 an ?1

n

两边取常用

对 数 得

l g n ?1 ? 3 ? ? 1n)? 2an a n(

l即 , g

lg an ?1 ? 3(n ? 1)2n lg an
n ( n?1) 2

, 再 由 累 乘 法 可 推 知

lg an ?

n?1 lg an lg an ?1 lg a3 lg a2 ? ?? ? ? ? lg a1 ? lg 53 ?n!?2 lg an ?1 lg an ? 2 lg a2 lg a1

,从而 an

?5

3n?1 ?n!?2

n ( n ?1) 2



七、数学归纳法

例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1

? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1

? an ?

8(n ? 1) (2n ? 1) 2 (2n ? 3) 2

及 a1

?

8 ,得 9

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ? 1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
? (2n ? 1) 2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1) 2 (2 ?1 ? 1) 2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1) 2 9 (2k ? 1) 2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1) 2

由此可猜测 an

(1)当 n ? 1 时, a1

?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak

?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ? ? ? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2( k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1)(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。 ,
*

评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项,进而猜出数列的通项公式,最后再 用数学归纳法加以证明。 八、换元法

例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1

?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16 ? 1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn

? 1 ? 24an

,则 an

故 an ?1

?

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
即 4bn ?1
2

? (bn ? 3) 2

因为 bn

? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn ?1 ? 1 ? 24an ?1 ? 0

则 2bn ?1

1 3 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? bn ? , 2 2 1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数列,因 2

可化为 bn ?1 ? 3 ?

所以 {bn 此 bn

? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以

1 1 1 1 ? 3 ? 2( )n ?1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ?2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n?2 ? 3 ,得 2 2 2 2

2 1 1 1 an ? ( )n ? ( ) n ? 。 3 4 2 3
评注:本题解题的关键是通过将 式,从而可知数列 {bn 项公式。 九、不动点法

1 ? 24an

的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化 bn ?1

1 3 ? bn ? 形 2 2

? 3} 为等比数列,进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通

例 14

已知数列 {an } 满足 an ?1

?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x

?

21x ? 24 21x ? 24 2 ,得 4 x ? 20x ? 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 的两 4x ? 1 4x ?1

个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1

。 所 以 数 列

? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( ) n?1 ,则 ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?

an ?

1 ?3。 13 n ?1 2( ) ? 1 9

评注:本题解题的关键是先求出函数

f ( x) ?

21x ? 24 4x ?1

的不动点,即方程

x?

21x ? 24 4x ? 1

的两个根

x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

? an ? 2 ? an ?1 ? 2 13 an ? 2 ? ? ,从而可知数列 ? ? 为等比数列,再求出 an ?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 an ? 3 ? ?

例 15

已知数列 {an } 满足 an ?1

?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

解:令 x

?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7
7an ? 2 5a ? 5 ?1 ? n ,所以 2an ? 3 2an ? 3

因为 an ?1 ? 1 ?

2 1 1 1 an ? ( )n ? ( ) n ? 。 3 4 2 3
评注:本题解题的关键是通过将 式,从而可知数列 {bn 项公式。 九、不动点法

1 ? 24an

的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化 bn ?1

1 3 ? bn ? 形 2 2

? 3} 为等比数列,进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通

例 14

已知数列 {an } 满足 an ?1

?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x

?

21x ? 24 21x ? 24 2 ,得 4 x ? 20x ? 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 的两 4x ? 1 4x ?1

个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1

。 所 以 数 列

? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( ) n?1 ,则 ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?

an ?

1 ?3。 13 n ?1 2( ) ? 1 9

评注:本题解题的关键是先求出函数

f ( x) ?

21x ? 24 4x ?1

的不动点,即方程

x?

21x ? 24 4x ? 1

的两个根

x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

? an ? 2 ? an ?1 ? 2 13 an ? 2 ? ? ,从而可知数列 ? ? 为等比数列,再求出 an ?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 3 ?

例 15

已知数列 {an } 满足 an ?1

?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

解:令 x

?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7
7an ? 2 5a ? 5 ?1 ? n ,所以 2an ? 3 2an ? 3

因为 an ?1 ? 1 ?


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