nbhkdz.com冰点文库

黑龙江省哈三中2012届高三第三次模拟考试 数学理

时间:2012-05-11


2012 届四校联考第三次高考模拟考试 数学试卷(理工类) 数学试卷(理工类)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第I卷

(选择题, 共 60 分) 选择题

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题 本大题共 项是符合题目要求的. 项是符合题目要求的.) 1. 已知复数 z1 = 1 ? 3i , z 2 = 2 3 ? 2i ,则 z1 ? z 2 等于 A. 8 B. ? 8 C. 8i D. ? 8i 高考资源 2. 若偶函数 f (x ) 在 (? ∞,?1] 上是增函数,则下列关系式中成立的是 A. f ( ? ) < f ( ?1) < f ( 2)

3 2 3 3 C. f ( 2) < f ( ?1) < f ( ? ) D. f ( 2) < f ( ? ) < f ( ?1) 2 2 ? 1 3? ? 3. 已知角 2α 的顶点在原点, 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边过 ? ? , ? 2 2 ? , 2α ∈ [0, 2π ) ? ? 则 tan α = 3 3 A. ? 3 B. 3 C. D. ± 3 3 4. 已知 P 为边长为 2 的正方形 ABCD 及其内部一动点,若 ?PAB, ?PBC 平积均不大于 1 ,则
B. f ( ?1) < f ( ? ) < f ( 2)

3 2

AP ? BP 取值范围是
A. ? , ? ?2 2 ?

?1 3 ?

B. (? 1,2 )

C. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

D. [? 1,1]

5. 已知某几何体的正视图和侧视图均为边长为 1 的正方形,则这个几何体的体积不可能是 A.

1 2

B.

π
4

C. 1

D.

π
3

6. 同时抛掷三颗骰子一次,设 A = “三个点数都不相同”, B = “至少有一个 6 点”则 P ( B | A) 为 A.

1 2

B.

60 91

C.

5 18

D.

91 216

7. 右平的程序框图表示求式子

2 3 × 5 3 × 113 × 233 × 47 3 × 95 3
届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类) 2012 届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类)

开始

的值, 则判断框内可以填的条件为 A. i ≤ 90 ? B. i ≤ 100 ? C. i ≤ 200 ? D. i ≤ 300 ? 8. 下列命题中正确的是 A. 函数 y = sin x, x ∈ [0,2π ]是奇函数 B. 函数 y = 2 sin( C. 函数 y = 2 sin(
S=1,i =2 否 是 S = S×i
3

i =2 i + 1

输出 S 结束

π

? π? ? 2 x) 在区间 ?0, ? 上是单调递增的 6 ? 3? 3
? x) ? cos(

π

π
6

+ x)( x ∈ R ) 的最小值是 ? 1

D. 函数 y = sin πx ? cos πx 是最小正周期为 2 的奇函数

x2 y2 9. 已知 F1 , F2 分别是双曲线 2 ? 2 = 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线 a b
交于 A, B 两点,若 ?ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 A. ?1,1 +

? ? ?

2? ? 2 ? ?

B. ?1 +

? ? ?

? 2 ,+∞ ? ? 2 ?

C. 1,1 +

(

2

)

D. 1 +

(

2 ,+∞

)

10. 如图, D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域, 是 D 内位于函数 y = 设 E

1 (x > 0) 图象下 x

方的区域(阴影部分) ,从 D 内随机取一个点 M,则点 M 取自 E 内的概率为

ln 2 2 1 + ln 2 C. 2
A.

1 ? ln 2 2 2 ? ln 2 D. 2
B.

11. 已 知 抛 物 线 C : y = ax 2 ( a > 0) 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为

1 , 且 C 上的两点 4

1 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 关于直线 y = x + m 对称, 并且 x1 x 2 = ? , 那么 m = 2 3 5 A. B. C. 2 D. 3 2 2 ?kx + 1, x ≤ 0, 则下列关于函数 y = f [ f ( x) ] + 1 的零点个数的判断正确 12. 已知函数 f ( x) = ? ? ln x, x > 0 .
届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类) 2012 届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类)

的是 A. 当 k > 0 时,有 3 个零点;当 k < 0 时,有 2 个零点 B. 当 k > 0 时,有 4 个零点;当 k < 0 时,有 1 个零点 C. 无论 k 为何值,均有 2 个零点 D. 无论 k 为何值,均有 4 个零点

第 Ⅱ卷

(非选择题, 共 90 分) 非选择题

小题, 将答案填在答题卡相应的位置 ) 答题卡相应的位置上 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. 填空题(
1 ? 1 ? ? 3 x 3 + x 2 ? 展开式的 x 2 项的系数是_____________ 13. 求 ? ? ? ? 4

14. 已知四平体 P ? ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上,且 PO ⊥ 平平 ABC , 2 AC = 若四平体 P ? ABC 的体积 为

3 AB ,

3 ,则该球的体积为_____________ 2

? x ≥ 0, ? 15. 已知 x, y 满足条件 ? x ? y + 2 ≥ 0, 则 z = x + 3 y 的最大值是____________ ?2 x + y ? 5 ≤ 0. ?
16. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 a cos B ? b cos A =

1 c ,当 2

tan( A ? B ) 取最大值时,角 C 的值为
小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题( ) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n }的前 n 项和为 S n , 满足 S n = n 2 a n ? n 2 ( n ? 1) , 且 a1 = ( Ⅰ( 令 b n =

1 . 2

n +1 S n , 证明: bn ? bn?1 = n(n ≥ 2) ; n

(Ⅱ( 求 {a n }的通项公式. 18. (本小题满分 12 分( 口袋里装有 7 个大小相同的小球, 其中三个标有数字 1, 两个标有数字 2, 一个标有数字 3, 一个标有数字 4. (Ⅰ( 第一次从口袋里任意取一球, 放回口袋里后第二次再任意取一球, 记第一次与第二 次取到小球上的数字之和为 ξ . 当 ξ 为何值时, 其发生的概率最大? 说明理由; (Ⅱ( 第一次从口袋里任意取一球, 不再放回口袋里, 第二次再任意取一球, 记第一次与第 届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类) 2012 届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类)

二次取到小球上的数字之和为η . 求η 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分( 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底平是正方形, PD ⊥ 底平ABCD ,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ( 求证:平平 AEC ⊥ 平平 PDB ; ( Ⅱ( 出 当 PD =

2 AB ,且直线 AE 与平平 PBD 成角为 45o 时,确定点 E 的位置,即求

PE 的值. EB

P

E

D

C

A

B

20. (本小题满分 12 分( 在平平直角坐标系中,已知 A1 ?
2

(

2 ,0 , A2

) (

2 ,0 , P ( x, y ), M ( x,1), N ( x,?2 ) ,若实数 λ 使

)

得 λ OM ? ON = A1 P ? A2 P ( O 为坐标原点). (Ⅰ( 求 P 点的轨迹方程,并讨论 P 点的轨迹类型;[来源:学科网] (Ⅱ( 当 λ =

2 时,是否存在过点 B (0,2 ) 的直线 l 与(Ⅰ(中 P 点的轨迹交于不同的两 2

点 E , F ( E 在 B, F 之间) ,且[

S ?OBE > 1 . 若存在, 求出该直线的斜率的取值范围, S ?EOF

若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 12 分( 已知函数 g ( x) = x 2 ? ( 2a + 1) x + a ln x (Ⅰ( 当 a = 1 时, 求函数 g ( x) 的单调增区间; (Ⅱ( 求函数 g ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值; (III( 在(Ⅰ(的条件下,设 f ( x) = g ( x) + 4 x ? x 2 ? 2 ln x ,

届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类) 2012 届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类)

证明:

1 3n 2 ? n ? 2 > ∑ k ? f (k ) n(n + 1) (n ≥ 2) .参考数据: ln 2 ≈ 0.6931 . k =2
n

三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 内接于⊙ O , AB 是⊙ O 的直径, PA 是过 点 A 的直线, 且 ∠PAC = ∠ABC . (Ⅰ( 求证: PA 是⊙ O 的切线; (Ⅱ(如果弦 CD 交 AB 于点 E , AC = 8 ,
A E P C

.

O

B

CE : ED = 6 : 5 , AE : EB = 2 : 3 , 求 sin ∠BCE .
23. (本小题满分 10 分( 选修 4-4:坐标系与参数方程

D

在直角坐标系 xOy 中, 过点 P ( 于不同的两点 M , N . (Ⅰ( 写出直线 l 的参数方程;

3 3 , ) 作倾斜角为 α 的直线 l 与曲线 C : x 2 + y 2 = 1 相交 2 2

(Ⅱ( 求

1 1 + 的取值范围. PM PN

24. (本小题满分 10 分( 选修 4-5:不等式选讲 设不等式 2 x ? 1 < 1 的解集为 M , 且 a ∈ M , b ∈ M . (Ⅰ( 试比较 ab + 1 与 a + b 的大小; (Ⅱ( 设 max A 表示数集 A 中的最大数, 且 h = max ?

? 2 ? a

,

a+b ab

,

2 ? ? , 求 h 的范围. b?

届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类) 2012 届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类)

2012 年四校联考第三次高考模拟考试 数学试卷(理工类)答案及评分标准 数学试卷(理工类)答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 D 5 D A 6 7 B 8 C 9 C 10 C 11 A 12 B

二、填空题: 13. 1 三、解答题: 17. (Ⅰ) S n = n (S n ? S n ?1 ) ? n (n ? 1) ………………………………………
2 2

14. 4 3π

15. 10

16.

π
2
2分

n n +1 S n ?1 = Sn ? n n ?1 n

bn ? bn?1 = n(n ≥ 2)

…………………………………………

6分

(Ⅱ) b1 = 1 , bn ? bn ?1 = n , bn ?1 ? bn ? 2 = n ? 1 , L , b2 ? b1 = 2 累加得

n2 + n bn = 2

………………………………………

10 分

∴ Sn =

n2 2n ? 1 , a n = S n ? S n ?1 = (n ≥ 2 ) …………………… 2 2
1 2n ? 1 2n ? 1 符合 a n = ,∴ a n = 2 2 2

11 分

经检验 a1 =

……………

12 分

18. (Ⅰ)

ξ 可能的取值为 2,3,4,5,6,7,8
1 1 C3C3 9 = 1 1 C 7 C 7 49

P(ξ = 2 ) =

P(ξ = 3) =

1 1 C 3 C 2 × 2 12 = 1 1 49 C7 C7

P(ξ = 4 ) =

1 1 1 1 C 2 C 2 C 3 C1 × 2 10 + = 1 1 1 1 49 C7 C7 C7 C7

P(ξ = 5) =

1 1 1 1 C 2 C1 × 2 C 3 C1 × 2 10 + = 1 1 1 1 49 C7 C7 C7 C7

届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类) 2012 届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类)

P(ξ = 6 ) =

1 1 1 1 C 2 C1 × 2 C1 C1 5 + 1 1 = 1 1 C7 C7 C 7 C 7 49

P (ξ = 7 ) =

2 2 = 1 C C 7 49
1 7

P (ξ = 8) =

1 1 = 1 C C 7 49
1 7

……………………………

6分

(Ⅱ) η 可能的取值为 2,3,4,5,6,7,

…………………………

7分

P (ξ = 2 ) = P (ξ = 5) =

C 32 1 = C 72 7
1 1 C3 + C 2 5 = 2 21 C7

P (ξ = 3) =

1 1 C3 C 2 2 = 7 C 72 1 C2 2 = 2 C 7 21

P (ξ = 4 ) =

1 2 C3 + C 2 4 = 2 21 C7

P (ξ = 6 ) =

P (ξ = 7 ) =

1 21
7

η
P

2

3

4

5

6

1 7

2 7

4 21

5 21

2 21

1 21
11 分 12 分

……………………………

E (ξ ) = 4
19. (Ⅰ)设 AC 交 BD 于 O ,连接 OE

……………………………

Q PD ⊥ 平平 ABCD ,∴ PD ⊥ AC ,Q BD ⊥ AC
∴ AC ⊥ 平平 PBD ,又 AC ? 平平 AEC ,∴ 平平 ACE ⊥ 平平 PBD …………… 6 分
(Ⅱ)以 DA 为 x 轴, DC 为 y 轴, DP 为 z 轴建立空间直角坐标系,
P

z

如图 平平 BDE 法向量为 n = (1,?1,0 ) ,
E

设 PD =

2 AB = 2 , E 2λ , 2λ ,2 ? 2λ

(

)
x
A

D
O

y
C

PB = ( 2 , 2 ,?2) ,令 PE = λ PB ,

B

届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类) 2012 届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类)

则 AE =

(

2λ ? 2 , 2λ ,2 ? 2λ ,

)

| AE ? n | AE n

=

2 2 ,

得λ =

1 PE 或 λ = 1 (舍) , = 1 ,……………… 12 分 2 BE

20. (Ⅰ) 化简得: 1 ? λ2 x 2 + y 2 = 2 1 ? λ2 ① λ = ±1 时方程为 y = 0 轨迹为一条直线 ② λ = 0 时方程为 x 2 + y 2 = 2 轨迹为圆 ③ λ ∈ (? 1,0 ) ∪ (0,1) 时方程为

(

)

(

)

x2 y2 + = 1 轨迹为椭圆 2 2 1 ? λ2

(

)

x2 y2 ? = 1 轨迹为双曲线.……… 6 分 ④ λ ∈ (? ∞,?1) ∪ (1,+∞ ) 时方程为 2 2 λ2 ? 1

(

)

(Ⅱ(Q λ =

2 x2 ,∴ P 点轨迹方程为 + y2 = 1. 2 2

S ?OBE : S ?OBF = x1 : x 2

由已知得

x1 S ?OBE 1 x1 > 1, 则 > 1, ∴ < < 1. S ?OBF ? S ?OBE x 2 ? x1 2 x2

设直线 EF 直线方程为 y = kx + 2 ,联立方程可得: 1 + 2k 2 x 2 + 8kx + 6 = 0

(

)

? > 0,∴ k 2 >
x1 + x 2 = ?

x1 x 3 , Q x1 , x 2 同号 ∴ = 1 2 x2 x2
………………………… 8 分

8k 6 , x1 x 2 = 2 1 + 2k 1 + 2k 2
2

x1 (x1 + x2 ) (m + 1)2 32k 2 ? 9 ? 设 = m, 则 = = ∈ ? 4, ? x2 x1 x 2 m 3 + 6k 2 ? 2 ?
? 6 3 30 ? ? 3 30 3 27 6? ? ∪ ?? ? …………………… 12 分 < k2 < , k ∈? , ,? ? 2 2 10 10 ? ? 10 2 ? ? ? ? ?
21. (Ⅰ)当 a = 1 时, g ( x ) = x ? 3 x + ln x , g ′( x ) =
2

2 x 2 ? 3x + 1 >0 x

届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类) 2012 届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类)

x > 1或 x <

1 1 。函数 f (x ) 的单调增区间为 (0, ), (1,+∞) ……………… 3 分 2 2

(Ⅱ) g ( x) = x 2 ? ( 2a + 1) x + a ln x ,

g ′( x) = 2 x ? (2a + 1) +

a 2 x 2 ? (2a + 1) x + a (2 x ? 1)( x ? a ) = = =0 x x x

当 a ≤ 1 , x ∈ [1, e], g ′( x) ≥ 0, g ( x) 单调增. g ( x) min = ?2a 当 1 < a < e , x ∈ (1, a ), g ′( x) < 0, g ( x) 单调减. x ∈ ( a, e), g ′( x) > 0, g ( x) 单调增。

g ( x) min = g (a ) = ? a 2 ? a + a ln a
2 当 a ≥ e , x ∈ [1, e], g ′( x) ≤ 0, g ( x) 单调减, g ( x ) min = g (e) = e ? ( 2a + 1)e + a

? 2a , a ≤ 1 ? ? 2 g ( x) = ?? a ? a + a ln a,1 < a < e ………………………………………… 8 分 ? e 2 ? (2a + 1)e + a, a ≥ e ?
(Ⅲ)令 h( x ) = ln x ?

1 2 ( x ? 1) , 4 2 ? x2 <0 2x
∴ h( x) ≤ h(2) = ln 2 ?

Q x ∈ [2,+∞ ) ,
ln x < 1 2 ( x ? 1) 4

h ′( x) = ∴

3 <0 4



1 4 1 1 > = 2( ? ) ln x ( x ? 1)( x + 1) x ?1 x +1

k ? f (k ) = ln k ,
n 1 1 1 1 1 =∑ ∑ k ? f (k ) k =2 ln k = ln 2 + ln 3 + L ln n > k =2 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2(1 ? + ? L + ? + ? ) > 2(1 + ? ? )= 3 2 4 n ? 2 n n ?1 n +1 2 n n +1

3n 2 ? n ? 2 (n ≥ 2) n(n + 1)

……………………………………… 12 分

22. (Ⅰ)证明: AB 为直径,∴ ∠ACB =

π
2

,

∠CAB + ∠ABC = 2

π


Q ∠PAC = ∠ABC ∴ ∠PAC + ∠CAB =

π

2

∴ PA ⊥ AB, AB 为直径,∴ PA 为圆的切线 …………………… 4 分
(Ⅱ) CE = 6k , ED = 5k , , AE = 2m, EB = 3m 届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类) 2012 届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类)

Q AE ? EB = CE ? ED ? m = 5k BD 3m Q ?AEC ∽ ?DEB ? = ? BD = 4 5 8 6k BC 2 25m 2 ? 64 3k 2 5 Q ?CEB ∽ ?AED ? = = ( ) 2 ? m = 2, k = 2 2 m 5 AD 25m ? 80 BD 4 5 2 5 ∴ AB = 10, BD = 4 5 在直角三角形 ADB 中 sin ∠BAD = = = AB 10 5
Q ∠BCE = ∠BAD ∴ sin ∠BCE =

2 5 …………………… 10 分 5

? 3 ? ? x = 2 + t cos α 23. (Ⅰ) ? ? y = 3 + t sin α ? 2 ? ? 3 ? ? x = 2 + t cos α (Ⅱ) ? ? y = 3 + t sin α ? 2 ?

(t 为参数)…………………………………… 4 分

(t 为参数)代入 x 2 + y 2 = 1 ,得

t 2 + ( 3 cos α + 3 sin α )t + 2 = 0 , ? > 0 ? sin( α +

π
6

)>

6 3

1 1 1 1 t +t ( 3 cos α + 3 sin α ) π + = + = 1 2 = = 3 sin(α + ) ∈ PM PN t1 t 2 t1t 2 2 6
24.(Ⅰ) M = {x | 0 < x < 1 } , a, b ∈ M ,

(

2, 3

]

…………………………………10 分

∴ 0 < a < 1,0 < b < 1 ab + 1 ? a ? b = (a ? 1)(b ? 1) > 0 ……………………………………… 4 分 ∴ ab + 1 > a + b

(Ⅱ) h ≥

2 a

,h ≥

a+b ab

,h ≥

2 b

4(a + b) 4(a 2 + b 2 ) 4 × 2ab h ≥ > ≥ =8 ab ab ab
3

h ∈ (2,+∞ ) ………………………………………… 10 分

届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类) 2012 届四校联考第三次高考模拟考试数学试卷(理工类)


赞助商链接

黑龙江省哈三中2017届高三第四次模拟考试(数学理)(含答...

黑龙江省哈三中2017届高三第次模拟考试(数学理)(含答案)word版 - 2017 年哈尔滨三中第次模拟考试 数学(理科)试题 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) ...

...黑龙江省哈三中2012届高三第三次模拟考试_数学文_免...

(赵先举收集整理)黑龙江省哈三中2012届高三第三次模拟考试_数学文 隐藏>> 2012 届四校联考第三次高考模拟考试 数学试卷(文史类)考试说明:本试卷分第 I 卷(选...

黑龙江省哈三中2014届高三第三次高考模拟考试_数学理_W...

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 黑龙江省哈三中2014届高三第三次高考模拟考试_数学理_Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。黑龙江省哈尔滨市第三中...

黑龙江省哈三中2018届高三第三次模拟考试数学(理)试卷(...

黑龙江省哈三中2018届高三第三次模拟考试数学(理)试卷(含答案) - 2018 年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试 数学试卷(理工类) 考试说明:本试卷分第 I 卷(...

黑龙江省哈三中2014届高三第三次高考模拟考试 数学理 W...

暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 黑龙江省哈三中2014届高三第三次高考模拟考试 数学理 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。黑龙江省哈尔滨市第三中学 201...

黑龙江省哈三中2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题...

黑龙江省哈三中2015届高三第次模拟考试数学(理)试题含答案(免费下载) - 哈尔滨三中 2015 年第次模拟考试 数学试卷(理工类) 第I卷 求的.) 1. 集合 P ?...

2018届黑龙江省哈三中高三下学期第一次高考模拟理科数...

2018届黑龙江省哈三中高三下学期第一次高考模拟理科数学试题及答案 - 哈三中 2018 届高三下学期第一次高考模拟 数学理试题 考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)...

黑龙江省哈三中2017届高三上学期期中考试 数学(理)(含...

暂无评价|0人阅读|0次下载 黑龙江省哈三中2017届高三上学期期中考试 数学(理)(含答案)word版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。黑龙江省哈三中2017届高三上学期...

2010年黑龙江省哈三中四校联考高三第三次模拟考试(数学...

黑龙江省哈三中2012届高三... 7页 2财富值喜欢此文档的还喜欢 ...2010年黑龙江省哈三中四校联考高三第三次模拟考试(数学理)扫描版 去年的东西...

黑龙江省哈三中2014届上学期高三年级第三次验收考试数...

黑龙江省哈三中2014届上学期高三年级第三次验收考试数学试卷(理科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。黑龙江省哈三中2014届上学期高三年级第三次验收考试数学试卷(理...