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等差数列前n项和(第一课时) 课件

时间:2012-12-23


复习回顾 (1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=(an-am)/(n-m) (2) 等差数列的性质: 等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq

泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃 所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而 成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界 七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案 之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相 同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层 (见左图),奢靡之程度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

想一想
每一层有一颗宝石,从第1层到100层总共有 多少颗? 1+2+3+……+99+100?

这个问题,德国著名数学家高斯10岁时曾很快 求出它的结果。(你知道应如何算吗?)
高斯将这100个数分成50组(1+100), (2+99),(3+98),…… ,(50+51), 而每组两数之各都等于101,因此, 1+2+3+……+100=101×50=5050。

一、数列前n项和的意义 数列{an}:a1,a2 ,a3
,?,a n

,?

我们把a1+a2 + a3 + … + an叫做 数列{an}的前n项和,记作Sn

议一议
二、等差数列的前n项和公式推导
问题1:设等差数列 an ? 的首项为 a1 ,第n项是 an ?

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ?
问题2:设等差数列 ?an ?的首项为 a1 ,公差为 d

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ?

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?2 ? an?1 ? an

Sn ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a3 ? a2 ? a1
两式左右分别相加,得

2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an ?1 ) ? (a3 ? an ?2 ) ? ? ? (an ?2 ? a3 ) ? (an ?1 ? a2 ) ? (an ? a1 )
2Sn ? n(a1 ? an )

联想:
a1
n

an

n(a1 ? an ) Sn ? 2

a1

n

na1

n(n ? 1) d 2

a1 (n ? 1)d an ? a1 ? (n ?1)d

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

我国数列求和的概念起源很早, 到南北朝时,张丘建始创等差 数列求和解法。他在《张丘建 算经》中给出等差数列求和问题: 例如:今有女子不善织布,每天所 织的布以同数递减,初日织五尺, 末一日织一尺,共织三十日,问共织几何?

原书的解法是:“并初、末日织布数,半之 再乘以织日数,即得”

练一练
1.根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an} 的前n项和Sn

(1)a1 ? ?4, n ? 8, d ? 2;

解: (1) S ? 8 ? (?4) ? 8 ? 7 ? 2 ? 24 8 2 20(a1 ? a20 ) (2) S 20 ? ? 10 ? (14 ? 32) ? 460 2 9(a1 ? a9 ) (3) S9 ? ? 9a5 ? 9 ? 20 ? 180 2

(2)a1 ? 14, n ? 20, an ? 32 (3)a5 ? 20, n ? 9

例1.2000年11月14日教育部下发了<<关于 在中小学实施“校校通”工程的通知>>.某 市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标:从2001年起用10年时间,在全市中小学 建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市 用于”校校通”工程的经费为500万元.为 了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资 金比上一年增加50万元.那么从2001年起的 未来10年内,该市在”校校通”工程中的总 投入是多少?

解:设从2001年起第n年投入的资金为an, 根据题意,数列{an}是一个等差数列,其 中 a1 ? 500, d ? 50 那么,到2010年(n=10),投入的资金总额 为
10 ? 9 S10 ? 10 ? 500 ? ? 50 ? 7250(万元) 2

答: 从2001年起的未来10年内,该市在” 校校通”工程中的总投入是7250万元

例2 等差数列-10,-6,-2,2,…前 多少项的和是54?
分析:本题实质是反用公式,解一个关于n 的 一元二次函数,注意得到的项数n 必须是正 整数

解:将题中的等差数列记为{an},sn代表该数列
的前n项和,则有a1=-10, d=-6-(-10)=4

设该数列前n 项和为54
n( n - 1) d 根据等差数列前n项和公式: sn = na1 + 2 n( n - 1) 有 - 10n + ? 4 54成立 2 整理后, 得n2 - 6n - 27 = 0

解得

n1=9, n2 =-3(舍去)

因此等差数列-10,-6,-2,2,...前9项的和 是54. 下一页

例3 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.
求前16项的和?
分析:可以由等差数列性质,直接代入前n 项和公式

解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=(16/2 ) × 18=144 答:前16项的和为144。
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?

小结:
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 ------倒序相加法 2.两个重要的前n项和求和公式 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量,可以求其余两个,学 会应用


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