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2015年高考真题--理科数学(新课标1卷)

时间:2015-06-08


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试题类型:A

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1+z (1) 设复数 z 满足 =i,则|z|= 1? z (A)1 (B) 2 (C ) 3 (D)2

(2)sin20°cos10°-con160°sin10°= (A) ?
3 2

(B)

3 2

(C) ?

1 2

(D)

1 2

(3)设命题 P: ? n ? N, n2 > 2n ,则 ? P 为 (A) ? n ? N, n2 > 2n (C) ? n ? N, n2 ≤ 2n (B) ? n ? N, n2 ≤ 2n (D) ? n ? N, n2 = 2n

(4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每 次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概 率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 x2 (5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: ? y 2 ? 1 上的一点,F1、F2 是 C 上的两 2 个焦点,若 MF 1 ? MF 2 <0,则 y0 的取值范围是

-1-

(A) (-

3 3 , ) 3 3
2 2 2 2 , ) 3 3

(B) (-

3 3 , ) 6 6
2 3 2 3 , ) 3 3

(C) (?

(D) (?

(6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有 委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角 处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一 ),米堆为一个圆锥的四分之一),米 堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已 知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有

A.14 斛

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

(7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 =3 ,则 (A) = (C) = + + (B) (D) = = 的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为 ),k ),k (b)( (D)( ),k ),k

(8)函数 f(x)= (A)( (C)(

-2-

(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

(10)

的展开式中,

y?的系数为

(A)10 (B)20 (C)30(D)60 (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的 正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ? ,则 r=

-3-

(A)1(B)2(C)4(D)8

12.设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a 1, 若存在唯一的整数 x0, 使得 f (x0) 0, 则 a 的取值范围是( A.[,1) B. [) , ) C. [ , ) D. [ ,1)

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考 生都必须作答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)若函数 f(x)=xln(x+ a ? x2 )为偶函数,则 a= (14)一个圆经过椭圆 方程为 。 的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准

(15)若 x,y 满足约束条件

则 的最大值为

.

(16)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范围是 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0, (Ⅰ)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设 ,求数列 }的前 n 项和 (18)如图, ,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两 点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。 (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

-4-

(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位: 千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的 年宣传费 x1 和年销售量 y1(i=1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点 图及一些统计量的值。

x

y

w

?
x ?1

1

(x1- x )2

?
x ?1

1

(w1- w )2

?
x ?1

1

( x1 - x )

?
x ?1

1

(w1- w )

(y- y ) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469

(y- y ) 108.8

表中 w1 = x 1,



w =

1 8

? w1
x ?1

1

(1) 根据散点图判断, y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回 归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果回 答下列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)??.. (un 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: vn),其回归线 v= ? ? ? u

-5-

(20) (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y=
x2 与直线 y=ks+a(a>0)交与 M,N 两点, 4

(Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 K 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。 (21) (本小题满分 12 分) 1 已知函数 f(x)= x 3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x 4 (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; ( Ⅱ ) 用 min

?m, n? ? ( x ? 0)

表 示

m,n

中 的 最 小 值 , 设 函 数

h( x) ? min ? f ( x), g ( x)

,讨论 h(x)零点的个数

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。 如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题 号后的方框涂黑。 (22) (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉C 的 Q 切线,BC 交☉O 于 E

(I)

若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是

O 的切线;

(II) 若 OA=

CE,求∠ACB 的大小.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

-6-

在直角坐标系 ? O? 中。直线 C1 : ? = ? 2,圆 C2 : ? ? ? 1? ? ? ? ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点
2 2

为极点, ? 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (I) (II) 求 C1 , C2 的极坐标方程; 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M

, N ,求

C2 MN 的面积

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 =|x+1|-2|x-a|,a>0.

(Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围

-7-

-8-


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