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数列,平面向量,三角恒等变化,解三角形学情检测数学试题 (理科)

时间:2016-07-04

巴中市普通高中 2015 级年段学情检测数学试题(理科)
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 4 页。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷 注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的。 (选择题 共 60 分)

1. sin 160 sin 460 ? cos460 cos160 =( A.
3 2

) D.1

B.

2 2

C.

1 2

2.a=(-1,2) ,b=(1,-1) ,c=(3,-2)用 a、b 作基底可将 c 表示为 c=pa+qb, 则实数 p、 q 的值为 A.p=4 C.p=0 q=1 q=4 B. p=1 q=4 q=0
( ).





D. p=1

3.已知数列{an}满足 an?2 ? an?1 ? an ,若 a1 ? 1, a5 ? 8, 则 a3 ? A.1 B.2 C.3 D.

7 2

4.向量 a=(1,-2) ,向量 a 与 b 共线,且|b|=4|a|.则 b=





A. (-4,8) C. (4,-8)

B. (-4,8)或(4,-8) D. (8,4)或(4,8) ) D. ? 2 cos x ( )

5. 已知 x 为第三象限角,化简 1 ? cos2 x ? ( A.

2 sin x

B. ? 2 sin x

C.

2 cos x

6. . 已知向量 a 和 b 满足|a|=1, |b|= 2 , a⊥ (a+b) . 则 a 与 b 的夹角为 A.30?

B.45? C.75? D.135? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 7. 在△ABC 中, 下列三式: ( AB ? BC ? 0, BC ? CA ? 0, CA ? AB ? 0 中能够成立的个数为
A.至多 1 个 B.有且仅有 1 个



1

C.至多 2 个

D.至少 2 个

8.在各项均为正数的等比数列{an}中, a3 ? a5 ? 4 ,则数列 ?log 2 an ? 的前 7 项和等于
( ). A.7 B.8 C. 2 = C. 2
7

D. 2

8

9. 已知正项数列{an}中, a1 ? 1, a2 ? 2, 2
A.16 B.8

+

(n ? 2) ,则 a6 等于
D.4





→ → → → 10. 在△ABC 中, 已知|AB|=4, |AC|=1, S△ABC= 3 , 则AB· AC等于 A.-2 A.直角三角形 C.等腰三角形 B.2 C.±2 D.±4





11. 在△ABC 中, 若(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 且 sinA=2sinBcosC, 那么△ABC 是





B.等边三角形 D.等腰直角三角形 1 an ? 12.已知数列满足:a1=1,an+1= ,(n∈N*),若 bn+1=(n-λ)? ?an+1?,b1=-λ,且数 an+2 列{bn}是单调递增数列,则实数 λ 的取值范围为 A.λ>2 B.λ>3 C.λ<2 D.λ<3 ( )

第 II 卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 边的中点,且 AB ? a, AD ? b ,则 BE ? ___________. 14.求值: tan 22 ? tan 38 ? 3 tan 22 tan 38 ? _____________。
0 0 0 0

??? ?

??? ?

??? ?

15.如图,在坡度为 15° 的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个 垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端 的仰角分别为 60° 和 30° , 且第一排和最后一排的距离为 10 6米, 则旗杆的高度为_______米. 16. 正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且 4Sn ? an 2 ? 2an , 若数列 ?bn ? 满足 bn ? an ? sin

2n? , 3

?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则 T2016 ?
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题 10 分) 设平面三点 A(1,0) ,B(0,1) ,C(2,5), (1)求向量 2 AB ? AC 的模; (2)求与 BC 垂直的单位向量的坐标.
2

??? ? ????

??? ?

18、 (本小题 12 分)已知 0 ? ? ? (1)求 sin 2? 的值; (2)求 cos(? ?

?

? 1 4 ? ? ? ? , cos( ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? , 2 4 3 5

?
4

) 的值.

19、 (本小题 12 分) 在 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上,已知 cos ?CAD ? (1)求 ?ADC (2)若 AB ? 10, CD ? 6 ,求 BD.

2 5 3 10 , , cos ?C ? 5 10

20、 (本小题 12 分)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 a2 ? a4 ? 18, S7 ? 91,递增 等比数列 ?bn ? 满足 b1 ? bk ? 66, b2bk ?1 ? 128 , k ? 12k ? 35 ? 0( . , k?N )
2 ?

(1). 求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式. (2) 令 cn ?

1 ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn an a n?1

3

21、 (本小题 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c. (1)设向量 x=(sinB,sinC),向量 y=(cosB,cosC),向量 z=(cosB,-cosC),若 z//(x+y), 求 tanB+tanC 的值; (2)若 sinAcosC+3cosAsinC=0,证明: a2 ? c2 ? 2b2 .

22、 (本小题 12 分) 已知数列 ?an ? 的首项为 1, Sn 为数列 ?an ? 前 n 项和, Sn?1 ? qSn ? 1 其中 q ? 0, n ? N .
?

(1). 若 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列,求数列 ?an ? 的通项公式 (2) 令 bn 2 ? an 2 ? 1, 且 b2 ? 并说明理由.

4n ? 3n 5 , 设数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ,试比较 Tn 与 n?1 的大小, 3 3

4

一、选择题:ABCBB
? 1? 二、 填空题: 13.b ? a 2 三、解答题:

DAADC

BC 15. 30

14. 3

?672 3 16.

17、 (本小题 10 分) 答案: (1) 5 2 , 18、 (本小题 12 分)
? ? 7 2 答案: (1) sin 2? ? cos(2? ? ) ? 2 cos ( ? ? ) ? 1 ? ? ;
2 4 9

(2) (

2 5 5 2 5 5 , ? ), (? , ). 5 5 5 5

(2)由 0 ? ? ?

?
2

? ? ?? 得

?
4

???

?
4

?

3? ? 3? , ?? ? ? ? , 4 2 2

? 1 4 又由已知 cos( ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? 4 3 5


? 2 2 3 sin( ? ? ) ? ,cos(? ? ? ) ? ? 4 3 5





c

??

?
4

o?

? ? 8 ? ? ? s ? ? ? ? ? ( ? ) . ? ? 4 ? ?
2 , 2

2

c 1

3

19、 (本小题 12 分) 答案: (1) cos ?ADC ? ? cos(?CAD ? ?C ) ? ? 又 0 ? ?ADC ? ? ,故 ?ADC =
3? ; 4
2 ,在 ?ABD 中,

(2)在 ?ADC 中,由正弦定理得:AD= 3

2 设 BD= x ,由余弦定理得: 10 ? x ? 18 ? 6 2 x cos

?
4



2 即 x ? 6 x ? 8 ? 0 ,解得 x ? 4 或 x ? 2 ,即 BD=4 或 BD=2.
5

20、 (本小题 12 分) 答案: (1) an ? 4n ? 3, bn ? 2 (n ? N ) ;
n ?

(2)设 ?

?

1 ? ? 的前 ? an a n ?1 ?

n 项和为 An ,?an ? bn ? 的前 n 项和为 Bn ,由

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ( ? ) an a n ?1 4 an an ?1 4 4n ? 3 4n ? 1 得:
An ? 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) ,又 4 5 5 9 4n ? 3 4n ? 1 4 4n ? 1

Bn ? 1? 2 ? 5 ? 22 ? 9 ? 23 ? ? ? (4n ? 3) ? 2n 2 Bn ? 1? 22 ? 5 ? 23 ? 9 ? 24 ? ? ? (4n ? 3) ? 2n?1
? Bn ? 2 ? 4(22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (4n ? 3) ? 2n ?1 4(1 ? 2n ?1 ) ? 2 ? 4? ? (4n ? 3) ? 2n ?1 1? 2 ? (7 ? 4n)2n ?1 ? 14
, 即 两式相减得:

Bn ? ( n ?

? 4n?1 ?



7

)

2

故 Tn ? An ? Bn ?

1 1 (1 ? ) ? (4n ? 7) ? 2n ?1 ? 14 . 4 4n ? 1

21、 (本小题 12 分) 答案: (1)由已知得:sinBcosC+sinCcosB=-2cosBcosC, 由已知有 cosBcosC≠0,等式两边同除以 cosBcosC 得 tanB+tanC=-2; (2) 由 已 知 得 : sin(A+C)+2cosAsinC=0, 即

sinB+2cosAsinC=0, 又 由 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 有 :
6

b2 ? c2 ? a 2 2 b ? 2c ? ? 0, 即 a 2bc

? c2 ? 2b2 .

22、 (本小题 12 分)

? Sn?1 ? qSn ? 1 答案: (1)由 ? S ? qS ? 1 ? an ? 2 ? qan ?1 (n ? 1), n ?1 ? n?2
又 S2

? qS1 ? 1 ? a2 ? qa1 ,

? 故 an?1 ? qan 对所有 n ? N 都成立,

所以 ?an ?是以首项为 1,公比为 q 的等比数列,
n ?1 从 而 an ? q , 又 由 2a2 , a3 , a2 ? 2 成 等 差 得

2a3 ? 3a2 ? 2 ? (2q ? 1)(q ? 2) ? 0 ,又 q ? 0, 故 q=2,

所以 an

? 2n?1 (n ? N ? ) ;

4n ? 3n (2) Tn > n?1 ,证明如下: 3

由(1)知

an ? q n?1

,又由已知有

bn 2 ? an 2 ? 1, 故

bn ? 1 ? an 2 ? 1 ? q 2( n ?1) ? q 2( n ?1) ? q n ?1 (n ? N ? )
又 由

b2 ?

5 4 ? 1 ? q2 ? q ? 3 3
2 n ?1





Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ? q ? q ? ? ? q

1 ? q n 4n ? 3n ? ? n?1 1? q 3

7


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