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【创新设计】2015高考数学(北师大版)一轮训练:第4篇 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示]

时间:2015-03-26


第2讲

平面向量基本定理及坐标表示
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2014· 温岭中学冲刺考试)若 e1,e2 是平面内的一组基底,则以下的四组向量 中不能作为一组基底的是 A.e1,2e2 C.-e1+e2,e1-e2 解析 答案 B.e1,e1-e2 D.e1+e2,e1-e2 ( ).

-e1+e2 与 e1-e2 是一组共线向量,不能作为基底. C

→ =3a,则点 B 的坐标 2.(2014· 咸阳模拟)已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3),若AB 为( ). B.(7,14) D.(5,14)

A.(7,4) C.(5,4) 解析

→ =(x+1,y-5). 设点 B 的坐标为(x,y),则AB

x+1=6, ?x=5, → =3a,得? ? 由AB 解得? ?y-5=9, ?y=14. 答案 D

→ =x OA → +y OB → ,且BP → =2 PA →, 3.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP 则 ( ).

2 1 A.x=3,y=3 1 3 C.x=4,y=4

1 2 B.x=3,y=3 3 1 D.x=4,y=4

解析

→ → → → → → → 2→ → 2 → 由题意知OP=OB+BP, 又BP=2 PA, 所以OP=OB+3BA=OB+3(OA

→ )=2OA → +1OB → ,所以 x=2,y=1. -OB 3 3 3 3 答案 A ).

4.(2013· 惠州模拟)已知向量 a= (-1,1),b=(3,m),a∥(a+b),则 m=( A.2 C.-3 解析 =-3. 答案 C B.-2 D.3

a+b=(2,m+1),由 a∥(a+b),得(-1)×(m+1)-2×1=0,解得 m

→ =2PC → ,点 Q 是 AC 的中 5.(2014· 宜春模拟)在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP → =(4,3),PQ → =(1,5),则BC → 等于 点,若PA A.(-2,7) C.(2,-7) 解析 答案 B.(-6,21) D.(6,-21) ( ).

→ =3 PC → =3(2 PQ → -PA → )=6 PQ → -3 PA → =(6,30)-(12,9)=(-6,21). BC B

二、填空题 1 1 6.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则a+b的值为________. 解析 → =(a-2,-2),AC → =(-2,b-2), AB

依题意,有(a-2)(b-2)-4=0, 1 1 1 即 ab-2a-2b=0,所以a+b=2. 答案 1 2

→ =(3,-4),OB → =(0,-3),OC → =(5-m,-3-m),若点 A,B, 7.已知向量OA C 能构成三角形,则实数 m 满足的条件是________. 解析 → =(-3,1),AC → =(2-m,1-m),若 A,B,C 能构成三角形, 由题意得AB

→ ,AC → 不共线,则-3×(1-m)≠1×(2-m),解得 m≠5. 则AB 4

答案

5 m≠4

1 8.(2013· 江苏卷)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD=2AB,BE= 2 → → → 3BC.若DE=λ1 AB+λ2 AC(λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________. 解析 → =DB → +BE → =1AB → +2BC → =1AB → +2(BA → +AC → )=-1AB → +2AC → DE 2 3 2 3 6 3 ,所以 λ1

1 2 =-6,λ2=3, 1 即 λ1+λ2=2. 答案 1 2

三、解答题 9.已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它 们是同向还是反向? 解 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 法一 当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ 使 ka+b=λ(a-3b),由(k

-3,2k+2)=λ(10,-4)得, ?k-3=10λ, 1 ? 解得 k=λ=-3, ?2k+2=-4λ. 1 ∴当 k=-3时,ka+b 与 a-3b 平行, 1 1 这时 ka+b=-3a+b=-3(a-3b). 1 ∵λ=-3<0,∴ka+b 与 a-3b 反向. 法二 ∵ka+b 与 a-3b 平行,

1 ∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得 k=-3, 2 ? 1 ? 1 此时 ka+b=?-3-3,-3+2?=-3(a-3b). ? ?

1 ∴当 k=-3时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向. → =t OA → +t AB →. 10.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM 1 2 (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点都共线. (1)解 → =t OA → +t AB → =t (0,2)+t (4,4)=(4t 2t +4t ).当点 M 在第二或第 OM 1 2 1 2 2, 1 2

?4t2<0, 三象限时,有? ?2t1+4t2≠0, 故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0, (2)证明 → =(4t 4t +2). 当 t1=1 时,由(1)知OM 2, 2

→ =OB → -OA → =(4,4), ∵AB → =OM → -OA → =(4t 4t )=t (4,4)=t AB →, AM 2, 2 2 2 → 与AB → 共线,又它们有公共点 A, ∴AM ∴A,B,M 三点共线. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.(2013· 西安模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设向量 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若 p∥q,则角 C 的大小为 A.30° C.90° 解析 B.60° D.120° ( ).

由 p∥q,得(a+c)(c-a)=b(b-a),

整理得 b2+a2-c2=ab, 由余弦定理得 cos C= a2+b2-c2 1 2ab =2,

又 0° <C<180° ,∴C=60° . 答案 B

2.(2014· 临川模拟)如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,CO 的延长线与线段 BA

→ → → 的延长线交于圆 O 外一点 D,若OC=m OA+n OB,则 m+n 的取值范围是 ( ).

A.(0,1) C.(-∞,-1) 解析

B.(1,+∞) D.(-1,0)

→ =λ BA → (λ>1),则OD → =OB → +λ BA →= 由点 D 是圆 O 外一点,可设BD

→ +(1-λ)OB →. λ OA → =-μ OC → (μ>1), 又 C,O,D 三点共线,令OD → =- λ OA → -1-λOB → (λ>1,μ>1),所以 m=- λ ,n=-1-λ,且 m+n 则OC μ μ μ μ λ 1-λ 1 =-μ- μ =-μ∈(-1,0). 答案 D

二、填空题 → =(1,-2),OB → =(a,-1),OC → =(-b,0),a>0,b>0, 3.(2014· 南京质检)设OA 1 2 O 为坐标原点,若 A,B,C 三点共线,则a+b的最小值为________. 解析 → =OB → -OA → =(a-1,1),AC → =OC → -OA → =(-b-1,2).∵A,B,C 三 AB

→ ∥AC →. 点共线,∴AB ∴2(a-1)-(-b-1)=0,∴2a+b=1. 1 2 ?1 2? ∴a+b=?a+b?(2a+b) ? ? b 4a =4+a+ b ≥4+2 b 4a b 4a · = 8. 当且仅当 a b a= b ,

1 1 1 2 即 b=2,a=4时取等号.∴a+b的最小值是 8.

答案

8

三、解答题 4.如图,已知点 A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以 A,B,C 为顶点的平行四边 形的第四个顶点 D 的坐标.



以 A,B,C 为顶点的平行四边形可以有三种情况:

①?ABCD;②?ADBC;③?ABD C.设 D 的坐标为(x,y), → =DC → ,得 ①若是?ABCD,则由AB (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y), 即(-1,2)=(-1-x,-2-y), ?-1-x=-1, ∴? ∴x=0,y=-4. ?-2-y=2, ∴D 点的坐标为(0,-4)(如题图中所示的 D1). → =AD → ,得 ②若是?ADBC,由CB (0,2)-(-1,-2)=(x,y)-(1,0), 即(1,4)=(x-1,y),解得 x=2,y=4. ∴D 点的坐标为(2,4)(如题图中所示的 D2). → =CD → ,得 ③若是?ABDC,则由AB (0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2).解得 x=-2,y=0. ∴D 点的坐标为(-2,0)(如题图中所示的 D3), ∴以 A,B,C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为(0,-4)或(2,4) 或(-2,0).


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