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数学:2.2.1《平面向量基本定理》课件(1)(新人教B版必修4)

时间:2010-12-30


平面向量基本定理
本溪市二高中数学组:肖瓒酉 本溪市二高中数学组:

复习: 复习
⑴向量共线充要条件

r ? 有且只有一个实数λ,使得br =λa. =λ
r r r r 当 λ > 0 时, b 与 a 同向, 且 | b |是 | a | 的 λ 倍; 同向, r r r r 当 λ < 0 时, b 与 a 反向, 且 | b |是 | a | 的| λ | 倍; 反向, r r r 当 λ = 0 时, b = 0 ,且 | b |= 0 .
2

r r a共 向量b与非零向量a共线,

⑵向量的加法:
r b

共起点

r b
O

B

r r a+b
C

r a

r a
r r a + b

A

平行四边形法则 首尾相接

O

r a

r b
A

B

三角形法则
3

引入: 引入
问题:( )向量a是否可以用含有 是否可以用含有e 问题:(1)向量 是否可以用含有 1、e2的式 :( 子来表示呢?怎样表示? 子来表示呢?怎样表示? (2)若向量 能够用 1、e2表示,这种表示 能够用e 表示, )若向量a能够用 是否唯一?请说明理由 是否唯一?请说明理由.

4

新课: 新课
uu uu r r 思考:一个平面内的两个不共线的向量 e1、 2 与该平面 e r 内的任一向量 a 之间的关系. M C

ur e1

r a

A

uu r e2

uuur uuuu uuur r ∴ 如 图 OC = OM + ON uuuu r uuu r ur uuur uuu r uu r Q OM = λ1 OA = λ1 e1 ON = λ 2 OB = λ 2 e 2

O

N

B

uuur ur uu r ∴ OC = λ1 e1 + λ 2 e 2 r ur uu r 即 a = λ1 e1 + λ 2 e 2

5

N A B C

ur e1

uu r e2

r a

O

uuur uuuu uuur r ∴ 如 图 OC = OM + ON M uuuu r uuu r ur uuur uuu r uu r Q OM = λ1 OA = λ1 e1 ON = λ 2 OB = λ 2 e 2

uuur ur uu r ∴ OC = λ1 e1 + λ 2 e 2 r ur uu r 即 a = λ1 e1 + λ 2 e 2

6

r ur uu r a = λ1 e1 +λ2 e2
这就是说平面内任 u r 一 向 量 a都 可 以 表 示 uu r uu r 成 λ1 e1 + λ 2 e 2的 形 式

7

平面向量基本定理
如果e 是平面内的两个不共线向量, 如果 1、e2是平面内的两个不共线向量,那 么对于这一平面内的任一向量a, 么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一 对实数a1、a2,使 a = a1e1 + a2 e2 对实数 说明: 是两个不共线的向量; 说明:① e1、e2是两个不共线的向量; 是平面内的任一向量; ② a是平面内的任一向量; 是平面内的任一向量 实数,唯一确定. ③ a1,a2实数,唯一确定
8

uuu uuuu uuur r r ∵ OA = OM + ON

∴ 存 在 实 数 a1 , a2 使
a = a1e1 + a2 e2 .

uuuu r OM = a1e1

,

uuur ON = a2 e2

. 于是

(存在性 存在性) 存在性

设存在实数 x,y 使 a = xe1 + ye2 ,只要证 a1 = x 且 a2 = y

(唯一性 唯一性) 唯一性

a1e1+a2e2=xe1+ye2, (x-a1)e1+(y-a2)e2=0 - -

N

A

e2 O e1

M
9

我们把不共线向量e 我们把不共线向量 1,e2叫做这一平面内 所有向量的一组基底,记为 所有向量的一组基底,记为{e1,e2}, 基底 , a1e1+a2e2叫做向量 关于基底 1,e2}的 叫做向量a关于基底 关于基底{e 的 分解式。 分解式。

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实例: 实例
已知平行四边形ABCD的两条对角线相交 例1. 已知平行四边形 的两条对角线相交 uuur uuur 试用基底{a, 于M,设 AB = a , = b ,试用基底 ,b} , AD

uuur uuur uuuu uuuu r r 表示 M A , M B , M C , M D
D b A a M

C

B
11

已知A, 是 上任意两点 上任意两点, 是 外一点 外一点, 例 2. 已知 B是l上任意两点,O是l外一点, uuu r 求证:对直线l上任一点 上任一点P,存在实数t, 求证:对直线 上任一点 ,存在实数 ,使 OP uuu uuu r r 关于基底{ 关于基底 OA, OB }的分解式为 的分解式为

uuu r uuu uuu r r OP = (1 ? t )OA + tOB.
P

B O A
12

根据平面向量基本定理, 根据平面向量基本定理,同一平面内任一 向量都可以用两个不共线的向量表示, 向量都可以用两个不共线的向量表示,再由已 知可得

uuu r uuu uuu r r 即 OP = (1? t)OA+ tOB
特殊地, 特殊地,令t=
1 2

r r uuu uuu uuu uuu uuu r r r OP = OA + AP = OA + t AB uuu r uuu uuu r r = OA + t (OB ? OA)
, 点M是AB的中点,则 的中点, 是 的中点

uuuu 1 uuu uuu r r r OM = (OA+ OB) 2
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已知平行四边形ABCD中,M,N分别是 例3.已知平行四边形 已知平行四边形 中 分别是 r u r uuuu r uuur u r r DC,BC的中点且 AM = c, AN = d ,用 c, d 的中点且 uuu uuur r 表示 AB, AD .

uuu r uuur r r 解:设 AB = a, AD = b
r ?r 4 u 2 r ?r r 1 r ?a = 3 d ? 3 c ?c = b + 2 a ? ? ?? ?u r r 4r 2u r r 1r ?b = c ? d ?d = a + b ? ? 3 3 ? 2 ?

A

B

N

D M C

14

ur uu r ur uu r 不共线, 例4. 已知向量 e1 , e2 不共线, 如果向量 λ e1 ? e2



ur uu r ur uu r 解:由已知得 λ e 求e .= ? (e ? λ e ) 共线, 共线 1 ? λ 2 1 2
所以
? λ=? ? ? ?1 = ?λ?

ur uu r e1 ? λ e2

解得λ ± 解得 =±1.

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1.在 1.在

练习: 练习
uu r AD =

uu r uu r uu r r r ABCD中 b,则 ABCD中,设AC = a,BD = b,则AB =
r r a + b 2
D

r r a ?b 2

,

rr .(用 b来 .(用a、 表示)
C

A

B

16

2、设G是△ABC的重心,若CA = a, CB = b ABC的重心 的重心, A 表示AG 试用 a , b 表示AG
F G D E C B

3、在正六边形ABCDEF中,AC = a , 在正六边形ABCDEF中 AD = b用 a , b 表示向量AB、BC、 b用 表示向量AB、BC、 CD、DE、EF、FA。 CD、DE、EF、FA。 E
F O

D

C B
17

A

(高考实战)(2007江西)如图, ΔABC中, :(2007江 在 ABC中 (2007 过 点O是BC的中点, 点O的直线分别交直线AB, BC的 uu r uu uu r r uu r AC于 AC于不同的两点M, 若AB = mAM,AC = nAN, N,

2 则m+n的值为________. m+n的

A N B O C

M

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uu uu r r 如 果 e1、2是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 , e u r 那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 a, 有 且 只 有 一 对 u r uu r uu r 实 数 λ1、 λ 2, 可 使 a = λ1 e1 + λ 2 e 2
uu uu r r 这 里 不 共 线 的 向 量e1、2叫 做 表 示 这 一 平 面 内 e 所有向量的一组基底.

课堂小结:平面向量基本定理: 课堂小结:平面向量基本定理:

uu uu r r u r uu r uu r a +λ   一个平面向量用一组基底 1,e2表示成 = λ1e1 + λ2e2 e uu uu r r 的形式,我们称它为向量的分解。当 1,e2互相垂直时, e 就称为向量的正交分解。
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