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吉林省延边州汪清六中2015-2016学年高二上学期第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析

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2015-2016 学年吉林省延边州汪清六中高二(上)第二次月考数学 试卷(理科)
一、选择题(60 分) 1.下列命题为“p 或 q”的形式的是( A. >2 B.2 是 4 和 6 的公约数 C.?≠{0} D.A?B

)

2.命题“若 a>b,则 a+c>b+c”的逆否命题为( ) A.若 a<b,则 a+c<b+c B.若 a≤b,则 a+c≤b+c C.若 a+c<b+c,则 a<b D.若 a+c≤b+c,则 a≤b 3.已知 p:2+2=5,q:3>2,则下列判断中,错误的是( A.p 或 q 为真,非 q 为假 B.p 且 q 为假,非 p 为真 C.p 且 q 为假,非 p 为假 D.p 且 q 为假,p 或 q 为真 )

4.若 p、q 是两个简单命题,且“p 或 q”的否定形式是真命题,则( A.p 真 q 真 B.p 真 q 假 C.p 假 q 真 D.p 假 q 假 5.下列是全称命题且是真命题的是( ) 2 2 A.?x∈R,x >0 B.?x∈Q,x ∈Q C.?x0∈Z,x02>1 D.?x,y∈R,x2+y2>0 6.命题“存在 x0∈R,2 A.不存在 x0∈R,2 ≤0”的否定是( >0 ) ≥0

)

B.存在 x0∈R,2

C.对任意的 x∈R,2x≤0

D.对任意的 x∈R,2x>0 )

7.F1、F2 是定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则点 M 的轨迹是( A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 8.已知 M(﹣2,0) ,N(2,0) ,|PM|﹣|PN|=4,则动点 P 的轨迹是( A.一条射线 B.双曲线 C.双曲线左支 D.双曲线右支 )

9.过点(2,﹣1)引直线与抛物线 y=x2 只有一个公共点,这样的直线共有( A.1 B.2 C.3 D.4

)条.

10. (文)设 P 是双曲线

上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x﹣2y=0,F1、F2 )

分别是双曲线左右焦点.若|PF1|=5,则|PF2|=( A.3 或 7 B.1 或 9 C.7 D.9

11.若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 A.4 B.2 C.﹣4 D.﹣2

=1 的右焦点重合,则 p 的值为(

)

12.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△ F1PF2 为等 ) 腰直角三角形,则椭圆的离心率是( A. B. C. D.

二、填空题 13.若(x﹣1) (y+2)=0,则 x=1 或 y=﹣2 的否命题是__________.

14.若曲线

的轨迹是双曲线,则 a 的取值范围是__________.

15.椭圆

+

=1 和双曲线

﹣y2=1 的公共焦点为 F1、F2,P 是两曲线的一个交点,那么

cos∠F1PF2 的值是__________. 16.对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件; ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的题号是__________.

三、解答题(70 分) 17. (1)求中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距等于 4,且经过点 P(3,﹣2 (2)求 ,并且过点(3,0)的椭圆的标准方程.

)的椭圆方程;

18.求两条渐近线为 x±2y=0 且截直线 x﹣y﹣3=0 所得弦长为

的双曲线方程.

19.已知顶点在原点,对称轴为 x 轴的抛物线,焦点 F 在直线 2x+3y﹣4=0 上.求抛物线的方 程. 20.已知抛物线 y2=4x,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点,M 是 FQ 的中点,求点 M 的轨迹方程.

21.已知双曲线与椭圆可

共焦点,它们的离心率之和为

,求双曲线方程.

22.P 为椭圆

上一点,F1、F2 为左右焦点,若∠F1PF2=60°

(1)求△ F1PF2 的面积; (2)求 P 点的坐标.

2015-2016 学年吉林省延边州汪清六中高二(上)第二次 月考数学试卷(理科)
一、选择题(60 分) 1.下列命题为“p 或 q”的形式的是( A. >2 B.2 是 4 和 6 的公约数 C.?≠{0} D.A?B

)

【考点】复合命题. 【专题】应用题;分类讨论;定义法;简易逻辑. 【分析】要判断一个命题是简单命题还是复合命题,不能只形式上看字面中有没有逻辑连接 词,而是在准确理解复合命题的概念的基础上看其实质 【解答】解:命题“A?B”等价于“A=B,或 A?B”,是“p 或 q”的形式的复合命题,其他都不是 复合命题, 故选:D. 【点评】不含逻辑连接词的命题,叫做简单命题.两个简单命题通过“或”、“且”连接或在一个 命题前加“非”组成新的命题,叫做复合命题. 2.命题“若 a>b,则 a+c>b+c”的逆否命题为( ) A.若 a<b,则 a+c<b+c B.若 a≤b,则 a+c≤b+c C.若 a+c<b+c,则 a<b D.若 a+c≤b+c,则 a≤b 【考点】四种命题间的逆否关系. 【专题】阅读型. 【分析】把所给的命题看做一个原命题,写出这个命题的逆否命题是题设和结论否定并且要 交换位置,得到结果. 【解答】解:把“若 a>b,则 a+c>b+c”看做原命题, 它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置, ∴它的逆否命题是:“若 a+c≤b+c,则 a≤b”, 故选 D. 【点评】本题考查求一个命题的逆否命题,实际上把一个命题看做原命题是根据需要来确定 的,所有的命题都可以看做原命题,写出它的其他三个命题.属基础题. 3.已知 p:2+2=5,q:3>2,则下列判断中,错误的是( A.p 或 q 为真,非 q 为假 B.p 且 q 为假,非 p 为真 C.p 且 q 为假,非 p 为假 D.p 且 q 为假,p 或 q 为真 )

【考点】复合命题的真假. 【专题】规律型. 【分析】先判断出命题 p,q 的真假;利用复合命题的真假与简单命题真假的关系,判断出 p 或 q;p 且 q;非 p;非 q 的真假. 【解答】解:∵p:2+2=5 为假命题,q:3>2 为真命题 ∴p 或 q 为真;p 且 q 为假;非 p 为真;非 q 为假

对于 A,正确;对于 B 正确;对于 C 错误;对于 D 正确 故选 C 【点评】判断复合命题的真假应该先判断出构成其简单命题的真假,然后根据复合命题的真 假与构成其简单命题真假的关系判断出复合命题的真假. 4.若 p、q 是两个简单命题,且“p 或 q”的否定形式是真命题,则( A.p 真 q 真 B.p 真 q 假 C.p 假 q 真 D.p 假 q 假 )

【考点】命题的否定. 【分析】根据“p 或 q”的否定形式是真命题可以知道:“p 或 q”为假命题,故 p 假 q 假,得到答 案. 【解答】解:∵“p 或 q”的否定形式是真命题 ∴“p 或 q”为假命题,故 p 假 q 假 故选 D. 【点评】本题主要考查命题的真假判断.注意:一个命题与其否定形式互为真假命题. 5.下列是全称命题且是真命题的是(
2 2

)

A.?x∈R,x >0 B.?x∈Q,x ∈Q C.?x0∈Z,x02>1 D.?x,y∈R,x2+y2>0 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】证明题. 【分析】根据四个命题前的量词,我们可以判断出 C 是特殊命题,令 x=0,可以判断出 A 的 真假,令 x=y=0,可以判断出 D 的真假 【解答】解:当 x=0 时,x2=0,故?x∈R,x2>0 错误; 有理数对加法、乘法、减法、除法、乘方都封闭,故?x∈Q,x2∈Q 正确,且该命题是全称命题; 当 x0=2 时,x02=4>1,故?x0∈Z,x02>1 正确,但该命题是特称命题 当 x=y=0 时,x2+y2=0,故?x,y∈R,x2+y2>0 错误 故选 B 【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了全称命题和特称命题,要判断一个全称命题为 假,只要举出一个反例即可.

6.命题“存在 x0∈R,2 A.不存在 x0∈R,2

≤0”的否定是( >0

) ≥0

B.存在 x0∈R,2

C.对任意的 x∈R,2x≤0 D.对任意的 x∈R,2x>0 【考点】特称命题;命题的否定. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据特称命题的否定是全称命题,直接写出该命题的否定命题即可. 【解答】解:根据特称命题的否定是全称命题,得; 命题“存在 x0∈R,2 ≤0”的否定是

“对任意的 x∈R,都有 2x>0”. 故选:D.

【点评】本题考查了全称命题与特称命题的应用问题,解题时应根据特称命题的否定是全称 命题,写出答案即可,是基础题. 7.F1、F2 是定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则点 M 的轨迹是( A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 【考点】轨迹方程. 【专题】探究型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】首先确定点 M 在直线上,再利用长度关系,确定点 M 在线段 F1F2 上. 【解答】解:若点 M 与 F1,F2 可以构成一个三角形,则|MF1|+|MF2|>|F1F2|, ∵|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6, ∴点 M 在线段 F1F2 上. 故选 C. 【点评】本题考查轨迹的求法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 8.已知 M(﹣2,0) ,N(2,0) ,|PM|﹣|PN|=4,则动点 P 的轨迹是( A.一条射线 B.双曲线 C.双曲线左支 D.双曲线右支 ) )

【考点】双曲线的定义. 【分析】用排除法做:如果是双曲线,那么 a=2,c=2,与在双曲线中 c>a 矛盾,所以把三个 关于双曲线的答案全部排除. 【解答】解:如果是双曲线,那么|PM|﹣|PN|=4=2a a=2 而两个定点 M(﹣2,0) ,N(2,0)为双曲线的焦点 c=2 而在双曲线中 c>a 所以把后三个关于双曲线的答案全部排除, 故选 A. 【点评】本题考查双曲线的定义的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 9.过点(2,﹣1)引直线与抛物线 y=x2 只有一个公共点,这样的直线共有( A.1 B.2 C.3 D.4 )条.

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】分两种情况进行讨论:①当过点(2,﹣1)的直线不存在斜率时,容易检验;②当 过点(2,﹣1)的直线存在斜率时,设直线方程为 y+1=k(x﹣2) ,联立方程组,则方程组一 解,消掉 y 后由△ =0 即可求得 k 值,从而求得直线方程; 【解答】解:①当过点(2,﹣1)的直线不存在斜率时,直线方程为 x=2,代入 y=x2 得 y=4, 此时只有一个交点(2,4) ; ②当过点(2,﹣1)的直线存在斜率时,设直线方程为 y+1=k(x﹣2) , 由 ,得 x2﹣kx+2k+1=0,令△ =k2﹣4(2k+1)=0,解得 k=4±2 ,

此时直线方程为 y+1=(4+2 ) (x﹣2)或 y+1=(4﹣2 综上,满足条件的直线有 3 条, 故选 C.

) (x﹣2) ,两直线与抛物线相切,

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的公共点个数问题往往转化 为方程组的解的个数进行处理.

10. (文)设 P 是双曲线

上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x﹣2y=0,F1、F2 )

分别是双曲线左右焦点.若|PF1|=5,则|PF2|=( A.3 或 7 B.1 或 9 C.7 D.9

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出 a,由双曲线的定义求出|PF2|. 【解答】解:由双曲线的方程、渐近线的方程可得 ,∴a=2.由双曲线的定义可得||PF2|

﹣5|=4,∴|PF2|=9, 故选 D. 【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,由双 曲线的方程、渐近线的方程求出 a 是解题的关键.

11.若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 A.4 B.2 C.﹣4 D.﹣2

=1 的右焦点重合,则 p 的值为(

)

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】将双曲线化为标准方程,求出 c 值,得到焦点坐标,可得 =2,解得答案.

【解答】解:∵双曲线 故 c2=6﹣k+k﹣2=4, 故 c=2, 即双曲线

=1 的标准方程为:

=1,

=1 的右焦点为(2,0) ,

故 =2, 解得:p=4, 故选:A 【点评】本题考查抛物线,双曲线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,熟练掌握抛物 线的性质,是解答的关键. 12.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△ F1PF2 为等 ) 腰直角三角形,则椭圆的离心率是(

A.

B.

C.

D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】设点 P 在 x 轴上方,坐标为 而根据 求得 a 和 c 的关系,求得离心率. , ,根据题意可知|PF2|= ,|PF2|=|F1F2|,进

【解答】解:设点 P 在 x 轴上方,坐标为 ∵△F1PF2 为等腰直角三角形 ∴|PF2|=|F1F2|,即 故椭圆的离心率 e= 故选 D ,即

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目.应 熟练掌握圆锥曲线中 a,b,c 和 e 的关系. 二、填空题 13.若(x﹣1) (y+2)=0,则 x=1 或 y=﹣2 的否命题是若(x﹣1) (y+2)≠0,则 x≠1,且 y≠ ﹣2. 【考点】四种命题. 【专题】计算题. 【分析】若 p 则 q 命题的否定要注意对 p 和 q 同时否定, 还要注意 x=1 或 y=﹣2 的否定为 x≠1 且 y≠﹣2. 【解答】解: (x﹣1) (y+2)=0 的否定为(x﹣1) (y+2)≠0, x=1 或 y=﹣2 的否定为 x≠1 且 y≠﹣2. 即命题“若(x﹣1) (y+2)=0,则 x=1 或 y=﹣2”的否命题是:“若(x﹣1) (y+2)≠0,则 x≠1, y 2 ≠ ” 且 ﹣ . 故答案为:若(x﹣1) (y+2)≠0,则 x≠1,且 y≠﹣2. 【点评】本题考查了若 p 则 q 命题的否定,属于基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

14.若曲线

的轨迹是双曲线,则 a 的取值范围是(﹣5,4) .

【考点】双曲线的标准方程;双曲线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由已知条件利用双曲线性质得(a﹣4) (a+5)<0,由此能求出 a 的取值范围. 【解答】解:∵曲线 ∴(a﹣4) (a+5)<0, 解得﹣5<a<4. 的轨迹是双曲线,

∴a 的取值范围是(﹣5,4) . 故答案为: (﹣5,4) . 【点评】本题考查双曲线中参数的取值取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注 意双曲线的性质的合理运用.

15.椭圆

+

=1 和双曲线

﹣y2=1 的公共焦点为 F1、F2,P 是两曲线的一个交点,那么

cos∠F1PF2 的值是 . 【考点】圆锥曲线的共同特征. 【专题】计算题. 【分析】先求出公共焦点分别为 F1,F2,再联立方程组求出 P,由此可以求出 最后根据公式 cos∠F1PF2= ,

进行求解即可.

【解答】解:由题意知 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,

解方程组





取 P 点坐标为 (

) ,



cos∠F1PF2=

=

故答案为: . 【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用,属基础题. 16.对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件; ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的题号是②④. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;不等式的基本性质. 【专题】计算题. 【分析】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断及不等式的性质,我们 根据充要条件的定义对题目中的四个答案逐一进行分析即可得到答案.

【解答】解:∵①中“a=b”?“ac=bc”为真命题, 但当 c=0 时,“ac=bc”?“a=b”为假命题, 故 “a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故①为假命题; ∵②中“a+5 是无理数”?“a 是无理数”为真命题, “a 是无理数”?“a+5 是无理数”也为真命题, 故“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件,故②为真命题; ∵③中“a>b”?“a2>b2”为假命题, “a2>b2”?“a>b”也为假命题, 故“a>b”是“a2>b2”的即充分也不必要条件,故③为假命题; ∵④中{a|a<5}?{a|a<3},故“a<5”是“a<3”的必要条件,故④为真命题. 故答案为②④ 【点评】判断充要条件的方法是:①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件;②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分 条件;③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;④若 p?q 为假 命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件.⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系. 三、解答题(70 分) 17. (1)求中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距等于 4,且经过点 P(3,﹣2 (2)求 ,并且过点(3,0)的椭圆的标准方程.

)的椭圆方程;

【考点】椭圆的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)设椭圆的方程为 (a>b>0) ,根据题意建立关于 a、b 的方程组,解

之可得答案; (2)由于椭圆的焦点位置不确定,故进行分类讨论,根据题意分别建立关于 a、b 的方程组, 解出 a、b 的值,进而可求出椭圆的标准方程. 【解答】解: (1)设椭圆的方程为 ∵椭圆的焦距等于 4,且经过点 P(3,﹣2 (a>b>0) . ) ,

,解得



∴所求的椭圆方程为



(2)①当椭圆的焦点在 x 轴上时, ∵a=3, ∴c= ,

,可得 b2=a2﹣c2=3.

此时椭圆的标准方程为 ②当椭圆的焦点在 y 轴上时, ∵b=3, , ,解得 a2=27.





此时椭圆的标准方程为



综上所述,所求椭圆的标准方程为





【点评】本题求椭圆的标准方程,重点考查了椭圆的标准方程、简单几何性质等知识,考查 分类讨论的数学思想,属于基础题.

18.求两条渐近线为 x±2y=0 且截直线 x﹣y﹣3=0 所得弦长为

的双曲线方程.

【考点】双曲线的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先假设双曲线方程,再将直线代入双曲线方程,进而借助于弦长公式,即可求得双 曲线方程 【解答】解:设所求双曲线的方程为 x2﹣4y2=k(k≠0) , 2 将 y=x﹣3 代入双曲线方程得 3x ﹣24x+k+36=0, 由韦达定理得 x1+x2=8,x1x2= +12, 由弦长公式得 解得 k=4, 故所求双曲线的方程为 ﹣y2=1. |x1﹣x2|= ? = ,

【点评】本题考查的重点是双曲线方程,解题的关键是利用双曲线的性质,待定系数法假设 双曲线方程. 19.已知顶点在原点,对称轴为 x 轴的抛物线,焦点 F 在直线 2x+3y﹣4=0 上.求抛物线的方 程. 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先根据焦点在直线 2x+3y﹣4=0 上求得焦点 F 的坐标,再根据抛物线以 x 轴对称式设 出抛物线的标准方程,求得 p,即可得到抛物线的方程. 【解答】解:∵焦点在直线 2x+3y﹣4=0 上,且抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴, ∴焦点 F 的坐标为(2,0) ,

设方程为 y2=2px(p>0) ,则 =2, 求得 p=4, ∴则此抛物线方程为 y2=8x. 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质和抛物线的标准方程.解答的关键在于考生对圆 锥曲线的基础知识的把握. 20.已知抛物线 y2=4x,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点,M 是 FQ 的中点,求点 M 的轨迹方程.

【考点】圆锥曲线的轨迹问题. 【专题】计算题. 【分析】欲求点 M 的轨迹方程,设 M(x,y) ,只须求得坐标 x,y 之间的关系式即可.再设 2 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,易求 y =4x 的焦点 F 的坐标为(1,0)结合中点坐标公式即可求得 x,y 的关系式. 【解答】解:设 M(x,y) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,易求 y2=4x 的焦点 F 的坐标为(1,0) ∵M 是 FQ 的中点,



?

,又 Q 是 OP 的中点



?



∵P 在抛物线 y2=4x 上,∴(4y)2=4(4x﹣2) , 所以 M 点的轨迹方程为 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生综合运用基础知识解决问 题的能力.

21.已知双曲线与椭圆可

共焦点,它们的离心率之和为

,求双曲线方程.

【考点】双曲线的标准方程;椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. 【专题】计算题.

【分析】先根据椭圆方程求得椭圆的焦点和离心率,进而根据题意求得双曲线的焦点和离心 率,进而求得双曲线方程得长轴和短轴,则双曲线方程可得. 【解答】解:依题意可知椭圆方程中 a=5,b=3, ∴c= =4

∴椭圆焦点为 F(O,±4) ,离心率为 e= 所以双曲线的焦点为 F(O,±4) ,离心率为 2,

从而双曲线中

求得 c=4,a=2,b= 所以所求双曲线方程为



【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程和圆锥曲线的共同特征.考查了学生对圆锥曲线 的综合理解.

22.P 为椭圆

上一点,F1、F2 为左右焦点,若∠F1PF2=60°

(1)求△ F1PF2 的面积; (2)求 P 点的坐标. 【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】 (1)先根据椭圆的方程求得 c,进而求得|F1F2|,设出|PF1|=t1,|PF2|=t2,利用余弦定 理可求得 t1t2 的值,最后利用三角形面积公式求解. (2)先设 P(x,y) ,由三角形的面积 ∴ ,将 得 代入椭圆方程解得求 P 点的坐标.

【解答】解:∵a=5,b=3 ∴c=4(1) 设|PF1|=t1,|PF2|=t2, 则 t1+t2=10①t12+t22﹣2t1t2?cos60°=82②, 由①2﹣②得 t1t2=12, ∴ (2)设 P(x,y) ,由 得4

∴ ∴

,将 或

代入椭圆方程解得 或

, 或

【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质.解答的关键是通过解三角形, 利用边和角求得问题的答案.


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