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2017_2018学年高中数学第二章数列2.2等差数列2.2.1数列等差数列第一课时等差数列的概念及_图文

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2.2.1 等差数列
第一课时 等差数列的概念及通项公式

预习课本 P35~38,思考并完成以下问题
(1)等差数列的定义是什么?如何判断一个数列是否为等差数列?

(2)等差数列的通项公式是什么?

(3)等差中项的定义是什么?

[新知初探]
1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于

同一个 常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数 _______
公差 ,通常用字母___ 列的_____ d 表示.
[点睛] (1)“从第 2 项起”是指第 1 项前面没有项, 无法与后续 条件中“与前一项的差”相吻合. (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后 项减去前项”,强调了:①作差的顺序;②这两项必须相邻. (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同 一个常数,否则这个数列不能称为等差数列.

2.等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d.

递推公式
an-an-1 =d(n≥2) _________
3.等差中项

通项公式
a1+(n-1)d an=___________

A 叫做x与y的等差中 如果三个数x,A,y成等差数列,那么___ x+ y A= 2 项.这三个数满足的关系式是_________.

[点睛] 由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 可得 an =dn+(a1-d),如果设 p=d,q=a1-d,那么 an=pn+q,其 中 p,q 是常数.当 p≠0 时,an 是关于 n 的一次函数;当 p= 0 时,an=q,等差数列为常数列.

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个 数列是等差数列 ( × ) (2)等差数列{an}的单调性与公差d有关 ( √ ) (3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项 ( √ ) (4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列 ( √ ) 解析:(1)错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若 这些常数不全相等,则这个数列就不是等差数列. (2)正确.当d>0时为递增数列;d=0时为常数列;d<0时为递减 数列. (3)正确.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项. (4)正确.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为 等差数列.

2.已知等差数列{an}中,首项 a1=4,公差 d=-2,则通项公式 an 等于 A.4-2n C.6-2n B.2n-4 D.2n-6 ( )

解析:选 C ∵a1=4,d=-2, ∴an=4+(n-1)×(-2)=6-2n.

3.在等差数列{an}中,若 a1· a3=8,a2=3,则公差 d=( A.1 C.± 1
解析:选 C

)

B.-1 D. ± 2
? ?a1?a1+2d?=8, 由已知得,? ? ?a1+d=3,

解得 d=± 1.

4.lg( 3+ 2)与 lg( 3- 2)的等差中项是________.
解析:lg( 3+ 2)与 lg( 3- 2)的等差中项为: lg? 3+ 2?+lg? 3- 2? lg[? 3+ 2?? 3- 2?] lg 1 = = 2 =0. 2 2 答案:0

等差数列的通项公式及应用
[典例] 在等差数列{an}中, (1)已知 a5=-1,a8=2,求 a1 与 d; (2)已知 a1+a6=12,a4=7,求 a9.
[解] (1)∵a5=-1,a8=2,
? ?a1+4d=-1, ∴? ? ?a1+7d=2, ? ?a1=-5, 解得? ? ?d=1.

(2)设数列{an}的公差为 d.
? ?a1+a1+5d=12, 由已知得,? ? ?a1+3d=7, ? ?a1=1, 解得? ? ?d=2.

∴an=1+(n-1)×2=2n-1, ∴a9=2×9-1=17.

在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元 素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明 显,则均可化成有关a1,d的关系列方程组求解,但是要注 意公式的变形及整体计算,以减少计算量.

[活学活用]
1.2 016是等差数列4,6,8,…的 A.第1 006项 C.第1 008项 B.第1 007项 D.第1 009项 ( )

解析:选B ∵此等差数列的公差d=2,∴an=4+(n-1)×2, an=2n+2,即2 016=2n+2,∴n=1 007.

2.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断153是不是这 个数列的项,如果是,是第几项?
解:设首项为 a1,公差为 d,则 an=a1+(n-1)d,
? ?a1+?15-1?d=33, 由已知? ? ?a1+?61-1?d=217, ? ?a1=-23, 解得? ? ?d=4.

所以 an=-23+(n-1)×4=4n-27, 令 an=153,即 4n-27=153,解得 n=45∈N+,所以 153 是 所给数列的第 45 项.

等差中项的应用 [典例] 已知等差数列{an},满足 a2+a3+a4=18,a2a3a4=66. 求数列{an}的通项公式. [解] 在等差数列{an}中, ∵ a2+a3+a4=18,∴3a3=18,a3=6.
? ?a2+a4=12, ∴? ? a4=11, ?a2· ? ?a2=11, 当? ? ?a4=1 ? ?a2=11, 解得? ? ?a4=1 ? ?a2=1, 或? ? ?a4=11.

时,a1=16,d=-5.

an=a1+(n-1)d=16+(n-1)· (-5)=-5n+21.
? ?a2=1, 当? ? ?a4=11

时,a1=-4,d=5.

an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)· 5=5n-9.

a+c 三数 a,b,c 成等差数列的条件是 b= 2 (或 2b=a+ c) ,可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问 题.如若证{an}为等差数列,可证 2an+1=an+an+2(n∈N+).

[活学活用] 1. 已知数列 8, a,2, b, c 是等差数列, 则 a, b, c 的值分别为________, ________,________.
解析:因为 8,a,2,b,c 是等差数列, ?8+2=2a, ? 所以?a+b=2×2, ?2+c=2b. ? 答案:5 -1 -4 ?a=5, ? 解得?b=-1, ?c=-4. ?

2.已知数列{an}满足 an-1+an+1=2an(n≥2),且 a2=5,a5=13, 则 a8=________.
解析:由 an-1+an+1 =2an (n≥2)知,数列{an}是等差数列, ∴a2,a5,a8 成等差数列. ∴a2+a8=2a5,∴a8=2a5-a2=2×13-5=21. 答案:21

等差数列的判定与证明
[典例] 已知数列{an}满足 a1=4,an=4- 4 an-1 (n>1),记 bn=

1 .求证:数列{bn}是等差数列. an-2 证明:[法一 定义法] 1 1 an ∵bn+1= = = , 4? an+1-2 ? 2 ? a - 2 ? n ?4- ?-2 an? ? an-2 an 1 1 ∴bn+1-bn= - = = ,为常数(n∈N+). 2?an-2? an-2 2?an-2? 2
又 b1= 1 1 = 2, a1-2

1 1 ∴数列{bn}是首项为2,公差为2的等差数列.

[法二 等差中项法] 1 ∵ bn = , an-2 1 1 an ∴bn+1= = 4 ? =2?an-2?. an+1-2 ? ?4- ?-2 a
?
n?

4 4-a an+1 an-1 n ∴bn+2= = ?=an-2. 4 2?an+1-2? ? 2?4-a -2? ? ? n an-1 1 an ∴bn+bn+2-2bn+1= + - 2× =0. an-2 an-2 2?an-2? ∴bn+bn+2=2bn+1(n∈N+), ∴数列{bn}是等差数列.

等差数列判定的常用的 2 种方法 (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N+)?{an}为等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+)?{an}为等差数列.

内部文件,请勿外传

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[活学活用] 1 1 1 已知a,b,c成等差数列,并且 a+c,a-c,a+c-2b 均为正数,
求证:lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列. 1 1 1 2 1 1 解:∵a,b, c成等差数列,∴b=a+ c,
2 a+c ∴b= ac ,即2ac=b(a+c). (a+c)(a+c-2b)=(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2×2ac=a2+c2+2ac- 4ac=(a-c)2. ∵a+c,a+c-2b,a-c均为正数,上式左右两边同时取对数得,lg[(a +c)(a+c-2b)]=lg(a-c)2,即lg(a+c)+lg(a+c-2b)=2lg(a-c), ∴lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列.


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