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一道竞赛题的三角证法_论文

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4 8   福建中学数 学   解法 4构造向量 = ( a , b , C ) ,J , = ( 1 , 1 , 1 ) ,   . 2 0 1 3 年第l 2 期  a + b + C的最大 值是— — .   解 不 妨设 a≥ b  C >0,   由契 比雪夫 不等 式得 9 ( a + b + C ) =9 ( a   +b   +C   )   ≥3 ( a + b + c ) (   +b   + C   )   ( a +b +c )  ,   ? . J , = a+ b+C= a  + b  +C   ≤   ? . . ? =/ a   + 6   + c   × √ 3,   3.   a  + b 。+C   . . a+6+C= a  + b  + C  ≤ 3 .   . 当且仅 当 a =b=C =l 时取 等号 .   ? . . a +b + C  3 ,当且仅 当 a =b=C =1 时取 等号 .   a + b + C的最大 值是 3 .   ? a +b + C的最大值 是 3 .   . . 解法 5构造二次函数 f ( x ) = ( X —   )   + ( X 一 6 )   +   (  —c )  =3 x   一2 ( a+b+c ) x+( a  +b  +C 。 )   0,   ? . . 推广 3正数 a , b , c 满足 a + b + C = a   + b ” + C ” ,   则a + b + c的最 大值 是— — .   A=4 ( Ⅱ +b + c )   一 1 2 ( a   +b   + c   ) ≤0,   解 不妨设 a ≥ b ≥ C > 0 ,由契比雪夫不等式得  3 ” 一   ( 口 +b +C ) =3 ”  ( a  +b   +c   )   即( a + b + c 1   3 ( 口   + b   + c   ) ,   ? . .  3 ”  ( a +b +c ) (   +b   +C   )   … +b +c 二   +b 。 +c  ≥= 1 (  +b +c )  ,   j  _ ≥( a+b +c ) ”,   ? . . a + b +C  3,当且仅 当 a…b  C  1 时取 等号 .   a + b +C 的最 大值是 3 .   . . a + b + C ≤3 ,当且仅 当 a =b =c =1 时取 等 号 .   a + b +C的最 大值 是 3 .   ? ? . . . . 最 大值 总 是 在元 素 取正 数 时得 到 ,因此 命题 可  引 申、推广 为 :   推广 4正数  , x 2 , …,   , 满足 x 1 +  2 + …+ x   =   x   +X : + …+ X : ,则 一+  2 + …+   的最大值 是— — .   2引申、推广  推广 1正数X l , X 2 , …,   满足 X 1 +   2 + …+ X   =   +   + …+X   , 则X 。 +  + …+   的最大值 是— — .   解 由柯 西 不等式得  解 不妨设 X l ≥ X 2 ≥ …  X   > 0 ,   由契比雪夫不等式得 ”  ( X 1 +  + …+  )   =   _ 。 (  +   + …+ X   n )   ≥ , z ” 一   (  +  2 + …+ X   ) (   +  _ 1 + …+   :   )   … n ( x l + x 2 + ? ? ? +  ) = n ( x   +   ; + …+  )   (   l +X 2 +? ? ? +.  )  ,   。 . . ≥ ( X l +  2 + …+ X n ) ” ,   ,   ‘ . . X I+  2 + … + Xn   X1+ X  2 + … + Xn   ,   当且 仅 当  =X   一 ?X   = 1 时取 等号 .   ? . .   当且仅 当X   = X   一- = X n = 1 时取等号 .   ? . . + X   2 + …+ x   的最大值 是 , z .   X 】 +  2 + …+   的最大值 是  .   推广 2 正数 a, b, c 满足 a +b 十C = a   + b   + C   , 则  一 道 竞赛题 的三角证法  浙江 省德 清县第 三 中学 ( 3   1 3 2 0 1 )   者发 现可 以利 用三 角 替换 来 改变 已知条件 ,再 利 用  求导法 这种 “ 通 法” 来证 明此预 赛题 . 下 面给 出笔者 的  证 明过 程 :   1   施 刚 良  2 0   1   0年全国高中数学联赛广东省预赛题解答题  第3 题为 : 设非负实数 , b , C 满足 a + b + C = l , 求证 :   9 a 6 c  “ b + b c + c a _ < 1 ( 1 + 9 a b c 1 .   文[ 1 ] 、[ 2 ] 、[ 3 ] 利 用均值 不 等式和 S c h u r不等 式  对 上述 竞 赛题 作 了证 明 ,其证 明方法 可 谓 是巧 妙 和  简 洁 ,但技 巧 性 较高 .笔者 就 想能 否让 证 明 的思 路  来得 更 加 自然 一 点? 通过 探 究预 赛试 题 的条 件 ,笔  先 证a b + b c + c a ≤ ÷ ( 1 + 9 日 b c ) .   事实 上 ,令 a =s i n   ,b =C O S   C O S   ,   C= C O S   s i n。   .   2 0 1 3 年第 1 2 期  福建 中学数学  

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一道竞赛题的三角证法 - 48 福建中学数 学 解法 4构造向量 =(a,b,C

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又谈一道三角题的证明_论文.pdf

又谈一道三角题的证明 - 此题是1983年第17届全苏数学竞赛十年级试题,尽管题

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一道竞赛试题的五种证法 - 维普资讯 http://www.cqvip.com 一 道 竞赛试题 的五种证法 410)王 国平 64O (南省城 ...

用实数理论研究一道竞赛题的证明_论文.pdf

的证明 陈白妹 有 这样 一 道数学竞 赛题 “ 给定平 面上一个 三角形 。...可 得几 衬作 图法 , , 从而 纤图 : 证法 一 得证 ` 断 的直 线存...

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一道竞赛题的证法再探 - 2008年全国高中数学联赛江西预赛第14题:设x、y、

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一道竞赛题之我见--修正一个错误的证法 - 文[1]例10(2008年全国高中数

一道全国联赛几何题的直接证明_论文.pdf

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一道竞赛题的简单解法_论文.pdf

出证 明.下 一 道 竞赛 题的简 单解 法 徐化伟 ( 苏省 新 海高 级 ...一 点注记 8赵军鹏 ( 北京航 空航 天大学机 械学 院,003 106) 等腰三角...

一道竞赛题的探源_论文.pdf

一道竞赛题的探源_专业资料。在2005年卡西欧杯全国初中数学竞赛B卷中,出现了...E G2 且 证法同上 , 进而有四边形 E EG 1= E G 2 , G 1 DG 2 ...

一道竞赛题的朴素证法_论文.pdf

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一道初中数学竞赛题的证明和多方位推广_论文.pdf

一道初中数学竞赛题的证明和多方位推广 - 2007年全国初中数学联赛四川省初赛试题的第4题是一道利用圆中的角转化为相似三角形求证的证明题,具有典型性;但该题有...

关于一道土耳其竞赛题的初等证明_论文.pdf

出了多种证 法 ,从 中也揭 示出这道竞赛题 所孕 育 则是证 明这两个...) +一 + 十 一 、 ① )≥6/文[] 用三角换元法 、二 阶导数 以及 ...

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一道竞赛题的多解与反思 - 原题:(初中数学竞赛试题)在△ABC中,已知∠A:∠B:∠C=1:2:4... 式再设法构造相似三角形.比例式 ,看右端,知一个三角形为△AB...

一道奥赛题的“换位思考”引发的探究_论文.pdf

一道奥赛题的“换位思考”引发的探究 - 以一道伊朗(代数不等式)奥赛题的抽屉原则证法为基奠,用代数的方法巧妙地勾画出赛题的经典加强;伴随而至的是一连串的...

一道竞赛题的解法及推广演变_论文.pdf

一道竞赛题的解法及推广演变 - 题目 如图1,正方形ABCD和正方形CGEF的边

由一道数学竞赛题的多种解法反思数学教学_论文.pdf

一道数学竞赛题的多种解法反思数学教学 - 2011年上海市高中数学竞赛试题中的第10题是解三角形问题,考查利用余弦定理或根据边与角的关系选择合适的方法求解三角...

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一道数学竞赛题的几种解法反思数学教学 - 2012年上海市高中数学竞赛试题中的第9题是求函数解析式的问题,考查了根据平行四边形以及三角形的边与角的关系,利用...