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(2)用数学归纳法证明不等式

时间:2016-04-21


用数学归纳法证明不等式
题型一。利用数学归纳法证明不等式 例 1 证明:2n+2>n2,n∈N+.

1 1 1 5 练习 1.用数学归纳法证明: + +?+ > (n≥2,n∈N+). 3n 6 n+1 n+2 2.用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1+ 2+ 2+?+ 2<2- (n≥2,n∈N+). 2 3 n n n?n-1? 2 3.设 Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+ x ,n∈N+,x∈(-1,+∞),试比较 Pn 与 2 Qn 的大小,并加以证明. 题型二。归纳—猜想—证明 例 2 设 f(n)>0(n∈N+),对任意自然数 n1 和 n2 总有 f(n1+n2)=f(n1)f(n2),又 f(2)=4. (1)求 f(1),f(3)的值. (2)猜想 f(n)的表达式,并证明你的猜想.

练习 4.在数列{an}、{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1, bn+1 成等比数列(n∈N+). (1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4 的值,由此猜测{an},{bn}的通项公式; (2)证明你的结论. 5.是否存在常数 a,b,c 使等式 12+22+32+?+n2+(n-1)2+?+22+12=an(bn2 +c)对于一切 n∈N+都成立,若存在,求出 a,b,c 并证明;若不存在,试说明理由.

本节练习
1 1 - - 1. 用数学归纳法证明“对于任意 x>0 和正整数 n, 都有 xn+xn 2+xn 4+?+ n-4+ n-2 x x 1 + n≥n+1”时,需验证的使命题成立的最小正整数值 n0 应为( x A.n0=1 B.n0=2 C.n0=1,2 )

D.以上答案均不正确

2.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明中 的起始值 n0 应取( A.2 B.3 ) C.5 D.6

1 1 1 3.用数学归纳法证明“1+ + +?+ n <n(n∈N+,n>1)”时,由 n=k(k>1)不等 2 3 2 -1 式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是( A.2k
-1

) D.2k+1

B.2k-1

C.2k

1 1 1 m 4.若不等式 + +?+ > 对大于 1 的一切自然数 n 都成立,则自然数 m 2n 24 n+1 n+2 的最大值为( A.12 ) B.13 C.14 D.不存在

n+2 1 1 1 5.证明 <1+ + +?+ <n+1(n>1),当 n=2 时.要证明的式子为________. 2 2 3 2n 1 ? 2n+1 1 1 1+ ??1+ ???1+ 6.用数学归纳法证明“? ? 3?? 5? ? 2n-1?> 2 ”时,n 的最小取值 n0 为________. 7.设 a,b 均为正实数(n∈N+),已知 M=(a+b)n,N=an+nan 1b,则 M,N 的大小


关系为________ 8.用数学归纳法证明,对任意 n∈N+,有 1 1 1? 2 (1+2+?+n)? ?1+2+3+?+n?≥n . 9.设数列{an}满足 an+1=a2 n-nan+1,n=1,2,3?. (1)当 a1=2 时,求 a2,a3,a4,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (2)当 a≥3 时,证明对所有的 n≥1,有 an≥n+2.

a· 2x+a-2 10.设 a∈R,f(x)= 是奇函数, 2x+1 (1)求 a 的值;(2)如果 g(n)= n (n∈N+),试比较 f(n)与 g(n)的大小(n∈N+). n+1


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