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第六讲 一元微积分应用 (学生用)

时间:2016-06-28


第六讲
Ⅰ.考试要求

一元微积分应用

1.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor) 定理,了解并会用柯西(Cauchy)中值定理. 2.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法. 3.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函 数最大值和最小值的求法及其应用. 4.会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间 ( a, b) 内,设函数 f ( x) 具有二阶导数。 当 f ??( x) ? 0 时, f ( x) 的图形是凹的; f ??( x) ? 0 时, f ( x) 的图形是凸的) ,会求函数图 形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形. 5.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径.

Ⅱ.考试内容
一.导数的应用
(一).求切线、法线 (二).经济应用:成本,收益,利润,需求函数等(数三)
1.边际: C?( x), R?( x), L?( x)

C ( x ? 1) ? C ( x) ? C?(? )[ x ? 1 ? x] ? C?( x) .

?Q ? Q? f ( x) Q? Q ? p ? ? ? p (? 0) ,或 2.弹性: y ? f ( x) , ? ? x , Q ? Q( p ) , ?p Q Q f ( x) p

? ? ?p

Q? ,| ? | Q

(三). 单调性.极值
1

1.单调性 判定定理 设函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续, 在区间 ( a, b) 内可导, (1) 如果在 ( a, b) 内 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 在 [ a, b] 上单调增加; (2) 如果在 ( a, b) 内 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 在 [ a, b] 上单调减少. 注:(1) 设函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内单调增加且可导, 则 f ?( x) ? 0 . (2) 如果导函数仅在若干孤立点等于 0, 其它点保持同号, 则仍具有单调性. 单调判 定定理不是必要条件. 反例 y ? x 3 (3) 单调区间: 有的函数在几个区间上单调增加, 在另外几个区间上单调减少. 这样 的区间成为这个函数的单调区间. 如果函数在定义域内除个别点之外可导, 则单调区间的分界点是导数等于零的点或者 导数不存在的点.导数等于零的点称为驻点. (4) 单调性可用于证明不等式,方程根的唯一性. 证明方程的根唯一的两种方法. 单调函数至多有一个零点. 如果导函数没有零点, 用 罗尔定理(反证法)证明函数至多有一个零点. 2. 极值 (1) 定 义 在 函 数 y ? f ( x) 在 点 x0 的 某 个 空 心 邻 域 内 , 均 有 f ( x) ? f ( x0 ) ( 或

f ( x) ? f ( x0 ) ), 则称点 x0 是函数的极大 (小 )值点 , 而 f ( x0 ) 称为函数 y ? f ( x) 的极大
(小)值. 极大值 极小值统称为极值. 注: 函数的极值是局部性质, 而最值是整体性质. 极大值未必是最大值, 最大值也未 必是极大值. (2)必要条件 设函数 y ? f ( x) 在点 x0 可导, 且在点 x0 取得极值, 则 f ?( x0 ) ? 0 . 注:这只是可导函数的极值的必要条件. 反例 (3)判定定理 定理 1 设函数 y ? f ( x) 在点 x0 的一个邻域内可导, 且 f ?( x0 ) ? 0 . (1) 如果在点 x0 的左侧 f ?( x) ? 0 , 在点 c 的右侧 f ?( x) ? 0 , 则点 c 是极大值点; (2) 如果在点 x0 的左侧 f ?( x) ? 0 , 在点 c 的右侧 f ?( x) ? 0 , 则点 c 是极小值点; (3) 如果在点 x0 的两侧 f ?( x) 恒正或恒负, 则点 x0 不是极值点.
2

y ?| x | 在点 x ? 0 取得极小值.

注: 定理的条件可以减弱为: 函数 y ? f ( x) 在点 x0 连续, 在点 x0 的一个去心邻域内可 导. 这样就可以判定 y ?| x | 了. 定理 2 设函数 y ? f ( x) 在点 x0 二次可导, 且 f ?( x0 ) ? 0 , f ??( x0 ) ? 0 . (1) 如果 f ??( x0 ) ? 0 , 则点 x0 是极大值点; (2) 如果 f ??( x0 ) ? 0 , 则点 x0 是极小值点. 注 反例 如果 f ?( x0 ) ? 0 , f ??( x0 ) ? 0 , 则可能是极值点, 也可能不是极值点.

y ? x3 , y ? x 4

【例 1】设函数 y ? y ( x) 由方程 x 2 ? xy ? y 2 ? 3 确定, 求 y ( x ) 的极值.

3. 函数的最值
(1)闭区间上连续函数的最值 函数在闭区间上连续, 则取到其最大值和最小值. 最值点或者是区间端点, 或者是内 点. 如果是内点, 则或者是驻点, 或者是导数不存在的点. (2) 无穷区间上函数的最值 【例 2】求函数 y ? xe 的最小值.
x



?1 x 求导, 得 y? ? ( x ? 1)e . 由单调性, 当 x ? ?1 , 最小值 ? e .

注:可用于证明不等式 (四) 曲线的凹凸与拐点
1. 定 义 设 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 I 上 连 续 , 如 果 对 于 I 上 的 任 意 两 点 x1 , x 2 , 恒 有

? x ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) (或 f ? 1 ), 则称函数 f ( x) 在区 f? 1 ?? ?? 2 2 ? 2 ? ? 2 ?
间 I 上是凹(或凸)的. 2. 判定定理 定理 设函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续, 在 ( a, b) 内二次可导. (1) 如果在 ( a, b) 内 f ??( x) ? 0 , 则 f ( x) 在区间 I 上是凹的.

3

(2) 如果在 ( a, b) 内 f ??( x) ? 0 , 则 f ( x) 在区间 I 上是凸的. 注: (1)可用一阶导函数的单调性进行判定 (2)条件不是必要的. 反例

y ? x4 .

注:凹凸性可用于证明不等式 3. 定义 连续函数的曲线上凹凸性发生改变的点称为曲线的拐点. 拐点在曲线上 可以证明: 在拐点处, 或者二阶导数等于 0, 或者二阶导数不存在. 注:根据函数的凹凸性的判定定理判定拐点. (1)拐点两侧二阶导数异号, (2) f ??( x0 ) ? 0 , f ???( x0 ) ? 0 ,则 ( x0 , f ( x0 )) 为拐点.(导数定义)

(五) 渐近线
1.如果 lim f ( x) ? ? , 则直线 x ? a 是曲线 y ? f ( x) 的竖直渐近线.
x?a x ? a? x ? a?

找函数的无定义点,但无定义点不一定都是渐近线. 2.如果 lim f ( x) ? A , 则直线 y ? A 是曲线 y ? f ( x) 的水平渐近线.
x ?? x ??? x ???

先考虑是否有水平渐近线,若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线, 3.如果 lim [ f ( x) ? (a ? bx)] ? 0 , 则称直线 y ? a ? bx 是曲线 y ? f ( x) 的斜渐近线.
x ?? x ??? x ???

计算斜渐近线的方法如下:

b ? lim

x ?? x ??? x ???

f ( x) , a ? lim [ f ( x) ? bx] x ?? x x ???
x ???

【例 3】 (02101)曲线 y ?

x2 ? x 渐近线的条数( x2 ? 1
(C ) 2 .

)

( A) 0 .

(B) 1 .

( D) 3 .

(六) 函数作图( f ( x) ? 0 的零点或解)

(七) 弧微分 1.弧微分

曲率的概念

曲率圆与曲率半径(数一、数二要求)

4

在微分三角形中, 切线的增量是函数的微分. 而切线的长度的增量是曲线的弧长函数 的微分, 简称弧微分 ds .

ds ? 1 ? [ y ?( x)] 2 dx , 或者
2.曲率,曲率圆与曲率半径

ds ? 1 ? [ y ?( x)] 2 . dx

定义 曲线在一点的曲率为相对变化率 K ? lim

?x ?0

?? d? . ? ?s ds

设函数 y ? f ( x) 有二阶导数, 则 K ?

| y ?? | . [1 ? ( y ?) 2 ]3 / 2 | x?y ?? ? x??y ? | [(x?) 2 ? ( y ?) 2 ]3 / 2
1 ??. 以 K

参数方程 设 y ? y (t ) , x ? x(t ) 有二阶导数, 则 K ?

在曲线 y ? f ( x) 上点 M ( x, y ) 处的法线的凹侧取一点 D , 使得 | MD |?

D 为圆心, 以 | MD |?

1 ? ? 为半径的圆, 称为曲线 y ? f ( x) 上点 M ( x, y) 处的曲率圆. K

当然, 曲率圆过点 M ( x, y ) . 而且, 曲率越大, 曲率圆越小. 曲率圆的半径 | MD |? 率半径是曲率的倒数.

1 ? ? 称为曲线 y ? f ( x) 上点 M ( x, y) 处的曲率半径. 即, 曲 K

二、定积分的应用
(一)平面图形的面积
1.在直角坐标系下 (1) 区间 [a , b] 上由曲线 x ? a , x ? b y ? f ( x) 与 x 轴所围成的平面图形的面积为

S ? ? | f ( x ) | dx .
a

b

(2) 区间 [a , b] 上由曲线 x ? a , x ? b , y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 所围成的平面图形的面积 为

S ? ? | f ( x) ? g ( x) | dx .
a

b

(3) 区间 [c , d ] 上( y 轴)由曲线 x ? ? ( y ) 与 y 轴所围成的平面图形的面积为

S ? ? | ? ( y ) | dy .
c

d

(4) 区间 [c , d ] 上( y 轴)由曲线 x ? ? ( y ) 与 x ? ? ( y ) 所围成的平面图形的面积为
5

S ? ? | ? ( y) ?? ( y) | dy .
c

d

2.在极坐标系下 平面图形: {(r , ? ) | ? ? ? ? ? , r 1(? ) ? r ? r2 (? )}的面积为

S?

1 ? 2 [r2 (? ) ? r12 (? )]d? . ? ? 2

(二) 空间立体的体积
1.平行截面面积为已知的立体的体积 设过 x 轴上的任意点 x 垂直于 x 轴的平面与立体相截所得的截面面积为

A( x) (a ? x ? b) ,则该立体的体积为 V ? ? A( x ) dx .
a

b

2.旋转体的体积(以坐标轴为旋转轴) (1) 区间 [a , b] 上由曲线 y ? f ( x) 与 x 轴所围成的平面图形: 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为

Vx ? ? ? f 2 ( x ) dx ;
a

b

绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为

V y ? 2? ? xf ( x)dx ( f ( x) ? 0 , b ? a ? 0 ) .
a

b

(2) 区间 [a , b] 上由曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周 所得的旋转体的体积为

Vx ? ? ? [ f 2 ( x) ? g 2 ( x)]dx ( f ( x) ? g ( x) ? 0 ) .
a

b

(3) 区间 [c , d ] 上( y 轴)由曲线 x ? ? ( y ) 与 y 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转 一周所得的旋转体的体积为

V y ? ? ? ? 2 ( y ) dy .
a

b

(4) 区间 [c , d ] 上( y 轴)由曲线 x ? ? ( y ) 与 x ? ? ( y ) 所围成的平面图形绕 y 轴 旋转一周所得的旋转体的体积为

V y ? ? ? [? 2 ( y ) ? ? 2 ( y )]dy ( ? ( y) ? ? ( y) ? 0 ) .
a

b

3.以平行于坐标轴的直线为旋转轴的旋转体的体积 作垂直于旋转轴的平面与立体相交,所得截面为圆域或圆环域,求出截面的面积, 转化为平行截面面积为已知的立体的体积问题.

三、 (数一、数二要求)
1.平面曲线的弧长
6

平面曲线 L : ?

? ? x ? x(t ) (? ? t ? ? ) 的弧长为 S ? ? x?2 (t ) ? y?2 (t ) dt . ? ? y ? y(t )

2.旋转体的侧面积 平面图形: 0 ? y ? f ( x) , a ? x ? b 绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的侧面积为

S ? 2? ? f ( x) 1 ? f ?2 ( x) dx .
a

b

3.变力沿直线作功 设质点 M 沿 x 轴正向从 x ? a 处运动到 x ? b 处,变力 F ( x) 的方向与 x 轴正向 相同,则变力 F ( x) 对质点 M 所作的功为 W ? 4.液体的静压力 在液面下深为 h 处,由液体重量产生的压强为 ?gh ,其中 ? 为液体的密度. (1) 设有一面积为 A 的平薄板水平地放置在深为 h 处的均匀静止液体中,则平板一侧 所受的压力为 F ? pA ? ?ghA. (2) 设有一高为 h ,宽为 f ( x) ? 0 的平薄板垂直地放置在均匀静止液体中,平薄板的 上方与液面的距离为 a ,则该平薄板所受的侧压力为

? a F ( x)dx .

b

F??
5.抽水做功

a?h a

?g xf ( x)dx ,这里建立原点在液面上,正向为垂直向下的 x 轴.

设一敞口容器侧壁由 xoy 平面中的曲线段 y ? f ( x),(a ? x ? b) 绕 x 轴旋转所得旋转面 构成,液面距容器口距离为 a ,容器深度为 b ,若将比重为 ? 的液体抽出容器,则所做的功

W ? ? ? ? gxf 2 ( x)dx ,这里建立原点在液面上,正向为垂直向下的 x 轴.
a

b

6.引力 质量分别为 m1, m2 ,相距为 r 的两质点间的引力的大小为 F ? k 其中 k 为引力系数. 7. 函数平均值
b 1 f ( x)dx 称为函数 f ( x) b ? a ?a

m1 ? m2 r2



Ⅲ.题型与例题
一.求切线与法线方程
7

【例 1】设 f ( x ) 是可导的偶函数,它在 x ? 0 的某邻域内满足

f (e x ) ? 3 f (1 ? sinx 2 ) ? 2 x 2 ? o( x 2 ) ,
求曲线 y ? f ( x ) 在点 ( ?1, f ( ?1)) 处的切线方程及法线方程。

2

二. 用导数讨论函数的性质
方法:(1)有界性 (2)单调性,极值 (3)凹凸性,拐点 注:有界性在微积分中的结论与应用.

1. f ( x) ? C[ a,b] , 则 f ( x) 在 [a, b] 有界 . f ( x) ? C( a,b] 且 lim? f ( x) 存在 , 则 f ( x) 在
x ?a

( a, b] 有界. f ( x) ? C( ??,b] 且 lim f ( x) 存在, 则 f ( x) 在 (??, b] 有界.类似可讨论区
x ???

间 [ a, b) , [a, ??) , (??, ??) .
2. f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?(? )( x ? x0 ) 3. 可积函数有界. 4. 有界函数的导函数( y ?

x ,x ? (0,1) )与原函数不一定有界( f ( x) ? 1 ? cos x ).

【例 2】设函数 f ( x), g ( x) 是大于零的可导函数,且 f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 ,则 当 a ? x ? b 时, 有 ( A) f ( x) g (b) ? f (b) g ( x) . ( B ) f ( x) g ( a ) ? f ( a ) g ( x) .
(C ) f ( x) g ( x) ? f ( x) g (b) . ( D ) f ( x) g ( x ) ? f ( a ) g ( a ) .

【例 3】设函数 f ( x) 在 (??,??) 内连续,其导函数的图形如图所示,则 f ( x) 有
( A) 一个极小值点和两个极大值点. ( B ) 两个极小值点和一个极大值点. (C ) 两个极小值点和两个极大值点.
8

( D) 三个极小值点和一个极大值点.
f ?( x )

O

x

【例 4】设函数 f ( x) 满足方程 f ??( x) ? [ f ?( x)]2 ? x , 且 f ?(0) ? 0 , 则
( A) f (0) 是 f ( x) 的极大值. ( B ) f (0) 是 f ( x) 的极小值. (C ) (0, f (0)) 是 y ? f ( x) 的拐点. ( D) f (0) 不是 f ( x) 的极大值, (0, f (0)) 也不是 y ? f ( x) 的拐点.

三. 证明不等式
1. 中值定理
f ( b)? f ( a) ? ?f ?( ) ( ? b , a) f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?(? )( x ? x0 )

若 m ? f ?( x) ? M ? m(b ? a) ? f (b) ? f (a) ? M (b ? a) 注: f (b) ? f (a) ? ? f ?( x)dx .
a b

【例 5】设 1 ? a ? b , f ( x ) ?
定理,极值)

1 1 ? ln x , 求证: 0 ? f (b) ? f (a) ? (b ? a ) (中值 4 x

2. 利用单调性,极值(最值) 若
9

f ?( x) ? 0(? 0), a ? x ? b ? f ( x) Z (] ) ? f (a) ? f ( x) ? f (b)( f (b) ? f ( x) ? f (a)) .

若 f ( x) 在 x ? x0 取最大(小)值 ? f ( x) ? f ( x0 )[? f ( x0 )], a ? x ? b .
【例 6】证明:当 0 ? a ? b ? ? 时,

b sin b ? 2 cosb ? ? b ? a sin a ? 2 cosa ? ? a .

【例 7】证明 x ln

1? x x2 ? cos x ? 1 ? ( ?1 ? x ? 1) . 1? x 2

3. 利用常数变易证明不等式. 【例 8】 设 e ? a ? b ? e 2 , 证明 ln 2 b ? ln 2 a ?
4 (b ? a ) . e2

4. 积分不等式. 方法:1.性质 2.分部积分 3. f (b) ? f (a) ? ? f ?( x)dx
a
a ? x ?b

b

【例 9】设 f ( x) 在 [a, b] 上有二阶连续导数, f (a) ? f (b) ? 0 , M ? max f ??( x) ,求证:

?

b

a

f ( x)dx ?

(b ? a)3 M. 12

四. 求渐近线
方法:1.求竖直渐近线.
找函数的无定义点,但无定义点不一定都是渐近线. 2.求水平渐近线.
10

3.求斜渐近线. 【例 10】曲线 y ?

1 ? ln(1 ? e x ) ,渐近线的条数为 x

( A) 0 .

(B) 1 .

(C ) 2 .

( D) 3 .

五.利用导数讨论方程的根(函数作图)
【例 11】讨论曲线 y ? 4 ln x ? k 与 y ? 4 x ? ln 4 x 的交点个数.

六.利用定积分求面积、体积.
b f ( x)dx , f ( x) 在 [a, b] 连续, f ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 。令 I 1 ? ?a 1 I 2 ? (b ? a) f (b) , I 3 ? (b ? a)[ f (a) ? f (b)] ,则 2 A. I 1 ? I 2 ? I 3 B. I 2 ? I 1 ? I 3 C. I 3 ? I1 ? I 2 D. I 3 ? I1 ? I 2

【例 12】 设

【例 13】 (02312)由曲线 y ? 面积为 .

4 和直线 y ? x 及 y ? 4 x 在第一象限轴中围成的平面图形的 x

【例 14】 (02217) 过 (0,1) 点作曲线 L : y ? ln x 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 交于 B 点,区域 D 由 L 与直 线 AB 围成,求区域 D 的面积及区域 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

11


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