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赛课用.求数列通项复习课_图文

时间:2012-02-27

专题复习——数列 通项公式的求法

高考大纲剖析
考试内容: 数列 (1)数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项 公式). ②了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. (2)等差数列、等比数列 ① 理解等差数列、等比数列的概念. ② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式. ③ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系, 并能用有关知识解决相应的问题. ④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.

一.等差数列
要点梳理
(1)定义:

an ?1 ? an ? d (常数)
an ? a1 ? (n ? 1)d

(2)通项公式:

an ? am ? (n ? m)d

(3)前n项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) = ? na1 ? d 2 2

an ? bn
2

(常数项为0的二次式)

(4)若

m ? n ? p ? q ,那么 am ? an ? a p ? aq
m ? n ? 2 p ,则

特殊地,若

am ? an ? 2a p

(5)等差中项:2A=a+b; 的依据)

(可作证明一个数列是等差数列 2an ? an?1 ? an?1

二.等比数列
要点梳理 a (1)定义:a
n ?1 n

? q (常数)

n?1 (2)通项公式: an ? a1q

= am q

n?m

( q ? 1) ?na1 ? (3)前n项和公式:n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q S ? 1? q ? 1- q ?

( q ? 1)

(4)若 m ? n ? p ? q ,则 am an ? a p aq 特殊地,若 2 p ? m ? n,则 am an ? a p 2
G 2 ? ab ; an 2 ? an?1an(可作证明一个数 (5)等比中项 : ?1

列是等比数列的依据)

方法一 基本量法
真题剖析 例1、(2010全国Ⅱ)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,,
则a1+a2+…+a7=(
C



(A)14

(B)21

(C)28

(D)35

[点评]本题直接利用等差数列的性质,由等差 中项可得,属于容易题。 解析:a3+a4+a5=3a4=12,a4=4, a1+a2+…+a7=7a4=28

考题剖析
运用等差数列的性质

例2、(2010广东卷)已知{an}为等比数列,sn是它的前n
项和,若 a2a3= 2a1,,则且a4与2a7等差中项为 (A)35 (B)33 (C)31
5 4

则s5 =( )

(D)29

切入点: 等差数列和等比数列的 问题通常利用通项公式及前n项和 公式列方程进行求解.

解析: 设等比数列?an ?的首项为a1,公比为q. 由a2 ? a3 ? a1q ? a1q 2 ? 2a1 ? a4 ? 2, 5 5 1 3 ? a4 ? 2a4 q ? 2 ? ? 2 ? 4q ? ? q ? , 4 2 2 a4 2 则a1 ? 3 ? ? 16. 1 q 23 1 16?1 ? 5 ? 1 2 故S5 ? ? 32(1 ? ) ? 32 ? 1 ? 31,选C. 1 32 1? 2
3

方法二 应用S 与 a 的关系求通项
n

n

有些数列给出数列{an }的前项和 Sn 与 an 的关系式 Sn ? f (an )利用该式 子写出Sn?1 ? f (an?1 ) 两式子做差,再利用 an?1 ? Sn?1 ? Sn 导出 an?1与an 的递推式,从而求 an
an
S n ? f (a n )

Sn

Sn?1 ? f (an?1)

an ? Sn?1 ? Sn

an?1与an

an

(1)已知Sn ? n ?1, 求an .
2

(2)已知数列 n }前n项和为S n , a1 ? 1, {a 3an ?1 ? 2 S n ? 3(n ? N ) 求{an } 的通项公式。

回顾
等差数列的定义: 一个数列从第二项起,它的每一项 与前一项的差为常数,n ? an?1 ? d (n ? 2) a 那么这个数列为等差数列。 其通项为:
?

an ? a1 ? (n ?1)d

a1 ? 1, an?1 ? an ? 2, 求an
?

变形1

变公差

a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n ? 3, an ?

方法三 累加法
?

对公差d作变形,即:

an?1 ? an ? f (n)型数列
用累加法通项可求。

类似地,这个题目还可以变形为:

?2n ? 3 ? 2 ?2n ? 3n an ?1 ? an ? ? n 求an ?2 ? 3 ?n ? 3n ?

变形2

a1 ? 1, an?1 ? an ? 2, an ? ?
变系数

a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2, an ? ?

方法四 待定系数法

an?1 ? Aan ? B( A ? B ? 0, A ? 1)型
B an ?1 ? x ? A(an ? x)其中 ,x ? A ?1
用待定系数法构造以A为公比的等 比数列求通项,即:

a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2, an ?
联想到

an?1 ? 3an


因此,构造等比数列

an?1 ? x ? 3(an ? x) ? x ? 1



?an ? 1? 是以
即:

an?1 ? 1 ?3 an ? 1

a1 ? 1 ? 2
n ?1

为首项,
n?1

3为公比的等比数列,即

an ? 1 ? 2 ? 3
?1

an ? 2 ? 3

变形3

a1 ? 1, a n ?1 ? 3an ? 2, a n ?
变指数式

a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2 ? 3 , an ?
n

略解: 两边同除以

3

n+1

构造等差数列

a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

? 2

方法五

构造法
n

a n ?1 ? qan ? Bq ( q ? 0) a n ?1 an ? n ?B n ?1 q q bn ?1 ? bn ? B其中bn ? an q
n

方法六 叠乘法
对公比q作变形,即:

an ?1 ? f (n)型数列 an

利用叠乘法求通项

二轮资料 典例 1

例3 (2009陕西高考)
a n ? a n?1 已知数列 n }满足a1 ? 1, a 2 ? 2, a n? 2 ? {a (n ? N ) 2 (1)令bn ? a n?1 ? a n,证明:n }是等比数列 {b (2)求{a n }的通项公式。

练一练:根据已知条件求数列的通项公式

an (2). 已知a1 ? 1, an?1 ? , 求an . an ? 1 * (3). 已知a1 ? 1, 且(n ? 1)an ?1 ? nan , n ? N

1 1 (1).已知 a1 ? , an ?1 ? an ? 2 , 求an . 2 n ?n

求an .
(4) :已知a1 ? 1, a2 ? 3, an? 2 ? 2an?1 ? an ? 4, 求a .

小结:求数列通项公式的方法:
1.观察法 2.公式法(等差、 等比) ? S1 ( n ? 1) 3.利用a n 和S n的关系 : a n ? ? ? S n ? S n ?1 ( n ? 2) 4.累加法(a n ?1 ? a n ? f ( n)) a n ?1 5.累乘法( ? f ( n)) an 6.构造新数列 特别注意a n ?1 ? qa n ? p, q ? 1) (

作业:数列第一课时,典例剖析 例题 专题训练1—11题


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