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抽象函数常见题型解法综述

时间:2013-03-22


抽象函数常见题型解法
珠海海阔教育祝大家学习进步 2012 年 12 月 1 日

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子 的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的 难点之一。下面就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例 1. 已知函数 f ( x 2 ) 的定义域是[1,2],求 f(x)的定义域。

变式 1. 已知函数 f (x) 的定义域是 [?1,2] ,求函数 f [log1 (3 ? x)] 的定义域。
2

变式 2、(广东省重点中学 2009 届高三联合考试数学试卷(理))若函数

f ( x ? 1)的定义域为0,1],则f (2 x ? 2) 的定义域为 [
A.[0,1] B. [log2 3,2] C. [1, log2 3]



) D.[1,2]

二、不等式问题
( ? + 上的奇函数 f (x) 在 +?) (0, 上为增函数,当 x ? 0 时, 例 2、定义在 -?,0)(0,?)
f (x) 的图像如图,则不等式 x ? f ( x) ? f (?x)? ? 0 的解集是





A. (??, ?3) ? (0,3)

B. (??, ?3) ? (3, ??)

C. (?3,0) ? (3, ??) D. (?3,0) ? (0,3)

练习、 函数 y ? f ( x) 的图象是以原点为圆心, 为半径的两段圆弧, 1 则不等式 f ( x) ? f (? x) ? x 的解集为 A. [?1, ? C [?1, ?
2 5 ) ? (0,1] 5


2 5 ) 5



B [?1, 0) ? (0, D. [?1, ?

2 5 2 5 ) ? (0, ) 5 5

2 5 2 5 )?( ,1] 5 5

三、解析式问题
1 例 3. : f ( x) 满足: 2 f ( x) ? f ( ) ? x ? 1 求 f ( x) x

变式、 设对满足 x ? 0,x ? 1 的所有实数 x, 函数 f (x) 满足 求 f(x)的解析式。

f ( x) ? f (

x ?1 ) ? 1? x x ,

练 习 1 、 已 知 f(x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ∈ (- ∞ ,0) 时 , f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式.

练习 2、 函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立, f(1)=0 且 求 f(x)的解析式。

练习 3、(广东省十校高三第一学期期末考试-数学(理))已知
f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , f (1), ( x ? N * ) 猜想 f (x) 的表达式为 f ( x) ? 2





A. f ( x ) ?

4 2 1 2 B. f ( x ) ? C. f ( x ) ? D. f ( x) ? 2x ? 2 x ?1 x ?1 2x ? 1

四、求值问题 例 4. 已知定义域为 R ? 的函数 f (x) 同时满足下列条件: f (2) ? 1,f (6) ? , ① ② f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,求 f(3),f(9)的值。
1 ; 5

五、单调性问题 例 5. 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、 b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1) 求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围。

练习 1、已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)·f(y), 且 f(-1)=1,f(27)=9,当 时, 。

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)若 ,求 a 的取值范围。

练习 2.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: (1)值域为 ? ?1,1? ,且当 x ? 0 时, ?1 ? f ? x ? ? 0 ; (2)对于定义域内任意的实数 x, y ,均满足: f ? m ? n ? ?

f ? m? ? f ? n ? 1 ? f ? m? f ? n ?

试回答下列问题:(Ⅰ )试求 f ? 0 ? 的值;(Ⅱ )判断并证明函数 f ? x ? 的单调性;

练习 3.已知函数 y ? f ( x), x ? N , f ( x) ? N ,满足:对任意 x1 , x2 ? N , x1 ? x2 , 都有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ;
(1)试证明: f (x) 为 N 上的单调增函数; (2) ?n ? N ,且 f (0) ? 1 ,求证: f (n) ? n ? 1 ;

练习 4、已知函数 f ( x) 的定义域为 ?0,1? ,且同时满足: (1)对任意 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 2 ;(2) f (1) ? 3 (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 . (I)求 f (0) 的值; (II)求 f ( x) 的最大值;

六、奇偶性问题 例 6. 已知函数 f (x) 对任意实数 x, y 恒有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) 且当 x>0,
f ( x ) ? 0.又f (1) ? ?2.

(1)判断 f (x) 的奇偶性;(2)求 f (x) 在区间[-3,3]上的最大值; (3)解关于 x 的不等式 f (ax2 ) ? 2 f ( x) ? f (ax) ? 4.

练习 1、已知 f ? x ? 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a, b ? R 都满 足: f ? a ? b? ? af ?b? ? bf ? a ? (Ⅰ )求 f ? 0? , f ?1? 的值;(Ⅱ )判断 f ? x ? 的奇偶性,并证明你的结论;

练 习 2. 已 知 函 数 f ( x) , g ( x) 在 R 上 有 定 义 , 对 任 意 的 x, y ? R 有
f ( x ? y ) ? f ( x) g ( y ) ? g ( x) f ( y )

且 f (1) ? 0

(1)求证: f ( x) 为奇函数

(2)若 f (1) ? f (2) , 求 g (1) ? g (?1) 的值

练习 3、.定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 a、b 都有 f(a+b)+ f(a-b) =2 f(a)·f(b)成立,且 f (0 ?0。 ) (1)求 f(0)的值; (2)试判断 f(x)的奇偶性;

c (3)若存在常数 c>0 使 f ( ) ? 0 ,试问 f(x)是否为周期函数?若是,指 2 出它的一个周期;若不是,请说明理由。

练习 4.已知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足:
f( ) f( 2 ? x· ) 1 x (1) f(1?2 ? 1 x x ) f( 2 ? (1 x fx ) )

(2)存在正常数 a,使 f(a)=1 求证:(1)f(x)是奇函数; (2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为 4a

七、综合问题 例 7. (广东省六校第二次联考)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x) 的全体,

存在非零常数 T , 对任意 x ? R , 有 f ( x ? T ) ? Tf ( x) 成立. (1) 函数 f ( x) ? x 是否属于集合 M ? 说明理由; (2) 设 f ( x) ? M , 且 T ? 2 , 已知当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? ln x , 求当 ?3 ? x ? ?2 时, f ( x) 的解析式.

练习 1、定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总有
f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x>0 时,0<f(x)<1。

(1)判断 f(x)的单调性;(2)设 A ? {( x,y) | f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1)}, 若 试确定 a 的取值范围。 B ? {( x,y) | f (ax ? y ? 2 ) ? 1 a ? R} , A ? B ? ? , ,

练习 2、 对于定义域为 ?0,1? 的函数 f ( x) ,如果同时满足以下三条:①对任意的

x ??0,1? , 总 有 f ( x) ? 0 ; ② f (1) ? 1 ; ③ 若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 , 都 有
f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则称函数 f ( x) 为理想函数.
(1) 若函数 f ( x) 为理想函数,求 f (0) 的值; (2)判断函数 g ( x) ? 2x ? 1 ( x ? [0,1]) 是否为理想函数,并予以证明; (3) 若函数 f ( x) 为理想函数, 假定 ? x0 ? ?0,1? ,使得 f ( x0 ) ??0,1? ,且

f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证 f ( x0 ) ? x0 .


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