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2013年武警院校招生考试数学模拟2

时间:2013-06-06


2013 年武警院校招生考试数学模拟(2)
1.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7 等于( ) A.14 B.21 C.28 D.36 1 1 2.设函数 f(x)=log2x 的反函数为 y=g(x),若 g?a-1?= ,则 a 等于 ? ? 4 A.-2 1 B.- 2 1 C. 2 ) D.以上答案都不对 D.2

(

)

3.在△ABC 中,A=60° ,a=4 3,b=4 2,则 B 等于( A.45° 135° 或 B.135° C.45°

π 4. e1、2 是夹角为 的单位向量, 若 e 且向量 a=2e1+e2, 向量 b=-3e1+2e2, a· 等于( 则 b ) 3 7 7 A.1 B.-4 C.- D. 2 2 5.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β C.若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α B.若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β D.若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则 α∥β ?

6.设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,则点 D1 到平面 A1BD 的距离是? A. 3 2 B. 2 2 2 2 C. 3 2 3 D. 3

7.从点(2,3)射出的光线沿与向量 a=(8,4)平行的直线射到 y 轴上,则反射光线所在的直 线方程为( ) B.2x+y-1=0 D.6x+y-8=0 )

A.x+2y-4=0 C.x+6y-16=0

x2 y2 3 x2 y2 8.若椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为 ,则双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为( a b 2 a b 1 A.y=± x 2 B.y=± 2x C.y=± 4x 1 D.y=± x 4

9. 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者, 从 其中至少有 1 名女生的选法共有________.
2 2 10.?x +x?8 的展开式中 x4 的系数是________. ? ?

11.若 z1=a+2i,z2=3-4i,且 z1+z2 为纯虚数,则实数 a 的值为________.

1

1 π π 12.已知 sin α· α= ,且 <α< ,则 cos α-sin α 的值是________. cos 8 4 2 13.已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B=________________.

x y + 14.已知 x,y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的最大值为 3 4

.

1 1 15.已知 f?x-x?=x2+ 2,则 f(3)=________. ? ? x

16.袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的 1 5 1 概率为 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率是 ,试求得到黑球、黄球、 4 12 2 绿球的概率各是多少?

17.已知数列 ?an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 2n (n ? N * ) . (1)求数列 ?an } 的通项公式; (2)若数列 ?bn } 是等比数列,公比为 q (q ? 0) ,且满足 b2 ? S1 , b4 ? a2 ? a3 ,求 数列 ?bn } 的前 n 项和 Tn .

2

18.设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a (1)写出函数 f (x) 的最小正周期及单调递减区间; (2) x ? ?? 当 的解集.

3 ? ? ?? 函数 f (x) 的最大值与最小值的和为 , 求不等式 f ( x) ? 1 , ? 时, 2 ? 6 3?

19.如图,已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ?ABC 所在平面,且 PA ? AB ? AC , (Ⅰ)求证: PA / / 平面 QBC ; (Ⅱ)若 PQ ? 平面QBC ,求 CQ 与平面 PBC 所成角的正弦值.

P Q

C B

A

3

-2 +b 20.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数.(1)求 a,b 的值; 2 +a

x

(2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

2

2

21.已知椭圆 C :

1 x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,过坐标原点 O 且斜率为 2 2 2 a b

的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B , | AB |? 2 10 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
2 2 (Ⅱ)若动圆 ( x ? m) ? y ? 1 与椭圆 C 和直线 l 都没有公共点,试求 m 的取值范围.

4

9. 种 36 14.3

10. 120 1 15.11

11. -3

12. -

3 2

13. {(0,1), (-1,2)}

16.袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的 1 5 1 概率为 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率是 ,试求得到黑球、黄球、 4 12 2 绿球的概率各是多少? 16.解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件 A、B、C、D.由于 A、B、C、D 为 互斥事件,根据已知得到

? ? 5 ?P?B?+P?C?=12, 1 ?P?C?+P?D?=2, ? ? ? 1 P?C?= , 解得?? 6 1 ??P?D?=3. ?
1 P?B?= , 4

1 +P?B?+P?C?+P?D?=1, 4

1 1 1 ∴得到黑球、黄球、绿球的概率分别为 , , . 4 6 3

17.已知数列 ?an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 2n (n ? N * ) . (1)求数列 ?an } 的通项公式; (2)若数列 ?bn } 是等比数列,公比为 q (q ? 0) ,且满足 b2 ? S1 , b4 ? a2 ? a3 ,求 数列 ?bn } 的前 n 项和 Tn .

17.又当 n ? 1 时, a1

? S1 ? 3 ,满足上式
5

……4 分

∴ an ? 2n ? 1 (n ? N * )
(2)由(1)可知 a1

……5 分 ……7 分

? S1 ? 3 , a2 ? 5 , a3 ? 7

又 b2 ? S1 , b4 ? a2 ? a3

∴ b2 ? 3, b4 ? 12

……8 分

又数列 ?bn } 是公比为正数等比数列

∴ q2 ?
又q ? 0

b4 ?4 b2

∴q ? 2 ∴ b1 ?
b2 3 ? q 2

……9 分 ……10 分

3 (1 ? 2 n ) b1 (1 ? q ) 2 3 ? ? (2 n ? 1) ∴数列 ?bn } 的前 n 项和 Tn ? 1? q 1? 2 2
n

……12 分

18.设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a (1)写出函数 f (x) 的最小正周期及单调递减区间; (2) x ? ?? 当 的解集. 18、解: (1) f ( x) ?

3 ? ? ?? 函数 f (x) 的最大值与最小值的和为 , 求不等式 f ( x) ? 1 , ? 时, 2 ? 6 3?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?a 2 2
……3 分

……1 分

?T ? ?
令 2 k? ?

? 1 ? sin(2 x ? ) ? ? a 6 2
……4 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

∴ k? ?

?

6

? x ? k? ?

2? ,k ?Z 3

3? ,k ?Z 2

6

∴函数 f (x) 的递减区间为: [k? ?
(2)由 x ? [ ?

?
6

, k? ?

? ?

? ? 5? , ] 得: ? ? 2 x ? ? 6 3 6 6 6

2? ], k ? Z 3

……6 分

3 ? a, f ( x) min ? a ……8 分 2 3 3 ? ?a?a ? ?a ?0 ……9 分 2 2 ? 1 ∴ f ( x) ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 6 2 ? ? 5? ? ? 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? ? k? ? x ? k ? ? , k ? Z 6 6 6 3 ? f ( x) max ?
又 x ? ??

……11 分

? ? ?? , ? 6 3? ?
……12分

? ∴不等式 f ( x) ? 1 的解集为 {x | 0 ? x ? } 3
(Ⅰ)求证: PA / / 平面 QBC ;

19.如图,已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ?ABC 所在平面,且 PA ? AB ? AC ,

P Q

(Ⅱ)若 PQ ? 平面QBC ,求 CQ 与平面 PBC 所成角的正弦值.

C B

A

19.解法 (Ⅰ )证明:过点 Q 作 QD ? BC 于点 D , ∵平面 QBC ⊥平面 ABC ,∴ QD ? 平面 ABC ……2 分 又∵ PA ⊥平面 ABC ∴ QD ∥ PA , 又∵ QD ? 平面 QBC ∴ PA ∥平面 QBC (Ⅱ )∵ PQ ? 平面 QBC ∴ ?PQB ? ?PQC ? 90 ,又∵ PB ? PC , PQ ? PQ ∴ ?PQB ? ?PQC ∴ BQ ? CQ ………………8 分
?

………………2 分 ………………6 分

∴点 D 是 BC 的中点,连结 AD ,则 AD ? BC
7

∴ AD ? 平面 QBC ∴ PQ ∥ AD , AD ? QD ∴四边形 PADQ 是矩形 ………………10 分 设 PA ? AB ? AC ? 2a

2a , PD ? 6a 又∵ BC ? PA, BC ? PQ ,∴ BC ? 平面PADQ , 从而 平面PBC ? 平面PADQ , Q 作 QH ? PD 于点 H , QH ? 平面PBC 过 则: ∴ ?QCH 是 CQ 与平面 PBC 所成角 ……………………………………12 分
得: PQ ? AD ? ∴ QH ?

2 ? 2a 2 3 ? a , CQ ? BQ ? 6a 3 6 QH 2 3 1 2 ? ? ? CQ 3 3 6
2 ………………………14 分 3
x

sin ?QCH ?

∴ CQ 与平面 PBC 所成角的正弦值为

-2 +b 20.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a

(1)求 a,b 的值;

(2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0

2

2

恒成立,求 k 的取值范围.

20.解 (1)因为 f(x)是 R 上的奇函数, -1+b 所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1, 2+a -2 +1 从而有 f(x)= x+1 . 2 +a 1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- , 4+a 1+a
x

[4 分]

解得 a=2.
8

[7 分]

-2 +1 1 1 方法二 由(1)知 f(x)= x+1 =- + x , 2 +2 2 2 +1

x

由上式易知 f(x)在 R 上为减函数,又因为 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t -2t)+f(2t

2

2

-k)<0 等价于 f(t -2t)<

2

-f(2t -k)=f(-2t +k).

2

2

因为 f(x)是 R 上的减函数,

由上式推得 t -2t>-2t +k.

2

2

[12 分]

即对一切 t∈R 有 3t -2t-k>0, 1 而 Δ =4+12k<0,解得 k<- . 3 21.已知椭圆 C : [14 分]

2

1 x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,过坐标原点 O 且斜率为 2 2 2 a b

的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B , | AB |? 2 10 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
2 2 (Ⅱ)若动圆 ( x ? m) ? y ? 1 与椭圆 C 和直线 l 都没有公共点,试求 m 的取值范围.

21.解: (Ⅰ)依题意, l : y ?

x 2

………………………1 分

不妨设设 A(2t , t ) 、 B(?2t , ? t ) ( t ? 0 ) ……………2 分
2 由 | AB |? 2 10 得 20t ? 40 , t ?

2

…………………3 分

2 ?8 ? 2 ?1 2 ?a b ? 所以 ? 2 2 ?c ? a ? b ? 3 ?a a 2 ?

………………………5 分

9

解得 a ? 4 , b ? 2 所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ……………………6 分 16 4

? x2 y2 ?1 ? ? (Ⅱ)由 ? 16 消去 y 得 3x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 12 ? 0 …………7 分 4 ?( x ? m) 2 ? y 2 ? 1 ?
? 动圆与椭圆没有公共点,
2 2 2 ? ? ? (?8m) ? 4 ? 3 ? (4m ? 12) ? 16m ? 144 ? 0 或 | m |? 5 ………9 分

解得 | m |? 3 或 | m |? 5 又? 动圆与直线没有公共点

?d ?

|m| ? 1 解得 m ? 5 或 m ? ? 5 5

………………10 分

所以 m 的取值范围为 m | m ? ?5或 ? 3 ? m ? ? 5或 5 ? m ? 3或m ? 5 …12 分

?

?

10


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