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均值不等式

时间:2018-01-05


均值不等式
填空题 1 . 从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到 500 m 以外的公路边埋栽,在 500 m 处栽一根,

然后每间隔 50 m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运 3 根,要完成运栽 20 根电线杆的任务, 并返回材料工作,则运输车总的行程最小为____ m .

1 1 + ? 1,则 a + 2b 的最小值为____. 2a + b b + 1 2 2 3 3 .已知 a,b,c 是正实数,且 abc+a+c=b,设 p ? 2 ,则 p 的最大值为________. ? 2 ? 2 a ?1 b ?1 c ?1
2 .若 a ? 0, b ? 0 ,且 4 .若对满足条件 x ? y ? 3 ? xy( x ? 0, y ? 0) 的任意 x, y , ( x ? y) 2 ? a( x ? y) ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取

值范围是_____.
5 .已知 x>1,则 x ?

2 的最小值为_________. x ?1

6 . 将 边 长 为 1 的 正 三 角 形 薄 片 , 沿 一 条 平 行 于 底 边 的 直 线 剪 成 两 块 , 其 中 一 块 是 梯 形 , 记 S=
2 ( 梯形的周长) ,则 S 的最小值是______________ 梯形的面积

7 .二次函数

f ( x) ? ax2 ? 2x ? c( x ? R) 的值域为[0,+ ? ),则

a ?1 c ?1 ? 的最小值为_____. c a

8 .设正实数 x, y , z 满足 x ? 2 y ? z ? 1 ,则

1 9( x ? y ) ? 的最小值为________________. x? y y?z a 2 ? b2 的最小值等于_________. a ?b
1 ( x ? 0 )图象上一动点,若点 P,A 之间的 x

9 .已知函数 f ( x) ?| lg x | , a ? b ? 0 , f (a) ? f (b) ,则

10.在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a ) , P 是函数 y ?

最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为_______.
11.过定点 P (1,2)的直线在 x轴与y轴 正半轴上的截距分别为 a、 b ,则 4 a
2

? b 2 的最小值为_______.

x2 y2 ? 12.设 x, y 是正实数,且 x ? y ? 1 ,则 的最小值是____. x ? 2 y ?1
13.已知正数 x,y 满足 2x+y-2 =0,则

x ? 2y 的最小值为___________________. xy
2 的图象交于 M , N 两点 , 则线 x

14 . 在平面直角坐标系 xOy 中 , 过坐标原点的一条直线与函数 f ( x) ?

段 MN 长的最小值是________

a 2b 1 a , b 和正变量 x, y 满足 a ? b ? 16 , x + y = 2 ,若 x ? 2 y 的最小 值为 64,则 ab =________. 15.常数

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16.已知 x,y 为正数,则

x y 的最大值为______. ? 2x ? y x ? 2 y
x y x y 当 ? ?k? ? 2x ? y x ? 2 y x ? 2 y 2x ? y
1 9

本题可以进一步推广为:是否存在实数 k ,使得 成立?

xy ? 0 时恒

17.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4x ? c ? 1 的值域是[1,+∞),则 + 的最小值是________.

a c

解答题 18. 建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为

60? (如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因

素,设计其断面面积为 6 3 平方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形 的上底线段 BC 与两腰长的和)要最小. (1)求外周长的最小值,并求外周长最小时防洪堤高 h 为多少米? (2)如 防洪堤的高限制在 [ 3 , 2 3 ] 的范围内,外周长最小为多少米? B
?

C h D

60 A

19. 如图,某农业研究所要在一个矩形试验田 ABCD 内种植三种农作物,三种农作物分别种植在并排排列的

三个形状相同、大小相等的矩形中.试验田四周和三个种植区域之间设有 1 米宽的非种植区.已知种植 区的占地面积为 800 平方米. (1)设试验田 ABCD 的面积为 S , AB ? x ,求函数 S ? f ( x) 的解析式; (2)求试验田 ABCD 占地面积的最小值.

20.某人准备购置一块占地 1800 平方米的矩形地块(如图),长、宽分别是 x 米、y 米,中间建三个矩形温室

大棚,大棚周围均是宽为 1 米的小路,大棚所占地面积为 S 平方米,其中 a∶b=1∶2. (1)试用 x,y 表示 S; (2)若要使 S 最 大,则 x,y 的值各为多少?

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