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湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 §2.3 幂函数教案 新人教A版必修1

时间:2016-08-15


§2.3

幂函数

一.教学目标: 1.知识技能 (1)理解幂函数的概念; (2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行初步的应用. 2.过程与方法 类比研究一般函数,指数函数、对数函数的过程与方法,后研幂函数的图象和性质. 3.情感、态度、价值观 (1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法; (2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二.重点、难点 重点:从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点:从幂函数的图象中概括其性质 5.学法与教具 (1)学法:通过类比、思考、交流、讨论,理解幂函数的定义和性质 ; (2)教学用具:多媒体 三.教学过程: 引入新知 阅读教材 P77 的具体实例(1)~(5) ,思考下列问题. (1)它们的对应法则分别是什么? (2)以上问题中的函数有什么共同特征? 让学生独立思考后交流,引导学生概括出结论 答:1、 (1)乘以 1 (2)求平方 (3)求立方 (4)求算术平方根 (5)求-1 次方 2、上述的问题涉及到的函数,都是形如: y ? x? ,其中 x 是自变量, ? 是常数. 探究新知 1.幂函数的定义 一般地,形如 y ? x? ( x ?R)的函数称为幂孙函数,其中 x 是自变量, ? 是常数. 如 y ? x , y ? x3 , y ? x
2 1 ? 1 4

等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数.
1

2.研究函数的图像 (1) y ? x (4) y ? x
?1

(2) y ? x 2 (5) y ? x
3

(3) y ? x

2

一.提问:如何画出以上五个函数图像 引导学生用列表描点法,应用函数的性质,如奇偶性,定义域等,画出函数图像,最后,教师利用电 脑软件画出以上五个数数的图像.

y ? x2

1

y?x
4

y ? x2
2

1

y=x3 y=x-1 0
5 10 15

-5

-2

-4

-6

让学生通过观察图像,分组讨论,探究幂函数的性质和图像的变化规律,教师注意引导学生用类比研 究指数函数,对函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图像,填 P91 探究中的表格
-8 -10

y?x
定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限 单调增减性 定点 3.幂函数性质 R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

y ? x2
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

y ? x3
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

y ? x2

1

y ? x ?1

?x | x ? 0?
非奇非偶 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

?x | x ? 0?
奇 在第Ⅰ象限 单调递减 (1,1)

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) (原因: 1 ? 1 ) ;
x

(2) x >0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从左往右看,函数图象逐 渐上升).
2 特别地,当 x >1, x >1 时, x ∈(0,1) , y ? x 的图象都在 y ? x 图象的下方,形状向下凸越大,

下凸的程度越大(你能找出原因吗?)
2 当∠α <1 时, x ∈(0,1) , y ? x 的图象都在 y ? x 的图象上方,形状向上凸,α 越小,上凸的程

度越大(你能说出原因吗?) (3)α <0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 在第一家限内,当 x 向原点靠近时,图象在 y 轴的右方无限逼近 y 轴正半轴,当 x 慢慢地变大时,图 象在 x 轴上方并无限逼近 x 轴的正半轴. 例题: 1.证明幂函数 f ( x) ?

x在[0, ??]上是增函数

证:任取 x1 , x2 ?[0, ??), 且x 1 < x2 则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x2
2

=

( x 1 ? x2 )( x 1 ? x2 ) x 1 ? x2

=

x 1 ? x2 x 1 ? x2

因 x1 ? x2 <0, x 1 ?

x2 >0
x在[0, ? ?] 上是增函数.

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 f ( x) ? 思考: 我 们 知 道 , 若 y ? f ( x) ? 0, 若

f ( x1 ) ? 1 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 你 能 否 用 这 种 作 比 的 方 法 来 证 明 f ( x2 )

f ( x) ? x在[0, ??]上是增函数,利用这种方法需要注意些什么?
2.利用函数的性质 ,判断下列两个值的大小 (1) 2 ,
1 6 1 6 3 3 2 2 4

3

(2) ( x ? 1) 2 ,

x2

( x ? 0)

(3) (a ? 4) 4 , 4
2

?

?

分析:利用幂函数的单调性来比较大小. 5.课堂练习 画出 y ? x 3 的大致图象,并求出其定义域、奇偶性,并判断和证明其单调性. 6.归纳小结:提问方式 (1)我们今天学习了哪一类基本函数,它们定义是怎样描述的? (2)你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗? 作业:P79 习题 2.3 第 2、3 题
2

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