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向量的加法3(公开课原创课件)

时间:2015-04-23


高一数学组

复习回顾:
相等向量的定义: 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 共线向量与平行向量的关系: 任一组平行向量都可移到同一条直线上 所以平行向量也叫共线向量

河宽4米,水深10米,河水流速为 2 3 km/h, 小船以2km/h的速度直向决口处驶去。
2 3 2 3

V水
2 3

大家想一想:如果船不改变方向,他们能否准 确及时到出事地点?用所学过的知识加以说明。

平行四边形法则
如图,已知向量a,b, 求作向量a+b.
b a B

作法:(1)在平面内任取一点A (2)作
AB ? a, AD ? b

A

(3)以AB,AD为邻边 作平行四边形ABCD
D C

则 AC ? a ? b

作平移,共起点,四边形,对角线

已知向量 a , b, 求作向量 a?b
b a
作法(1)在平面内任取一点O

(2)作 OA ? a , AB ? b
(3)则OB ? a ? b

这种作法叫做向量加法



A

的三角形法则
B

(“作平移,首尾连,
由起点指终点”)

当向量 a, b 为共线向量时,a ? b又如何作出来?

(1) 同向
a

(2)反向

a

b
A B C B

b
C

A

AC ? a ? b

AC ? a ? b

注: a ? 0 ? 0 ? a ? a

先看一个有趣的规律:

OA ? AB ? ? AB
从左往右看,“合二为一”; 从右往左看,“一分为二”。

沙尔(Michel Chasles), 法国数学家,1793-1880。

概念深化
问题3:两种法则有什么关
系?

问题4:两个向量的和仍为
一个向量,那么和向量的方向 与两个向量的方向有何关系? 和向量的模与两个向量的模有 何关系?

典例探究
例1(见学案)

问题5:由例1你能得出什么结论?
向量加法满足交换律和结合律 从而,多个向量的加法可以按照任意的次序与 任意的组合进行

探究
A2
A1 A2 A3 A1A4 A1A2+A2A3+A3A4=_______ A4 A3 A1A3 A1A2+A2A3=_______

A1

问题6 如何求平面内n个向量的和向量?
如果起点和终点重合, 你又能得到什么结论? An

A2
A3 A1 A4 An+1 A1An+1 A1A2+A2A3+…+ AnAn+1=_______

多 边 形 法 则

河宽4米,水深10米,河水流速为 2 3 km/h, 小船以2km/h的速度直向决口处驶去。
2 3 2 3

V水
2 3

求船实际航行速度。

A

D

解:如图,设AD表示船向垂直于对岸行 驶的速度 AB 表示水流的速度,以A D、AB为邻边作平行 四边形 ABCD,则AC就是船实际航行的速度 。

在Rt△ABC中,|AB|? 2, |BC|? 2 3
? |AB|? 2, |BC |? 2 3 ? |AC|?
B
2

C

|AB | ?|AC| ? 4
|BC | ? 3

2

应如何才能到达出事地点呢?

又tan ?CAB ?

| AB| ? ?CAB ? 60?

答:船实际航行速度的大小为4km/h,方向 与流 速 间的夹角为60°.

思考:
? ? ? 已知任意向量a、b,求做向量c, ? ? ? ? ? ? ? 使a ? b ? c ? 0;表示a、b、c的有 向线段能够组成三角形 吗?
两个人提一桶水,用力大小 一样,怎样提比较省力?

课后思考
1、 你能用向量加法证明:两条对

角线互相平分的四边形是平行四边
形吗? 2、
? O为三角形ABC内一点,若OA ? OB ? OC ? 0,

则O是三角形ABC的什么位置?试着证明 它!

课时小结:
1.向量加法的定义
2.向量加法的两种法则:
(1)三角形法则: 作平移,首尾连,由起点指终点 (2)平行四边形法则: 作平移,共起点,四边形,对角线

知 识 方 面

3.向量加法的运算律: 交换律:a ? b ? b ? a

结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

数学思想
分类讨论 类比、联想 数形结合


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