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人教版高一数学知识点最全习题最典型函数复习题

时间:2018-06-28


函数知识点

一、函数
一、判断函数相等(定义域相同,对应法则相同) 1. y ? x 与 y ?

x2 ; x
2

2. y ? x 与 y ?

x2 ;

3. y ? ( x )2 和 y ?

x3 ; 4. f (n) ? 2n ? 1, n ? Z 与 g (n) ? 2n ? 1, n ? Z

二、 函数的求值及表达式 1. 已知函数 f ( x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ,g ( x) ? x ? 1 。 求 f (? 2) , f (a ? 3) , f [ g ( x)] 的表达式。 2. 已知 f (2 x ? 1) ? 3x ? 2 ,求 f (3) 的值及 f ( x ) 的表达式。 3. 已知是一次函数且 f [ f ( x)]=9 x ? 4 ,则 f ( x) ? 三、 求函数定义域问题 主要依据:1.

1 , A ? 0 ; 2. A

n

0 , A ? 0 ; 3. A , A ? 0 ; A ( n ? 2k )

4. log a A , A ? 0 , a ? 0, 且a ? 1 1. 求下列函数的定义域 (1) f ( x ) ?

1 ; (2) f ( x) ? 3x ? 2 ; (3) f ( x) ? log3 ( x2 ? 2x ? 3) x?2
? 3 4

2 (4)f ( x) ? log 1 (2 x ? 5) ; (5)f ( x) ? 1 ? x ? x ? 3 ?1 ; (6) (3 ? 2 x ? x )
2

2. (1)已知 f ( x ) 的定义域为 (2,5) ,求 f (2 x ? 1) 的定义域。 (2)已知 f (2 x ? 1) 的定义域 (2,5) ,求 f ( x ) 的定义域。 四、 函数的值域 值域是指定义域中 x 所对应的 y 的取值范围。 注:定义域、值域都应写成集合或区间的形式。 1. y ? 2 x ? 1 ; 3. y ? x ? 6 x ? 3;
2

2. y ? ? x ? 2 x ? 3 ;
2

4. y ? x ? 2x ? 1 ; 6. y ? log3 (2x ?1), x ?[2,14]
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5. y ? 3x ? 2, x ?[?1,1] ;

函数知识点

7. y ? log2 (3 ? 2x ? x2 ) ; 五、函数的图像 函数 一次函数 图象

8. y ? log 1 (? x ? 2 x ? 4)
2
5

函数 指数函数

图象

y o

y ? kx ? b

k>0 b>0 x

y O
y O

y?a

x

a>1 x

a ? 0, 且a ? 1
对数函数

二次函数

y a>0 o x

a>1
(1,0)

y ? ax2 ? bx ? c

y ? loga x
a ? 0, 且a ? 1
三次函数

x

反比例函数

y k>0 o
y o x

y O
y O x

y?

k x

x

y ? x3

x

绝对值

幂函数

y ?| x |

y ? xa
若a

? 0 ,x ? 0

1. 画出函数 y ?

( x 2 ? 1) ?

| x| 的图象。 x

2. 作出函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 1| 的图象,并由图象求 f ( x ) 的值域。 六、映射

f : A? B 、 B 非空, A 中任意 一个 x ,在 B 中有唯一确定 的 y 与之对应。 .. ....
设集合 A 中有 m 个元素,集合 B 中有 n 个元素,则 A 到 B 的映射有 n 个。 1. 设集合 A ? {a, b, c} ,B ? {0,1} 。 问: 从 A 到 B 的映射共有多少个?分别写出。 2. 已知 ( x, y ) 在映射 f 下的象是 ( x ? y, x ? y) ,则象 (1, 2) 在 f 下的象为
m

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函数知识点

二、函数的基本性质
一、 单调性 定义:在定义域内某区间 D 上,对任意 ..x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 称函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数 。 ... 在定义域内某区间 D 上,对任意 ..x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 称函数 f ( x) 在区间 D 上是减 函数 。 . .. 二、 基本函数的单调性 函数 一次函数 分类讨论 单调性 单调递增 ? 单调递减 ? 定义域 值域

a?0

y ? kx ? b

a?0

R

( ??, ?
a?0
二次函数

b )上 2a

y ? ax2 ? bx ? c
a?0

? ; b (? , ??) 上 2a ? b ( ??, ? ) 上 2a ? ; b (? , ??) 上 2a ?
?

[

4ac ? b2 , ??) 4a

R

(??,

4ac ? b 2 ] 4a

指数函数

y ? ax a ? 0, 且a ? 1
对数函数

0 ? a ?1

a ?1
0 ? a ?1 a ?1

?
? ?
第一象限内

R

(0, ??)

y ? loga x a ? 0, 且a ? 1
幂函数

(0, ??)

R

y ? xa 若a ? 0, x ? 0

a?0
a?0

? ?

三、 用定义法证明函数的单调性 步骤:1. 取值, x1 ? x2
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函数知识点

2. 作差变形 3. 定号 4. 得出结论 例子:证明函数 y ? 四、 复合函数的单调性

1 在 (??,0) 上是减函数。 x

★同增异减

f ( x) g ( x) f [ g ( x)]
1. 判断 y ? 3x 2. 求 y ? ( )
2

? ? ?
?2 x

? ? ?

? ? ?

? ? ?

的单调性 的递减区间

1 2

? x2 ?2 x

3. 求 y ? log0.5 ( x2 ? 2x ? 3) 的单调增区间 五、 函数单调性的应用 1. 比较大小 已知函数满足 f ( x) ? f (4 ? x) ,且在 x ? 2 时,函数为增函数。试比较 f (?1) ,

f (1) , f (4) 的大小。
2. 求参数的范围 已知 f ( x) ? kx ? 4x ? 8 在区间 [5, 20] 上是单调函数。求实数 k 的取值范围。
2

3. 求最值 函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 1 在区间 [?1,1] 上的最大值是
2

,最小值是 ,最小值是

函数 f ( x) ? x ? 2ax ?1在区间 [0, 2] 上的最大值是
2

六、 奇偶性 1. 用定义判断函数奇偶性的一般步骤 (1)考查函数的定义域是否关于原点对称 (2)判断 f (? x) 和 f ( x ) 的关系

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函数知识点

若 f (? x) = f ( x ) ,则 f ( x ) 为偶函数。

如 f ( x) ? x2

若 f (? x) = ? f ( x) ,则 f ( x ) 为奇函数。 如 f ( x) ? x3 若 f (? x)=f ( x)=? f ( x) ,则 f ( x ) 既是奇函数又是偶函数。如 f ( x) ? 0 若 f (? x) ? f ( x) ? ? f ( x) ,则 f ( x ) 为非奇非偶函数。如 f ( x) ? x 2 +1 2.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x)= x ?1 ? 1 ? x (3) f ( x)=log a (2) f ( x)=| x ? 1| ? | x ? 1|

1? x 1? x

3.已知函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数,且在 x ? 0 时, f ( x) ? x | x ? 2 | 。求 f ( x ) 的 解释式。 4.证明函数的奇偶性 函数 f ( x ) , x ? R ,对任意 a、b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 。 求证: f ( x ) 是奇函数。 5.已知函数 y ? f ( x) 是奇函数, y ? g ( x) 是偶函数,且对于定义域内的任一 x ,
2 都有 f ( x) ? g ( x) ? x ? 2 x 。求 f ( x ) 和 g ( x) 的解析式。

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函数知识点

三、基本初等函数
一、指数及对数式常用运算公式 指数 对数 1. loga 1 ? 0 ; loga a ? 1 ;

a,n?2k ?1 n n 1. ( n a )n ? a ; a ? { ; |a|,n?2k
2. a ?
m n n

a ;a
r ?s

m

?

m n

?

1
m



loga am ? m ; aloga m ? m
2. loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

an
3.

a a ?a
r s



log a (

a r ? a s ? a r ?s ;
s ; (a r ) s ? a r ·

M ) ? log a M ? log a N ; N n log a M ; m

loga M n ? n loga M ; log a m M n ?
3.

(ab) ? a b
r

r r

log a b ?

log c b ; (换底公式) log c a

二、指数函数与对数函数图象和性质 指数 y ? a , a ? 0, 且a ? 1
x

对数 y ? log a x a ? 0, 且a ? 1

分类

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

y
图象

y (0,1) O
R

y

y O x (0,1)

(0,1) x O

x

(0,1) x O
(0, ??) R

定义域

值域

(0, ??)
恒过点 (1,0) 在 R 上? 在 R 上? x ? 0 ,0 ? y ?1 x ? 0 , y ?1 x ? 0 , y ?1 x ? 0 ,0 ? y ?1 x ? 0 时,底大图高



在 R 上? 在 R 上? x ?1, y ? 0 x ?1, y ? 0 0 ? x ? 1, y ? 0 0 ? x ? 1, y ? 0 x ? 1 时,底大图低



1 y ? a x 与 y ? ( ) x 的图象关于 y 轴对称 a

y ? loga x 与 y ? log 1 x 的图象关于 x 轴
a

对称

y ? a x 与 y ? loga x 的图象关于 y ? x 轴对称
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函数知识点

三、巩固检测 1. 比较大小 (1) 1.7 (4) a
2.5

, 1.7 ; (2) 0.6
2.3

3

?0.2

, 0.6

?0.4



(3) 1.7 , 0.9 ; (6) loga 4.3 , loga 5.2

0.3

3.1

1.7

,a



(5) log2 3.4 , log2 8.5
6 0.3

(7) log2 0.7 , log 0.3 0.8 ;

(8) 0.3 , 6 , log 0.3 6

2. 求下列函数的定义域( y ? au ( x ) , u( x) ? R ; y ? loga u( x), u( x) ? 0 ) (1) y ?

1 5
2 x ?1

; (2) y ? 1 ? ( )

1 3

x?1

; (3) y ?

1 3
x x ?1

?1

; (4) y ? loga ( x ?1)2 ;

(5)y ? loga (4 ? x) ; (6)y ? log 2 x ; (7)y ? 3. 求下列各式的值 (1)已知 x ? x ? x ?x
1 2
?1

1 1 ; (8)y ? log 1 x log 0.5 (4 x ? 3)
3

? 2 ,求下列各式的值
; ? x ?x ;
2 ?2

?

1 2

? x ?x ;
2

?2

? x ?x

3 2

?

3 2

n (2)已知 f ( x) ? 2 ,则 f [ f (?1)] ?

(3)已知 y ? (2a ? 3a ? 2) ? a 是指数函数,则 a ?
2 x

(4)已知 2 ? 3 , 2 ? 6 , 2 ? 7 ,则 2
x
y

z

3 x? y ?2 z

?

2 2 (5)若 x ? (8,10) ,则 ( x ? 8) ? ( x ? 10) ?

(6)化简: ?
4

81 9 ; ? 2 3 ? 1.5 ? 12 ; ?
3 6

2 3

a2 a ? 3 a2

(7)利用换底公式求值或证明: ? (log2 25) ? (log3 4) ? (log5 9) ; ? (loga b) ? (logb c) ? (logc a) ? 1 (8)已知 x log 2 3 ? 1 ,求? 3 ? 3 ;? 9 ? 9
x ?x

x

?x

(9) lg( x ? 1) ? lg( x ? 2) ? lg 2 ,则 x 的集合为
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函数知识点

(10)已知 f (10 ) ? x ? 1 ,则 f (6) ? 4. 图象问题
x

(1)函数, y2 ? b x , y3 ? c x , y4 ? d x (如图) ,则 a, b, c, d 大小顺序

(2)函数 y ? a 与 y ? log a x , (a ? 0, 且a ? 1) 的图象为

?x

y
(0,1)

y
(0,1)

A.

O

y
O

(1,0)

x

B.

O

(1,0)

x

y
(1,0)

(0,-1)

x
D.

(0,1) (1,0)

C. 5. 不等式问题

O

x

(1)设 y1 ? a3 x?1 , y2 ? a?2 x?1 , (a ? 0, 且a ? 1) ,确定 x 为何值时有: ? y1 ? y2 ; ? y1 ? y2

(2)函数是单调递减函数,则 a 的取值范围是
x (3)函数 f ( x ) 的定义域是 (0,1) ,那么 f (3 ) 的定义域是

(4)比较: loga 3 与 loga ( x ? 2x ? 4) 的大小
2

(5)函数 f ( x) ? lg(3 ? 2x ? x ) 的定义域为 P ,值域为 Q ,则 P ? Q ?
2

(6)已知奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? log3 x ,当 x ? 0 时, f ( x) ?
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