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四川省宜宾市第三中学2014高一数学教学论文 风格独特 特点鲜明-研究四川高考文科数学试题后有感

时间:2015-03-27

——研究四川高考文科数学试题后有感
关键词:四川高考,文科数学,试题特点,教学指导 2006——2011 四川省自主命制高考试题已经 6 年,纵观这 6 年的文科数学试题,我们发 现命题团队已经形成自己的一些风格, 试题出现了很多对教学具有极大指导意义的特点, 相 信这些风格和特点将在新课改高考中得以延续。现将其总结如下,供各位老师参考。如有不 当之处也希望老师们批评指正。 一、自主命题以来,四川高考文科数学试题的特点 (一)基础题的考察范围、形式比较稳定 填空题在这一点上体现得尤为突出,下表给出了 6 年自主命题中填空题(第 13——16 题)考察的知识点。 2006 年 13 题 14 题 15 题 16 题 二项式 线性规划 圆锥曲线 立体几何 2007 年 二项式 立体几何 圆与轨迹 三角函数 (多选) 2008 年 二项式 直线与圆 排列组合 数列 2009 年 圆锥曲线 二项式 立体几何 创新 2010 年 二项式 2011 年 二项式

圆(弦长) 圆锥曲线 立体几何 创新 (07 福 建改编) 立体几何 创新

从表中我们看到了以下几个特点: ①每年都考了一道二项式定理的问题, 而且大部分都是在 最简单的 13 题的位置; ②第 14 题和第 15 题大多数时候都是一道解析几何, 一道立体几何; ③第 16 题多数是创新题目,而且是多选题。从上述情况来看,填空题中的基础题,主要集 中在二项式定理、解析几何、立体几何,这印证了我们的判断。 选择题的题目较多,规律不易发现,但我们通过下表仍然可以看到一些端倪。 2006 年 1题 2题 3题 4题 5题 6题 7题 8题 9题 集合与不 等式 反函数 导数(切 线) 平面向量 2007 年 集合 反函数 统计 立体几何 2008 年 集合 反函数 平面向量 三角函数 不 等 式 (解) 直线 三角函数 (解△) 立体几何 (球) 函数(周 期) 2009 年 集合与不 等式 反函数 数列 三角函数 2010 年 集合 对数函数 图像 抛物线 分层抽样 二 次函 数 + 充要条件 向量(中 点) 三角函数 (平移) 线性规划 排列组合 2011 年 集合 统计(频 率) 圆 反函数图 像 充要条件

统计

圆锥曲线 立体几何 (球) 数列 平面向量 排列、组合

统计

三角函数 立体几何 圆与轨迹 立体几何 (球)

立体几何 不等式 圆锥曲线 立体几何 (球)

立体几何 向量 三角函数 (解△) 数列

1

10 题 11 题

圆锥曲线 三 角函 数 + 充要条件

圆锥曲线 线性规划 创新(平面 几何可建 系)

立体几何 圆锥曲线

线性规划 排列组合

椭圆 不等式

线性规划 直线与圆

12 题

概率

立体几何

抽象函数

立体几何

排列组合

从表中我们看到以下几个特点: ①最基础的前两个题主要考察集合和反函数的图象, 11 年的第 2 题虽然换成了统计,但第 4 题依然是反函数的图象,这表明 11 的试题进一步的降 低了起点。②除开 06 年以外,每年都有一道应用题形式的线性规划问题,其实 06 年的理科 都考了这样的题目,只是文科没有出现。③立体几何一般会有两道题,一道考球面距离(11 年有所变化) ,一道考线面关系,很少像其它省份那样考命题真假的判断。④解析几何 一般 考 1 或 2 道题, 多数是中低难度题目。 ⑤在前 8 道比较基础的题目中, 还经常考察平面向量、 三角函数、统计、数 列、不等式,而比较有难度的排列组合、线性规划等则一般出现在 9 ——12 题。综上所述,我们依然可 以看到基础题的考察范围相对比较稳定,题目的排列顺 序也变化不大,起到了降低试卷起点,稳定考生情绪的作用。 解答题中的基础题也是如此,除 06 年以外,其它 5 年的文科数学试题中,前 3 道解答 题都是考三角函数、概率、立体几何,只是偶尔因难度的不同而改变了一下顺序而已。 (二)注重对学生数学阅读能力的考察 在四川自主命制的高考文科数学试题中,几乎每年都有 1 道题干很长的线性规划选择题,1 道有高数背景的创新填空(多选)题,以及 1 道概率的应用题,它们都要求学生有较强的数 学阅读能力。下面以 2011 年的线性规划为例,来说明这一点。 例 1: (2011 四川文 9)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲 型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车. 某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车 需满载 且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得 利润 450 元;派用 的每辆乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元. 该公司合理计划当天派用两类卡 车的车辆数,可得最大利润 z=( ) (A)4650 元 (B)4700 元 (C)4900 元 (D)5000 元

?0 ? x ? 8 ?0 ? y ? 7 ? ? ? x ? y ? 12 ?10 x ? 6 y ? 72 ? ?2 x ? y ? 19 首先要读懂题意,从题目中提取出有用的数据列出线性约束条件:? ,以及目
标函数 z ? 450 x ? 350 y(其中 x,y 为派用的甲乙型卡车数) 。 然后才能用线性规划的知识求 出 z 的最大值。 对于中等难度的选择题第 9 题而言, 其主要的目的就是考察学生的数学阅读能力, 在阅读较 长题干的基础之上,能保持头脑清醒,解决问题。同时在后面的大题中还有需要类似阅读能 力的概率问题。而填空题的 16 题又是一道有高数背景的创新题,它还要求考生在短时间内 理解全新的概念,并用它解决对应的问题。在这三道题的共同作用下,将对考生的数学阅读 能力作全面的考察。 (三)有较多的题目改编自教材和其它省份的高考试题

2

四川高考文科数学试题重视基础、 回归教材, 每年均有一定数量的试题是以课本习题为素材 的变式题,通过变形、延伸与拓展来命制高考数学试题。如 07 年试卷中的 1、2、3、4、5、 6、10、13、14、15、16、17 题都由教材改编而来。10 年高考文科试卷中 1,2,3,4,7, 9,11,13,14,15,17,18(1) ,19(1),20(1) ,21(1) ,22(1)共 82 分的题是由教材 上的例题,习题改编,分值占 54.7%. 11 年文科试卷的第 1、2、3、5、8、9、10、13、14、 17、18、19、21(1) 、22(1)共 86 分左右的试题是由教材中的例、习题改编,分值占 57 ﹪. 这些题目重视基础,紧扣教材,回归课本,不偏不怪,着力考查考生对“三基”的掌 握 情况, 是现行高中教材中最基本且重要的数学基础知识和通性通法, 既体现了高考的公平公 正,又为中学数学教学提供了良好的导向。 同时四川高考文科数学试题中还有一些题目改编自其它省份的高考试题, 其中最为明显 的是 2010 年四川文科 16 题与 2008 年福建文科 16 题。现列举如下: 例 2(2008 年福建文 16)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈P,都有

a a+b、a-b、ab、 b ∈P(除数 b≠0) ,则称 P 是一个数域,例如有理数集 Q 是数域. 有下列
命题: ①数域必含有 0,1 两个数; ②整数集是数域;

③若有理数集 Q ? M,则数集 M 必为数域; ④数域必为无限集. 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上) 例 3(2010 年四川文 16)设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x, y ? S ,都有

x ? y,x ? y,xy ? S ,则称 S 为封闭集。下列命题:
①集合 S={a+bi| a,b 为整数, i 为虚数单位}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0 ? S ; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S ? T ? C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是 (写出所有真命题的序号) (四)压轴题重点考察学生能力,其中大题与不等式结合较多 关于压轴题,我们应该把小题和大题分开来看,其中小题的规律较难把握,考察的内容不断 变化,但是题目不偏不怪,只要掌握好解决对应问题的常规方法,通过一定的分析就能正确 完成。 对于解答题中的压轴题,我们发现解析几何对计算、思维能力的考察是一个方面,可以通过 适当的训练使得尖子生达到高考要求的水平。另 一方面就是数列与不等式的结合了,放缩 法是重点考察的方法,07、09、10、11 这四年的压轴题都是它,难度很大,要求学生有很 强的数学思维能力。这样的思维能力也不是不能培养,但需要缩小学生范围,针对有潜力的 学生,归类讲解、训练,循序渐进,通过正、逆等多角度变形,培养思维的广阔性和深刻性。 这在高考题的命制上也有所体现,我们可以看一下 2011 年的第 22 题。

3

f ( x) ?
例 4: (2011 四川文 22)已知函数

2 1 x ? , h( x ) ? x 3 2 .

(Ⅰ)设函数 F(x)=18 f(x)-x2 [h(x)]2,求 F(x)的单调区间 与极值;

3 3 (Ⅱ)设 a∈R,解关于 x 的方程 lg[ 2 f(x-1)- 4 ]=2 lgh(a-x)-2lgh(4-x); 1 (Ⅲ)设 n ? ? *,证明:f(n)h(n)-[h(1)+h(2)+?+h(n)]≥ 6 .
该题的第(III)问也是用的放缩法,首先将不等式化为:

2 1 1 1 ? 2 ??? n ? ( n ? ) n ? 3 2 6.
按照常规的思路就应该去考虑将左边数列的通项

an ? n 进行放大,以便求和,从而证明 an ? n 如何放大才能实现既

不等式成立。但很快我们发现此法很难行得通,因为不知道

可以求和,又不会超出不等式右边的范围。于是我们采取逆向思维的方式,令不等式右边的

2 1 1 ( n? ) n ? 3 2 6 为数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ,再利用 an 与 S n 的关系求出

?1, n ? 1 ? a n ? ? 4n ? 3 4n ? 1 n? n ? 1, n ? 2 ? 6 ? 6
通过作差法可得

an ? n , n ? 2 ,又 a1 ? 1 .

2 1 1 1 ? 2 ? ? ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ( n ? ) n ? 3 2 6. 所以
从此题我们发现,只有不断培养学生逆向思维的能力、思维的发散性、以及思维的敏捷性才 有可能让学生在高考中突破类似的压轴题。 二、对教学的几点建议 根据自主命题以来,四川高考文科数学试题的上述特点,结合实际教学情况,我们提出 了如下几点教学建议。 (一)教学中要根据高考考察的重点,有详有略、有主有次的处理各个知识点,不要盲目的 追求知识、方法的全面性。通过长时间的教学,我们老师都积累了很多的方法、技巧,但其 中有些已经不 再是高考考察的内容,对于这些内容,我们应当果断摒弃,不要再让它增加 学生的负担,冲淡教学的主题。例如在一轮复习中讲函数的值域时,有些老师为了追求方法 的全面,总共讲了八九种求值域的方法。这么多的方法铺天盖地的讲来,学生那里知道那个 重要那个不重要,如果学生素质好,也许还能全部掌握,但基础差一点的学生可能什么都没 有学到,反而还被搞晕了头。还不如只讲一些常见函数的值域求法,如配方、分离常数、利 用函数的单调性、图象法。可适当将难度往分式函数上延伸,因为在圆锥曲线的大题中有时

4

要用到分式函数的值域去求范围、最值。 (二) 针对不同层次的学生制定不同的教学计划, 在保护学生的数学学习积极性的前提之下, 通过螺旋上升的方式,尽量的达到高考的要求。 从以往的教学经验来看,即便是 一个能考上重本的学生,他在数学的学习过程中也有很多 知识不能一次性就牢固掌握、熟练应用,都有一个缓冲的过程,需要螺旋上升,才能达到最 终的目标。而对于数学成绩暂时落后的学生,就更是如此,有可能终其高中三年的学 习时 间也很难把某些题目搞懂。因此,教师要根据学生的情况,设定不同时间段的教学标高,要 敢于“舍” ,只有一时的舍弃,才能换来最终的提高。 (三)通过对例题、习题的归类、变式,展现通性通法,讲透同类问题的关键点。 对于这一点我体会特别深刻, 在 2010 年的高考中, 我的学生在考试前几天都做过 2008 年福 建文科 16 题, 上文中也提到当年考试的 16 题就是由此题改编而来, 但还是有好些成绩优秀 的学生没能做对该 16 题,当时我很难接受。但后来想想,可能就是因为没有对题目进行变 式训练,以至于学生对此类题的认识仅限于皮毛。在后来的教学中,我加强了对例题、习题 的归类、变式,举例如下:

C:
例 5(10 全国卷 II)已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a>b>0) 2 a b 的离心率为 2 ,过右焦点 F 且斜
.

率为 k (k>0) 的直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ? (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

例 6(10 全国卷 I)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线 交 C 于点 D , 且 BF ? 2FD ,则 C 的离心率为 .

我发现上面的两个题目有很强的联系, 它们展示了椭圆的第二定义与数形结合思想的完美融 合,我就把它们放在一起讲解,并引导学生发现其命题结构如下 例 5 是已知离心率,比值,求斜率; 例 6 是已知斜率,比值,求离心率. 并给出了如下的变式训练:

e?
例 7:已知椭圆 C 的离心率

2 2 ,F 是 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端 点,线段 BF
.(已知斜率,离心率,求比值.)

的延长线交 C 于点 D, 且 BF ? ? FD ,则 ? =

我相信通过这样的变式训练,学生应该能够更好的掌握这种重要的方法了。 (四)回归教材,但要注意方式方法。 高考已经越来越回归教材了,我们的教学当然也应该如此,但该怎样回归,是不是就是 让学生看书,做书上的例题、习题,我想这值得我们思考。我们觉得还是应该在教师的指导 下去回归教材,而不应该让学生单独去完成。例如教师可以将书上一些关系紧密的题目,合 并改编成一些新题,让学生能从中总结出规律性的东西,形成更清晰的知识网络。 (五)在平时自己组织的考试中,要尽量向高考看齐,考高考常考的,不宜过多的超出高考 对这部分知识的要求。 尤其是在我们高一的教学过程中, 学生才进入高中还没有适应新的环 境,而此时所学的知识也很少,能力还不够。我们没有必要在考试中过多的增加难度,这样

5

只会打击学生的学习积极性,让学生对数学的学习产生心里阴影。 由于个人的能力有限,上述的研究、观点可能有不当之处,更不敢谈全面、深刻,只是 记下了工作之中的一些感触、体会,仅供各位同行参考、交流。

6


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