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重庆一中2014届高三5月月考

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2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第三次月考

“孤立元素”的含 4 个元素的子集个数共有( M ? {1,2,3,?,10} 的无 .



数 学 试 题(理科)2014.5
一、选择题.(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.已知集合 M ? {x y ? x 2 ? 1}, N ? { y y ? x ? 1} ,则 M A. {(0,1)} B. {x x ? ?1}
N ?(

A.28 B.36 C.49 D.175 M 为正方形 ABCD 8. 已知圆 O 的半径为 1, 四边形 ABCD 为其内接正方形,EF 为圆 O 的一条直径, 边界上一动点,则 ME ? MF 的最小值为( A. ?
3 4

) C. ?
1 4

) D. {x x ? 1} ) D.4

B. ?

1 2

D. 0
tan C tan C ? ?( ) tan A tan B 1 D. 2014

C. {x x ? 0}

9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a2 ? b2 ? 2014c2 , 则 A.
2 2013

2.设复数 z 满足 ( z ? i)(1 ? i) ? 1 ? i,(i 是虚数单位),则 z ? ( A.1
2

B.

1 2013

C.

2 2014
). D. 10

B.2 )

C.3

3.命题“若 x ? 1, 则 x ? 2 ”的否定是( A. ?x ? 1, x2 ? 2 4.双曲线 x 2 ? B. ?x ? 1, x2 ? 2

10.设 a, b ? R? , a ? b ? 1, 则 a2 ? 1 ? b2 ? 4 的最小值为( A. 2 ? 2 B. 2 2 C.3

C. ?x ? 1, x2 ? 2

D. ?x ? 1, x2 ? 2 )

y2 ? 1上一点 P 到左焦点的距离为 4,则点 P 到右准线的距离为( 3

二、填空题.(本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品,它们的数量之比分别为 2 : 3 : 4 ,现采用分层抽样 的方法抽出一个容量为 n 的样本,其中甲种商品有 12 件,则此样本容量 n = ; 12.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,对 ?x ? R 恒有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f (2) ,且当 x ? (1,2) 时,
1 f ( x) ? x2 ? 3x ? 1, 则 f ( ) ? 2

A.1 B.2 C.3 D.1 或 3 5.一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体,余下的几何体的三视图如下图, 则余下部分的几何体的体积为( ) 16? 16? 16? 2 3 8? 3 ?2 3 A. B. C. D. ? ? 3 9 9 3 9 3

; ;

13.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S1 , 2S2 ,3S3 成公比为 q 的等比数列,则 q =

特别提醒:14~16 题,考生只能从中选做两题;若三道题都做的,则只计前两题的得分. 14.已知 ?ABC 的中线 AD, BE 交于 K , AB ? 3, 且 K , D, C , E 四点共圆,则 CK ? ;

T ?0 I ?2
while I ?

15.在直角坐标系 x ? O ? y 中,极点与直角坐标系原点重合,极轴与 x 轴非负半轴重合建立极坐标

T ?T ?I I ? I ?2
Endwhile

? , ?x ? s i n ? ? a 有两个公共点,则实数 a 的取值范围 系,若曲线 ? (? 为 参 数 ) 与 曲 线 ? s i n 2 ?y ? sin ? ,
是 ; 16 . 若 关 于 x 的 不 等 式 x2 ? | x3 ? 2 x2 |? a x? 4 在 x ? ?1,10? 内 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 .

Pr int T
(第 5 题图) (第 6 题图)

6.根据上面的程序框图,若输出的结果 T ? 600 ,则图中横线上应填( A.48 B.50 C.52 D.54



三、解答题.(共 6 小题,共 75 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17.(13 分) 已知 f ( x) ? 2sin ? x cos(? x ? ? ),(? ? 0, ?? ? ? ? ? ) 的单増区间为 [k? ?

7 .对于集合 A ,若满足: a ? A, 且 a ? 1? A, a ? 1? A ,则称 a 为集合 A 的“孤立元素”,则集合

?
12

, k? ?

5? ], (k ? Z ) . 12

(1)求 ? , ? 的值; (2)在 ?ABC 中,若 f ( A) ? 3, 求角 A 的取值范围.

20.(12 分) 在数列 {an } 中, 向量 AB ? (Sn , p2 ? an ), CD ? (1, p ?1) , 且 AB // CD, 其中 p ? 0 an ? 0, S n 为其前 n 项和, 且 p ? 1. (1)求数列 {an } 的通项公式;

18.(13 分) 如图, 由 M 到 N 的电路中有 4 个元件, 分别标为 T1 , T2 , T3 , T4 , 已知每个元件正常工作的概率均为 且各元件相互独立. (1)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率; (2)记随机变量 ? 表示 T1 , T2 , T3 , T4 这四个元件中 正常工作的元件个数,求 ? 的分布列及数学期望.
2 , 3

(2)若 p ?

1 1 ,数列 {bn } 满足对任意 n ? N ? ,都有 b1an ? b2 an ?1 ? ... ? bn a1 ? 2n ? n ? 1 , 2 2

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

21.(12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? ln x) . (1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若 x1, x2 ? 0, p1, p2 ? 0, p1 ? p2 ? 1 ,求证: p1 f ( x1 ) ? p2 f ( x2 ) ? f ( p1 x1 ? p2 x2 ) .

19.(13 分) 如图,多面体 ABCDS 中,四边形 ABCD 为矩形, SD ? AD, SD ? AB, 且
AB ? 2 AD ? 2, M , N 分别为 AB, CD 中点.
C B

(1)求异面直线 SM , AN 所成的角; (2)若二面角 A ? SC ? D 大小为 60? ,求 SD 的长.
S

N

M

22.(12 分)
D A

已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,且椭圆 C 经过点 M ( 3, ) . 2 a b 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求椭圆 C 的任意两条互相垂直的切线的交点 P 的轨迹方程; (3)设(2)中的两切点分别为 A, B ,求点 P 到直线 AB 的距离的最大值和最小值.

一、选择题:CBCDB BABAD 二.填空题: 题号 11 12 答案 5 54 4
17.(13 分)

(2)

AD ? CD, AD ? SD,? AD ? 面SCD ,过 D 作 DE ? SC 于 E ,
0

13

14
3 2 2
1

15
(0,1]

16
(??, 4]
连 AE ,则 ? AED 为所求二面角 A ? SC ? D 的平面角 60 .则在 Rt ?ADE 中易得 DE ?

3 2或

3 , 3

设 SD ? a ,在 Rt ?SDC 中, DE ?

2a a2 ? 4

?

(1) f ( x) ? 2sin ? x(cos ? x cos ? ? sin ? x sin ? ) ? sin 2? x cos ? ? (1 ? cos 2? x)sin ? = sin(2? x ? ? ) ? sin ? ,由已知可得, T ? ? ,?? ? 1. 即 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? sin ?.

3 2 11 ,? SD ? a ? . 3 11

z
C B

法 二 : ( 向 量 法 ) (1) 以 D 为 原 点 , 分 别 以 DS , DA, DC 为 x, y, z 轴 建 系 , 则

N

M

5 5 ? 又当 x ? k? ? ? 时, f ( x ) 取最大值,即 2(k? ? ? ) ? ? ? ? 2m? , ( k , m ? Z ) 12 12 2
解得 ? ? ?

A( 0 , 1, 0 N ),

( 0 , 0M , 1) ,

(0 C , 1, 1) , ,设 (0S ,0 , ,2 (a 0,) 0) ,则
D A

y

?

3

? 2n? , (n ? Z ) ,由于 ?? ? ? ? ? ,?? ? ?

?

3

. 故 ? ? 1, ? ? ?

?

AN ? (0, ?1,1), SM ? (?a,1,1), AN ? SM ? 0 ,故 SM 与 AN 成 90? 角;
x

S

3

.
(2) 设平面 ASC 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z), AS ? (a, ?1,0), AC ? (0, ?1,2) , 由?

(2) f ( x) ? sin(2 x ? 而?

?
3

)?

3 ? 3 . 由 f ( A) ? 3, 得 sin(2 A ? ) ? , 2 3 2

? ?n1 ? AS ? 0 ? ?n1 ? AC ? 0

? n1 ? (2,2a, a) ,又显然平面 SDC 的一个法向量为 n2 ? (0,1,0) ,

?
3

? 2A ?

?
3

?

5? ? ? ? 2? 5? ? ? , 由正弦函数图象得, 2 A ? ? (? , ) ( , ),? A ? (0, ) ( , ? ). 3 3 3 3 3 3 3 2 2 , 3

18.(13 分) 解: (1) 记事件 Ai 为 “元件 Ti 正常工作” ,i ? 1,2,3,4 , 事件 B 表示 “电流能在 M 与 N 之间通过” , 则 P ( Ai ) ? 由于 A1 , A2 , A3 , A4 相互独立,所以 B ? A4 ? A4 A1 A2 ? A4 A1 A2 A3 , 法一: P(B) ? P( A4 ? A4 A1 A2 ? A4 A1 A2 A3 ) ? P( A4 ) ? P( A4 A1 A2 ) ? P( A4 A1 A2 A3 )

由题有: cos 600 ? cos n1 , n2

?

2a 4 ? 4a ? a
2 2

? SD ? a ?

2 11 . 11

20.(12 分)解:(1) AB // CD ? ( p ?1)Sn ? p2 ? an . 由 n ? 1,( p ?1)a1 ? p2 ? a1,?a1 ? p 又由 ?

?( p ? 1) S n ? p 2 ? an 1 ? ,两式相减得: ( p ? 1)an ?1 ? an ? an ?1 ,? an ?1 ? an . 2 p ? ?( p ? 1) S n ?1 ? p ? an ?1

?

2 1 2 2 1 1 2 2 70 ? ? ? ? ? ? ? ? ; 3 3 3 3 3 3 3 3 81

所以数列 {an } 是以首项为 p ,公比为 (2)法一:当 p ?

法二:从反面考虑: P(B) ? 1 ? P( A4 ) ? 1 ? P( A3 ) ? (1 ? P( A1 A2 )) ? 1 ? (2)由题 ? ~ B(4, ) , P(? ? k ) ? C 4 ( ) ( )
k k

?

?

1 ? 2 1 ? 11 70 ; ? ?1 ? ? (1 ? ( ) 2 )? ? 1 ? ? 3 ? 3 3 ? 81 81
8 . 3
C B

1 1 n?2 ? 的等比数列, an ? ( ) , (n ? N ). p p

2 3

2 3

1 3

4? k

, k ? 0,4 ,易得 ? 的分布列如右,期望 E (? ) ?

19. ( 13 分)法一(几何法) : ( 1 )

SD ? AD, SD ? AB,? SD ? 面ABCD. 连 MN ,则由已
N M E D A

1 时, an ? 2 n?2 , n ? N * , 2 1 n 在 b1an ? b2 an ?1 ? ... ? bn a1 ? 2 ? n ? 1 中, 2 1 1 1 令 n ? 1, 则 b1a1 ? 2 ? ? 1 ? , a1 ? ,? b1 ? 1. 2 2 2 1 n ?1 , 2 1 1 n ?1 所以 b1an ?1 ? b2 an ? 2 ? ... ? bn ? 2 a2 ? bn ?1a1 ? 2 ? n ? , (n ? 2) , 2 2
因为 b1an ? b2 an ?1 ? ... ? bn ?1a2 ? bn a1 ? 2 ?
n

?
P

0

1

2

3

4

1 81

8 81

24 81

32 81

16 81

知 , AMND 为正方形 ,连 DM , 则 DM ? AN , 又 DM 是 SM 在面 ABCD 上的射影, 由三垂
0 线定理得, SM ? AN .所以直线 SM 与 AN 所成的角为 90 .

(a)

S

将上式两边同乘公比

1 ? 2 得, b1an ? b2an?1 ? ... ? bn?1a2 ? 2n ? n ?1,(n ? 2) , p

(b )

22.(12 分)(1) C :
?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

n ,? bn ? n.(n ? 2) ,又 b1 ? 1, 所以 bn ? n, (n ? N * ) 2 n(n ? 1) 所以 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 。 2 n(n ? 1) 法二:计算可得 b1 ? 1, b2 ? 2, 故猜想 bn ? n ,于是 Tn ? ,下用第二数学归纳法证明: bn ? n 2

( a ) 减去 (b) 得, bn a1 ?

(2) 1 当两切线 l1 , l 2 的斜率有一条不存在(另一条斜率必为 0)时,易得此时点 P(?2,? 3) (四个);

2 ? 当两切线 l1 , l 2 的斜率均存在且不为 0 时,设 l1 : y ? kx ? m, l 2 : y ? ?
则 m ? y0 ? kx0 ?? ? , n ? y 0 ? 联立 ?

1 x ? n ,设 P( x0 , y0 ) k

1 x0 ?? ? k

1 ? 当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,命题成立; 2 设 n ? 1,2,?, k 时, bn ? n ,则 n ? k ? 1 时,因为
?

? y ? kx ? m ?3x ? 4 y ? 12
2 2

? (4k 2 ? 3) x 2 ? 8km x ? 4m 2 ? 12 ? 0 ,
2

b1 a k ?1 ? b2 a k ? ? ? bk a 2 ? bk ?1 a1 ? 2 k ?1 ? 1 ? 2 k ?1 ? 2 ? 2 k ? 2 ? ? ? k ? 2 0 ? bk ?1 ? 2 ?1 1 ? 2 k ?1 ? 2 ? 2 k ? 2 ? ? ? k ? 2 0 ? 2 k ?1 ?
21.(12 分)

k ?1 ? 1 ,即 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? ? 1 ,由错位相减法可得: 2

2 2 因为 l1 : y ? kx ? m 与椭圆相切,故 ? ? 0 ,于是得到 m ? 4k ? 3 ,同理 n ?

4 ? 3 ,于是 k2

k ? 1 ,代入上式得 bk ?1 ? k ? 1 ,综上 1? ,2 ? 有: bn ? n, (n ? N * ) 。 2

? y0 2 ? 2kx0 y0 ? k 2 x0 2 ? 4k 2 ? 3 ? 2 ?( y0 ? kx0 ) 2 ? 4k 2 ? 3 2 2 2 ? ? ? y0 ? 2kx0 y0 ? k x0 ? 4k ? 3 两式相加 ? ? ? ? 2 2 ? 2 2 1 4 1 2 4 2 2 2 ( y ? x ) ? ? 3 y ? x y ? x ? ? 3 ? k y ? 2 kx y ? x ? 4 ? 3 k 0 ? 0 ? 0 0 0 0 0 0 0 0 ? k k2 k ? k2 k2 ?
得 (k 2 ? 1) y0 ? (k 2 ? 1) x0 ? 7(k 2 ? 1) ,即 x0 ? y0 ? 7 ,显然 P(?2,? 3) 也在此曲线上,综上,动点 P 的 轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 7 ;
2 2 (3)设动点 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? y0 ? 7 ,下先证明直线 AB 的方

2

2

2

2

(1)由于 f / ( x) ? 2 ? ln x ,令 f / ( x) ? 0 ? x ? e ?2 ,列表: 于是 f ( x ) 在 (0, e?2 ) ?,(e?2 , ??) ? ,

x
f / ( x)
f ( x)

(0, e ?2 )
负 单减

e ?2
0 极小值

(e ?2 ,??)
正 单增

1 ?2 ?2 在 x ? e 处取得极小值,极小值为 f (e ) ? ? 2 ,无极大值; e
(2)令 g ( x) ? p1 f ( x1) ? p2 f (x) ? f ( p1x1 ? p2x ) ,不妨设 0 ? x1 ? x ? x2 , 则 g?( x) ? p2 f ?( x) ? p2 f ?( p1x1 ? p2 x),

xx y y 程为 0 ? 0 ? 1. 4 3
设 两 切 点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 设 过 A( x1 , y1 ) 的 切 线 :

p1x1 ? p2 x ? x ? p1x1 ? p1x ? 0 ,

y ? y1 ? k1 ( x ? x1 ), 代入椭圆方程得:

? p1x1 ? p2 x ? x, 而 f ?( x) ? ln x ? 2 在 (0, ??) 上是增函数,所以 f ?( x) ? f ?( p1x1 ? p2 x),
? g ?( x) ? 0, g ( x) 在 [ x1 , x2 ] 是增函数,所以 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? 0,
即 p1 f ( x1 ) ? p2 f ( x2 ) ? f ( p1 x1 ? p2 x2 ) ; (又或,本题( 2)问还可以用函数凹凸性的性质:因 f ( x) ?
//

(3 ? 4k12 ) x2 ? 8k1 ( y1 ? k1x1 ) x ? 4( y1 ? k1x1 )2 ?12 ? 0, 由 ? ? 0 得, ( y1 ? k1x1 )2 ? 3 ? 4k12 ? 0;


3 4 x12 y12 3x 3 ? ? 1. y12 ? 3 ? x12 , x12 ? 4 ? y12 ,代入得: (k1 y1 ? x1 )2 ? 0,? k1 ? ? 1 , 4 3 4 3 4 4 y1

1 ? 0 ,故 f ( x) 为下凸函数,而 p1 , p2 ? 0 且 x

p1 ? p2 ? 1 ,故由下凸函数得性质知 p1 f ( x1 ) ? p2 f ( x2 ) ? f ( p1 x1 ? p2 x2 ) ,直接利用函数凹凸性的性质是否
要扣分请酌情处理)。

x1 x y1 y ? ? 1, 当过 A( x1 , y1 ) 的切线斜率不存在时仍然符合上式, 4 3 xx yy xx y y xx y y 同理过 B( x2 , y2 ) 的切线 l2 : 2 ? 2 ? 1. 而 l1 , l2 均过 P( x0 , y0 ) ,故 1 0 ? 1 0 ? 1. 2 0 ? 2 0 ? 1. 4 3 4 3 4 3 xx y y 由此可得直线 AB 的方程为 0 ? 0 ? 1. 4 3
于是过 A( x1 , y1 ) 的切线 l1 :

所以 P 点到直线 AB 的距离 d ?

x0 2 y0 2 ? ?1 4 3 x0 2 y0 2 ? 16 9

?

x0 2 7 ? x0 2 ? ?1 4 3 x0 2 7 ? x0 2 ? 16 9

?

16 ? x0 2 7



而 x0 2 ?[0,7] ,所以点 P 到直线 AB 的距离的最大值和最小值分别为

4 7 3 7 , . 7 7


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