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版高考数学考点41圆锥曲线中的定点定值与存在性问题问题试题解读与变式-含答案

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考点 41 【考纲要求】 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系.会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点 个数),会求有关定值、定点的问题. 【命题规律】 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题一般在解答题中考查.难度较大. 【典型高考试题变式】 (一)定值问题 例 1. 【2017 课标卷】 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 y ? x2 ? mx ? 2 与 x 轴交于 A, B 两点, 点 C 的坐标为 (0,1) . 当 m 变化时,解答下列问题: (1)能否出现 AC⊥BC 的情况?说明理由; (2)证明过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 【解析】 (1)令 A ? x1 ,0? , B ? x2 ,0? ,C(0,1), ? ??0 ? 为 x 2 ? mx ? 2 ? 0 的根 ? x1 ? x2 ? ? m , ? x x ? ?2 ? 1 2 假设 AC ? BC 成立,所以 AC ? BC ? 0 , AC ? ? ? x1 ,1? , BC ? ? ? x2 ,1? , 所以 AC ? BC ? x1x1 ? 1 ? 0 ,所以不能出现 AC ? BC 的情况. 【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略:处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即 弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式: | A B |? 1? k2 | 1 x? x ? 2 | 2 1? k (1x ? 2x 2 ) ? 41x ;圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于 x 2 半径,从而建立关系解决问题. x 1 【变式 1】 【河北省衡水中学 2016 届高三上学期七调考试数学(理)试题】 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 1 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 2 2 a b 7 x ? 5 y ? 12 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 A ? ?4,0 ? ,过点 R ? 3,0 ? 作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 P, Q 两点,连接 AP, AQ 分别交直线 x? 16 于 M , N 两点,若直线 MR, NR 的斜率分别为 k1 , k2 ,试问: k1k 2 是否为定值?若是,求出该定值, 3 若不是,请说明理由. ?c 1 ?a ? 2 ?a ? 4 ? ? x2 y 2 ? 12 ? 1. 【解析】 (1)由题意得 ? ? b ? ?b ? 2 3 ,故椭圆 C 的方程为 ? 16 12 ? 7?5 ?c ? 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? (2)设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,直线 PQ 的方程为 x ? my ? 3 , ? x2 y 2 ? ? 由 ?16 12 ? ? 3m2 ? 4 ? y 2 ? 18my ? 21 ? 0 ? x ? my ? 3 ? ?18m ?21 yM y 28 y1 , y1 y2 ? ,由 A, P, M 三点共线可知 ? 1 ? yM ? 2 2 16 3m ? 4 3m ? 4 3 ? x1 ? 4 ? ? 4 x1 ? 4 3 28 y2 y 9y y yM 16 y1 y2 同理可得 yN ? ,所以 k1k2 ? ? N ? M N ? 16 16 3 ?

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