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【数学】高考数学易错题解题方法大全(5)

时间:2013-01-17


知识改变命运,学习成就未来

高考数学易错题解题方法大全(5)
【范例 1】若函数 ( ) A.[0,4]

f ( x) ? x 2 ? 4x ? 1在定义域 A 上的值域为[-3,1],则区间 A 不可能为
B.[2,4] C.[1,4] D.[-3,

5] 答案:D 【错解分析】此题容易错选为 B,C,D,错误原因是没有借助图象很好的掌握定义域和值域 的关系。 【解题指导】注意到

f ( x) ? x 2 ? 4x ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 3?? (0) ? f (4) ? 1 ,结合函数 ,f

y ? f (x) 的图象不难得知 f (x) 在[0,4]、[2,4]、[1,4]上的值域都为[-3,1],而在[-3,
5]上的值域不是[-3,1]. 【练习 1】已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 f ?1? ? 2 ,对任意 x ? R ,都有
f ? x ? 2? ? f ? x ? ? f (2) 成立,则 f ? 2007 ? ? (

) C.2007 D.2006

A.4012

B.4014

【 范 例 2 】 已 知 全 集 I ? { 大 于 ?3 且 小 于 10 的 整 数 } , 集 合 A ? {0,1, 2,3} ,

B ? {?4, ?2, 0, 2, 4, 6,8} ,则集合 (C I A) ? B 的元素个数有 (
A.3 个 答案:B B.4 个 C.5 个 D.6 个

)

【错解分析】此题容易错选为 C,错误原因是看清全集 I ? {大于 ?3 且小于 10 的整数},而 不是大于等于 ?3 。 【解题指导】I ? {?2, ?1,0,?,8,9} , U A ? ?? 2,?1,4,5,6,7,8,9?, CU A ? B ? ?? 2,4,6,8,?, C 故集合 CU A ? B 的元素个数有 4 个. 【练习 2】设全集 U 是实数集 R, M= x | x2 ? 4 , N ? ?x | log2 ( x ? 1) ? 1? ,则图中阴影部分 所表示的集合是( A. ?x | ?2 ? x ? 1? C. ?x |1 ? x ? 2? ) B. ?x | ?2 ? x ? 2? D. ? x | x ? 2? )

?

?

【范例 3】下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A. y ? x , x ? R
3

B. y ? sin x, x ? R

C. y ? lg x, x ? 0

x ?3? D. y ? ? ? , x ? R ?2?

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答案:A 【错解分析】 此题容易错选为 B, D, C, 错误原因是没看清楚题目考查的是函数的两个性质。 【解题指导】本题主要考查三角函数、对数函数、指数函数、幂函数的基本性质.其中 B 在 其定义域内是奇函数但不是减函数;C 是非奇非偶函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函 数. 【练习 3】函数 f ( x) ? 1 ? log2 x 与 g ( x) ? 2? x?1 在同一直角坐标系下的图象大致是( )

A

B

C

D

【范例 4】已知等差数列{an}的前 n 项和是 S n ? ? 小正整数 n 为( A.2009 答案: B ) B.2010 C.2011

1 2 a8 n ? n ,则使 an ? ?2006成立的最 2 2
D.2012

【错解分析】此题容易错选为 A,C,D,错误原因主要是不能准确的根据等差数列求和公式 的性质求出 d ? ?1 且 a1 ? 2 。 【解题指导】设数列 ?an ? 的公差是 d ,则 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 2

a a ? 7d d a 1 d 1 ? ? n 2 ? 8 n , ? ? 且 a1 ? ? ? 8 ? ? 1 , d ? ?1 且 a1 ? 2 , 2 2 2 2 2 2 2

an ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? n ? ?2006 n ? 2009 ,
因此使 an ? ?2006成立的最小正整数 n=2010,选 B. 【练习 4】无穷数列 1, 10. A.99

1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , ,?的前( 3 3 3 5 5 5 5 5
C.101 D.102 )

)项和开始大于

B.100

【范例 5】若 ? ? (

? ?

1 , ),sin 2? ? , 则 cos ? ? sin ? 的值是( 4 2 16

A.

15 16

B.

15 4

C. ?

15 4

D. ?

15 4

答案:C

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?? ?? ? , ? 时,sin ?, 与cos 的大 ?4 2?
15 , 16

【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是没有弄清楚 ?? ? 小。

【解题指导】? ? ? ( , ) ? cos ? ? sin ?, 又 (cos ? ? sin ?) ? 1 ? 2 sin ? cos ? ?
2

? ? 4 2

所以 cos ? ? sin ? = ? 【练习 5】若 0 ? ? ? ? ? A. m ? n

15 4

? , sin ? ? cos ? ? m, sin ? ? cos ? ? n, 则( ) 4 B. m ? n C. mn ? 1 D. mn ? 2

【范例 6】直线 x ? m , y ? x 将圆面 x 2 ? y 2 ? 4 分成若干块,现用 5 种颜色给这若干块 涂色, 每块只涂一种颜色, 且任意两块不同色, 共有 120 种涂法, m 的取值范围是 则 ( A. (? 2 , 2 ) C. (?2,? 2 ) ? ( 2 ,2) 答案:A 【错解分析】此题容易错选为 B,C,D,错误原因是没有能够 耐心的分类讨论去计算到底. 【 解 题 指 导 】 如 图 , ① 当 m ? ?2 或 m ? 2 时 , 圆 面
O x



B. (?2,2) D. (??,?2) ? (2,??)

x=-2

y

x=2 y=x

x 2 ? y 2 ? 4 被 分 成 2 块 , 涂 色 方 法 有 20 种 ; ② 当

x=- 2

x= 2

? 2 ? m ? ? 2 或 2 ? m ? 2 时,圆面 x 2 ? y 2 ? 4 被分成 3 块,涂色方法有 60 种;③当 ? 2 ? m ? 2 时,圆面 x 2 ? y 2 ? 4 被分成 4 块,涂色方法有 120 种,所以 m 的取值范
围是 (? 2 , 2 ) ,故选 A. 【练习 6】 已知单位正方体 ABCD — A B1C1D1 的对棱 BB1、 1 上有两个动点 E、 BE=D1F= DD F, 1 λ

1? ? 设 与 则 ( ? 0 ? ? ? ? , EF 与 AB 所成的角为 ? , BC 所成的角为 ? , ? + ? 的最小值 2? ?
A.不存在 B.等于 60°
? ?
?



C.等于 90°
?

D.等于 120°
?

【 范 例 7 】 若 向 量 a 与 b 不 共 线 , 且 a? b ? 0 , c ? ( ?

?

a? b

?

) a ? b , 则 向 量 a, c 的 夹 角 ? a? a

?

?

? ?

为 . 答案:90° 【错解分析】此题容易错填的答案很多,主要是不能很好地领悟两向量我们主要研究了共线

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和垂直两种情况,所以应该联想到借助数量积解决。 【解题指导】 a ? c ? 0 . 【练习 7】 在平面直角坐标系中, 菱形 OABC 的两个顶点为 O,0, , 1, , OA ?OC ? 1 , ( 0)A ( 1)且 则 AB ? AC ? .
? ?

【范例 8】已知函数 f ? x ? ? x ?

a ( x ? 2) 的图象过点 A(3,7) ,则此函数的最小值 x?2

是 . 答案:6 【错解分析】此题主要考查创造条件利用均值不等式解题的能力,容易错在构造均值不等式 上。 【解题指导】 a ? 4, f ( x) ? x ?

4 4 ? x?2? ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 6. x?2 x?2
(2) 0 ? x ? 2 时, 2 x ? 2? x 无最大值 (4)当 x ? 1 时, lg x ?

【练习 8】下列结论中正确的有 1 (1)当 x ? 2 时, x ? 的最小值为 2 x 1 (3)当 x ? 0 时, x ? ? 2 x

1 ?2 lg x

【 范 例 9 】 若 圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? a ? 0 关 于 直 线 y ? 2 x ? b 成 轴 对 称 , 则 a ? b 的 范 围 是 . 答案: ??,1 ? ? 【 错 解 分 析 】 此 题 容 易错 填 为 ? ??,1? , 错 误 原 因 是 对二 元 二 次 方 程表 示 圆 的充 要 条 件: D ? E ? 4F ? 0 误以为 D ? E ? 4F ? 0 。
2 2 2 2

【解题指导】圆心(-1,2)在直线 y ? 2 x ? b 上,所以 b=4,又 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? a ? 0 表示圆的充要条件是 4 ? 16 ? 4a ? 0 所以 a ? 5 .
? ?
? ?

b ? ? ) 【练习 9】已知向量 a ? (2 cos? , 2 sin? ), ? (2 cos , 2 sin , 其向量 a 与 b 的夹角为

60 0 ,则直线 cos ? ? x ? sin ? ? y ? 0 与圆 ( x ? cos?) 2 ? ( y ? sin ?) 2 ?

1 的位置关系 2

是 . 【范例 10】长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=4,AB=3,则直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成角 的正弦值是 .
2 2 5 【错解分析】此题容易错在线面角的寻找上。 【解题指导】由条件知,BC1 ? 平面 A1B1CD,设 BC1 ? B1C=O,则∠BA1O 为所求角,

答案:

BO 2 2 其正弦值为 = A1 B 5

D A F M B

C

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【练习 10】在棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 A 1 B 1 C 1 D 1 内 取一点 E,使 AE 与 AB、AD 所成的角都是 60°,则线段 AE 的长为 .

【范例 11】由 1,2,3,4 这四个数,组成个位数字不为 2 的没有重复数字的四位数,共有 个 答案:18 【错解分析】此题容易错的地方是:没有优先考虑特殊情况。
3 【解题指导】先确定个位有三种情况,其余进行全排列, 3 A3 ? 18



【练习 11】某机关的 2008 年新春联欢会原定 10 个节目已排成节目单,开演前又增加了两 个反映军民联手抗击雪灾的节目, 将这两个节目随机地排入原节目单, 则这两个新节目恰好 排在一起的概率是_____________. 【范例 12】下列说法:①当 x ? 0且x ? 1时,有 ln x ?

1 ? 2 ;② ? ABC 中, A ? B 是 ln x

sin A ? sin B 成 立 的 充 要 条 件 ; ③ 函 数 y ? a x 的 图 象 可 以 由 函 数 y ? 2a x ( 其 中

a ? 0且a ? 1 ) 平移得到; ④已知 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S7 ? S5 , S9 ? S3 .; 若 则
⑤函数 y ? f (1 ? x) 与函数 y ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 1 对称。 其中正确的命题的序号 为 . 答案:②③④ 【错解分析】此题容易错选为①⑤,而漏掉③。错选①主要是对均值不等式要是正数的前提 条件理解不好,漏掉③主要是对指数的化简没有考虑到。 【解题指导】①中③中将 y ? 2a x 可变形为 y ? a
loga 2

? a x ? a x?loga 2 ,

④中 S 7 ? S 5 ? a6 ? a7 ? 0 所以 S9 ? S3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 3(a6 ? a7 ) ? 0 【练习 12】给出下列四个结论: 2 2 ①“k=1” “是函数 y=cos k x-sin k x 的最小正周期为π ”的充要条件. ②函数 y=sin(2 x-

?
6

)沿向量 a=(

?
6

,0)平移后所得图象的函数表达式是:

y=cos2 x. 2 ③函数 y=lg(a x -2 a x+1)的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是(0,1).
④单位向量 a、b 的夹角是 60°,则向量 2a-b 的模是 3 . 其中不正确结论的序号是 【范例 13】已知函数 f ( x) ? (1)求 f (x) 的极值; .(填写你认为不正确的所有结论序号)

1 ? a ? ln x , a ? R. x

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(2)若 ln x ? kx ? 0在(0,??)上恒成立 求k 的取值范围; , (3)已知 x1 ? 0, x2 ? 0, 且x1 ? x2 ? e, 求证 : x1 ? x2 ? x1 x2 .

【错解分析】 (1)化归思想在此题的应用是容易出错的地方,求 k 的取值范围时先整理出参 数 k, (2)对函数 f ( x) ? 解: (1)? f ( x) ?
/

ln x 是近年来考查的热点,应引起注意。 x

a ? ln x , 令 f / ( x) ? 0 得 x ? ea 2 x

当 x ? (0, ea ), f / ( x) ? 0, f ( x) 为增函数;当 x ? (ea , ??), f / ( x) ? 0, f ( x) 为减函数,
a ?a 可知 f ( x ) 有极大值为 f (e ) ? e

(2)欲使 ln x ? kx ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,只需

ln x ? k 在 (0, ??) 上恒成立, x



g ( x) ?

ln x 1 1 ( x ? 0). 由(1)知, g ( x )在x ? e处取最大值 ,? k ? x e e
ln x 在 (0, e) 上单调递增, x
①, 同理

(3)? e ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 ,由上可知 f ( x) ?

?

ln( x1 ? x2 ) ln x1 x1 ln( x1 ? x2 ) ? 即 ? ln x1 x1 ? x2 x1 x1 ? x2

x2 ln( x1 ? x2 ) ? ln x2 x1 ? x2



两式相加得 ln( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? ln x1 x2 ? x1 ? x2 ? x1 x2
2 【练习 13】设函数 f ( x) ? x ? b ln(x ? 1) ,其中 b ? 0 .

(1)若 b ? ?12 ,求 f (x) 在 [1,3] 的最小值; (2)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

0 【范例 14】 如图在三棱锥 S ? ABC 中 ?ACB ? 90 ,SA ? 面ABC ,AC ? 2 ,BC ? 13 ,

SB ? 29 .
(1)证明 SC ? BC 。 (2)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小。 (3)求异面直线 SC 与 AB 所成角的大小。 S B

A

C

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【错解分析】对面面角,线面角的问题,我们应该先找出角,然后去证明,而不能只有计算 出的结果。 解: (1)∵∠SAB=∠SCA=900

? SA ? AB ? SA ? 面ABC

SA ? AC

AB ? AC ? A

由于?ACB ? 900 即BC ? AC 由三重线定理得SC ? BC
(2)? BC ? AC BC ? SC

??SCA是侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角 在Rt ?SCB中,由于BC ? 13.SB ? 29 SC ? 4 在Rt?SAC中由于AC ? 2 ? COS ?SCA ? ??SCA ? 600 即侧面SBC与底面ABC形成的二面角的大小为600
(3) 过C作CD // BA.过A作AD // BC交点为D.

SC ? 4

AC 1 ? SC 2

则四边形ABCD是平行四边形 ? DC=AB= AC2 ? BC 2 ? 17 又SA ? SB 2 ? AB 2 ? 2 3.SD ? SA2 ? AD 2 ? 5 故在?SCD中,COS?SCD= 17 17
17 17

? SC与AB所成角的大小为arc cos

【练习 14】如图, 正方形 ABCD 和 ABEF 的边长均为 1,且它们所在的平面互相垂直,G 为 BC 的中点. F (1)求点 G 到平面 ADE 的距离; (2)求二面角 E ? GD ? A 的正切值.

x2 y2 + = 1 的左、 【范例 15】 F 、F2 分别是椭圆 设 1 右焦点., 5 4
(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF ? PF2 的最大值 1 和最小值;

E A C D

B

G

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(2)是否存在过点 A(5,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D,使得|F2C|=|F2D|? 若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 【错解分析】化归思想,消元思想是数学中的两大思想,要能彻底领悟,才是数学学习的最 高境界。 解: (1)易知 a ? 5, b ? 2, c ? 1,? F1 ? (?1,0), F2 (1,0) 设 P(x,y) ,则 PF ? PF2 ? (?1 ? x,? y) ? (1 ? x,? y) ? x 2 ? y 2 ? 1 1

x2 ? 4 ?

4 2 1 x ?1 ? x2 ? 3 5 5

? x ? [? 5, 5 ] ,
?当x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF ? PF2 有最小值 3; 1
当 x ? ? 5 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF ? PF2 有最大值 4 1 (2)假设存在满足条件的直线 l 易知点 A(5,0)在椭圆的外部,当直线 l 的斜率不存 在时,直线 l 与椭圆无交点,所在直线 l 斜率存在,设为 k 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 5)

? x2 y 2 ?1 ? ? 由方程组 ? 5 ,得(5k 2 ? 4) x 2 ? 50k 2 x ? 125k 2 ? 20 ? 0 4 ? y ? k ( x ? 5) ?
依题意 ? ? 20(16 ? 80k ) ? 0,得 ?
2

5 5 ?k? 5 5

当?

5 5 ?k? 时,设交点 C ( x1 , y1 )、D( x2 , y 2 ) ,CD 的中点为 R ( x0 , y0 ) , 5 5
x ? x2 50k 2 25k 2 , x0 ? 1 ? 2 2 5k 2 ? 4 5k ? 4
25k 2 ? 20k ? 5) ? 2 . 2 5k ? 4 5k ? 4

则 x1 ? x 2 ?

? y 0 ? k ( x0 ? 5) ? k (

又|F2C|=|F2D| ? F2 R ? l ? k ? k F2 R ? ?1

? k ? k F2 R

20k ) 2 5k 2 ? 4 ? 20k ?k? ? ?1 25k 2 4 ? 20k 2 1? 2 5k ? 4 0 ? (?
所以不存在直线 l ,使得|F2C|=|F2D|

∴20k2=20k2-4,而 20k2=20k2-4 不成立,

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综上所述,不存在直线 l,使得|F2C|=|F2D| 【练习 15】已知椭圆 W 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

6 ,两条准线间的距离 3

为 6,椭圆 W 的左焦点为 F ,过左准线与 x 轴的交点 M 任作一条斜率不为零的直线 l 与椭 圆 W 交于不同的两点 A 、 B ,点 A 关于 x 轴的对称点为 C . (1)求椭圆 W 的方程; (2)求证: CF ? ? FB ( ? ? R ); (3)求 ?MBC 面积 S 的最大值.
M F C O x A B

??? ?

??? ?

y

练习题参考答案: 1.B 2. C 3.C 交 10.

4.C 11.

5.A 12. ④

6.C

7 .1

8. (4)

9.相

2

1 6

13. 解: (1)由题意知, f (x) 的定义域为 (?1,??) ,

b ? ?12 时,由 f / ( x) ? 2 x ?
/

12 2 x 2 ? 2 x ? 12 ? ? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ?3 舍去) , x ?1 x ?1
/

当 x ? [1, 2) 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, f ( x) ? 0 , 所以当 x ? [1, 2) 时, f ( x ) 单调递减;当 x ? (2,3] 时, f ( x ) 单调递增, 所以 f ( x)min ? f (2) ? 4 ?12ln 3

b 2x2 ? 2x ? b ? ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根, (2)由题意 f ( x) ? 2 x ? x ?1 x ?1
/

即 2 x ? 2 x ? b ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根,
2

设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 ?
2

?? ? 4 ? 8b ? 0 1 ,解之得 0 ? b ? ; 2 ? g (?1) ? 0

(3)对于函数 f ?x? ? x ? ln(x ? 1) ,
2

令函数 h?x? ? x ? f ( x) ? x ? x ? ln(x ? 1) ,
3 3 2

则 h ?x ? ? 3x ? 2 x ?
/ 2

1 3x 3 ? ( x ? 1) 2 ? , x ?1 x ?1

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?当x ? [0,??)时,h / ?x? ? 0
所以函数 h?x ? 在 [0,??) 上单调递增, h(0) ? 0,? x ? (0,??) 时, 又 恒有 h?x ? ? h(0) ? 0 即 x 2 ? x 3 ? ln(x ? 1) 恒成立. 取x ?

1 1 1 1 ? (0,?? ) ,则有 ln( ? 1) ? 2 ? 3 恒成立. n n n n 1 1 1 ? 1) ? 2 ? 3 恒成立 n n n

显然,存在最小的正整数 N=1,使得当 n ? N 时,不等式 ln( 14.解: (1)∵BC∥AD, AD ? 面 ADE, ∴点 G 到平面 ADE 的距离即点 B 到平面 ADE 的距离. 连 BF 交 AE 于 H,则 BF⊥AE,又 BF⊥AD. ∴BH 即点 B 到平面 ADE 的距离. 在 Rt△ABE 中, BH ?

2 . 2 2 . 2
E H

F O A C D

∴点 G 到平面 ADE 的距离为

(2)过点 B 作 BN⊥DG 于点 N,连 EN, 由三垂线定理知 EN⊥DN. ∴ ?ENB 为二面角 E ? GD ? A 的平面角. 在 Rt△BNG 中, sin ?BGN ? sin ?DGC ?

B

G

2 5 5

∴ BN ? BG sin ?BGN ?

1 2 5 5 ? ? 2 5 5
BE ? 5 BN

则 Rt△EBN 中, tan ?ENB ?

所以二面角 E ? GD ? A 的正切值为 5 .

15.解: (1)设椭圆 W 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,由题意可知 a 2 b2

? c 6 ? , ? a 3 ? 2 ? 2 2 ? a ? b ? c , 解得 a ? 6 , c ? 2 , b ? 2 , ? 2 ? 2 ? a ? 6, ? c ?
所以椭圆 W 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 6 2

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a2 ? ?3 , 所以点 M 坐标为 (?3, 0) .于是可设直线 l 的 c

(2) 解法 1: 因为左准线方程为 x ? ? 方程为 y ? k ( x ? 3) .

? y ? k ( x ? 3), ? 2 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 . ?x y2 ?1 ? ? 2 ? 6
由直线 l 与椭圆 W 交于 A 、 B 两点,可知

? ? (18k 2 )2 ? 4(1 ? 3k 2 )(27k 2 ? 6) ? 0 ,解得 k 2 ?
设点 A , B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

2 . 3

?18k 2 27k 2 ? 6 , x1 x2 ? , y1 ? k ( x1 ? 3) , y2 ? k ( x2 ? 3) . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

因为 F (?2, 0) , C ( x1 , ? y1 ) , 所以 FC ? ( x1 ? 2, ? y1 ) , FB ? ( x2 ? 2, y2 ) . 又因为 ( x1 ? 2) y2 ? ( x2 ? 2)(? y1 ) ? ( x1 ? 2)k ( x2 ? 3) ? ( x2 ? 2)k ( x1 ? 3)

??? ?

??? ?

? k[2x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 12] ? k[
?

54k 2 ? 12 ?90k 2 ? ? 12] 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

k (54k 2 ? 12 ? 90k 2 ? 12 ? 36k 2 ) ? 0, 1 ? 3k 2

所以 CF ? ? FB . 解法 2:因为左准线方程为 x ? ?

??? ?

??? ?

a2 ? ?3 ,所以点 M 坐标为 (?3, 0) . c

于是可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,点 A , B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则点 C 的坐标为 ( x1 , ? y1 ) , y1 ? k ( x1 ? 3) , y2 ? k ( x2 ? 3) . 由椭圆的第二定义可得

| FB | x2 ? 3 | y2 | ? ? , | FC | x1 ? 3 | y1 |

所以 B , F , C 三点共线,即 CF ? ? FB . (Ⅲ)由题意知

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知识改变命运,学习成就未来
S?
?

1 1 1 1 | MF || y1 | ? | MF || y2 | ? | MF | ? | y1 ? y2 | ? | k ( x1 ? x2 ) ? 6k | 2 2 2 2

1 3| k | 3 3 3 2 ,当且仅当 k ? 时“=”成立, ? ? ? 2 1 3 1 ? 3k 2 ?3| k | 2 3 |k|

3 所以 ?MBC 面积 S 的最大值为 2 .

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