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与三角函数有关的数列求和问题

时间:2014-10-26

第1期 与三角函数有关的数列求和 问题 ..
把三角函数融入到数列当中,使得数列变得复杂和陌生,但由于三角函数的周期性,也使得数列的项 随之有了规律,因此在解决此类问题时,要充分利用三角函数周期性的特点,只有这样才能将所遇困难有 效化解. 1. (2012· 福建文, 11,5 分) 数列 {an } 的通项公式 an ? n cos A.1006 B.2012 C.503 D.0

n? , 其前 n 项和为 Sn , 则 S2012 等于 ( 2



n? (4n ? 3)? ?0 , 的 最 小 正 周 期 是 4 , 考 察 a4 n ?3 ? (4n ? 3) cos 2 2 (4n ? 2)? (4n ? 1)? 4n? a4 n ? 2 ? (4n ? 2) cos ? ?(4n ? 2) , a4 n ?1 ? (4n ? 1) cos ?0, a4 n ? 4n cos ? 4n , 2 2 2 2012 ? ? 2 ? 1006 .本题中 2012 正 我们可以发现: a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?1 ? a4n ? 2 ( n ? N ) ,所以, S 2012 ? 4
分 析 : 易 知 cos 好是 4 的倍数,若求 S2013 , S2014 呢? 2.(2012· 上海文,18,5 分)若 S n ? sin 中,正数的个数是( )A.16

?
7

? sin

2? ? 7

? sin
C.86

n? (n ? N? ) ,则在 S1 , S2 ,…, S100 7
D.100

B.72

n? 7? 8? ? 13? 6? ? 0 ,sin ? ? sin , ? ? sin 分析: 易知 sin 的最小正周期是 14, 且有 sin …,sin , 7 7 7 7 7 7 14? sin ? 0 ,因此, Sn ? 0(n ? 12) , S13 ? S14 ? 0 ;结合周期性可知, S1 , S2 ,…, S100 中为零的个 7 数是 7 ? 2 ? 14 ,所以正数的个数是 86. n? 2 2 n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn , 3.(2009· 江西理,8,,4 分)数列 {an } 的通项公式 an ? n (cos 3 3
则 S30 为( )A.470
2 2

B.490

C.495

D.510

分析: an ? n (cos

n? n? 2n? ? sin 2 ) ? n 2 cos ,易知最小正周期是 3,考察 3 3 3 2(3n ? 2)? 4 1 a3n ? 2 ? (3n ? 2) 2 cos ? (3n ? 2) 2 cos(2n? ? ? ) ? ? (3n ? 2) 2 , 3 3 2 2(3 n ? 1) ? 2 1 a3n ?1 ? (3n ? 1) 2 cos ? (3n ? 1) 2 cos(2n? ? ? ) ? ? (3n ? 1) 2 , 3 3 2 2(3n)? 5 a3n ? (3n) 2 cos ? (3n) 2 cos(2n? ) ? (3n) 2 ,得 a3n ? 2 ? a3n? 1 ? a 3n ? 9 n ? ( n? N? ) ,则每三 3 2

项的和构成了一个等差数列,记为 {bn } ,则

5 5 10(9 ? ? 9 ?10 ? ) 5 10( b ? b ) 1 10 2 2 ? 10 ? 94 ? 470 .本题中的 30 恰好是 bn ? 9n ? (n ? N? ) 所以 S30 ? ? 2 2 2 2
3 的倍数,若求 S29 , S28 呢?求 S3n , Sn 呢?(参见 2009· 江西文,21) (2013 年 11 月 19 日星期二)

1

(2009· 江西文,21,12 分)数列 {an } 的通项公式 an ? n (cos
2

2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

(Ⅰ )求 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?

S3 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . n ? 4n

5 5 k (9 ? ? 9k ? ) n(b1 ? bk ) 2 2 ? k (9k ? 4) , 解:由上面江西理科试题的解析,我们可以得到 S3k ? ? 2 2 2 k (9k ? 4) k (4 ? 9k ) 所以 S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , ?(3k )2 = ? 2 2 k (4 ? 9k ) 1 1 ? (3k ? 1) 2 ? ? k S3k ?2 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ? 2 2 2
n 1 ? ? ? 3 ? 6 , n ? 3k ? 2, ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) , n ? 3k ? 1, n ? N? . 所以,由换元法得 S n ? ? 6 ? n(3n ? 4) ? , n ? 3k ? 6 ?
(2) bn ?

S3 n 9n ? 4 8 8 ? 9n ? , 利用错位相减法可得 Tn ? ? . n n n?4 2?4 3 3 ? 22 n ?1

上面的几道例题所用的方法也可以称之为并项法,下面的两道题目中含有 (??) n , ?1,1, ?1,1 ,我们 可以理解为周期为 2,因此也把这类问题纳入到本系统当中。 (2011 安徽·文,7)若数列 an ? 的通项公式是 an ? (??)n g (?n ? ?) ,则 a? ? a? ? L a?? ? (A) 15 答案: (A) (2011 山东· 文,20) 在下表的同一列. 第一行 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)n ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2 n 项和 S 2 n . 解析: (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为 ?an ? 是等比数列,所以公比为 3,所以数列 ?an ? 的通项 公式 an ? 2 ? 3n?1 . (Ⅱ) bn ? an ? (?1)n ln an ? 2 ? 3
n ?1

?

(B) 12

(C )

???

(D) ???

等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不 第一列 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

? (?1)n ln(2 3n?1 ) ,

利用分组求和法,再分别利用公式法与并项法求和,可得 S2n ? 32n ? n ln 3 ?1 .(理科求 Sn )

2


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