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广东省潮州市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高三数学(理科)试卷

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广东省潮州市 2014-2015 学年度第一学期期末教学质量检测 高三数学(理科)试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. ) 1、设全集 U ? R ,集合 ? ? ? x 0 ? x ? 2? , ? ? ? x x ? 1? ,则集合 ?U ? ? ? ? ? ( A. ? ??, 2? B. ? ??,1? C. ? 2, ?? ? ) D. ? 0, 2 ? ) D. ? 0, 2 ? 的部分图象如 )

D. ? 2, ?? ?

2、复数 z ? ?1 ? i ??1 ? i ? 在复平面内对应的点的坐标为( A. ?1, 0 ? B. ? 2, 0 ?

C. ? 0,1?

3、若向量 a ? ? 2, ?1? , b ? ? 0, 2 ? ,则以下向量中与 a ? b 垂直的是( A.?1, ?2 ? B.?1, 2 ? C.? 2,1?

? ? 0 ,? ? 4、 已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ?( ? ? 0 ,
图所示,则 ? ? ( A. ? C. ? ) B. D.

?
2



?
6

?
6

?
3

? 3
) C. b ? a ? c D. b ? c ? a ( )

5、设 a ? 40.1 , b ? log 3 0.1 , c ? 0.50.1 ,则( A. a ? b ? c B. a ? c ? b

6、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.
2 3 ?? 3

B.

2 3 ? 2? 3

C. 2 3 ? 2?

D. 2 3 ? ?
2 0

7、已知数列 ?an ? 为等比数列,且 a2013 ? a2015 ? ?

4 ? x 2 dx ,



a2014 ? a2012 ? 2a2014 ? a2016 ? 的值为(
A. ? 2 B. 2?

) C. ? D. 4? 2

8 、若函数 y ? f ? x ? ( x ? R )满足 f ? x ? 1? ? ? f ? x ? ,且 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? ? 1 ? x 2 ,已知函数

?lg x, x ? 0 ? ,则函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,5? 内的零点的个数为( g ? x? ? ? 1 ? , x ? 0 ? ? x



A. 7 B. 8 C. 9 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 9、若不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m 恒成立,则实数 m 的取值范围为 10、曲线 y ? ? x3 ? 3x 2 在点 x ? 1 处的切线方程为
2

D. 10 .

. .

11、已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的准线与圆 ? x ? 3? ? y 2 ? 16 相切,则 p 的值为

?x ? y ? 5 ? 0 ? 12、已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是 ?x ?1 ? 0 ?



2 ? ? 13、二项式 ? ax 2 ? ? 的展开式中常数项为 160 ,则 a 的值为 x? ?

5



14、现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张 卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多张.不同取法的种数为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) ?? ? 15、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 6? ? ?1? 求 f ?? ? 的值;

? 2? 若 f ? ?? ?
?

2? ? 6 ? ? ? ? ? , ? ? ? ? , 0 ? ,求 f ? 2? ? 的值. 3 ? 5 ? 2 ?

16、 (本小题满分 13 分)某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况.从全体学生中,随 机抽取 12 名进行体制健康测试,测试成绩(百分制)以茎叶图形式表示如下:

根据学生体制健康标准,成绩不低于 76 的为优良. ?1? 将频率视为概率,根据样本估计总体的思想,在该校学生中任选 3 人进行体制健康测试,求至 少有人成绩是“优良”的概率;

? 2 ? 从抽取的 12 人中随机选取 3 人,记 ? 表示成绩“优良”的学生人数,求 ? 的分布列及期望.

17、 (本小题满分 13 分)如图,三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中, C? ? C? , ?? ? ??1 , ????1 ? 60 .

?1? 证明: ?? ? ?1C ; ? 2 ? 若 ?? ? C? ? 2 , ?1C ?

6 ,求二面角

? ? ?C ? ?1

的余弦值.

18、 (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 为等差数列, S n 为其前 n 项和,且 2 S n ? an ? 2n 2 ( n ? ? ? ) .

?1? 求 an , Sn ; ? 2 ? 若 ak , a2 k ?2 , a2 k ?1 ( k ? ? ? )是等比数列 ?bn ? 的前三项,设 ?n ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ??? ? anbn ,求
?n .

19、 (本小题满分 14 分)已知椭圆

? ? 2, t ? ( t ? 0 ) .

? 6 1? x2 y 2 2 a ? b ? 0 ? ? 1 ( )经过点 ,离心率为 ,动点 ? , ? ? 2 2 ? ? a b 2 ? 2 2?

?1? 求椭圆的标准方程; ? 2 ? 求以 ?? ( ? 为坐标原点)为直径且被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; ? 3? 设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 ?? 的垂线与以 ?? 为直径的圆交于点 ? ,证明线段 ?? 的长为
定值,并求出这个定值.

20、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x , g ? x ? ? ?

?1? 若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值; ? 2 ? 设函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,求函数 h ? x ? 的单调区间; ? 3? 若在 ?1, e? ( e ? 2.718 ??? )上存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求 a 的取值范围.

1? a (a?R ) . x

潮州市 2014-2015 学年度第一学期期末教学质量检测 高三数学(理科)试卷参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 题号 1 2 3 答案 C B A 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 4 D 5 B 6 D 7 A 8 B

9. m ? 3 ; 10. 3 x ? y ? 1 ? 0 ; 11.2; 12.9; 13.2; 14.472.
解析提示: 1. A B ? ( ? ? , 2 ] ,? ?U ( A 2.由于 z ? (1 ? i ) (1 ? i ) ? 1 ? i ? 2 .
2

B) ? ( 2 , ? ? ) .

3. a ? b ? ( 2 , 1) ,用排除法. 4.由图可知 A ? 2 , T ? 4 ? ( 所以 2 ?

?

?
12

3 2 5.由指数函数、对数函数的性质可知 a ? 1 , b ? 0 , 0 ? c ? 1 .
是该几何体的体积为 V ? [ (? ? 12 ) ? 7. a2013 ? a2015 ?

?? ?

?
2

) ? ? ,故 ? ? 2 ,又 f ( ) ? 2 , 3 12 12 ?

?

?

? 2k? (k ? Z ) ,故 ? ?

?

? 2k? ,又 | ? | ?

?

.所以 ? ?

?
3

.

6.由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体,于

1 2

1 ? 2 ? 3] ? 2 ? ? ? 2 3 . 2

?

2

0

1 4 ? x 2 dx ? ? (? ? 22 ) ? ? ,因为数列 { an } 是等比数列, 4

2 所以 a2014 ( a2012 ? 2a2014 ? a2016 ) ? a2014 a2012 ? 2a2014 ? a2014 a2016 2 2 ? a2013 ? 2a2013a2015 ? a2015 ? (a2013 ? a2015 ) 2 ? ? 2 .

8.分别作出函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象, 由图象可知函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [ ? 5 , 5] 内的零点的个数为 8 个.. 9.利用绝对值的几何意义可知 | x ? 1| ? | x ? 2 | ? 3 . 10 .由于 y ' ? ?3 x ? 6 x ,故 y ' |x ?1 ? ?3 ? 6 ? 3 ,切点( 1 , 2 ) ,所以所求切线方程为 y ? 2 ? 3( x ? 1) ,即
2

3x ? y ? 1 ? 0 .
11.抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的准线为 x ? ?
2

p 2 2 ;圆 ( x ? 3) ? y ? 16 的圆心是 (3, 0) , 2

p ) | ? 4 ,解得 p ? 2 ,或 p ? ?14 (舍).. 2 1 12.画出满足条件的可行域,向上平移直线 y ? ? x 经过点 (1, 4) 时 z 取得最大值为. 2 r 5r 5r 13. T ? C r ( ax 2 )5? r ( ?2) r x ? 2 ? C r a 5? r ( ?2) r x10 ? 2 ,令 10 ? ? 0 ,故 r ? 4 , r ?1 5 5 2
半径为 r ? 4 ,由题意得 | 3 ? ( ? 所以常数项为 C5 ? a ? (?2) ? 80a ? 160 ,故 a ? 2 .
4 4

1 1 1 14.若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3 张,若都不同色则有 C4 ? C4 ? C4 ? 64 种,若 2 色相同,则有
1 2 1 1 1 1 C32C2 C4 C4 ? 144 ; 若红 色卡 片有 1 张 , 则剩 余 2 张 若不同 色 , 有 C4 ? C32 ? C4 ? C4 ? 192 种 , 如 同色 则有 1 2 2 C4 C3 C4 ? 72 ,所以共有 64 ? 144 ? 192 ? 72 ? 472

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)由已知得 f (? ) ? 2 cos(? ? (2)因为 f (? ?

?
6

) ? ?2 cos

?
6

? ?2 ?

3 ? ? 3 .………4 分 2

2? 2? ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) ? 2 cos(? ? ) ? ?2sin ? , 3 3 6 2 2? 6 6 3 又 f (? ? ) ? ,故 ?2sin ? ? ,即 sin ? ? ? .. …………………6 分 3 5 5 5
又? ? ( ?

?

3 4 , 0 ) ,故 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? (? ) 2 ? ..……..……8 分 5 5 2
3 5

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ( ? ) ?

4 24 , ?? 5 25 4 7 ..……………….………….…10 分 cos 2? ? 2 cos 2 ? 1 ? 2 ? ( ) 2 ? 1 ? 5 25

所以 f (2? ) ? 2 cos(2? ?

?

6

) ? 2 cos 2? cos

?

6

? 2sin 2? sin

?

6

? 2?
16.(本小题满分 13 分)

7 3 24 1 7 3 ? 24 . . ……....……12 分 ? ? 2 ? (? ) ? ? 25 2 25 2 25

解: (1)抽取的 12 人中成绩是“优良”的有 9 人,频率为

3 , 4
3 ,………2 分 4

依题意得从该校学生中任选 1 人,成绩是“优良“的概率为

设事件 A 表示“在该校学生中任选 3 人,至少有 1 人成绩是“优良” ” ,

1 63 .………………………….…...…5 分 ? 64 64 63 答:至少有 1 人成绩是“优良”的概率为 ..……………………...……6 分 64
0 则 P ( A) ? 1 ? C3 ? (1 ? )3 ? 1 ?

3 4

(2)由题意可得, ? 的可能取值为 0,1,2,3.……………………………..7 分

P(? ? 0) ?

3 1 2 C3 C9 C3 9 ? 3 27 1 , , ? P ( ? ? 1) ? ? ? 3 3 C12 220 C12 220 220

P(? ? 2) ?

1 3 C92C3 C9 36 ? 3 27 84 21 , ? ? P ( ? ? 1) ? ? ? .……..…11 分 3 3 C12 220 55 C12 220 55

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1
27 220

2
27 55

3
21 55

1 220

? ? 的期望 E (? ) ? 0 ?

1 27 27 21 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .……………..…13 分 220 220 55 55 4

17. (1)证明:取 AB 的中点 O ,连接 CO , OA1 , A1 B 。

CA ? CB ,故 CO ? AB ,……….………..1 分
又 AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60o ,

C

C1

??A1 AB 为等边三角形. ? A1O ? AB ,…………………………..3 分
A

B O A1

B1

又因为 CO ? 平面 COA1 , A1O ? 平面 COA1 , CO

A1O ? O .

? AB ? 平面 COA1 .…………………………………….……..5 分
又 A1C ? 平面 COA1 ,因此 AB ? A1C ..……………………..6 分 (2)方法一:解:过点 O 作 OE ? AC ,垂足 E ,连接 A1 E . 在等边 ?ABC 中 CO ? 2 ?
C C1

3 ? 3, 2
A

E O

B

B1 A1

在等边 ?A1 AB 中 A1O ? 2 ?

3 ? 3. 2

在 ?A1OC 中 OC 2 ? A1O 2 ? 3 ? 3 ? 6 ? A1C 2 .

? ?A1OC 是直角三角形,且 ?A1OC ? 90o ,故 OC ? A1O ..……………….8 分

OC 、 AB ? 平面 ABC , OC

AB ? O .

? A1O ? 平面 ABC . 又 AC ? 平面 ABC ,故 A1O ? AC .

OE 、 A1O ? 平面 A1OE , A1O OE ? O ,故 AC ? 平面 A1OE .
因为 A1 E ? 平面 A1OE ,所以 AC ? A1 E . 所以 ?OEA1 是二面角 B ? AC ? A1 的平面角.. ……………………..10 分 在 Rt ?AOC 中, OE ?

OC ? OA 1? 3 3 . ? ? AC 2 2

在 Rt ?A1OE 中, A1 E ?

A1O 2 ? OE 2 ? ( 3) 2 ? (

3 2 15 . ) ? 2 2

3 OE 5 . ? cos ?OEA1 ? ? 2 ? A1 E 5 15 2
所以二面角 B ? AC ? A1 的余弦值

5 ..…………………………..13 分 5 3 3 ? 3 ,在等边 ?A1 AB 中 A1O ? 2 ? ? 3. 2 2

方法二:解:在等边 ?ABC 中 CO ? 2 ?

在 ?A1OC 中 OC 2 ? A1O 2 ? 3 ? 3 ? 6 ? A1C 2 .

? ?A1OC 是直角三角形,且 ?A1OC ? 90o ,故 OC ? A1O .……………..8 分
分别以 OA , OA1 , OC 为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图空间直角坐标系 O ? xyz , 由已知得 O ( 0 , 0 , 0 ) , A(1 , 0 , 0 ) ,

A1 ( 0 , 3 , 0 ) , C ( 0 , 0 , 3 ) .

设 n ? ( x , y, z ) 为平面 AA1C 的法向量, 则 n ? AA1 , n ? AC ,

? n ? AA1 ? 0 , n ? AC ? 0 ,
又 AA1 ? ( ? 1, 3 , 0 ) , AC ? ( ? 1, 0, 3 ) ,

? ?x ? 3y ? 0 . ?? ? x ? 3 z ? 0 ? ?
取 z ? 1 ,则 x ? 3 , y ? 1 ,故 n ? ( 3 , 1 , 1 ) .……………………..11 分 又 m ? ( 0 , 1 , 0 ) 是平面 ACB 的法向量,二面角 B ? AC ? A1 的大小等于 ? m , n ? 或其补角.

cos ? n , m ??

m?n 1 5 . ? ? 5 | m |?| n | 5
5 ..………………………………..13 分 5

依图知二面角 B ? AC ? A1 的余弦值为 18. (本小题满分14分) 解: (1)

2 S n ? an ? 2n 2 (n ? N * ) .

? 2 S1 ? a1 ? 2 ,又 S1 ? a1 ,故 a1 ? 2 ;
又 2 S 2 ? a2 ? 8 ,故 4 ? 2a2 ? a2 ? 8 ,得 a2 ? 4 ; 等差数列 { an } 的公差 d ? a2 ? a1 ? 4 ? 2 ? 2 ..……………………..3分 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ,

Sn ?

n(a1 ? an ) n(2 ? 2n) ? ? n 2 ? n ..…………………………..5分 2 2

2 (2)由已知有 a2 k ? 2 ? ak ? a2 k ?1 ,

故 4(2k ? 2) ? 2k ? 2(2k ? 1) ,即 2k 2 ? 9k ? 4 ? 0 .
2

解得 k ? 4 ,或 k ?

1 ,又 k ? N * ,故 k ? 4 ..……………………….…..7分 2
b2 a6 2 ? 6 3 ? ? ? ,首项为 b1 ? a4 ? 8 . b1 a4 2 ? 4 2

? 等比数列 {bn } 的公比为 q ?

3 n ?1 ) ..…………………………………….………..9分 2 3 32 3 所以 an bn ? 2n ? 8( ) n ?1 ? n ? ( ) n ..……………………..…………..10分 2 3 2 32 3 3 3 3 ?Tn ? [1? ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ? n ? ( ) n ] . 3 2 2 2 2 3 32 3 2 3 3 3 n 3 Tn ? [1? ( ) ? 2 ? ( ) ? ? ( n ? 1)( ) ? n ? ( ) n ?1 ] . 2 3 2 2 2 2 3 32 3 3 2 3 n 3 n ?Tn ? Tn ? [ ? ( ) ? ? ( ) ] ? 16n ? ( ) .……...……..12分 2 3 2 2 2 2 3 3 [1 ? ( ) n ] 1 32 2 ? 16n ? ( 3 ) n ? ?32[1 ? ( 3 ) n ] ? 16n ? ( 3 ) n ?? Tn ? ? 2 3 2 3 2 2 2 1? 2 3 ? ?32 ? (16n ? 32) ? ( ) n . 2 3 n ?Tn ? 64 ? 32(n ? 2) ? ( ) ..………………………………………….……..14分 2
所以 bn ? b1q n ?1 ? 8 ? ( 19.解: (1)由题意得

c 2 ? a 2



因为椭圆经过点 P ( 又 a 2 ? b2 ? c2

6 1 , ) ,所以 2 2

(

6 2 1 ) ( )2 2 ? 22 ? 1 ② a2 b



由①②③解得 a 2 ? 2 , b 2 ? c 2 ? 1 .

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .……………………………………….…..4 分 2
t2 t ?1 , ) ,半径 r ? 4 2

(2)以 OM 为直径的圆的圆心为 (1 ,

t 2 t2 故圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? ) ? ? 1 .………………..………………5 分 2 4
2

因为以 OM 为直径的圆被直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 , 所以圆心到直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ?

r 2 ?1 ?

t2 t ? 1 ? 1 ? .…7 分 4 2

| 3 ? 2t ? 5 | t ? ,即 2 | 2t ? 2 | ? 5t , 5 2 故 4t ? 4 ? 5t ,或 4t ? 4 ? ?5t ,
所以 解得 t ? 4 ,或 t ? ? 又 t ? 0 ,故 t ? 4 . 所求圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 .………………………….……..9 分
2 2

4 . 9

(3)方法一:过点 F 作 OM 的垂线,垂足设为 K . 直线 OM 的方程为 y ?

t 2 x ,直线 FN 的方程为 y ? ? ( x ? 1) . 2 t

t ? y? x ? 4 2t 4 ? 2 , 2 ) .……11 分 由? ,解得 x ? 2 ,故 K ( 2 2 t ? 4 t ? 4 t ? 4 ? y ? ? ( x ? 1) ? t ?

? | OK | ?

16 4t 2 4 ? ? 2 ; 2 2 2 2 (t ? 4) (t ? 4) t ?4

| OM | ? 4 ? t 2 .……………………………………….……………12 分
又 | ON | ? | OK | ? | OM | ?
2

4 ? 4 ? t2 ? 2 . 4 ? t2

? | ON | ? 2 .
所以线段 ON 的长为定值 2 .…………………………………………14 分 方法二:设 N ( x0 , y0 ) ,则 FN ? ( x0 ? 1 , y0 ) , OM ? ( 2 , t ) ,

MN ? ( x0 ? 2 , y0 ? t ) , ON ? ( x0 , y0 ) .

FN ? OM ,? 2( x0 ? 1) ? ty0 ? 0 . ? 2 x0 ? ty0 ? 2 .…………….11分


MN ? ON ,? x0 ( x0 ? 2) ? y0 ( y0 ? t ) ? 0 .

2 2 ? x0 ? y0 ? 2 x0 ? ty0 ? 2 .

2 2 ? y0 ? 2 为定值.……………………………………….14分 ? | ON | ? x0

20. 解: (1) f ( x) ? x ? a ln x 的定义域为 (0, ??) .

…………………1 分

当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ? 由 f '( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .

1 x ?1 . ………………2 分 ? x x

当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; 当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 所以当 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得极小值,极小值为 f (1) ? 1 ? ln1 ? 1 ;……..4 分 (2) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? a ln x ? 又 h '( x) ? 1 ?

1? a ,其定义域为 (0, ??) . x

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a )] .…………..5 分 ? 2 ? ? x x x2 x2

①当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 x ? (0, ??) 上 h '( x) ? 0 , 所以,函数 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增.…………6 分 ②当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 x ? (0,1 ? a ) 上 h '( x) ? 0 , 在 x ? (1 ? a, ??) 上 h '( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 (0,1 ? a ) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增;……………..……7 分 综上所述:当 a ? ?1 时, h( x) 的递减区间为 (0,1 ? a ) ;递增区间为 (1 ? a, ??) . 当 a ? ?1 时, h( x) 只有递增区间为 (0, ??) .…………………………….8 分 (3)若在 [1, e] 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,即在 [1, e] 上存在一点 x0 , 使得 h( x0 ) ? 0 . 则函数 h( x) ? x ? a ln x ?

1? a 在 [1, e] 上的最小值小于零.…………………9 分 x

①当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时,由(2)可知 h( x) 在 [1, e] 上单调递减. 故 h( x) 在 [1, e] 上的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ?

e2 ? 1 1? a . ? a ? 0 ,可得 a ? e ?1 e

因为

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ? 1 .所以 a ? ; e ?1 e ?1

…………………………………10 分

②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时,由(2)可知 h( x) 在 [1, e] 上单调递增. 故 h( x) 在 [1, e] 上最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 , 可得 a ? ?2 (满足 a ? 0 ) ;……………………………………………………..…11 分 ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时,由(2)可知可得 h( x) 在 [1, e] 上最小值为

h(1 ? a ) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a ) .
因为 0 ? ln(1 ? a ) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a ) ? a .

? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 ,即 h(1 ? a) ? 2 不满足题意,舍去.…..…………13 分
综上所述得 a ? ?2 ,或 a ?

e2 ? 1 . e ?1

e2 ? 1 ? 实数 a 的取值范围为 (??, ?2) ( , ??) .……………………….……14 分 e ?1


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