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2016高等代数教学大纲

时间:2016-08-05


黔南民族幼儿师范高等专科学校

数学教育专业
《高等代数》课程

教 学 大 纲
执笔人: 审定人: 批准人: 基教系
2016 年 7 月

《高等代数》课程教学大纲
一、课程简介 课程定位与目标: 高等代数是数学教育专业的专业基础必修课程。 高等代数是数学的三大基础 学科之一的代数学重要基础课程,是学习后续专业课程的必备基础。通过本课程 的学习,使学生掌握高等代数的基础理论、基本思想、基本方法,培养学生抽象 思维能力, 锻炼学生独立思维和解决问题的能力,为进一步学习专业课打下良好 的基础。 先修课程:高中数学 教材版本:张禾瑞,郝炳新.高等代数(第五版).北京:高等教育出版社, 2007 年. 课程主要内容:多项式、线性方程组、矩阵、线性空间 课程教学方法:讲授法为主 考核方案:闭卷考试。考试时间两小时,总评成绩由平时成绩和考试成绩两 项构成,其中平时成绩和考试成绩各占总评成绩的 40%和 60%。 二、理论课程教学大纲 (一)课程的性质、目的和任务 1.课程的性质:专业课 2.课程的目的和任务 该课程的教学目的是使学生掌握线性代数和多项式理论的基本概念, 基本理 论,基本方法和基本技巧;熟练掌握矩阵和线性映射的关系,学会线性方程组, 矩阵, 线性变换问题的相互转化。 逐步培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力, 切实培养和训练学生的专业素质,为后续专业课程的学习打下基础。 在这门课程的教学中应注意引导学生“几何地”理解线性代数问题;渗透现 代数学的一些基本思想和基本观点,比如分类和表示论的思想;培养学生的逻辑 思维能力、抽象思维能力、运算能力、解决实际问题的能力和创新能力;提高学 生的数学素质。 (二)总学时与学分数 总学时数:132;学分数:7 (三)课程基本内容和要求

第一章 多项式 教学内容:数域;一元多项式;整除的概念;最大公因式;因式分解定理;重因 式;多项式函数;复系数与实系数多项式的因式分解;有理系数多项式 教学要求: 理解数域的概念,掌握数域的判断和构造; 理解多项式及其运算,掌握多项式的代数性质; 理解和掌握整除的概念及其性质;理解最大公因式的概念,了解最大公因式 的存在性和唯一性, 掌握辗转相除法求解最大公因式,理解并掌握互素的概念及 其性质、了解最大公因式、互素的推广; 理解不可约多项式及其性质,掌握因式分解唯一性定理; 理解重因式、单因式、微商等概念,掌握重因式的判别法和求法,理解并掌 握去掉因式重数的方法和应用; 理解多项式函数的概念,理解并掌握余数定理,理解多项式根的概念,掌握 多项式根的个数,理解并掌握多项式的形式化定义和函数观点的关系; 理解并掌握复系数多项式的因式分解理论; 理解并掌握实系数多项式的因式 分解理论; 理解有理系数多项式化整思想,理解本原多项式概念及其性质定理:Gauss 引理,掌握整系数多项式有理根的求解方法,掌握 Eisenstein 判别法判断整系 数多项式的有理数域的可约性 重点:多项式及其运算、运算律;多项式的整除;最大公因式与互素;多项式的 因式分解理论;重因式;多项式函数,复系数、实系数多项式的因式分解;有理 系数多项式的可约性、有理根。 难点:多项式的因式分解理论;有理系数多项式的可约性。 第二章 行列式

教学内容:排列;n 阶行列式及性质;行列式的计算;行列式按一行(列)展开; Cramer 法则; 教学要求: 理解 n 级排列及其逆序数、偶(奇)排列、对换等基本概念,掌握排列的奇偶 性及其应用; Laplace 定理、行列式乘法法则

理解行列式的概念,理解行与列的地位是对称的; 理解并掌握行列式的性质及其应用; 理解并掌握行列式计算方法; 理解行列式按一行展开的概念及性质, 掌握利用行列式的展开进行行列式的 计算; 理解并掌握 Laplace 定理和行列式乘法规则及其应用。 重点:n 元排列及其性质;行列式的定义;行列式的性质;行列式的计算;行列 式的展开;Cramer 法则;Laplace 定理;行列式乘法法则。 定理。

难点:行列式的计算;行列式的展开;Laplace 第三章

线性方程组

教学内容:消元法; n 维向量空间;线性相关性;矩阵的秩;线性方程组有解 判定定理;线性方程组有解判定定理;线性方程组解的结构 教学要求: 理解线性方程组的初等变换,掌握消元法求解线性方程组,体会线性方程组 与矩阵的对应关系; 理解 n 维向量概念,掌握 n 维向量的运算; 理解线性组合、线性表出、向量组等价、线性相关性、向量组的极大无关组 及其秩等一系列概念; 掌握线性相关性的判定方法,会求向量组的极大线性无关 及其秩; 理解矩阵的秩的概念,掌握矩阵秩的求法; 理解线性方程组的有解判定定理,掌握线性方程组的求解方法; 理解并掌握齐次线性方程组解的结构, 理解并掌握一般线性方程组解的结构, 会求解齐次线性方程组和一般线性方程组及其解的结构, 了解线性方程组解的几 何意义。 重点:线性方程组的初等变换;消元法求解线性方程组;n 维向量及其运算;向 量组的线性相关性及其判定;向量组的极大无关组和秩;矩阵的秩及求法;线性 方程组的有解判定定理;线性方程组的解的性质与结构。 难点:向量组的线性相关性;向量组的极大无关组;线性方程组的解的性质与结 构;线性方程组与矩阵的对应关系。

第四章

矩阵

教学内容: 矩阵的概念与性质; 矩阵乘积的行列式与秩; 矩阵的逆; 矩阵的分块; 初等矩阵;分块乘法的初等变换及应用举例; 教学要求: 了解矩阵的概念及背景;掌握矩阵的运算公式及性质; 掌握矩阵乘积的行列式的公式及应用,理解并掌握矩阵乘积的秩的不等式; 掌握矩阵乘积的行列式的公式及应用,理解并掌握矩阵乘积的秩的不等式; 深刻理解可逆矩阵的概念,掌握可逆矩阵的性质及应用; 理解初等矩阵及其与初等变换的关系,掌握初等变换法求矩阵的逆矩阵 了解矩阵分块的概念, 理解分块矩阵的乘积, 掌握几类特殊分块矩阵的应用; 重点:矩阵的运算及其性质;矩阵乘积的行列式;矩阵乘积的秩的不等式;矩阵 的逆;矩阵的初等变换;分块矩阵的初等变换及其应用; 难点:矩阵乘积的秩的不等式;分块矩阵的初等变换及其应用。 第五章 二次型 教学内容: 二次型及其矩阵表示; 教学要求: 掌握 n 元二次型,线性替换,矩阵的合同的概念; 掌握二次型的标准形, 理解二次型的标准形存在定理,掌握用配方法化二次 型为标准形及用初等变换法化二次型为标准形; 掌握二次型的规范形的概念,理解并掌握实二次型、复二次型的规范形,理 解复二次型、实二次型规范形的存在唯一性定理; 了解二次型的分类, 理解并掌握实二次型正定的充分必要条件,实二次型负 定的充分必要条件。 重点:用配方法化二次型为标准形,用初等变换法化二次型为标准形,复数域、 实数域上二次型的规范形及其唯一性,矩阵的合同及其性质,正定二次型的判别 法。 难点:用配方法化二次型为标准形,用初等变换法化二次型为标准形,复数域、 实数域上二次型的规范形及其唯一性。 第六章 线性空间 标准形;唯一性; 正定二次型;

教学内容: 线性空间的定义与简单性质; 维数基与坐标; 基变换与坐标变换; 线性子空间;子空间的交与和; 教学要求: 掌握向量组的线性相关及线性无关,极大无关组,线性空间的基与维数的概 念,理解向量在基下的坐标,极大无关组和基的性质; 理解基的过渡矩阵的定义, 掌握不同基之间的过渡矩阵的计算以及坐标变换 公式; 掌握线性子空间的概念及非空子集构成子空间的充要条件. 知道有限生成子 空间的构造及性质; 了解直和的意义, 掌握直和概念及直和的充分必要条件.会判断线性空间是 否它的某两子空间的直和; 理解同构概念和意义,了解同构的线性空间之间的联 系。 重点:线性空间,基,维数,子空间,向量组的线性相关及线性无关,极大无 关组,过渡矩阵的定义及计算,坐标变换公式,子空间的和与直和,维数定理。 难点:定子空间的和是否是直和,求子空间的正交补,维数定理,基的过渡矩阵 的定义及计算,坐标变换公式。 第七章 线性变换 教学内容:线性变换的定义;线性变换的运算;线性变换的矩阵; 特征值;对 角矩阵 教学要求: 掌握线性变换的定义,能判断一个变换是否是线性变换; 熟悉线性变换的运算规律; 理解线性变换和矩阵的关系,掌握决定一个线性 变换的因素,理解矩阵相似的概念; 掌握特征值和特征向量的概念,理解他们对于研究线性变换的重要意义; 理解对角矩阵的概念,掌握矩阵可化为对角矩阵的条件。 重点:线性变换以及矩阵表示,矩阵的特征多项式,特征根,特征向量,线性变 换在一个基下的矩阵不变子空间的概念及作用。 难点: 熟练掌握线性变换及矩阵可对角化的充分条件及充要条件, 将矩阵对角化, 了解复数域上的矩阵的若当标准形。 子空间的直和;线性空间的同构

(四)学时分配表 序号 1 2 3 4 5 6 7 多项式 行列式 线性方程组 矩阵 二次型 线性空间 线性变换 合 计 教学内容 学时 16 20 16 20 24 20 16 132 讲课学时 实践或实验学时

(五)参考书目 [1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编,王萼芳,石生明修订. 高等代数(第三版).北京:高等教育出版社,2002 年. [2]同济大学应用数学系.高等代数与解析几何.北京:高等教育出版社,2005 年. 三、考试大纲 考试目的:检验学生所学知识,查漏补缺 考核方法:闭卷考试:采用百分制,33 分及以上为合格。采用平时考查与期 末闭卷书面考核相结合的方式进行,平时成绩占 40 分,期末闭卷书面考试占 60 分。 主要考试内容:线性方程组的解法;初等矩阵的运算;线性变换;二次型 考试分配:考题包括填空题、选择题、计算题、证明题,其中填空题约占 10 分;选择题占 20 分;计算题占 60 分;证明题占 10 分。

2016 年 7 月


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