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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学1.1.1变化率问题导学案(无答案)新人教版选修22

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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.1.1 变化率问题导学案(无 答案)新人教版选修 2
1. 知识与技能 平均变化率的概念;平均变化率的几何意义, 函数在 某点处附近的平均变化率 2. 过程与方法 理解平均变化率的概念 ; 会求函数在某点处附近的 平均变化率 3. 情感态度与价值观 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率 平均变化率的概念. 知识链接 一、创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象 ,在数学中引入了函数,随着对函数的研 究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、 最有效的工具. 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 自主学习 (一)问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的 半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积 V (单位: L )与半径 r (单位: dm )之间的函数关系是 V ( r ) ? 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 r (V ) ? 3 分析: r (V ) ? 3

学习目标:

学习重点: 学习难点: 学法指导:

4 3 ?r 3

3V 4?

3V 4? (1)当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L) 气球的平均膨胀率为 1? 0 (2)当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm)
1

气球的平均膨胀率为

r (2) ? r (1) ? 0.16(dm / L) 2 ?1

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考: 当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是多少? 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h (单位: m )与起 跳后的时间 t (单位: s )存在函数关系 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 .如何 用运动员在某些时间段内的平均速 v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 0 ? t ? 0.5 和 1 ? t ? 2 的平均速度 v

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1
h

0 ? t ? 0.5 h(0.5) ? h(0) ? 4.05(m / s ) 里, v ? 0. 5 ? 0








间 o t

h(2) ? h(1) ? ?8.2(m / s ) 在 1 ? t ? 2 这段时间里, v ? 2 ?1 65 探究: 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49
(1)运动员在这段时间内使静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程: 如图是函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像, 结合图形可知, h(

65 ) ? h(0) ,所以 v ? 49

h(

65 ) ? h(0) 49 ? 0( s / m) 65 ?0 49

虽然运动员在 0 ? t ?

65 这段时间里的平均速度为 0(s / m) , 49

但实际情况是运动员仍然运动,并非静止, 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. (二)平均变化率概念 1.上述问题中的变化率可用式子

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 表示, x2 ? x1

称为函数 f ( x) 从 x1 到 x2 的平均变化率. 2. 若设 ?x ? x2 ? x1 , ?f ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ( 这里 ?x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用

x1 ? ?x 代替 x2 ,同样 ?f ? ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? 则平均变化率为 ? ?x ?x x2 ? x1 ?x
思考: 观察函数 f ( x) 的图象 平均变化率

?f f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 表示什么? ?x x2 ? x1

2

合作探究 例 1 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? x 的图象上的一点 A(?1, ? 2) 及

?y ? ?x 解: ? 2 ? ?y ? ?(?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x)
临近一点 B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) 则

.

?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x 例 2 求 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率.
∴ 解: ?y ? ( x0 ? ?x)2 ? x0 所以
2
2 2 2 x ? 2 x0 ?x ? ?x 2 ? x0 ?y ( x0 ? ?x) 2 ? x0 ? ? 0 ? 2 x0 ? ?x ?x ?x ?x 所以 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率为 2 x0 ? ?x

四、课堂练习 1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,则在时间 (3 , 3 ? ?t ) 中相应的平均速度为
2

.

2.物体按照 s(t ) ? 3t ? t ? 4 的规律作直线运动,求在 4 s 附近的平均变化率.
2

3.过曲线 y ? f ( x) ? x 上两点 P(1,1) 和 Q(1 ? ?x,1 ? ?y ) 作曲线的割线,
3

求出当 ?x ? 0.1 时割线的斜率.
3

五、回顾总结 1.平均变化率的概念. 2.函数在某点处附近的平均变化率. 六、布置作业 P10 1.2.3

4


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