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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第2章 第16讲 函数模型及其应用

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1. A、B两地相距20公里,甲以每小时6公里的速度 从A地前往B地,设t小时后,甲离B地的距离为y公

10 y 里,则y关于t的函数表达式  ? 20 ? 6t (0 ? t ? )   3
2.某人有一笔资金用于投资,第一天回报0.4元,以

后每天回报比前一天翻一番.设x天后回报的总金额 y=0.4·x-1(x∈N*) 2 为y(元),则y关于x的函数表达式_________________

3.某旅行社组团参加莲花山文化一日游,预测每天 游客人数在50至130人之间,游客人数x(人)与游客

的消费总额y(元)之间近似地满足关系:y=-x2+240x40 10000.那么游客的人均消费额最高为_______元.

4.计算机成本不断下降,若每隔3年计算机价格 1 降低 ,现在价格为8100元的计算机,则9年后 3 的价格可降为 2400 元.

5.某商店以4元 / 千克的价格出售某种大米,现举 行优惠促销活动,凡购买10千克以上的顾客,超 过10千克以上部分给予九折优惠(即以原价的90% 的价格出售).设某顾客购x千克大米,应付款为y
?4 x ? 0 ? x ? 10 ? 元,则y与x的函数关系式为 y ? ?   ?3.6 x ? 4? x ? 10?
解析:当0≤x≤10时,y=4x;
当x>10时,y=4×10+(x-10) ×3.6=3.6x+4.

一次函数模型
【例1】

某商人购货,进价已按原价a元扣去25%,
他希望对货物订一个新价,以便按新价 让利20%后仍可获得售价25%的纯利,求 此商人经营这种货物的件数x与按新价让 利总额y之间的函数关系式.

【解析】设新价为b元,则售价为b(1-20%)元. 因为原价为a元,所以进价为a (1-25%)元. 依题意得b(1-20%)-a (1-25%) =b(1-20%) ? 25%, 5 a 化简得b= a,故y=20%bx= x( x ? N* ). 4 4

本题关键是要理清原价、进价、 新价之间的关系,为此,引进了参

数 b ,建立新价与原价的关系,从
而找出了y与x的函数关系.

【变式练习1】 电信局为了配合客户的不同需要,设有方 案A、B两种优惠方案,这两种方案的应付 电话费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的关

系 如 图 所 示 , 折 线 PMN 为 方 案 A , 折 线
CDE为方案B,MN∥DE.

(1)若通话时间为x=2小时,按方案

A、B各付话费多少元?
(2)方案B从500分钟以后,每分钟收 费多少元? (3)当方案B比方案A优惠时,求x的 取值范围.

【解析】1? 方案A:M ? 60,98 ?,N ? 500, 230 ?. ? ?98(0 ? x ? 60) ? 得f A ? x ? = ? 3 . ?10 x ? 80( x ? 60) ? 方案B:由MN / / DE, ?168(0 ? 500) ? 得f B ? x ? = ? 3 . ?10 x ? 18( x ? 500) ? 3 当x=120时,f A ?120 ?= ?120+80=116, 10 f B ?120 ?=168.

? 2 ?因为f B (n+1)-f B ? n ?
3 3 = (n+1)+18- n-18=0.3, 10 10 所以方案B从500分钟以后,每分钟收费0.3元. 880 168) ? 3?由图可知,MN 与CD的交点为( , , 3 880 所以,当0 ? x ? 时,f A ? f B; 3 880 当x ? 时,f A ? f B . 3 880 故所求x的取值范围是( ,+?). 3

二次函数模型
【例2】
某型号的电视机每台降价x成(1成为10%),售出 的数量就增加mx成,m∈R+. (1)若某商场现定价为每台a元,售出量是b台, 试建立降价后的营业额y与x的函数关系.问当m

=5/4时,营业额增加1.25%,每台降价多少元?
(2)为使营业额增加,当x=x0(0<x0<10)时,求m 应满足的条件.

x 【解析】1? 每台降价x成后的价格为a (1- ) ? 10 mx 元,降价后售出b(1+ )台, 10 x mx 则y=a (1- ) ? b(1+ ) 10 10 m 2 m ?1 =ab(- x+ x+1). 100 10 5 x2 x 当m= 时,y=ab(- + +1). 4 80 40 因为营业额增加1.25%, x2 x 所以1.25%ab=- + +1, 80 40

即x 2-2 x+1=0,得x=1, 即每台降价1成 ?10% ?.

? 2 ? 为使营业额ab增加,
m 2 m ?1 当x=x0时,y=ab(- x0 ? x0 ? 1). 100 10 m ?1 m 2 依题意得y-ab ? 0,即 x0- x0 ? 0, 10 100 10 解得m ? ? 0 ? x0 ? 10 ?, 10 ? x0 这就是m应满足的条件.

本题的关键是弄清关系式:销 售额=销售量×价格,建立降价前

与降价后销售额的等量关系,找出
未知的等量关系是解决函数应用题 的基本思路和规律.

【变式练习2】

某工厂生产某种产品,已知该产品的月
产量x(吨)与每吨产品的价格P(吨/元)之

间的函数关系为P=24200-1/5x2,且生
产x吨的成本为R=50000+200x元,问 该厂每月生产多少吨产品才能使利润达

到最大?最大利润是多少?

【解析】设生产x吨产品,利润为y元, 1 2 则y=Px-R=(24200- x ) ? x-(50000+200 x) 5 1 3 =- x +24000 x-50000. 5 3 2 令y?=- x +24000=0,得x=200. 5 所以当每月生产200吨产品时,利润达到最大, 最大利润是315万元.

分段函数模型
【例3】(2010· 徐州市高考信息卷)
2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利 进行,对每天在各时间段进入园区和离开园区的

人数作了一个模拟预测.为了方便起见,以10分
钟为一个计算单位,上午9点10分作为第一个计算 人数的时间,即n=1;9点20分作为第二个计算人 数的时间,即n=2;依此类推,…,把一天内从 上午9点到晚上24点分成了90个计算单位.

对第n个时刻进入园区的人数f ? n ? 和时间n ( n ? N )满足以下关系:
*

?3600(1 ? n ? 24) ? n ? 24 ?3600 ? 3 12 (25 ? x ? 36) f ? n ?=? ,n ? N * ? ?300n ? 21600(37 ? n ? 72) ? ?0(73 ? n ? 90)

对第n个时刻离开园区的人数g ? n ? 和时间n (n ? N* )满足以下关系: ?0(1 ? n ? 24) ? g ? n ?=?500n ? 12000(25 ? n ? 72),n ? N*. ?5000(73 ? n ? 90) ? ?1? 试计算在当天下午3点整(即15点整)时, 世博园区内共有多少游客?12 3=1.096) (

? 2 ? 请求出当天世博园区内游客总人数最
多的时刻.

【解析】1? 当0 ? n ? 24且n ? N*时,f ? n ?=3600, ? 当25 ? n ? 36且n ? N*时,f ? n ?=3600 ? 3 [ f ? 25 ?+f ? 26 ?+?+f ? 36 ?] 3? 3 ? ? 1 =3600 ? 24+3600 ? [ 12 ] 3 ?1 =86400+82199=168599;
12 12 12 n ? 24 12

所以S36=[ f ?1?+f ? 2 ?+f ? 3 ?+?+f ? 24 ?]+?+

另一方面,已经离开的游客总人数是: T12=g ? 25 ?+g ? 26 ?+?+g ? 36 ?= 12 ? 11 12 ? 500+ ? 500=39000; 2

所以S=S36-T12=168599-39000=129599(人) 故当天下午3点整(即15点整)时,世博园区内共

有129599位游客.
(2)当f(n)-g(n)≥0时园内游客人数递增;当f(n) -g(n)<0时园内游客人数递减. (ⅰ)当1≤n≤24时,园区人数越来越多,人数不 是最多的时间;

(ⅱ)当25≤n≤36时,令500n-12000≤3600,得出
n≤31, 即当25≤n≤31时,进入园区人数多于离开人数,

总人数越来越多;

当32 ? n ? 36时, ? 3 3600 越多; (ⅲ)当37 ? n ? 72时,

n ? 24 12

? 500n-12000,

进入园区人数多于离开人数,总人数越来

令-300n+21600=500n-12000时,n=42, 即在下午4点整时,园区人数达到最多. 此后离开人数越来越多,故园区内人数最 多的时间是下午4点整.

分段函数是一种重要的模 型,在实际应用题中这类问题

很多,解题的关键是正确地对
自变量进行分段.

【变式练习3】 某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60 个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品 期间第x个月的利润 ?1(1 ? x ? 20, x ? N*) ? f ? x ?= ? 1 (单位:万元), ?10 x(21 ? x ? 60, x ? N*) ? 为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润 投入到次月的经营中,记第x个月的当月

第x个月的利润 利润率g ? x ?= , 第x个月前的资金总和 f ? 3? 例如:g ? x ?= . 81 ? f ?1? ? f ? 2? 1)求g ?10 ?;

? 2 ? 求第x个月的当月利润率g ? x ?; ? 3? 该企业经销此产品期间,哪个月的当
月利润率最大,并求该月的当月利润率.

【解析】1?由题意得f ?1?=f ? 2 ?=f ? 3?=? ? =f ? 9 ?=f ?10 ?=1, f ?10 ? 1 所以g ?10 ?= = . 81 ? f ?1? ? L ? f ?9 ? 90

? 2 ?当1 ? x ? 20时,f ?1?=f ? 2 ?=?=f ( x-1) =f ? x ?=1,
f ? x? 所以 g ? x ?= 81 ? f ?1? ? L ? f ? x ? 1? 1 1 = ? 81 ? x ? 1 x ? 80

当21 ? x ? 60时, f ?10 ? g ? x ?= 81 ? f ?1? ? ? ? f ? 20? ? f (21) ? ? ? f ( x ? 1) 1 x 10 = 81 ? 20 ? f ? 21? ? ? ? f ? x ? 1? 1 x 2x 10 = = 2 ? x ? 21?? x ? 20? x ? x ? 1600 101 ? 20

所以当第x个月的当月利润率 ? 1 ? x ? 80 (1 ? x ? 20, x ? N*) ? g ? x ?= ? ; 2x ? (21 ? x ? 60, x ? N*) 2 ? x ? x ? 1600 ? 1 是减函数, ? 3?当1 ? x ? 20时,g ? x ?= x ? 80 1 此时g ? x ?的最大值为g ?1?= ; 81

2x 当21 ? x ? 60时,g ? x ?= 2 x ? x ? 1600 2 2 2 = ? = , 1600 x? ? 1 2 1600 ? 1 79 x 1600 2 当且仅当x= 时,即x=40时,g ? x ?max = , x 79 2 1 2 又因为 ? , 所以当x=40时,g ? x ?max = . 79 81 79 答:该企业经销此产品期间,第40个月 2 的当月利润率最大,最大值为 . 79

指数函数模型
【例4】
某城市现有人口总数为100万,如果年自

然增长率为1.2%.
(1)写出该城市人口总数y(万人)关于年份 x(年)的函数关系;

(2)计算10年以后该城市的人口总数(精
确到0.1万人); (3)计算大约多少年以后该城市人口总 数将达到120万. (参考数据:lg10.12 =1.005,lg1.127=0.05,lg1.2=0.079)

【解析】1? 分别令x等于1, 2,3, ,归纳后得 ? ? 知y=100(1+1.2%) x ( x ? N* ).

? 2 ?10年以后该城市人口总数为y=100 ?1.01210 .
因为lgy=2+10 ? lg1.012=2+10 ? (lg10.12-1)=2.05 , y 所以lgy-2=0.05,即lg =0.05=lg1.127, 100 则y=112.7(万).即10年以后该城市人口总数为112.7万.

? 3?由100(1+1.2%) x=120,得xlg1.012=lg1.2,
79 所以x= ? 16. 5 所以,大约16年以后该城市人口总数将达到120万.

指数函数模型一般与增长率有
关.在建立函数关系时,应注意增长速 度的意义,增长速度翻番(成倍增长)应 考虑指数函数模型;增长速度快,可考 虑幂函数模型或二次函数模型;等速增

长,则应考虑一次函数模型;增长速度
缓慢,可考虑对数函数和幂函数模型.

【变式练习4】 某工厂的产值连续三年持续增长, 这三年的增长率分别为x1、x2、x3,

求年平均增长率p.

【解析】设去年的产值为a, 则从今年开始的第三年的产值为a (1+p ) .
3

又今年的产值为a (1+x1 ), 第二年的产值为a (1+x1 )(1+x2 ), 第三年的产值为a (1+x1 )(1+x2 )(1+x3 ), 于是a (1+p ) =a (1+x1 )(1+x2 )(1+x3 ),
3

得p=3 ?1 ? x1 ??1 ? x2 ??1 ? x3 ?-1.

1.某物体一天中的温度T是时间t的函 数,且T(t)=t3-3t+60,时间单位是

小时,温度单位为℃,t=0表示12:
00,t取值为正,则上午8:00的温度 8℃ 为____________.

2.某钢铁厂的年产量由2000年的40万吨,增加 到2010年的60万吨,如果按此增长率计算,预 90万吨 计该钢铁厂2020年的年产量为_________.

【解析】设年增长率为r,则有40(1+r ) =60,
10

3 所以(1+r ) = , 2 所以2020年的年产量为60(1+r )10
10

3 =60 ? =90(万吨). 2

3.某工厂生产一种仪器的固定成本为20000 元,每生产一台仪器需增加投入100元.已 知该仪器的每台售价P(元)与每月生产量x 台的关系为P=500-x.为使该厂每月所获

利润最大,则该厂每月生产这种仪器的台 200 数为_____________(注:利润=销售收入
-总成本) 【解析】利润y=(500-x)x-100x-20000 =-(x-200)2+20000,

所以当x=200时,y有最大值.

4.如图(1)是某公共汽车线路收支差额y与乘客量x 的函数的图象,由于目前这条线路亏损,公司提

出了两个扭亏为盈的方案,如图(2)和(3).
(1)试说明图(1)中,点A、点B以及射线AB上的点 的实际意义; (2)根据图(2)、图(3),指出这两种方案的具体内 容是什么?

【解析】(1)点A的实际意义是当无乘客时,

亏损一个单位;点B的实际意义是当乘客
为1.5个单位时,收支平衡;射线AB的实 际意义是当乘客小于1.5个单位时,公司 将亏损;当乘客大于1.5个单位时,公司 将盈利.

(2)图(2)给出的方案是:降低成本,票价
不变;图(3)给出的方案是:成本不变, 提高票价.

5.某企业买劳保工作服和手套,市场价每

套工作服53元,手套3元一副,该企业联
系了两家商店,由于用货量大,这两家 商店都给出了优惠条件:

商店一:买一赠一,买一套工作服赠一
副手套; 商店二:打折,按总价的95%收款. 该企业需要工作服75套,手套若干(不少 于75副).若你是企业的老板,你选择哪

一家商店省钱.

【解析】设需要手套x副,付款金额为y元.

商店一的优惠条件:f(x)=75×53+3×(x-75)
=3x+3750(x≥75,且x∈N*); 商店二的优惠条件:g(x)=(75×53+3x)×95% =2.85x+3776.25(x≥75,且x∈N*). 令f(x)=g(x),即3x+3750=2.85x+3776.25,

解得x=175.
即购买175副手套时,两商店的优惠相同.

令y=f(x)-g(x)=0.15x-26.25. 当 75≤x<175,且x∈N*时,y<0,即f(x)<g(x), 则选择商店一省钱; 当x>175,且x∈N*时,y>0,即f(x)>g(x),则

选择商店二省钱.
综上可知,当购买175副手套时,两商店的 优惠相同,选择其中任何一家商店都可以; 当购买的手套多于75副而少于175副时,选 择商店一省钱;当购买的手套多于175副时,

选择商店二省钱.

1.函数应用题的解法 解答数学应用题是在阅读文字材料,理解题意 的基础上对实际问题进行抽象概括,再转化为 数学符号语言,最后进行数学化处理的过程.
建模 ?????? “数 ? 其思维程序是: “将实际问题” ?????? ? 审题、抽象、转化 解模 还原 ???? “函数模型的解” ????? ? ???? 学问题” ????? ? 推理、运算 等价、说明

“实际问题的结论”.函数的模型方法: “设变量”
自变量 函数的性质 ??? “找关系” ?????“求结果”. ? ???? ??? ? ? 因变量 函数的图象

2.函数图象意义的理解
函数图象反映了两个变量间的特殊关 系,在读题的过程中,还要仔细阅读 文字语言提示,对照图象变化趋势按 要求回答问题.


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