nbhkdz.com冰点文库

证明三角形全等总复习(经典题目)(含答案)

时间:2019-03-24

三角形专题训练
【知识精读】 1. 三角形的内角和定理与外角和定理; 2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论; 3. 全等三角形的性质与判定; 4. 特殊三角形的性质与判定(如等腰三角形); 5. 直角三角形的性质与判定。 【分类解析】 1. 三角形内角和定理的应用 例 1. 如图 1,已知 ?ABC 中, ?BAC ? 90? ,AD?BC 于 D,E 是 AD 上一点。 求证: ?BED ? ?C

A E B D 图1 C

2. 三角形三边关系的应用 例 2. 已知:如图 2,在 ?ABC 中, AB ? AC ,AM 是 BC 边的中线。 求证: AM ?

1 ? AB ? AC ? 2

- 1 -

A

B

M

C

D 图2

3. 角平分线定理的应用 例 3. 如图 3,∠B=∠C=90°,M 是 BC 的中点,DM 平分∠ADC。 求证:AM 平分 DAB。

D G

C

M

A 图3

B

4. 全等三角形的应用 (1)构造全等三角形解决问题 例 4. 已知如图 4,△ABC 是边长为 1 的等边三角形,△BDC 是顶角(∠BDC)为 120°的等腰三角形,以 D 为顶点作一个 60°的角,它的两边分别交 AB 于 M,交 AC 于 N,

- 2 -

连结 MN。求证: ?AMN 的周长等于 2。

A M N B D 图4 C

M'

(2)“全等三角形”在综合题中的应用 例 5. 如图 5,已知:点 C 是∠FAE 的平分线 AC 上一点,CE⊥AE,CF⊥AF,E、F 为垂 足。点 B 在 AE 的延长线上,点 D 在 AF 上。若 AB=21,AD=9,BC=DC=10。求 AC 的长。

- 3 -

F D C

A 图5

E

B

5、中考点拨 例 6. 如图,在 ?ABC 中,已知∠B 和∠C 的平分线相交于点 F,过点 F 作 DE∥BC,交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,若 BD+CE=9,则线段 DE 的长为( A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 )

A

D B

F

E C

6、题型展示 例 7. 已知:如图 6, ?ABC 中,AB=AC,∠ACB=90°,D 是 AC 上一点,AE 垂直 BD 的
- 4 -

延长线于 E, AE ?

1 BD 。 2

求证:BD 平分∠ABC

A E D C 图6 B

F

例 8. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图 7,在正三角形 ABC 花坛外有满足条件 PB=AB 的一棵树 P,现要在花坛内装一喷水管 D,点 D 的位置必须满 足条件 AD=BD,∠DBP=DBC,才能使花坛内全部位置及树 P 均能得到水管 D 的喷水, 问∠BPD 为多少度时,才能达到上述要求?

- 5 -

A

P

D B 图7 C

【实战模拟】 1. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm 和 21cm,则这个等腰三角 形底边的长为____________。 2. 在锐角 ?ABC 中,高 AD 和 BE 交于 H 点,且 BH=AC,则∠ABC=__________。 3. 如图所示,D 是 ?ABC 的∠ACB 的外角平分线与 BA 的延长线的交点。试比较∠BAC 与∠B 的大小关系。

D A
1 2

D

C

E

4. 如图所示,AB=AC,∠BAC=90°,M 是 AC 中点,AE⊥BM。 求证:∠AMB=∠CMD

- 6 -

A E B D M C

5. 设三个正数 a、b、c 满足 a ? b ? c
2 2

?

2 2

?

? 2?a 4 ? b 4 ? c 4 ? ,求证:a、b、c 一定是

某个三角形三边的长。

- 7 -

【试题答案】
1. 5cm 2. 45° 3. 分析:如图所示,∠BAC 是 ?ACD 的外角,所以 ?BAC ? ?1 因为∠1=∠2,所以∠BAC>∠2 又因为∠2 是 ?BCD 的外角,所以∠2>∠B,问题得证。 答:∠BAC>∠B ∵∠CD 平分∠ACE,∴∠1=∠2 ∵∠BAC>∠1,∴∠BAC>∠2 ∵∠2>∠B,∴∠BAC>∠B 4. 证明一:过点 C 作 CF⊥AC 交 AD 的延长线于 F

A
1

E B
2

M
3 4

D F

C

? ∠1 ? ∠BAE ? ∠ 2 ? ∠BAE ? 90? ? ∠1 ? ∠ 2
又∠BAC=∠ACF=90°
- 8 -

AC=AB

? ?ABM ? ?CAF ? AM ? CF,∠F ? ∠AMB
又 AM=MC,∴MC=CF 又∠3=∠4=45°,CD=CD

? ?CDM ? ?CDF

? ∠F ? ∠CMD ? ∠AMB ? ∠CMD
证明二:过点 A 作 AN 平分∠BAC 交 BM 于 N

A
1 2 3

M E C

B

N D

? ∠ 2 ? ∠BAE ? ∠ 3 ? ∠BAE ? 90? ? ∠2 ? ∠3
又 AN 平分∠BAC

? ∠1 ? ∠C ? 45?
又 AB=AC

- 9 -

? ?ABN ? ?CAD ? AN ? CD

A
1 2 3

M E C

B

N D

又 ∠NAM ? ∠C ? 45? AM=CM

? ?NAM ? ?DCM ? ∠AMB ? ∠CMD
说明: 若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中, 可以把求证的角或线段用 和它相等的量代换。若没有相等的量代换,可设法作辅助线构造全等三角形。 5. 证明:由已知得:

a 4 ? b 4 ? c 4 ? 2a 2 b 2 ? 2b 2 c 2 ? 2c 2 a 2 ? 2a 4 ? 2b 4 ? 2c 4
即 a ? b ? c ? 2a b ? 2b c ? 2c a ? 0
4 4 4 2 2 2 2 2 2

? a 4 ? b 4 ? 2a 2 b 2 ? 2c 2 a 2 ? 2b 2 c 2 ? c 4 ? 4a 2 b 2 ? 0

?a

2

? b 2 ? ? 2c 2 ? a 2 ? b 2 ? ? c 4 ? 4a 2 b 2 ? 0
2

- 10 -

?a ??a

2 2

? b 2 ? c 2 ? ? ?2ab? ? 0
2 2 2

??a ? b?

? b 2 ? c 2 ? ? 2ab ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 2ab ? 0 ? c 2 ? a ? b? ? c 2 ? 0
2

?a ? b ? c??a ? b ? c??a ? b ? c??a ? b ? c? ? 0

??

??

?

?

?a ? b ? c ? 0 ? ?a ? b ? c??a ? b ? c??a ? b ? c? ? 0 ? ?a ? b ? c??b ? c ? a ??c ? a ? b? ? 0

? a、b、c 是某一三角形三边的长。

- 11 -

1.证明:由 AD⊥BC 于 D,可得∠CAD=∠ABC 又 ?ABD ? ?ABE ? ?EBD 则 ∠ABD ? ∠EBD 可证 ∠CAD ? ∠EBD 即 ∠BED ? ∠C 说明:在角度不定的情况下比较两角大小,如果能运用三角形内角和都等于 180°间接 求得。 2.证明:延长 AM 到 D,使 MD=AM,连接 BD 在 ?CMA 和 ?BMD 中, AM ? DM,∠AMC ? ∠DMB,CM ? BM

? ?CMA ? ?BMD ? BD ? AC
在 ?ABD 中, AB ? BD ? AD ,而 AD ? 2 AM

? AB ? AC ? 2 AM ? AM ? 1 ? AB ? AC ? 2

说明:在分析此问题时,首先将求证式变形,得 2 AM ? AB ? AC ,然后通过倍长中 线的方法,相当于将 ?AMC 绕点旋转 180°构成旋转型的全等三角形,把 AC、AB、2AM 转 化到 同一三 角形 中,利 用三 角形三 边不等 关系 ,达 到解决 问题的 目的 。很 自然有

1 1 ? AB ? AC ? ? AM ? ? AB ? AC ? 。请同学们自己试着证明。 2 2
3.证明:过 M 作 MG⊥AD 于 G,∵DM 平分∠ADC,MC⊥DC,MG⊥AD ∴MC=MG(在角的平分线上的点到角的两边距离相等) ∵MC=MB,∴MG=MB 而 MG⊥AD,MB⊥AB ∴M 在∠ADC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上)
- 12 -

∴DM 平分∠ADC 说明:本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件 MG =MB。同时要注意不必证明三角形全等,否则就是重复判定定理的证明过程。 4. 分析: 欲证 ?AMN 的周长等于 2 ,需证明它等于等边 ?ABC 的两边的长,只需证

MN ? BM ? CN 。采用旋转构造全等的方法来解决。
证明:以点 D 为旋转中心,将 ?DBM 顺时针旋转 120°,点 B 落在点 C 的位置,点 M 落在 M'点的位置。 得:∠MBD=∠NCD=90°

? Rt?MBD ? Rt?M ' CD ? ∠DCM ' ? ∠DBM ? 90?
∴∠NCD 与∠DCM'构成平角,且 BM=CM',DM=DM',∠NDM'=∠NDC+∠CDM' =∠NDC+∠BDM=120°-60°=60° 在 ?MDN 和 ?M ' DN 中,

DM ? DM ' ,∠MDN ? ∠M ' DN ? 60? ,DN ? DN

? ? ? ?

? M D N MN ?

? M

? M ' N ' C ?

'

D N

(

SAS

) ? C N

M ' N ? M MN ? B M

? C N C N

?

B M

? ?AMN 的周长 ? AM ? AN ? MN ? AM ? AN ? BM ? CN ? AB ? AC ? 2
说明:通过旋转,使已知图形中的角、线段充分得到利用,促进了问题的解决。 5.分析:要求 AC 的长,需在直角三角形 ACE 中知 AE、CE 的长,而 AE、CE 均不是已知 长度的线段,这时需要通过证全等三角形,利用其性质,创设条件证出线段相等,进而求出 AE、CE 的长,使问题得以解决。 解:∵AC 平分∠FAE,CF⊥AF,CE⊥AE ∴CF=CE

- 13 -

?CF ? CE ? ? ?∠F ? ∠CEA ? 90? ? AC ? AC ? ? ?ACF ? ?ACE ( HL) ? AF ? AE ?CF ? CE ? ? ?CD ? BC ?∠F ? ∠CEB ? 90? ? ? ?CDF ? ?CBE ( HL)
∴BE=DF 设 BE ? DF ? x ,则 AE ? AB ? BE ? 21 ? x,AF ? AD ? DF ? 9 ? x

? AE ? AF, ? 21 ? x ? x ? 9 , ? x ? 6
在 Rt?BCE 中, CE ? 在 Rt?ACE 中, AC ? 答:AC 的长为 17。 6.分析:初看此题,看到 DE=DF+FE 后,就想把 DF 和 FE 的长逐个求出后再相加得 DE, 但由于 DF 与 FE 的长都无法求出,于是就不知怎么办了?其实,若能注意到已知条件中的 “BD+CE=9”,就应想一想,DF+FE 是否与 BD+CE 相关?是否可以整体求出?若能想 到这一点,就不难整体求出 DF+FE 也就是 DE 的长了。 解:∵BF 是∠B 的平分线 ∴∠DBF=∠CBF 又 DE∥BC ∴∠DFB=∠CBF ∴∠BDF=∠DFB ∴DF=BD 同理,FE=CE
- 14 -

BC 2 ? BE 2 ? 10 2 ? 6 2 ? 8

AE 2 ? CE 2 ? ?21 ? 6? ? 8 2 ? 17
2

∴DF+FE=BD+CE=9 即 DE=9 故选 A 7.分析:要证∠ABD=∠CBD,可通过三角形全等来证明,但图中不存在可证全等的三角形, 需设法进行构造。注意到已知条件的特点,采用补形构造全等的方法来解决。 简证:延长 AE 交 BC 的延长线于 F 易证 ?ACF ? ?BCD (ASA 或 AAS)

? AF ? BD 1 BD 2 1 ? AE ? AF ? EF 2 ? AE ?
于是又不难证得 ?BAE ? ?BFE ( SAS )

? ∠ABD ? ∠CBD
∴BD 平分∠BAC 说明:通过补形构造全等,沟通了已知和未知,打开了解决问题的通道。 8.分析:此题是一个实际问题,应先将实际问题转化成数学问题,转化后的数学问题是:如 图 7,D 为正 ?ABC 内一点,P 为正 ?ABC 外一点,PB=AB,AD=BD,∠DBP=∠DBC, 求∠BPD=?在解此数学问题时,要用到全等三角形的知识。 解:连 CD

? BP ? AB ? BC ? ? ?∠DBP ? ∠DBC ? BD ? BD ? ? ?PBD ? ?CBD ( SAS ) ? ∠BPD ? ∠BCD

- 15 -

? AC ? BC ? 又? ? AD ? BD ?CD ? CD ?
? ?ACD ? ?BCD ( SSS ) ? ∠ACD ? ∠BCD ? 30?

? ∠BPD ? 30? ,即 ∠BPD ? 30? 时,才能达到要求。

- 16 -


证明三角形全等总复习(经典题目)(含答案).doc

证明三角形全等总复习(经典题目)(含答案) - 三角形专题训练 【知识精读】 1

全等三角形证明经典40题(含答案).doc

全等三角形证明经典40题(含答案) - 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是

全等三角形证明经典题(含答案).doc

全等三角形证明经典题(含答案) - 全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知:

全等三角形证明经典50题(含答案).doc

全等三角形证明经典50题(含答案) - 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是

全等三角形证明经典10题((含答案).doc

全等三角形证明经典10题((含答案) - 全等三角形证明经典 10 题(含答案) 1 如图,已知: AD 是 BC 上的中线 ,且 DF=DE.求证:BE∥CF. 2.如图,在Δ ABC...

全等三角形证明经典50的题目(含答案详解).doc

全等三角形证明经典50的题目(含答案详解) - 实用标准文案 1. 已知:AB=

8上全等三角形证明经典50题(含答案).doc

8上全等三角形证明经典50题(含答案) - 1. 已知:AB=4,AC=2,D

全等三角形证明经典50题(含答案)(1).doc

全等三角形证明经典50题(含答案)(1) - Learn G eneral Se

全等三角形经典培优题型(含答案).doc

全等三角形经典培优题型(含答案) - 雨露辅导中心专用资料 三角形培优练习题 1

经典证明题:全等三角形 (含答案).doc

经典证明题:全等三角形 (含答案) - 经典证明题:全等三角形 (含答案) 1.

全等三角形证明经典50题(含答案)2.doc

全等三角形证明经典50题(含答案)2 - 三角形的有关证明 1 已知:AB=4,

黄冈市全等三角形证明经典40题(含答案) -.doc

黄冈市全等三角形证明经典40题(含答案) - - 全等三角形证明经典 40 题(含答案) 1. 如图,四边形 ABCD 中,AB∥DC,BE、CE 分别平分∠ABC、∠BCD,且点 E ...

全等三角形经典例题(含答案).doc

全等三角形经典例题(含答案)_初一数学_数学_初中教育_教育专区。北师大七年级下册数学全等三角形证明 新思路全等三角形经典例题判定方法 ⑴边边边公理(SSS) ⑵边...

三角形与全等三角形经典习地的题目及答案详解.doc

三角形全等三角形经典习地的题目答案详解 - 实用标准文档 全等三角形综合复习 切记: “有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角...

全等三角形证明经典50题(含答案)2.24.doc

全等三角形证明经典50题(含答案)2.24 - 全等三角形证明经典 50 题(含答案) 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是 BC 中点,AD 是整数,求 AD A B D C 解:...

全等三角形证明经典50题(含答案).doc

全等三角形证明经典50题(含答案) - 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是

全等三角形证明经典50题(含答案).doc

全等三角形证明经典50题(含答案) - 全等三角形证明经典 50 题(含答案) 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是 BC 中点,AD 是整数,求 AD A B D C 解:延长 AD...

全等三角形证明经典50题(含答案).doc

全等三角形证明经典50题(含答案) - 全等三角形证明经典 50 题(含答案) 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是 BC 中点,AD 是整数,求 AD A B D C 延长 AD 到...

全等三角形证明经典50题(含答案).doc

全等三角形证明经典50题(含答案) - 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是

三角形与全等三角形经典习题及答案.doc

全等三角形综合复习 7 月 22 日作业 一、选择题: 1. 能使两个直角三角形...求证: BF ? CE 。 答案例 1. 思路分析:从结论 ?ACF ? ?BDE 入手,全等...