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(北师大版)数学必修2全套教案 99页

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北师大版高中数学必修 2 第一章《立体几何初步》全部教案
法门高中 姚连省

1.1 简单几何体 第一课时 1.1.1 简单旋转体

一、教学目标:1.知识与技能: (1)通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2)能根据几何结 构特征对空间物体进行分类。 (3)会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。 (4)会表示 有关于几何体以及柱、锥、台的分类。2.过程与方法: (1)让学生通过直观感受空间物体,从实 物中概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。 (2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3. 情感态度与价值观: (1) 使学生感受空间几何体存在于现实生活周围, 增强学生学习的积极性, 同时提高学生的观察能力。 (2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。 难点:圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的概括。 三、教学方法 (1)学法:观察、思考、交流、讨论、概括。 (2)教法:探析讨论法。 四、教学过程: (一)、新课导入:1. 讨论:经典的建筑给人以美的享受,其中奥秘为何?世间万物,为何千姿百 态?2. 提问:小学与初中在平面上研究过哪些几何图形?在空间范围上研究过哪些?3. 导入:进 入高中,在必修②的第一、二章中,将继续深入研究一些空间几何图形,即学习立体几何,注意学 习方法:直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算. (二)、研探新知: (Ⅰ) 、空间几何体的类型 问题提出: 1.在平面几何中,我们认识了三角形,正方形,矩形,菱形,梯形,圆,扇形等平面图形.那么对 空间中各种各样的几何体,我们如何认识它们的结构特征? 2.对空间中不同形状、大小的几何体我们如何理解它们的联系和区别? 探究:空间几何体的类型 思考 1:在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物 体的形状和大小, 而不考虑其他因素, 那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.你能列 举那些空间几何体的实例?

1

思考 2:观察下列图片,你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗?

思考 3:如果将这些几何体进行适当分类,你认为可以分成那几种类型? 思考 4:图(2) (5) (7) (9) (13) (14) (15) (16)有何共同特点?这些几何体可以统一叫什么 名称?多面体 思考 5:图(1) (3) ( 4) (6) (8) (10) (11) (12)有何共同特点?这些几何体可以统一叫什么 名称?旋转体 思考 6:一般地,怎样定义多面体?围成多面体的各个多边形,相邻两个多边形的公共边,以及 这些公共边的公共顶点分别叫什么名称?

定 点





由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 . 思考 7:一般地,怎样定义旋转体? 轴

由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何 体叫做旋转体 。 (Ⅱ) 、探究简单旋转体的结构特征 1. 探究圆柱、圆锥的结构特征: ① 讨论:圆柱、圆锥如何形成? ② 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱;

2

以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥. → 列举生活中的棱柱实例 →结合图形认识:底面、轴、侧面、母线、高. → 表示方法

③ 观察书 P2 若干图形,找出相应几何体; 举例:生活中的柱体、锥体. 2、探究圆台的结构特征: ① 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分叫做圆台. →列举生活中的实例结合图形认识:上下底面、侧面、侧棱(母线) 、顶点、高. ②讨论: 圆台的表示?圆台可如何旋转而得? ③ 讨论:圆台分别具有一些什么几何性质?圆台:两底面是两个半径不同的圆;轴截面是等腰梯形; 任意两条母线的延长线交于一点;母线长都相等. 3.探究球体的结构特征: ① 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体,叫球体. →列举生活中的实例结合图形认识:球心、半径、直径.→ 球的表示. ② 讨论:球有一些什么几何性质? ③ 讨论:球与圆柱、圆锥、圆台有何关系?(旋转体) (三) 、课堂小结:几何图形;相关概念;相关性质;生活实例; (四) 、巩固练习:1. 练习:教材 P7 1、2 题. 2. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为 12cm,求圆锥的底面半径. 3.已知圆柱的底面半径为 3cm,,轴截面面积为 24cm,求圆柱的母线长. 4.判断下列说法是否正确: (1) 、圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面。正确。 (2) 、圆台的上下底面圆 周上任两点的连线即圆台的母线。错误。 (3) 、球和圆柱的截面一定是圆面。错误。 (4) 、以直角三角 形的一边为轴,其余两边旋转所得曲面围成的几何体是圆锥。错误。 (五) 、作业:课本:习题 1-1 A 组 3、4 . B 组 1 思考题:如图(1) 、 (2)中绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单旋转体构成的?

B

A C F

B

A

C

D E

D F E G

五、教后反思:

第二课时

1.1.2 简单多面体
3

一、教学目标:1.知识与技能: (1)通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2)能根据几何结 构特征对空间物体进行分类。 (3)会用语言概述棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。 (4) 会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。2.过程与方法: (1)让学生通过直观感受空间物体, 从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。 (2)让学生观察、讨论、归纳、概 括所学的知识。3.情感态度与价值观: (1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学 生学习的积极性,同时提高学生的观察能力。 (2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。 难点:棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征的概括。 三、教学方法 (1)学法:观察、思考、交流、讨论、概括。 (2)教法:探析讨论法。 四、教学过程: (一)、新课导入:复习:1、简单几何体都有哪些类型?2、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特 征。 (二)探究简单多面体的结构特征 1. 探究棱柱、棱锥的结构特征: ① 提问:举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象? ② 讨论:给一个长方体模型,经过上、下两个底面用刀垂直切,得到的几何体有哪些公共特征? 把这些几何体用水平力推斜后,仍然有哪些公共特征? 知识探究(1) :棱柱的结构特征 思考 1:我们把下面的多面体取名为棱柱,你能说一说棱柱的结构有那些特征吗?据此你能给棱 柱下一个定义吗?

思考 2:为了研究方便,我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的 侧面, 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱, 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.你能指出上面
4

棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗?

侧棱

侧面

底面

顶点 思考 3:下列多面体都是棱柱吗?如何在名称上区分这些棱柱?如何用符号表示? C

C1 B1

B

A D1 A
1

A1

C1 B1 C B

D A

③ 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体叫棱柱. → 列举生活中的棱柱实例(三棱镜、方砖、六角螺帽). 结合图形认识:底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线. 思考 4:棱柱上、下两个底面的形状大小如何?各侧面的形状如何? 答案:两底面是全等的多边形,各侧面都是平行四边形 思考 5:有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗?

5

思考 6:一个棱柱至少有几个侧面?一个 N 棱柱分别有多少个底面和侧面?有多少条侧棱?有多 少个顶点? ④ 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 表示:棱柱 ABCDE-A’B’C’D’E’ 知识探究(2) : 棱锥的结构特征 思考 1:我们把下面的多面体取名为棱锥,你能说一说棱锥的结构有那些特征吗?据此你能给棱 锥下一个定义吗?

①定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 叫棱锥. 思考 2:参照棱柱的说法,棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义? 结合图形认识:底面、侧面、侧棱、顶点、高. → 讨论:棱锥如何分类及表示? 顶点 侧面

侧棱 底面

思考 4:一个棱锥至少有几个面?一个 N 棱锥有分别有多少个底面和侧面?有多少条侧棱?有多 少个顶点? 【至少有 4 个面;1 个底面,N 个侧面,N 条侧棱,1 个顶点. 】 思考 5:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面的形状关系如何?【相似多边形】 ②讨论:棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质?有什么共同的性质?
6

棱柱:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平 行于底面的截面是与底面全等的多边形 棱锥:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离 与高的比的平方. 2、探究棱台的结构特征: ① 讨论:用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体,所得几何体有何特征? ② 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分叫做棱台; →列举生活中的实例 结合图形认识:上下底面、侧面、侧棱(母线) 、顶点、高. 讨论:棱台的分类及表示? ③ 讨论:棱台具有一些什么几何性质? 棱台:两底面所在平面互相平行;两底面是对应边互相平行的相似多边形;侧面是梯形;侧棱 的延长线相交于一点. ④ 讨论:棱、圆与柱、锥、台的组合得到 6 个几何体. 棱台与棱柱、棱锥有什么关系?圆台与圆 柱、圆锥有什么关系? (以台体的上底面变化为线索) ⑤讨论:棱台与棱柱、棱锥有什么共性?(多面体) 4. 练习:圆锥底面半径为1cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长. (补充平行线分线段成比例定理) 5. 小结:学习了柱、锥、台、球的定义、表示;性质;分类. (三) 、巩固练习:课本 P8 A 组 1~4 题. (四) 、小结:本课学习了柱、锥、台、球的定义、表示;性质;分类. 要求大家理解和掌握(1) 能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (2)会用语言概述棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的 结构特征。 (3)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 (五) 、作业:1. 已知长方体的长、宽、高之比为 4∶3∶12,对角线长为 26cm, 则长、宽、高 分别为多少? 2. 棱台的上、下底面积分别是 25 和 81,高为 4,求截得这棱台的原棱锥的高 3. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体,求棱长为 a 的正四面体的高. 4.正四棱锥的底面积为 46 cm 2 ,侧面等腰三角形面积为 6 cm 2 ,求正四棱锥侧棱. 五、教后反思:

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第三课时 1.2.1

空间几何体的三视图

一、 教学目标: 1. 知识与技能: (1) 掌握画三视图的基本技能; (2) 丰富学生的空间想象力。 2. 过 程与方法: 主要通过学生自己的亲身实践, 动手作图, 体会三视图的作用。 3. 情感态度与价值观: (1)提高学生空间想象力; (2)体会三视图的作用。 二、教学重点、难点 重点:画出简单组合体的三视图。难点:识别三视图所表示的空间几何体 三、学法与教法 1.学法:观察、动手实践、讨论、类比;2.教法:观察讨论类比法。 四、教学基本流程 (一)创设情景,揭开课题 “横看成岭侧看成峰”,这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同,要比较真实反映 出物体,我们可从多角度观看物体,这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。在初中,我们已 经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图(正视图、侧视图、俯视图) 。 (二)给出三视图的定义:1、从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图称为几何体的正视 图(主视图) 。2、从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图称为几何体的侧视图(左视图) 。 3、从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图称为几何体的俯视图。 (三)通过多媒体课件展示长方体的三视图,并给出三视图之间的投影规律。 虽然在画三视图时取消了投影轴和投影间的连线,但三视图间的投影规律和相对位置关系仍 应保持。三视图的位置关系为:俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方。按照这种位置 配置视图时,国家标准规定一律不标注视图的名称。对应上图还可以看出:主视图反映了物体上 下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系, 即反映了物体的长度和宽度;左视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和 宽度。由此可得出三视图之间的投影规律为:主、俯视图——长对正;主、左视图——高平齐; 俯、左视图——宽相等。 (四)基本几何体的三视图

1、球的三视图

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2、圆柱的三视图

3、圆锥的三视图

作三视图之前应当细心观察,认识了它的基本结构特 征后,再动手作图。 (五)简单组合体的三视图:桌面上摆放几个简单组合体,请学生画出它们的三视图

俯 简单几何体画三视图。 视 (六)归纳整理:请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图:三视图之间的投影规律:正视 图
何体的三视图时,能看得见的轮廓线或棱用实线表示,不能看得见的轮廓线或棱用虚线表示。 (七)课后作业:课本 P22 习题 1.2 A 组 1、2 五、教后反思:

画组合体的三视图的步骤:应认清组合体的结构,把组合体分解成几个简单的基本几何体,再按

图与俯视图------长对正;正视图与侧视图------高平齐;俯视图与侧视图------宽相等。画几

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第四课时 1.2.2 简单组合体的三视图 一、教学目标:能利用正投影绘制简单组合体的三视图,并根据所给的三视图说出该几何体由哪 些简单几何体构成。 二、教学重点:简单组合体三视图的画法。教学难点:识别三视图所表示的空间几何 体. 三、学法与教法:1.学法:观察、动手实践、讨论、类比;2.教法:观察讨论类比法。 四、教学过程: (一) 、复习回顾:1.中心投影与平行投影的概念:中心投影:光由一点向外散射形成的投影。 平行投影:在一束平行光线照射下形成的投影。 2.三视图的概念:主视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图;左视图:光线从几 何体的左面向右面正投影得到的投影图;俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影 图。几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 在三视图中要注意: (1)要遵守“长对正” , “高平齐” , “宽相等”的规律; (2)要注意三视图的 主视图反映上下、左右关系,俯视图反映前后、左右关系,左视图反映前后、上下关系,方位不 能错。 (二) 、探究新课 1.简单组合体的三视图: 例 1:画出下列几何体的三视图。 分析:画三视图之前,先把几何体的结构弄清楚。

例 2:如图:设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图(单位:cm) 。 (与学生一起观察物体,给于必要的阐述)

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主 视图

左 视图

俯 视图

正前方

现在,我们已经学会了画物体的三视图,反过来,由三视图,你能说出是什么物体吗? 2、三视图与几何体之间的相互转化。 (1) .投影出示图片(课本 P15,图 1.2-6) 请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么?

圆台

(2) .请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么?

四棱柱

(3) .三视图对于认识空间几何体有何作用?你有何体会? 教师巡视指导,解答学生在学习中遇到的困难,然后让学生发表对上述问题的看法。 (4) .思考:若只给出一组正,侧视图, 那么它还可能是什么几何体?

正四棱台

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三棱台

例 3:根据下列三视图,说出立体图形的形状。

(1)

(2)

(3)

解: (1)圆台; (2)正四棱锥; (3)螺帽。 例 4:下图是一个物体的三视图,试说出物体的形状。

主视图

左视图

俯视图

(三) 、巩固练习: 课本第 15 页练习 第 1—4 题。 (四) 、归纳小结:今天我们学习了三视图的画法以及由三视图说实物。重点要通过三视图识别 所表示的几何体。 (五) 、作业布置: 课本第 20-21 页 习题 1.2 的第 1、2 题。 五、教后反思:

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第五课时 1.2.3 空间几何体的直观图 一、教学目标 1.知识与技能: (1)掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。 ( 2)采用对比的方法了 解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。 2.过程与方法:学生通过观察和类比,利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。 3.情感态度与价值观: (1)提高空间想象力与直观感受。 (2)体会对比在学习中的作用。 (3)感 受几何作图在生产活动中的应用。 二、教学重点、难点 重点、难点:用斜二测画法画空间几何值的直观图。 三、学法与教法 1.学法:学生通过作图感受图形直观感,并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。 2.教法:讨论探究法 四、教学过程: (一)、新课导入: 1. 提问:何为三视图?(主视图:自前而后;左视图:自左而右;俯视图:自上而下) 2. 讨论:如何在平面上画出空间图形? 3. 引入:定义直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形. 把空间图形画在平面内, 画得既富有立体感, 又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关 系的图形 (二) 、探究新课 1. 水平放置的平面图形的斜二测画法: (1)讨论:水平放置的平面图形的直观感觉?以六边形为例讨论. 例 1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。 (师生共练,注意取点、变与不变 → 小结:画法步骤) 画法:① 如图 1.2-10(1),在正六边形 ABCDEF 中,取 AD 所在直线为 x 轴,对称轴 MN 所在直线 为 y 轴,两轴相交于点 O。在图 1.2-10(2)中,画相应的 x’轴与 y’轴,两轴相交于点 O’,使

?X 'O'Y ' =450。
② 在图 1.2-10(2)中, 以 O’为中点, 在 x’轴上取 A’D’=AD, 在 y’轴上取 M’N’=

1 MN。 2

以点 N’为中点,画 B’C’平行于 x’轴,并且等于 BC;再以 M’为中点,画 E’F’平行于 x’ 轴,并且等于 EF。 ③连接 A’B’,C’D’,D’E’,F’A’,并檫去辅助线 x’轴和 y’轴,便获得正六边形

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ABCDEF 水平放置的直观图 A’B’C’D’E’F’(图 1.2-10(3)) 。 (2)给出斜二测画法的基本步骤: ①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX,OY,建立直角坐标系; ②画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的 O X ,O Y ,使 ?X 'O'Y ' =45 (或
’ ’ ’ ’ 0

135 ) ,它们确定的平面表示水平平面; ③画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X 轴,且长度保持不 变;在已知图形平行于 Y 轴的线段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原来的一半; ④擦去辅助线,图画好后,要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线(虚线) 。 (3) 练习: 用斜二测画法画水平放置的正五边形. (4) 讨论:水平放置的圆如何画?(正等测画法;椭圆模板) 2. 空间图形的斜二测画法: (1) 讨论:如何用斜二测画法画空间图形? 例 2 用斜二测画法画长 4cm、宽 3cm、高 2cm 的长方体 ABCD-A’B’C’D’的直观图. (师生共练,建系→取点→连线,注意变与不变; 小结:画法步骤)
0 0 ‘ ‘

0

画法:①画轴。如图 1.2-12,画 x 轴、y 轴、z 轴,三轴相交于点 O,使∠xOy=45 ,∠xOz=90 . ②画底面。以点 O 为中点,在 x 轴上取线段 MN,使 MN=4cm;在 y 轴上取线段 PQ,使 PQ=

3 cm.分别 2

过点 M 和 N 作 y 轴的平行线,过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线,设它们的交点分别为 A,B,C,D,四 边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD. ③画侧棱。过 A,B,C,D 各点分别作 z 轴的平行线,并在这些平行线上分别取 2cm 长的线段 AA’,BB’,CC’,DD’. ④成图。顺次连接 A’,B’,C’,D’,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线) ,就 得到长方体的直观图。 (2)思考:如何根据三视图,用斜二测画法画它的直观图? 例 3 如图 1.2-13,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图。 分析:有几何体的三视图知道,这个几何体是一个简单组合体。它的下部是一个圆柱,上部是一 个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合。我们可以先画出下部的圆柱,再画出上部的圆锥。 画法:①画轴。如图 1.2-14(1),画 x 轴、z 轴,使∠xOz=90 。 ②画圆柱的下底面。在 x 轴上取 A,B 两点,使 AB 的长度等于俯视图中圆的直径,且 OA=OB。选择 椭圆模板中适当的椭圆过 A,B 两点,使它为圆柱的下底面。 ③在 Oz 上截取点 O’,使 OO’等于正视图中 OO’的长度,过点 O’作平行于轴 Ox 的轴 O’x’, 类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面。 ④画圆锥的顶点。在 Oz 上截取点 P,使 PO’等于正视图中相应的高度。
0

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⑤成图。连接 PA’,PB’,AA’,BB’,整理得到三视图表示的几何体的直观图(图 1.2-14(2)) 强调:用斜二测画法画图,注意正确把握图形尺寸大小的关系。 (3)讨论:三视图与直观图有何联系与区别? 空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构,根据三视 图可以得到一个精确的空间几何体,得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸). 直观图是对空间几 何体的整体刻画,根据直观图的结构想象实物的形象. (三) 、巩固练习:1.探究 P19 奖杯的三视图到直观图。 2. 练习:P19 1~5 题。 3. 画出一个正四棱台的直观图.尺寸:上、下底面边长 2cm、4cm; 高 3cm。 (四) 、归纳小结:让学生回顾斜二测画法的关键与步骤:①建立直角坐标系,在已知水平放置 的平面图形中取互相垂直的 OX,OY,建立直角坐标系;②画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平 面上)画出对应的 O X ,O Y ,使 ?X 'O'Y ' =45 (或 135 ) ,它们确定的平面表示水平平面;③画对
’ ’ ’ ’ 0 0

应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X 轴,且长度保持不变;在已知 图形平行于 Y 轴的线段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原来的一半;④擦去辅助线, 图画好后,要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线(虚线) 。空间几何体的三视图与直观图有密 切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构, 根据三视图可以得到一个精确的空间几何体, 得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸). 直观图是对空间几何体的整体刻画,根据直观图的结构 想象实物的形象. (五) 、作业布置:课本 P21 五、教后反思: 第 4、5 题。




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第六课时§1.3.1 空间图形的基本关系与公理 一、教学目标: 1、知识与技能: (1)利用生活中的实物对平面进行描述; (2)掌握平面的表示法及水平放置的直 观图; (3)掌握平面的基本性质及作用; (4)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法: (1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识; (2)让学生归纳整理本 节所学知识。 3、情感与价值:使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点:1、平面的概念及表示;2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及 符号语言。 三、学法与教法 1、学法:学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地完成本 节课的教学目标。2、教法:思考交流讨论法 四、教学过程 (一)实物引入、揭示课题 师:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象,你们 能举出更多例子吗?引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时,教师对学生的活动给予 评价。 师:那么,平面的含义是什么呢?这就是我们这节课所要学习的内容。 (二)研探新知 1、平面含义 师:以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来的, 但是,几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师:在平面几何中,怎样画直线?(一学生上黑板画) 之后教师加以肯定,解说、类比,将知识迁移,得出平面的画法:水平放置的平面通常画成一个 平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) D α A B
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0

难点:平面基本性质的掌握与运用。

C

平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行四边形 的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画(打出投 影片)

β

β

α

α

·B 课本 P41 图 2.1-4 说明 α ·A

平面内有无数个点,平面可以看成点的集合。 点 A 在平面α 内,记作:A∈α 点 B 在平面α 外,记作:B ? α

2.1-4 3、平面的基本性质 教师引导学生思考教材 P41 的思考题,让学生充分发表自己的见解。 师:把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面上,用事 实引导学生归纳出以下公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 ·B (教师引导学生阅读教材 P42 前几行相关内容,并加以解析) 符号表示为 A∈L B∈L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 师:生活中,我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等?? 引导学生归纳出公理 2
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=> L

α

α ·

A

L

公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 教师用正(长)方形模型,让学生理解两个平面的交线的含义。 引导学生阅读 P42 的思考题,从而归纳出公理 3

α ·

A

·

C

·

B

公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 β 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 (三) 、例题探析:教材 P43 例 1 通过例子,让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。 (四) 、课堂练习:课本 P44 练习 1、2、3、4 (五) 、课时小结: (师生互动,共同归纳) (1)本节课我们学习了哪些知识内容?(2)三个公理的内容及作用是什么? (六) 、作业布置: (1)复习本节课内容; (2)预习:同一平面内的两条直线有几种位置关系? 五、教后反思: α
P

·

L

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第七课时§1.3.2 空间中直线与直线之间的位置关系 一、教学目标 1、知识与技能: (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学 生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理 4; (4)理解并掌握等角定理; (5)异面直线所成角的 定义、范围及应用。 2、过程与方法: (1)师生的共同讨论与讲授法相结合; (2)让学生在学习过程不断归纳整理所学 知识。 3、情感与价值:让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点 重点:1、异面直线的概念;2、公理 4 及等角定理。 难点:异面直线所成角的计算。 三、学法与教法 1、学法:学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括,从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教法:探究交流法 四、教学过程 (一)创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物,引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念:不同在任何一个平 面内的两条直线叫做异面直线。 2、师:那么,空间两条直线有多少种位置关系?(板书课题) (二)新课探究 1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系: 共面直线 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图:

19

2、 (1)师:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。在空 间中,是否有类似的规律? 组织学生思考: 长方体 ABCD-A'B'C'D'中, BB'∥AA',DD'∥AA', BB'与 DD'平行吗? 生:平行 再联系其他相应实例归纳出公理 4 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 (2)例 2(投影片) ,例 2 的讲解让学生掌握了公理 4 的运用 (3)教材 P47 探究,让学生在思考和交流中提升了对公理 4 的运用能力。 3、组织学生思考教材 P47 的思考题 =>a∥c

(投影)

让学生观察、思考: ∠ADC 与 A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 生:∠ADC = A'D'C',∠ADC + ∠A'B'C' = 180
0

教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下定理 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 教师强调:并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主,师生共同交流,导出异面直线所成的角的概念。 (1)师:如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a、b'∥b,我们把 a'与 b' 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。
20

(2)强调: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一 般取在两直线中的一条上;

?
2

② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 (3)例 3(投影) 例 3 的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角,从而巩固了所学知识。 (三)课堂练习:教材 P49 练习 1、2 充分调动学生动手的积极性,教师适时给予肯定。 (四)课堂小结:在师生互动中让学生了解: (1)本节课学习了哪些知识内容?(2)计算异面 直线所成的角应注意什么? (五)课后作业:1、判断题: (1)a∥b ( ) 。 c⊥a => c⊥b ( ) 。 (2)a⊥c b⊥c => a⊥b

2、填空题:在正方体 ABCD-A'B'C'D'中,与 BD'成异面直线的有 ________ 条。 五、教后反思:

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第八课时§1.3.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 一、教学目标 1、 知识与技能: (1) 了解空间中直线与平面的位置关系; ( 2) 了解空间中平面与平面的位置关系; (3)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法: (1)学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握; (2)让学生利用 已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点:空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点:用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教法 1、学法:学生借助实物,通过观察、类比、思考等,较好地完成本节课的教学目标。 2、教法:观察类比,探究交流。 四、教学过程 (一)复习引入: 1 空间两直线的位置关系: (1)相交; (2)平行; (3)异面
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2.公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式: a // b, b // c ? a // c .
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3.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ,那么这两条直线所成的锐角 (或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法

a b

b a
a

b
A1 A

D1 B1 D B

C1 C

6.异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过 此点的直线是异面直线。推理模式: A ?? , B ?? , l ? ? , B ? l ? AB 与 l 是 异面直线
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7.异面直线所成的角:已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线

a? // a, b? // b , a?, b? 所成的角的大小与点 O 的选择无关,把 a?, b? 所成的锐角(或直角)叫异面
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直线 a , b 所成的角(或夹角) .为了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上

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8. 异面直线垂直: 如果两条异面直线所成的角是直角, 则叫两条异面直线垂直. 两条异面直线 a , b 垂直,记作 a ? b . (二)研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物,从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a

α

a∩α =A

a∥α

例 1 下列命题中正确的个数是( ) ⑴若直线 L 上有无数个点不在平面?内,则 L∥? (2)若直线 L 与平面?平行,则 L 与平面?内的任意一条直线都平行 (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 (4)若直线 L 与平面?平行,则 L 与平面?内任意一条直线都没有公共点 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3

2、探析平面与平面的位置关系: ① 以长方体为例,探究相关平面之间的位置关系? 联系生活中的实例找面面关系. ② 讨论得出:相交、平行。 →定义:平行:没有公共点;相交:有一条公共直线。→符号表示:α ∥β 、 →举实例:? ③ 画法:相交:??。平行:使两个平行四边形的对应边互相平行 ④ 练习: 画平行平面;画一条直线和两个平行平面相交;画一个平面和两个平行平面相交 探究:A. 分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系? α ∩β =b

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B. 三个平面两两相交,可以有交线多少条? C. 三个平面可以将空间分成多少部分? D. 若 ? // ? , ? // ? ,则 ? // ? (三) 、巩固练习 1.选择题 (1)以下命题(其中 a,b 表示直线,?表示平面)①若 a∥b,b??,则 a∥? ∥?,则 a∥b ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? 其中正确命题的个数是 (A)0 个 ( ) (C)2 个 (D)3 个 ④若 a∥?,b??,则 a∥b ②若 a∥?,b

(B)1 个

(2)已知 a∥?,b∥?,则直线 a,b 的位置关系①平行;②垂直不相交;③垂直相交;④相交; ⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 (A)2 个 (B)3 个 ( ) (D)5 个

(C)4 个

(3)如果平面?外有两点 A、B,它们到平面?的距离都是 a,则直线 AB 和平面?的位置关系一定 是( ) (B)相交 (C)平行或相交 (D)AB?? ( )

(A)平行

(4)已知 m,n 为异面直线,m∥平面?,n∥平面?,?∩?=l,则 l (A)与 m,n 都相交 (C)与 m,n 都不相交 教材 P51 练习 (B)与 m,n 中至少一条相交 (D)与 m,n 中一条相交

学生独立完成后教师检查、指导

(四)归纳整理、整体认识 教师引导学生归纳,整理本节课的知识脉络,提升他们掌握知识的层次。 (五)作业:1、让学生回去整理这三节课的内容,理清脉络。 2、教材 P51 习题 2.1 A 组第 5 题 五、教后反思:

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第九课时§2.2.1 直线与平面平行的判定 一、教学目标 1、知识与技能: (1)理解并掌握直线与平面平行的判定定理; (2)进一步培养学生观察、发现的 能力和空间想象能力; 2、过程与方法:学生通过观察图形,借助已有知识,掌握直线与平面平行的判定定理。 3、情感、态度与价值观: (1)让学生在发现中学习,增强学习的积极性; (2)让学生了解空间与 平面互相转换的数学思想。 二、教学重点、难点 重点、难点:直线与平面平行的判定定理及应用。 三、学法与教法 1、学法:学生借助实例,通过观察、思考、交流、讨论等,理解判定定理。 2、教法:探究讨论法 四、教学过程 (一)创设情景、揭示课题 引导学生观察身边的实物, 如教材第 55 页观察题: 封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位 置关系?如何去确定这种关系呢?这就是我们本节课所要学习的内容。 (二)研探新知 1、探究问题

a 直线 a 与平面α 平行吗? α

a 若α 内有直线 b 与 a 平行, α b 那么α 与 a 的位置关系如何? 是否可以保证直线 a 与平面α 平行? 学生思考后,师生共同探讨,得出以下结论 直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平 行。简记为:线线平行,则线面平行。
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符号表示: a b α β a∥b 2、例 1 引导学生思考后,师生共同完成:该例是判定定理的应用,让学生掌握将空间问题转化 为平面问题的化归思想。 例 1 求证::空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面. 证明:连结 BD,在△ABD 中,因为 E、F,分别是 AB、AD 的中点,∴EF∥BD 又 EF ? 平面 BCD , BD? 平面 BCD,EF∥平面 BCD A E B C →改写:已知:空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,求证:EF//平面 BCD. → 分析思路 → 学生试板演 例 2 在正方体 ABCD- A ’ B ’ C ’ D ’ 中,E 为 DD’中点,试判断 BD’与面 AEC 的位置关系,并说明理由. → 分析思路 →师生共同完成 → 小结方法 → 变式训练:还可证哪些线面平行 (三)自主学习、发展思维(让学生独立完成,教师检查、指导、讲评。 ) 1、判断对错 直线 a 与平面 α 不平行,即 a 与平面 α 相交. 直线 a∥b,直线 b 平面 α ,则直线 a∥平面 α . 平面 α ,则直线 a∥b. ( ( ( × × ∨ ) ) ) F D => a∥α

直线 a∥平面 α ,直线 b 2、判断题

①一条直线平行于一个平面,这条直线就与这个平面内的任意直线不相交。(∨ ②过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行。 ( × ) ) ) ) ) )

)

③过直线外一点,有且只有一个平面与已知直线平行。 ( × ④a、b 是异面直线,则过 b 存在唯一一个平面与 a 平行。 (∨ ⑤过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行.( ∨

⑥如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行。 ( × ⑦若两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行.( ×
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⑧若两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线平行. ( ∨ 3、如图,长方体的六个面都是矩形,则(1)与直线 AB 平行的平面是 【平面 A C 与平面 DC 】 (2)与直线 AD 平行的平面是 1 1 1 (3)与直线 AA 平行的平面是 1

) 。 。 【平面 BC 与平面 A C 1 1 1】

。 【平面 BC 与平面 DC 】 1 1

4、已知:E、F、G、H 分别为空间四边形 ABCD 中各边的中点,求证: AC ∥平面 EFGH,BD ∥平 面 EFGH。 (四)归纳整理:1、同学们在运用该判定定理时应注意什么?2、在解决空间几何问题时,常将 之转换为平面几何问题。3、方法一 根据定义判定 ;方法二 根据判定定理判定:直线和平面 平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面 平行。 线线平行 (五)作业 1、教材第 64 页 习题 2.2 A 组第 3 题; 2、预习:如何判定两个平面平行? 五、教后反思: 线面平行

?

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第十课时§2.2.2 平面与平面平行的判定 一、教学目标:1、知识与技能:理解并掌握两平面平行的判定定理。2、过程与方法:让学生通 过观察实物及模型,得出两平面平行的判定。3、情感、态度与价值观:进一步培养学生空间问题 平面化的思想。 二、教学重点、难点:重点:两个平面平行的判定。难点:判定定理、例题的证明。 三、学法与教法 1、学法:学生借助实物,通过观察、类比、思考、探讨,教师予以启发,得出两平面平行的判定。 2、教法:探究讨论法 四、教学过程 (一)创设情景、引入课题 引导学生观察、思考教材第 57 页的观察题,导入本节课所学主题。 (二)研探新知 问题提出: 1.空间两个不同平面的位置关系有哪几种情况?

α

β 2.两个平面平行的基本特征是什么?有什么简单办法判定两个平面平行呢? 知识探究(一):平面与平面平行的背景分析 思考 1:根据定义,判定平面与平面平行的关键是什么? 思考 2: 若一个平面内的所有直线都与另一个平面平行,那么这两个平面的位置关系怎样?若一 个平面内有一条直线与另一个平面有公共点,那么这两个平面的位置关系又会怎样呢? 思考 3:三角板的一条边所在直线与桌面平行,这个三角板所在平面与桌面平行吗? 思考 4:三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,三角板所在平面与桌面平行吗? 思考 5:一般地,如果平面α 内有一条直线平行于平面β ,那么平面α 与平面β 一定平行吗?如 果平面α 内有两条直线平行于平面β ,那么平面α 与平面β 一定平行吗?

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α β

知识探究(二):平面与平面平行的判定定理 思考 1:对于平面α 、β ,你猜想在什么条件,下可保证平面α 与平面β 平行? 思考 2:设 a,b 是平面α 内的两条相交直线,且 a//β ,b//β . 在此条件下,若α ∩β =l ,则 直线 a、b 与直线 l 的位置关系如何? b a α

l β 思考 3:通过上述分析,我们可以得到判定平面与平面平行的一个定理,你能用文字语言表述出该 定理的内容吗? 再通过长方体模型,引导学生观察、思考、交流,得出结论。 两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

符号表示: a b β β β ∥α

a∩b = P 则 a∥α b∥α

例 1 在正方体 ABCD-A′B′C′D′中. 求证:平面 AB′D′∥平面 BC′D.

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D′ B′

C′

A′ D

C

A

B

(学生讨论自证,教师准对问题讲评) 例 2 在三棱锥 P-ABC 中,点 D、E、F 分别是△PAB、△PBC、△PAC 的重心,求证:平面 DEF// 平面 ABC. (学生讨论自证,教师准对问题讲评) 教师指出:判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2、例 2 引导学生思考后,教师讲授。 例子的给出,有利于学生掌握该定理的应用。 A B C D F E P

(三)自主学习、加深认识:练习:教材第 59 页 1、2、3 题。学生先独立完成后,教师指导讲评。 (四)归纳整理、整体认识 1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件? 2、在本节课的学习过程中,还有哪些不明白的地方,请向老师提出。 (五)作业布置:第 65 页习题 2.2 A 组第 7 题。 五、教后反思:

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第十一课时§2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 一、教学目标 1、知识与技能: (1)掌握直线与平面平行的性质定理及其应用; (2)掌握两个平面平行的性质定 理及其应用。 2、过程与方法:学生通过观察与类比,借助实物模型理解性质及应用。 3、情感、态度与价值观: (1)进一步提高学生空间想象能力、思维能力; (2)进一步体会类比的 作用; (3)进一步渗透等价转化的思想。 二、教学重点、难点:重点:两个性质定理 。难点: (1)性质定理的证明; (2)性质定理的正 确运用。 三、学法与教法 1、学法:学生借助实物,通过类比、交流等,得出性质及基本应用。 2、教法:探究讨论法 四、教学过程 (一) 、创设情景、引入新课 思考题:教材第 60 页,思考(1) (2) 。学生思考、交流,得出 (1)一条直线与平面平行,并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行; (2) 直线 a 与平面α 平行, 过直线 a 的某一平面, 若与平面α 相交, 则直线 a 就平行于这条交线。 (二) 、探究新知 知识探究(一):直线与平面平行的性质分析 思考 1:如果直线 a 与平面α 平行,那么直线 a 与平面α 内的直线有哪些位置关系? a a

α

α

思考 2:若直线 a 与平面α 平行, 那么在平面α 内与直线 a 平行的直线有多少条?这些直线的位置 关系如何? 思考 3:如果直线 a 与平面α 平行,那么经过直线 a 的平面与平面α 有几种位置关系?

31

a

a

α

α 思考 4:如果直线 a 与平面α 平行,经过直线 a 的平面与平面α 相交于直线 b,那么直线 a、b 的位 置关系如何?为什么?【平行】 思考 5:如果直线 a 与平面α 平行,那么经过平面α 内一点 P 且与直线 a 平行的直线怎样定位? 知识探究(二):直线与平面平行的性质定理 思考 1:综上分析,在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论?并用文字语言表述之. 定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a α ∩β = b 线线平行的依据. 在教师的启发下,师生共同完成该结论的证明过程。 例 1、如图所示的一块木料中,棱 BC 平行于面 A′C′.(1)要经过面 A′C′ 内一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样画线?(2)所画的线与平面 AC 是什么位置关系? D′ 学生练习,教师准对问题讲评。 A′ B′ D C P C′ β 则 a∥b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。作平行线的方法,判断

A
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B

例 2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证另一条也平行于这个平面. 学生练习,教师准对问题讲评。 知识探究(三):平面与平面平行的性质定理 思考: 如果两个平面平行, 那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系? 学生借助长方体模型思考、交流得出结论:异面或平行。 再问:平面 AC 内哪些直线与 B'D'平行?怎么找?

在教师的启发下,师生共同完成该结论及证明过程, 于是得到两个平面平行的性质定理。

定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a β ∩γ = b 则 a∥b 教师指出:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。

例 3、课本例 4 .以讲授为主,引导学生共同完成,逐步培养学生应用定理解题的能力。 (三)自主学习、巩固知识:练习:课本第 63 页;学生独立完成,教师进行纠正。 (四)归纳整理、整体认识 1、 通过对两个性质定理的学习, 大家应注意些什么?2、 本节课涉及到哪些主要的数学思想方法? (五)布置作业:课本第 65 页 习题 2.2 A 组第 6 题。 五、教后反思:

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第十二课时§2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、教学目标 1、知识与技能: (1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理; (2)使学生掌握判定直线和 平面垂直的方法; (3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归 纳、概括结论。 2、过程与方法: (1)通过教学活动,使学生了解,感受直线和平面垂直的定义的形成过程; (2) 探究判定直线与平面垂直的方法。 3、情态与价值:培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 二、教学重点、难点:直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、教学方法:探究讨论法 四、教学过程 (一)创设情景,揭示课题 1、 教师首先提出问题: 在现实生活中, 我们经常看到一些直线与平面垂直的现象, 例如: “旗 杆与地面,大桥的桥柱和水面等的位置关系” ,你能举出一些类似的例子吗?然后让学生回忆、思 考、讨论、教师对学生的活动给予评价。 2、 接着教师指出: 一条直线与一个平面垂直的意义是什么?并通过分析旗杆与它在地面上的 射影的位置关系引出课题内容。 (二)研探新知 1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知,可再借助长方体模型让学 生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题:从直线与直 线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发,能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定 义这条直线与这个平面垂直呢?并组织学生交流讨论,概括其定义。 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L ⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图 2.3-1,直线与平面垂直时,它 们唯一公共点 P 叫做垂足。并对画示表示进行说明。 L

p α 图 2-3-1
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2、老师提出问题,让学生思考: (1)问题:虽然可以根据定义判定直线与平面垂直,但这种方法实际上难以实施。有没有比 较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢? (2)师生活动:请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图 2.3-2 试验:过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) ,问 如何翻折才能保证折痕 AD 与桌面所在平面垂直? A

B

D 图 2.3-2

C

(3)归纳结论:引导学生根据直观感知及已有经验(两条相交直线确定一个平面) ,进行合 情推理,获得判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 老师特别强调:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 (三)实际应用,巩固深化 (1)课本 P69 例 1 教学 (四)归纳小结,课后思考 小结:采用师生对话形式,完成下列问题:①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本 过程。②直线与平面垂直的判定定理,体现的教学思想方法是什么? (五)课后作业:①课本 P70 练习 2 ②求证:如果一条直线平行于一个平面,那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。 思考题:如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线就和这个平面垂直,这个结论 对吗?为什么? 五、教后反思: (2)课本 P69 例 2 教学

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第十三课时§2.3.2 平面与平面垂直的判定 一、教学目标 1、知识与技能: (1)使学生正确理解和掌握“二面角” 、 “二面角的平面角”及“直二面角” 、 “两 个平面互相垂直”的概念; (2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用; (3)使学 生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法: (1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程; (2)类比已学知识, 归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值:通过揭示概念的形成、发展和应用过程,使学生理会教学存在于观实生活周围, 从中激发学生积极思维,培养学生的观察、分析、解决问题能力。 二、教学重点、难点 重点:平面与平面垂直的判定。 三、学法与教法 1、学法:实物观察,类比归纳,语言表达。2、教法:探究讨论法。 四、教学设计 (一)创设情景,揭示课题:问题 1:平面几何中“角”是怎样定义的?问题 2:在立体几何中, “异面直线所成的角” 、 “直线和平面所成的角”又是怎样定义的?它们有什么共同的特征?以上 问题让学生自由发言,教师再作小结,并顺势抛出问题:在生产实践中,有许多问题要涉及到两 个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问题的一些例子吗?如修水坝、发射人造卫星等,而 这样的角有何特点,该如何表示呢?下面我们共同来观察,研探。 (二)研探新知 1、二面角的有关概念 老师展示一张纸面,并对折让学生观察其状,然后引导学生用数学思维思考,并对以上问题 类比,归纳出二面角的概念及记法表示(如下表所示) 角 A 边 图形 顶点 O 边 B B α 定义 从平面内一点出发的两条射线(半 从空间一直线出发的两个半平面所组 A 梭 l β 二面角 难点:如何度量二面角的大小。

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直线)所组成的图形 构成 表示 2、二面角的度量 射线 — 点(顶点)一 射线 ∠AOB

成的图形 半平面 一 线(棱)一 半平面 二面角α -l-β 或α -AB-β

二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系,如我们常说“把门开大一些” ,是指二面角 大一些,那我们应如何度量二两角的大小呢?师生活动:师生共同做一个小实验(预先准备好的 二面角的模型)在其棱上位取一点为顶点,在两个半平面内各作一射线(如图 2.3-3) ,通过实验 操作,研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。 教师特别指出: (1)在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥L” ,OB⊥L; (2)∠AOB 的大小与点 O 在 L 上位置无关; (3)当二面角的平面角是直角时,这两个平面的位置关系怎样? 承上启下,引导学生观察,类比、自主探究, 获得两个平面互相垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 (三)应用举例,强化所学 例题:课本 P.72 例 3 C O α 图 2.3-3 A β B

做法:教师引导学生分析题意,先让学生自己动手推理证明,然后抽检学生掌握情况,教师 最后讲评并板书证明过程。 (四)运用反馈,深化巩固:问题:课本 P.73 的探究问题。做法:学生思考(或分组讨论) ,老 师与学生对话完成。 (五)小结归纳,整体认识 (1)二面角以及平面角的有关概念; (2)两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线与平面垂直 的判定定理有何关系? (六)课后巩固,拓展思维 1、课后作业:自二面角内一点分别向两个面引垂线,求证:它们所成的角与二两角的平面 角互补。2、课后思考问题:在表示二面角的平面角时,为何要求“OA⊥L、OB⊥L”?为什么∠AOB 的大小与点 O 在 L 上的位置无关? 五、教后反思:

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第十四课时§2、3.3 直线与平面垂直的性质 §2、3.4 平面与平面垂直的性质 一、教学目标 1、知识与技能: (1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理; (2)能运用性质 定理解决一些简单问题; (3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互 联系。 2、过程与方法: (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的 认识; (2)性质定理的推理论证。 3、情态与价值:通过“直观感知、操作确认,推理证明” ,培养学生空间概念、空间想象能力以 及逻辑推理能力。 二、教学重点、难点:两个性质定理的证明。 三、学法与教法 1、学法:直观感知、操作确认,猜想与证明。2、教法:探究讨论法。 四、教学设计 (一)创设情景,揭示课题 问题: 若一条直线与一个平面垂直, 则可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂直呢? 让学生自由发言,教师不急于下结论,而是继续引导学生:欲知结论怎样,让我们一起来观 察、研探。 (自然进入课题内容) (二)研探新知 1、 操作确认: 观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。 如图 2.3—4, 在长方体 ABCD —A B C D 中,棱 AA 、BB 、CC 、DD 所在直线都垂直于平面 ABCD,它们之间是有什么位置关系? (显然互相平行)然后进一步迁移活动:已知直线 a⊥α 、b⊥α 、那么直线 a、b 一定平行吗? (一定)我们能否证明这一事实的正确性呢?
D1 B1 A1 C D A B α C1 a b
1 1 1 1 1 1 1 1

图 2.3-4
38

图 2.3-5

2、推理证明 引导学生分析性质定理成立的条件,介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法, 然后师生互动共同完成该推理过程 ,最后归纳得出:垂直于同一个平面的两条直线平行。 (三)应用巩固 例子:课本 P.74 例 4 做法:教师给出问题,学生思考探究、判断并说理由,教师最后评议。 (四)类比拓展,研探新知 类比上面定理:若在两个平面互相垂直的条件下,又会得出怎样的结论呢?例如:如何在黑 板面上画一条与地面垂直的直线? 引导学生观察教室相邻两面墙的交线,容易发现该交线与地面垂直,这时,只要在黑板上 画出一条与这交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直。然后师生互动,共同完成性质定理的 确认与证明,并归纳性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 (五)巩固深化、发展思维 思考 1、设平面α ⊥平面β ,点 P 在平面α 内,过点 P 作平面β 的垂线 a,直线 a 与平面α 具 有什么位置关系?(答:直线 a 必在平面α 内) 思考 2、已知平面α 、β 和直线 a,若α ⊥β ,a⊥β ,a 位置关系? (六)归纳小结,课后巩固 小结: (1)请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容各是什么? (2)类比两个性质定理,你发现它们之间有何联系? 作业: (1)求证:两条异面直线不能同时和一个平面垂直; (2)求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。 五、教后反思: α ,则直线 a 与平面α 具有什么

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第十五课时 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、教学目标 1、知识与技能: (1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 (2) 能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 (3) 培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法: (1)让学生经历几何全的侧面展一过程,感知几何体的形状。 (2)让学生通对照 比较,理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值:通过学习,使学生感受到几何体面积和体积的求解过程,对自己空间思维能力影 响。从而增强学习的积极性。 二、教学重点、难点 重点:柱体、锥体、台体的表面积和体积计算。难点:台体体积公式的推导 三、学法与教法 1、学法:通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,通过剖析实物几何体感受几何体 的特征,从而更好地完成本节课的教学目标。2、教法:探究讨论法。 四、教学过程 (一) 、创设情境 1、教师提出问题:在过去的学习中,我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式,哪 些几何体可以求出表面积和体积?引导学生回忆,互相交流,教师归类。 2、教师设疑:几何体的表面积等于它的展开圈的面积,那么,柱体,锥体,台体的侧面展开图是 怎样的?你能否计算?引入本节内容。 (二) 、探究新知 1、利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图

2、组织学生分组讨论:这三个图形的表面由哪些平面图形构成?表面积如何求? 3、教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 (三) 、质疑答辩、排难解惑、发展思维
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1、教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构,并归纳出其表面积的计算公式:

S圆台表面积 ? ?(r'2 ?r 2 ? r' l ? rl )
r 为上底半径
1

r 为下底半径

l 为母线长

2、组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。

3、 教师引导学生探究: 如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥? 加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。如图:

由 此

4、教师指导学生思考,比较柱体、锥体,台体的体积公式之间存在 系。

的 关

(s’,s 分别我上下底面面积,h 为台柱高) (四) 、例题分析讲解 (课本)例 1、 例 2、 例3

(五) 、巩固深化、反馈矫正 练习: 1 、已知圆锥的表面积为 a ㎡,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径 2 (答案: 3a? m ) 。 3? 2、棱台的两个底面面积分别是 245c ㎡和 80c㎡,截得这个棱台的棱锥的高为 35cm,求这 个棱台的体积。 (答案:2325cm )
3



(六) 、课堂小结:本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。 用联系的关点看待三者之间的关系,更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。 (七) 、作业:习题 1.3 五、教后反思: A 组 1.3

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第十六课时§1.3.2 一、教学目标

球的体积和表面积

1、 知识与技能: ⑴通过对球的体积和面积公式的推导, 了解推导过程中所用的基本数学思想方法: “分割——求和——化为准确和” ,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 2、过程与方法:通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式V=
2

4 3 πR 和 3

面积公式S=4π R 的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法, 体现了极限思想。 3、情感与价值观:通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了 空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。 二、教学重点、难点 重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三、学法和教法 1、学法:学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似 值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。2、教法:探究讨论法 四、教学过程 (一) 、创设情景 1、教师提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样 来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。 2、教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积?激发学生推导 球的体积和面积公式。 (二) 、探究新知 1.球的体积: 如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片” , “小圆片”的体积的体 积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状,所 以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确 和”的方法来进行。 步骤:第一步:分割

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如图:把半球的垂直于底面的半径OA作 n 等分,过这些等分点, 组平行于底面的平面把半球切割成 n 个“小圆片” , “小圆片”厚度 为

用 一 近 似

R ,底面是“小圆片”的底面。 n

如图: 得 Vi ? ? ? r i ?
2

R ?R 3 i ?1 2 ? [1 ? ( ) ]   (i ? 1、2 ??n) n n n

第二步:求和

V半球=v1 ? v2 ? v3 ? ? ? vn ? ?R 3[1 ?

1 (1 ? 1 n )(2 ? n ) ] 6

第三步:化为准确的和当 n→∞时, n →0 (同学们讨论得出) 所以

1

V半球=?R 3 (1 ?

1? 2 2 ) ? ?R 3 6 3
V球 ? 4 ?R 3 3
3

得到定理:半径是R的球的体积

练习:一种空心钢球的质量是 142g,外径是 5cm,求它的内径(钢的密度是 7.9g/cm ) 2.球的表面积: 球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径 R 的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能 像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近 似和转化为准确和”方法推导。 思考:推导过程是以什么量作为等量变换的? 半径为 R 的球的表面积为 S=4π R
2

练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这 个球的表面积是 。 (答案 50 元)

(三) 、典例分析:课本 P47 例 4 和 P29 例 5 (四) 、巩固深化、反馈矫正 1、正方形的内切球和外接球的体积的比为 ,表面积比为 (答案: 3 3 : 1
2

。 ; 3 :1)
2

2、在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49π cm 和 400π cm ,求球的表面 积。 (答案:2500π cm )
2

43

分析:可画出球的轴截面,利用球的截面性 质求球的半径

(五) 、课堂小结 本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关的球的问 题,了解了推导中的“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”的解题方法。 (六) 、 作业 五、教后反思: P30 练习 1、3 ,B(1)

44

第十七课时 一、教学目标

本章小结

1、知识与技能: (1)使学生掌握知识结构与联系,进一步巩固、深化所学知识; (2)通过对知识 的梳理,提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。 2、过程与方法:利用框图对本章知识进行系统的小结,直观、简明再现所学知识,化抽象学习为 直观学习,易于识记;同时凸现数学知识的发展和联系。 3、情态与价值:学生通过知识的整合、梳理,理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系,进 一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。 二、教学重点、难点 重点:各知识点间的网络关系; 难点:在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。 三、教学设计 (一)知识回顾,整体认识 1、本章知识回顾 (1)空间点、线、面间的位置关系; (2)直线、平面平行的判定及性质; (3)直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图 平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

(二)整合知识,发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形问题,进行逻辑推理的 基础。
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公理 1——判定直线是否在平面内的依据; 公理 2——提供确定平面最基本的依据; 公理 3——判定两个平面交线位置的依据; 公理 4——判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法:化空间问题为平面问题; 3、空间平行、垂直之间的转化与联系: 直线与平面平行 平面与平面平行

直线与直线平行

直线与直线垂直

直线与平面垂直

平面与平面垂直

4、观察和推理是认识世界的两种重要手段,两者相辅相成,缺一不可。 (三)应用举例,深化巩固 1、P.82 A 组第 1 题 本题主要是公理 1、2 知识的巩固与应用。 2、P.82 A 组第 8 题 本题主要是直线与平面垂直的判定与性质的知识巩固与应用。 (四) 、课堂练习: 1.选择题 (1)如图 BC 是 Rt⊿ABC 的斜边,过 A 作⊿ABC 所在平面?垂线 AP,连 PB、PC,过 A 作 AD⊥BC 于 D,连 PD,那么图中直角三角形的个数是 (A)4 个 (B)6 个 (C)7 个 (D)8 个 )
B D




P

(2)直线 a 与平面?斜交,则在平面?内与直线 a 垂直的直线( (A)没有 答案: (1)D 2.填空题 (B)有一条 (C)有无数条 (2) C (D)?内所有直线

A

?
C

(1)边长为 a 的正六边形 ABCDEF 在平面?内,PA⊥?,PA=a,则 P 到 CD 的距离为 的距离为 .
A

,P 到 BC

(2)AC 是平面?的斜线,且 AO=a,AO 与?成 60?角,

OC??,AA'⊥?于 A' ,∠A'OC=45?,
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?

O

A′ C

则 A 到直线 OC 的距离是 答案: (1) 2a,

,∠AOC 的余弦值是

.

7 14 2 a ; (2) a, 2 4 4

3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证:A1C⊥平面 BC1D. 分析:A1C 在上底面 ABCD 的射影 AC⊥BD,
D1 A1 B1 C1

A1C 在右侧面的射影 D1C⊥C1D,
所以 A1C⊥BD, A1C⊥C1D,从而有 A1C⊥平面 BC1D.

D

C

(五)课后作业

A

B

1、阅读本章知识内容,从中体会知识的发展过程,理会问题解决的思想方法; 2、P.83 B 组第 2 题。 五、教后反思:

北师大版高中数学必修 2 第二章《解析几何初步》全部教案 法门高中 姚连省

§2、1 直线与直线的方程 第一课时 直线的倾斜角和斜率

一、教学目标: 1、 知识与技能: (1) 、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2) 、理解直线的 倾斜角的唯一性.(3) 、理解直线的斜率的存在性.(4) 、斜率公式的推导过程,掌握过两点的直 线的斜率公式. 2、情感态度与价值观:(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示, 培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.(2) 通过斜率概念的 建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培 养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 二、重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 三、教学用具:计算机 教学方法:启发、引导、讨论.
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四、教学过程 (一) 、直线的倾斜角的概念 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗? 如图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, ?易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
Y

a

b

c

O

P

X

(1)它们都经过点 P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角 .特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. ... 问: 倾斜角α 的取值范围是什么? 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以 用倾斜角α 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
Y a b c

0°≤α <180°.

O

X

如图, 直线 a∥b∥c, 那么它们 案是肯定的.所以一个倾斜角α 不能确定一条直线.

的倾斜角α 相等吗? 答

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 和一个倾斜角 α ...P . ...... .. (二)直线的斜率 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tanα
48

⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如, α =45°时, k = tan45°= 1; α =135°时, k = tan135°= tan(180°- 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的 推导.(略)

斜率公式: 面四点:

对于上面的斜率公式要注意下

(1) 当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α = 90°, 直线与 x 轴垂直; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分 母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角α =0°,直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. (四)例题: 例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝 角还是锐角.(用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标, 而且 x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得 k 的值; 而当 k = tanα <0 时, 倾斜角α 是钝角; 而当 k = tanα >0 时, 倾斜角α 是锐角; 而当 k = tanα =0 时, 倾斜角α 是 0°. 略解: 直线 AB 的斜率 k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α 是锐角; 直线 BC 的斜率 k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α 是钝角;
49

直线 CA 的斜率 k3=1>0, 所以它的倾斜角α 是锐角. 例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2, 及-3 的直线 a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线 a, 只要再找出 a 上的另外一点 M. 而 M 的坐标可以根据直线 a 的斜 率确定; 或者 k=tanα =1 是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在 x 轴的上方作 45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可. 略解: 设直线 a 上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有, 1=(y-0)/(x-0) 所以 x = y,可令 x = 1, 则 y = 1, 于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1), 可作直线 a. 同理, 可作直线 b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程) (五)练习: P91 1. 2. 3. 4.

(六)小结: (1)直线的倾斜角和斜率的概念.(2) 直线的斜率公式. (七)课后作业: P94 习题 3.1 五、教后反思: 1. 3.

第二课时 一、教学目标

两条直线的平行与垂直

(一)知识教学:理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂 直. (二)能力训练: 通过探究两直线平行或垂直的条件, 培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力. (三)学科渗透:通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流 的学习方式,激发学生的学习兴趣. 二、重难点 重点:两条直线平行和垂直的条件是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用. 难点:启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题. 注意:对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个 问题. 三、教学方法:启发、引导、讨论.
50

四、 教学过程 (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示 直线相对于 x 轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条 直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直. 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时, 两直线的倾斜角都 为 90°,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角为 90°,另一条直 线的倾斜角为 0°,两直线互相垂直. (二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直 设直线 L1 和 L2 的斜率分别为 k1 和 k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向 决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果 L1∥L2(图 1-29),那么它们的倾斜角相等:α 1=α 2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α 1, α 2 的关系) ∴tgα 1=tgα 2.即 k1=k2.

反过来,如果两条直线的斜率相等: 即 k1=k2,那么 tgα 1=tgα 2. 由于 0°≤α 1<180°, 0°≤α <180°,∴α 1=α 2.又∵两条直线不重合,∴L1∥L2.

结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的 斜率相等,那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在 的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不 ........ 成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形.如果 L1⊥L2,这时α 1≠α 2,否则两直线平行. 设 α 2<α 1(图 1-30), 甲图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上方; 乙图的特征是 L1 与 L2 的交点 在 x 轴下方;丙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上,无论哪种情况下都有 α 1=90°+α 2.
51

因为 L1、L2 的斜率分别是 k1、k2,即α 1≠90°,所以α 2≠0°.

, 可以推出 : α 1=90°+α 2. L1⊥L2.

结论: 两条直线都有斜率 ,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的 ........ 斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

注意: 结论成立的条件. 即如果 k1·k2 = -1, 那么一定有 L1⊥L2; 反之则不一定. (借助计算机, 让学生通过度量, 感知 k1, k2 的关系, 并使 L1(或 L2)转动起来, 但仍保持 L1⊥ L2, 观察 k1, k2 的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α 1 为锐角,钝角等). (三) 、例题:例 1 已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA 与 PQ 的位置

关系, 并证明你的结论. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略) 解: 直线 BA 的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线 PQ 的斜率 k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线 BA∥PQ.

例 2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形 ABCD 是平行四边形,再通过计算 加以验证) 4、 解同上.

已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系.

解: 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.

例 4 已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状.
52

分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形 ABC 是直角三角形, 其中 AB⊥BC, 再通过计算加 以验证.(图略) (四) 、课堂练习:P94 练习 1. 2.

(五) 、课后小结:(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;(2)应用条件, 判定两条直线平行 或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线. (六) 、布置作业:P94 五、教后反思: 习题 3.1 5. 8.

第三课时 一、教学目标

直线的点斜式方程

1、知识与技能: (1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围; (2)能正确利用直 线的点斜式、斜截式公式求直线方程。 (3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。 2、 过程与方法: 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角 的基础上,通过师生探讨,得出直线的点斜式方程;学生通过对比理解“截距”与“距离”的区 别。 3、情态与价值观:通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,进一步培养学生数形结 合的思想,渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点: (1)重点:直线的点斜式方程和斜截式方程。 (2)难点:直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。 三、教学方法:启发、引导、讨论. 四、教学过程

53





设计意图 使学生在已有 知识和经验的基

师生活动 学生回顾, 并回答。 然后教师指 出, 直线的方程, 就是直线上任意

1 、在直线坐标系内确定一条直 线,应知道哪些条件?

础上,探索新知。 一 点 的 坐 标 ( x, y) 满 足 的 关 系 式。 2、直线 l 经过点 P ,且 0 ( x0 , y0 ) 斜率为 k 。设点 P( x, y) 是直线 l 上的任意一点,请建立 培养学生自主 探索的能力,并体 会直线的方程, 就 学生根据斜率公式,可以得到, 当x?

x0 时, k ?

y ? y0 x ? x0

,即

x, y



是直线上任意一 点的坐标

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

(1)

k , x0 , y0 之间的关系。
y P P0

( x, y)

教师对基础薄弱的学生给予关 注、 引导, 使每个学生都能推导出 这个方程。

满足的关系式, 从 而掌握根据条件 求直线方程的方 法。

O

x
使学生了解方 程为直线方程必 须满两个条件。 题 设计意图 使学生了解方 程为直线方程必 须满两个条件。 师生活动 学生验证, 教师引导。 然后教师 指出方程(1)由直线上一定点及 其斜率确定, 所以叫做直线的点斜 式方程,简称点斜式. 学生验证,教师引导。

3、 (1)过点 P ,斜率是 0 ( x0 , y0 )

k 的直线 l 上的点,其坐标都满足
方程(1)吗? 问

(2)坐标满足方程(1)的点都在 经过 P , 斜率为 k 的直线 0 ( x0 , y0 )

l 上吗?
4、 直线的点斜式方程能否表示坐 标平面上的所有直线呢?

使学生理解直线 的点斜式方程的 适用范围。

学生分组互相讨论, 然后说明理 由。

5、 (1)x 轴所在直线的方程是什

进一步使学生

教师学生引导通过画图分析,求

54

么? y 轴所在直线的方程是什么? ( 2)经过点 P 且平行于 0 ( x0 , y0 )

理解直线的点斜 式方程的适用范 围,掌握特殊直线

得问题的解决。
y P0

x 轴(即垂直于 y 轴)的直线方程
是什么?

方程的表示形式。
O

(3) 经过点 P 且平行于 0 ( x0 , y0 )

x

y P0

y 轴(即垂直于 x 轴)的直线方程
是什么?

O
6、例 1 的教学。 学会运用点斜式 方程解决问题, 清 楚用点斜式公式 求直线方程必须

x

教师引导学生分析要用点斜 式求直线方程应已知那些条件? 题目那些条件已经直接给予,那 些条件还有待已去求。在坐标平

具备的两个条件: 面内,要画一条直线可以怎样去 ( 1 ) 一 个 定 点 ; 画。 ( 2 )有斜率。同 时掌握已知直线 方程画直线的方 法。 7、已知直线 l 的斜率为 k ,且与 引入斜截式方 程,让学生懂得斜 截式方程源于点 斜式方程, 是点斜 式方程的一种特 殊情形。 8、观察方程 y ? kx ? b ,它的 形式具有什么特点? 深入理解和 掌握斜截式方程 的特点?
55

学生独立求出直线 l 的方程:

y 轴的交点为 (0, b) ,求直线 l 的
方程。

y ? kx ? b

(2)

再此基础上,教师给出截距的 概念,引导学生分析方程(2)由 哪两个条件确定,让学生理解斜 截式方程概念的内涵。 学生讨论,教师及时给予评 价。





设计意图 使学生理解 “截距” 与 “距离” 两个概念的区别。

师生活动 学生思考回答,教师评价。

9、直线 y ? kx ? b 在 x 轴上的 截距是什么?

10、你如何从直线方程的角度认 识一次函数

体会直线的斜 截式方程与一次 函数的关系.

学生思考、讨论,教师评价、归 纳概括。

y ? kx ? b ?一次函

数中 k 和 b 的几何意义是什么?你 能 说 出 一 次 函 数

y ? 2x ? 1, y ? 3x, y ? ? x ? 3
图象的特点吗? 11、例 2 的教学。 掌握从直线方 程的角度判断两 教师引导学生分析:用斜率判 断两条直线平行、垂直结论。思

条直线相互平行, 考(1)l // l 时, 1 2 或相互垂直;进一 步理解斜截式方 程中

k1 , k2 ; b1 , b2 ? l2 时 ,

有 何 关 系 ? ( 2 ) l1

k,b 的 几 何

k1 , k2 ; b1 , b2 有何关系?在此由
学生得出结论:

意义。

l1 // l2 ? k1 ? k2 , 且 b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1
12、课堂练习第 100 页练习第 1, 巩 固 本 节 课 所 学 2,3,4 题。 13、小结 过的知识。 使学生对本节课 所学的知识有一 教师引导学生概括:(1)本节课 我们学过那些知识点;(2)直线 学生独立完成,教师检查反馈。

个整体性的认识, 方程的点斜式、 斜截式的形式特点 了解知识的来龙 去脉。 14、布置作业:第 106 页第 1 题 的(1) 、 (2) 、 (3)和第 3、5 题 巩固深化 和适用范围是什么?(3)求一条 直线的方程, 要知道多少个条件? 学生课后独立完成。

56

四、教后反思:

第四课时 一、教学目标

直线的两点式方程

1、知识与技能: (1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形 式特点及适用范围。 2、过程与方法:让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论,并通过新旧知识的比较、分 析、应用获得新知识的特点。 3、 情态与价值观: (1) 认识事物之间的普遍联系与相互转化; ( 2) 培养学生用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点 一. 重点:直线方程两点式。2、难点:两点式推导过程的理解。 三、教学方法:启发、引导、讨论. 四、教学过程 问 题 设计意图 遵循由浅及 深,由特殊 师生活动 教师引导学生:根据已有的知识,要求 直线方程,应知道什么条件?能不能把问 题转化为已经解决的问题呢?在此基础 上,学生根据已知两点的坐标,先判断是 否存在斜率,然后求出直线的斜率,从而 可求出直线方程:

1 、利用点斜式解答如下问 题: (1)已知直线

l

经过两点 的

到一般的认 知规律。使 学生在已有

P 1,2), P2 (3,5) , 求 直 线 l 1(
方程. ( 2 ) 已 知 两



的知识基础

57

P 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 )

其 中

上获得新结 论,达到温 故知新的目 的。

(1) y

( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,求通过这
两点的直线方程。

3 ? 2 ? ( x ? 1) 2
? y1 ? y 2 ? y1 ( x ? x1 ) x2 ? x1

(2) y

教师指出:当 y1

? y2 时,方程可以写成

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1
由于这个直线方程由两点确定,所以我们 把它叫直线的两点式方程,简称两点式 (two-point form). 2、若点 P 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 ) 中有 x1 使学生懂得 两点式的适 用范围和当 已知的两点 不满足两点 式的条件时 它的方程形 式。 问 3、例 3 教学 已知直线 l 与 A 题 设计意图 使学生学会 师生活动 教师引导学生分析题目中所给的条件有什 么特点?可以用多少方法来求直线 l 的方 程?那种方法更为简捷?然后由求出直线 方程: 教师引导学生通过画图、观察和分析, 发现当 x1

? x2 ,或 y1 ? y2 ,此

? x2 时,直线与 x 轴垂直,所 x1 ;当 y1 ? y2 时, ? y1 。

时这两点的直线方程是什么?

以直线方程为: x ?

直线与 y 轴垂直,直线方程为: y

x 轴的交点为
轴的交点为

用两点式求 直线方程; 理解截距式 源 于 两 点

(a,0)

,与

y

B (0, b) , 其中 a ? 0, b ? 0 , 求 直线 l 的方程。

式,是两点 式的特殊情 形。

x y ? ?1 a b
教师指出: a, b 的几何意义和截距式方 程的概念。 教师给出中点坐标公式, 学生根据自己 的理解, 选择恰当方法求出边 BC 所在的直
58

4、例 4 教学 已知三角形的三个顶点 A

让学生学 会根据题目

(-5,0) ,B(3,-3) ,C(0,2) , 中所给的条 求 BC 边所在直线的方程, 以及该 边上中线所在直线的方程。 件,选择恰 当的直线方 程 解 决 问 题。 5、课堂练习 第 102 页第 1、2、3 题。 6、小结 增强学生对 直线方种四 种形式(点 斜式、斜截

线方程和该边上中线所在直线方程。在此 基础上,学生交流各自的作法,并进行比 较。

学生独立完成,教师检查、反馈。

教师提出: (1)到目前为止,我们所学过 的直线方程的表达形式有多少种?它们之 间有什么关系? (2) 要求一条直线的方程, 必须知道多少

式、两点式、 个条件? 截距式)互 相之间的联 系的理解。 7、布置作业 巩固深化, 培养学生的 独立解决问 题的能力。 四、教后反思: 学生课后完成

59

第五课时 一、教学目标

直线的一般式方程

1、知识与技能: (1)明确直线方程一般式的形式特征; (2)会把直线方程的一般式化为斜截式, 进而求斜率和截距; (3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。 2、过程与方法:学会用分类讨论的思想方法解决问题。 3、情态与价值观: (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点 1、重点:直线方程的一般式。2、难点:对直线方程一般式的理解与应用。 三、教学方法:探析交流法 四、教学过程 问 题 设计意图 使学生理解直 线和二元一次 方程的关系。 师生活动 教师引导学生用分类讨论的方法思 考探究问题(1) ,即直线存在斜率和直 线不存在斜率时求出的直线方程是否 都为二元一次方程。对于问题(2) ,教 师引导学生理解要判断某一个方程是 次方程 Ax

1、 (1) 平面直角坐标系中的每一 条直线都可以用一个关于 的二元一次方程表示吗? (2)每一个关于 x, y 的二元一

x, y

? By ? C ? 0 (A,

否表示一条直线, 只需看这个方程是否 可以转化为直线方程的某种形式。 为此

B 不同时为 0)都表示一条直线

60

吗?

要对 B 分类讨论,即当 B

? 0 时和当

B=0 时两种情形进行变形。然后由学生 去变形判断,得出结论: 关于 x, y 的二元一次方程,它都表 示一条直线。 教师概括指出: 由于任何一条直线都 可以用一个关于 x, y 的二元一次方程 表示;同时,任何一个关于 x, y 的二 元一次方程都表示一条直线。 我们把关于关于 次方程 Ax

x, y 的二元一

? By ? C ? 0(A,B 不同

时为 0)叫做直线的一般式方程,简称 一般式(general form). 2、 直线方程的一般式与其他几种 形式的直线方程相比,它有什么 优点? 问 题 使学生理解直 线方程的一般 式的与其他形 设计意图 式的不同点。 学生通过对比、讨论,发现直线方程 的一般式与其他形式的直线方程的一 个不同点是: 师生活动 直线的一般式方程能够表示平面上的 所有直线,而点斜式、斜截式、两点式 方程,都不能表示与 x 轴垂直的直线。 3、在方程

Ax ? By ? C ? 0

使学生理解二 元一次方程的 系数和常数项 对直线的位置 的影响。

教师引导学生回顾前面所学过的与 与 y 轴平行和重合的 x 轴平行和重合、 直线方程的形式。 然后由学生自主探索 得到问题的答案。

中,A,B,C 为何值时,方程表 示的直线 (1) 平行于 x 轴; (2) 平行于 y 轴; (3)与 x 轴重合; (4)与 y 重合。 4、例 5 的教学

使学生体会
61

学生独立完成。然后教师检查、评价、

已知直线经过点 A(6,-4) , 把直线方程的 斜率为 ?

反馈。指出:对于直线方程的一般式, 一般作如下约定: 一般按含 x 项、 含y 项、 常数项顺序排列;x 项的系数为正;

4 ,求直线的点斜式和 3

点斜式转化为 一般式, 把握直 线方程一般式 的特点。

一般式方程。

x , y 的系数和常数项一般不出现分
数;无特加要时,求直线方程的结果写 成一般式。

5、例 6 的教学 把直线

使学生体会直 线方程的一般

先由学生思考解答, 并让一个学生上 黑板板书。 然后教师引导学生归纳出由

l

的一般式方程

x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜截式,
求出直线 l 的斜率以及它在 x 轴 与

式化为斜截式, 直线方程的一般式, 求直线的斜率和截 和已知直线方 程的一般式求 直线的斜率和 截距的方法。 距的方法: 把一般式转化为斜截式可求 出直线的斜率的和直线在

y 轴上的截距,并画出图形。

y 轴上的截

距。求直线与 x 轴的截距,即求直线与 为此可在方程中令 x 轴交点的横坐标,

y =0,解出 x 值,即为与直线与 x 轴的
截距。 在直角坐标系中画直线时, 通常找 出直线下两个坐标轴的交点。 6、 二元一次方程的每一个解与坐 标平面中点的有什么关系?直线 与二元一次方程的解之间有什么 关系? 使学生进一步 理解二元一次 方程与直线的 关系, 体会直解 坐标系把直线 与方程联系起 来。 7、课堂练习 巩固所学知识 学生独立完成,教师检查、评价。 学生阅读教材第 105 页, 从中获得对 问题的理解。

第 105 练习第 2 题和第 3(2) 和方法。 问 8、小结 题 设计意图 使学生对直线 师生活动 (1)请学生写出直线方程常见的几

62

方程的理解有 一个整体的认 识。

种形式,并说明它们之间的关系。 (2)比较各种直线方程的形式特点 和适用范围。 ( 3 )求直线方程应具有多少个条 件? (4)学习本节用到了哪些数学思想 方法?

9、布置作业 第 106 页习题 3.2 第 10 题和 第 11 题。 四、教后反思:

巩固课堂上所 学的知识和方 法。

学生课后独立思考完成。

第六课时 一、教学目标

两直线的交点坐标

1、知识与技能: (1)直线和直线的交; (2)二元一次方程组的解。 2、过程和方法: (1)学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法。 (2)掌握数形结 合的学习法。 (3)组成学习小组,分别对直线和直线的位置进行判断,归纳过定点的直线系方程。 3、情态和价值: (1)通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的内的联系。 (2)能够用辩证的观点看问题。 二、教学重点,难点 重点:判断两直线是否相交,求交点坐标。难点:两直线相交与二元一次方程的关系。 三、教学方法:启发引导式:在学生认识直线方程的基础上,启发学生理解两直线交点与二元一 次方程组的的相互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一 次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。 教具:用 POWERPOINT 课件的辅助式教学 四、教学过程 (一) 、情境设置,导入新课 用大屏幕打出直角坐标系中两直线,移动直线,让学生观察这两直线的位置关系。 课堂设问一:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那如果两 直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系?

63

(二) 、研探新知 1、分析任务,分组讨论,判断两直线的位置关系 已知两直线 L1:A1x+B1y +C1=0,L2: A2x+B2y+C2=0 如何判断这两条直线的关系? 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看表一,并填空。 几何元素及关系 代数表示

点A 直线 L 点 A 在直线上 直线 L1 与 L2 的交点 A

A(a,b) L:Ax+By+C=0

课堂设问二:如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系? 学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系? (1)若二元一次方程组有唯一解,L 1 与 L2 相交。 (2)若二元一次方程组无解,则 L 1 与 L2 平行。(3)若二元一次方程组有无数解,则 L 1 与 L2 重合。 课后探究:两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系? 2、例题讲解,规范表示,解决问题 例题 1:求下列两直线交点坐标:L1 :3x+4y-2=0,L1:2x+y +2=0 解:解方程组

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? ?2 x ? 2 y ? 2 ? 0

得 x=-2,y=2

所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) ,如图 3。3。1。
6

y
4

2

-5

5

x
-2

-4

教师可以让学生自己动手解方程组,看解题是否规范,条理是否清楚,表达是否简洁,然后才进 行讲解。
64

同类练习:书本 110 页第 1,2 题。 例 2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交,求出交点坐标。 (1) L1:x-y=0,L2:3x+3y-10=0 (2) L1:3x-y=0,L2:6x-2y=0 (3) L1:3x+4y-5=0,L2:6x+8y-10=0 这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。 (三) 、启发拓展,灵活应用。 课堂设问一。当 ? ? 变化时,方程 3x+4y-2+ ? (2x+y+2)=0 表示何图形,图形有何特点?求出 图形的交点坐标。 (1) 、 可以一用信息技术, 当 取不同值时, 通过各种图形, 经过观察, 让学生从直观上得出结论, 同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。 (2) 、找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结 论。 (3) 、结论,方程表示经过这两条直线 L1 与 L2 的交点的直线的集合。 例 3、 已知 a 为实数,两直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? y ? a ? 0 相交于一点,求证交点不 可能在第一象限及 x 轴上. 分析:先通过联立方程组将交点坐标解出,再判断交点横纵坐标的范围. 解:解方程组若

a ?1 a2 ?1 >0,则 a >1.当 a >1 时,- <0,此时交点在第二象限内. a ?1 a ?1
2

a2 ?1 又因为 a 为任意实数时,都有 a ? 1 ? 1>0,故 ≠0 a ?1
因为 a ≠1 (否则两直线平行, 无交点) , 所以, 交点不可能在 x 轴上 , 得交点(-
新疆

王新敞
学案

a ?1 a2 ?1 , ) a ?1 a ?1

(四) 、小结:直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标,能将几何问题转化为代数问题来 解决,并能进行应用。 (五) 、练习及作业: 1、光线从 M(-2,3)射到 x 轴上的一点 P(1,0)后被 x 轴反射,求反射光线所在的直线方程。 2、求满足下列条件的直线方程。 经过两直线 2x-3y+10=0 与 3x+4y-2=0 的交点,且和直线 3x-2y+4=0 垂直。 五、教后反思:

65

第七课时 一、三维目标

直线与直线之间的位置关系-两点间距离

1、知识与技能:掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题。 2、过程和方法:通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性。 3、情态和价值:体会事物之间的内在联系, ,能用代数方法解决几何问题 二、教学重点,难点:重点,两点间距离公式的推导。难点,应用两点间距离公式证明几何问题。 三、教学方式:启发引导式。 教学用具:用多媒体辅助教学。 四、教学过程 (一) 、情境设置,导入新课 课堂设问一:回忆数轴上两点间的距离公式,同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题 平面直角坐标系中两点 P 1P 2 ? ? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ? 7 ,分别向 x 轴和 y 轴作垂线,垂足分别
2

为 N1 ? 0,y1 ?,M 2 ? x2, 0? ,直线 PN 1 1与P 2 N2 相交于点 Q。 在直角 ? ABC 中, P 1P 2
2

? PQ ? QP 1 2 ,为了计算其长度,过点 P 1 向 x 轴作垂线,垂足为
,于是有
2

2

2

M1 ? x1, 0? 过点 向 y 轴作垂线,垂足为 N2 ? 0,y2 ?
PQ ? M 2 M 1 ? x2 ? x1 , QP2 ? N1 N 2 ? y2 ? y1 1
所以, P 1P 2
2 2 2 2 2 2

? PQ ? QP2 = x2 ? x1 ? y2 ? y1 。 1
66

2

2

2

2

由此得到两点间的距离公式, PP 1 2 ?

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

在教学过程中,可以提出问题让学生自己思考,教师提示,根据勾股定理,不难得到。 (二) 、例题解答,细心演算,规范表达。 例 1 :以知点 A(-1,2) ,B(2, 7 ) ,在 x 轴上求一点,使 PA ? PB ,并求 解:设所求点 P(x,0) ,于是有 由

PA 的值。

? x ? 1? ? ? 0 ? 2 ?
2

2

?

? x ? 2?

2

? 0? 7

?

?

2

PA ? PB 得 x2 ? 2 x ? 5 ? x 2 ? 4 x ? 11 解得 x=1。
PA ?

所以,所求点 P(1,0)且 距离公式理解。应用。

?1 ? 1? ? ? 0 ? 2?
2

2

?2 2

通过例题,使学生对两点间

解 法 二 : 由 已 知 得 , 线 段 AB 的 中 点 为 M ? ,

? 1 2+ 7? ? , 直 线 AB 的 斜 率 为 ?2 2 ? ? ?

k=

7 -2 7 -2 2+ 7 3 1? 2 2 ? = ? ?x- ? PA= ? 1+2 ? +0-2 ? ? =22 3 3 2 2? 2- 7 ?

线段 AB 的垂直平分线的方程是 y-

2+ 7 3 1? ? = ? ?x- ? 2 2? 2- 7 ?

在上述式子中,令 y=0,解得 x=1。所以所求点 P 的坐标为(1,0) 。因此

PA= ? 1+2 ? +0-2 ? ? =2 2
2 2

同步练习:书本 112 页第 1,2 题 (三) 、 巩固反思,灵活应用。 (用两点间距离公式来证明几何问题。 ) 例 2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析:首先要建立直角坐标系,用坐标表示有关量,然后用代数进行运算,最后把代数运算“翻 译”成几何关系。 这一道题可以让学生讨论解决,让学生深刻体会数形之间的关系和转化,并从中归纳出应用代数 问题解决几何问题的基本步骤。 证明:如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系,有A (0,0) 。 设B(a,0) ,D(b,c) ,由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b,c) ,因为

AB ? a 2, CD ? a 2, AD ? b 2 ? c 2 ? BC

2

2

2

2

67

2 2, BD =?b-a? +c AC ? ? a ? b ? +c

2







所以, AB +CD +AD +BC =2a+b+c









?







?

AC +BD =2a+b+c ? 2 2 2? 所以,
2 2

AB +CD +AD +BC =AC +BD













因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下:第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关的量。 第二步:进行有关代数运算。第三步;把代数结果“翻译”成几何关系。 思考:同学们是否还有其它的解决办法? 还可用综合几何的方法证明这道题。 (四) 、课堂小结:主要讲述了两点间距离公式的推导,以及应用,要懂得用代数的方法解决几 何问题,建立直角坐标系的重要性。 (五) 、课后练习 1.:证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等。 2.在直线 x-3y-2=0 上求两点,使它与(-2,2)构成一个等边三角形。 3. (1994 全国高考)点(0,5)到直线 y=2x 的距离是 五、教后反思: 。

68

第八课时 一、三维目标:

两条直线的位置关系―点到直线的距离公式

1、知识与技能:理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式;?? 2、能力和方法: 会用点到直线距离公式求解两平行线距离
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3、情感和价值:认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题 二、教学重点:点到直线的距离公式
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教学难点:点到直线距离公式的理解与应用. 三、教学方法:学导式 教具:多媒体、实物投影仪 四、教学过程 (一) 、情境设置,导入新课 前面几节课,我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件,两直线的夹角公式,两直 线的交点问题,两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节, 我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离。 用 POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾两直线的位置关系,且 在直线上取两点, 让学生指出两点间的距离公式, 复习前面所学。 要求学生思考一直线上的计算? 能否用两点间距离公式进行推导? 两条直线方程如下:
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69

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0
(二) 、研探新课 1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? (1)提出问题 在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,直线=0 或 B=0 时,以上公式

Ax 0 ? By 0 ? C
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A2 ? B 2

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l : Ax ? By ? C ? 0 ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢?
学生可自由讨论。 (2)数行结合,分析问题,提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念,即由点 P 到直线 l 的距离 d 是点 P 到直线 l 的垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法,把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题,一个自己熟悉的问 题。 画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。 方案一: 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ, 垂足为 Q, 由 PQ⊥ l 可 知,直线 PQ 的斜率为
y R d Q o S x l P(x0,y0)

B (A≠0) ,根据点斜式写出直 A

线 PQ 的方程,并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标; 由此根据两点距离公式求出|PQ|, 得到点 P 到直线 l 的距离为 d
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此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种方法

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方案二: 设 A≠0, B≠0, 这时 l 与 x 轴、y 轴都相交, 过点 P 作 x 轴的平行线, 交 l 于点 R( x1 , y0 ) ; 作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ( x0 , y2 ) , 由?

? A1 x1 ? By 0 ? C ? 0 ? By0 ? C ? Ax0 ? C , y2 ? 得 x1 ? . A B ? Ax 0 ? By 2 ? C ? 0

所以,|PR|=| x0 ? x1 |=

Ax0 ? By0 ? C Ax0 ? By0 ? C ,|PS|=| y0 ? y2 |= A B
70

|RS|= PR ? PS
2

2

?

A2 ? B 2 d· ×| Ax0 ? By0 ? C |由三角形面积公式可知: | AB
Ax 0 ? By 0 ? C A2 ? B 2
。 可证明,当 A=0 时仍适用

RS|=|PR|·|PS|,所以 d ?

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这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力。意志品质等方面得到了提高。 2、例题应用,解决问题。 例 1 求点 P=(-1,2)到直线 3x=2 的距离。 解:d=

3 ? ? ?1? ? 2 32 ? 02

?

5 3

例 2 已知点 A(1,3) ,B(3,1) ,C(-1,0) ,求三角形 ABC 的面积。 解:设 AB 边上的高为 h,则 S ? ABC =

1 AB ? h 2

AB ?

?3 ?1? ? ?1 ? 3?
2

2

? 2 2 ,AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离。

AB 边所在直线方程为

y ? 3 X ?1 ? ,即 x+y-4=0。点 C 到 X+Y-4=0 的距离为 h 1? 3 3 ?1

h=

?1 ? 0 ? 4 1 ?1
2

?

1 5 5 ?5 ,因此,S ? ABC = ? 2 2 ? 2 2 2

通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会用代数 运算解决几何问题的优越性。 3、同步练习:114 页第 1,2 题。 (三) 、拓展延伸,评价反思 1、应用推导两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2
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A ?B
2

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2

证明:设 P0 ( x0 , y0 ) 是直线 Ax ? By ? C 2 ? 0 上任一点,则点 P0 到直线 Ax ? By ? C1 ? 0 的 距离为 d ?

Ax 0 ? By 0 ? C1
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A2 ? B 2

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又 Ax0 ? By0 ? C2 ? 0

即 Ax0 ? By0 ? ?C2 ,∴d=

C1 ? C 2
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A ?B
2

2

71

例 3 求两平行线 l1 : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 , l 2 : 2 x ? 3 y ? 10 ? 0 的距离. 解法一:在直线 l1 上取一点 P(4,0),因为 l1 ∥ l 2 ,所以点 P 到 l 2 的距离等于 l1 与 l 2 的距离.于 是d ?

2 ? 4 ? 3 ? 0 ? 10 2 ?3
2 2

?

2 13

?

2 13 13

解法二: l1 ∥ l 2 又 C1 ? ?8, C2 ? ?10 . 由两平行线间的距离公式得 d ? (四) 、课堂练习 已知一直线被两平行线 3x+4y-7=0 与 3x+4y+8=0 所截线段长为 3。且该直线过点(2,3) ,求该直 线方程。 (五) 、小结:点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离转 化为点到直线的距离公式
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? 8 ? (?10) 2 2 ? 32

?

2 3 13

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(六) 、课后作业:1、求点 P(2,-1)到直线 2 x +3 y -3=0 的距离. 2、已知点 A( a ,6)到直线 3 x -4 y =2 的距离 d=4,求 a 的值: 3、已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 , 则 l1 与 l 2 的距离为 d ? 五、教后反思:

C1 ? C 2
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A ?B
2

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2

72

§2、2 圆与圆的方程 第九课时 一、三维目标: 知识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标 准方程解决实际问题的学习, 注意培养学生观察问题、 发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴 趣。 二、教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。 三、教学方法:学导式 四、教学过程 (一) 、情境设置 在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要 素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中, 任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示, 那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究: (二) 、探索研究
73

圆的标准方程

确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为 A(a,b),半径为 r。 (其中 a、b、r 都是 常数, r>0 )设 M(x,y) 为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是(引导学生自己列出)
2 2 P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点 M 适合的条件 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r



化简可得: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
6



4

A
2

M

-5

5

-2

-4

引导学生自己证明 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 为圆的方程,得出结论。 方程②就是圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。 (三) 、知识应用与解题研究 例(1) :写出圆心为 A(2, ?3) 半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M1 (5, ?7), M2 (? 5, ?1) 是否 在这个圆上。 分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。 探究:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的关系的判断方法:
2 2 2

(1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2

(2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2

(3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

例(2) : ? ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C (2, ?8), 求它的外接圆的方程 师生共同分析:从圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

可知,要确定圆的标准方程,可用待定

系数法确定 a、b、r 三个参数.(学生自己运算解决) 例 (3):已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) , 且圆心在 l : x ? y ? 1 ? 0 上 ,求圆心为 C 的 圆的标准方程. 师生共同分析 : 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小 . 圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和
74

B(2, ?2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等,所以圆心 C 在险段 AB 的垂直平分线 m 上,又圆心
C 在直线 l 上,因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点,半径长等于 CA 或 CB 。
(教师板书解题过程。 )
4

l
2

A

-5

5

m

-2

C

B

-4

-6

总结归纳: (教师启发,学生自己比较、归纳)比较例(2) 、例(3)可得出 ? ABC 外接圆的标准方 程的两种求法: 1、根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出圆的标准方 程. 2、 根据确定圆的要素, 以及题设条件, 分别求出圆心坐标和半径大小, 然后再写出圆的标准方程. 练习:课本 p127 第 1、3、4 题 (四) 、提炼小结: ? 圆的标准方程。 ? 点与圆的位置关系的判断方法。 ? 根据已知条件求圆的标准方程的方法。 (五) 、作业:课本 p130 习题 4.1 第 2、3、4 题 五、教后反思:

75

第十课时 一、三维目标

圆的一般方程

1、知识与技能:(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由 圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的条件.(2)能通过配方 等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程。(3)培养学生探索发现 及分析解决问题的实际能力。 2、过程与方法:通过对方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分 析解决问题的实际能力。 3、情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学 生创新,勇于探索。 二、教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件 确定方程中的系数,D、E、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用 三、教学方法:学导式 四、教学过程 (一) 、课题引入 问题:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这 个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的 一般方程。 (二) 、探索研究:请同学们写出圆的标准方程:(x-a) +(y-b) =r ,圆心(a,b),半径 r.
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2 2 2
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2

2

2

2

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学案

把圆的标准方程展开,并整理:x +y -2ax-2by+a +b -r =0. 取 D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a 2 ? b 2 ? r 2 得 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 这个方程是圆的方程. 反过来给出一个形如 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗? 把 x +y +Dx+Ey+F=0 配方得 ( x ?
2 2 2 2

2

2

2

2

2



D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

② (配方过

程由学生去完成)这个方程是不是表示圆? (1)当 D +E -4F>0 时,方程②表示(1)当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示以(2 2

2

2

E D ,- )为圆 2 2

心,

1 D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆; 2

2 2 (2)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ?

D E D , y ? ? ,即只表示一个点(- , 2 2 2

-

E ) ; 2
2 2
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(3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形 综上所述,方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆
2 2
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2 2 只有当 D ? E ? 4F ? 0 时,它表示的曲线才是圆,我们把形如 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的
2 表示圆的方程称为圆的一般方程 ? x ? 1? ? y ? 4 2
新疆

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我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x 和 y 的系数相同,不等于 0.②没有 xy 这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就 确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准 方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 (三)、知识应用与解题研究 例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。
2 2

?1? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ? 2 ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0
学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程

77

的判断方法求解。但是,要注意对于 ?1? 4x2 ? 4 y2 ? 4x ?12 y ? 9 ? 0 来说,这里的

9 D ? ?1, E ? 3, F ? 而不是D=-4,E=12,F=9 . 4
例 2:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件 恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程
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解:设所求的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ∵ A(0,0), B(11 所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方 , ),C(4,2)在圆上, 程,可以得到关于 D, E, F 的三元一次方程组,

?F ? 0 ? 即 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 解此方程组,可得: D ? ?8, E ? 6, F ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?
2 2 ∴所求圆的方程为: x ? y ? 8x ? 6 y ? 0 r ?
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1 D F D 2 ? E 2 ? 4 F ? 5 ; ? ? 4,? ? ?3 2 2 2

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得 圆 心 坐 标 为 ( 4 , -3 ) . 或 将 x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 左 边 配 方 化 为 圆 的 标 准 方 程 ,

( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 ,从而求出圆的半径 r ? 5 ,圆心坐标为(4,-3)

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学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤:①根据提议,选择标准方程或一般方 程;②根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组;③解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准 方程或一般方程。
2 例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y ? 4 运动,求线段 AB 2

的中点 M 的轨迹方程。
2 分析: 如图点 A 运动引起点 M 运动, 而点 A 在已知圆上运动, 点 A 的坐标满足方程 ? x ? 1? ? y ? 4 。 2

建立点 M 与点 A 坐标之间的关系,就可以建立点 M 的坐标满足的条件,求出点 M 的轨迹方程。 解 : 设 点 M 的 坐 标 是 ( x,y ) , 点 A 的 坐 标 是

3? 且M是线段AB的重点,所以 ? x0 , y0 ?.由于点B的坐标是? 4,
x0 ? 4 y ?3 ,y? 0 , ① 2 2 于是有x0 ? 2 x ? 4, y0 ? 2 y ? 3 x?

78

因为点A在圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 上运动,所以点 A 的坐标满足方程 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 , 即
2 2

? x0 ? 1?

2

? y0 2 ? 4
2

? x0 ? 1?

2

? y0 2 ? 4
2



把①代入②,得
2

3? ? 3? ? 2 x ? 4 ? 1? ? ? 2 y ? 3? ? 4, 整理,得 ? ? x- ? ? ? y ? ? ? 1 2? ? 2? ?
2

?3 3? 所以,点M的轨迹是以? , ? 为圆心,半径长为1的圆 ?2 2?
6

y
4

A
2 -5

M

B
5

O
-2

x

-4

(四) 、课堂练习:课堂练习 p130 第 1、2、3 题 (五) 、小结 :1.对方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论(什么时候可以表示圆) 2.与标准
2 2
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方程的互化 3.用待定系数法求圆的方程 4.求与圆有关的点的轨迹。
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(六) 、课后作业: p130 习题 4.1 第 2、3、6 题 五、教后反思:

79

第十一课时 一、教学目标

直线与圆的位置关系

1、知识与技能: (1)理解直线与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公 式求圆心到直线的距离; (3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 2、过程与方法:设直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆的半径为 r , 圆心 (?

D E 则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1) 当d ? r , ? ) 到直线的距离为 d , 2 2

时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交; 3、情态与价值观:让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养学生数形结合的 思想. 二、教学重点、难点 重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.难点:用坐标法判直线与圆的位置关系. 三、教学方法:学导式 四、教学过程 问 题 设计意图 启发学生由 图形获取判断直 线与圆的位置关 系的直观认知, 引 入新课. 2 .直线与圆的位置关系有哪 几种呢? 得出直线与 圆的位置关系的 师:引导学生利用类比、归纳 的思想,总结直线与圆的位置关系 师生活动 师:让学生之间进行讨论、交 流, 引导学生观察图形, 导入新课. 生: 看图, 并说出自己的看法.

1 .初中学过的平面几何中, 直线与圆的位置关系有几类?

几何特征与种类. 的种类,进一步深化“数形结合”
80

的数学思想. 问 题 设计意图 师生活动 生:观察图形,利用类比的方 法,归纳直线与圆的位置关系. 3 .在初中,我们怎样判断直 线与圆的位置关系呢?如何用直 线与圆的方程判断它们之间的位 置关系呢? 4 .你能说出判断直线与圆的 位置关系的两种方法吗? 使学生回忆 师:引导学生回忆初中判断直

初中的数学知识, 线与圆的位置关系的思想过程. 培养抽象概括能 力. 抽象判断直 线与圆的位置关 生:回忆直线与圆的位置关系 的判断过程. 师:引导学生从几何的角度说 明判断方法和通过直线与圆的方程

系的思路与方法. 说明判断方法. 生:利用图形,寻找两种方法 的数学思想. 5 .你能两种判断直线与圆的 位置关系的数学思想解决例 1 的问 题吗? 体会判断直 线与圆的位置关 系的思想方法, 关 注量与量之间的 关系. 6.通过学习教科书的例 1,你 能总结一下判断直线与圆的位置 关系的步骤吗? 使学生熟悉 判断直线与圆的 位置关系的基本 步骤. 生:阅读例 1. 师;分析例 1,并展示解答过 程;启发学生概括判断直线与圆的 位置关系的基本步骤,注意给学生 留有总结思考的时间. 生:交流自己总结的步骤. 师:展示解题步骤. 7.通过学习教科书上的例 2, 你能说明例 2 中体现出来的数学思 想方法吗? 进一步深化 “数形结合” 的数 学思想. 师:指导学生阅读并完成教科书上 的例 2,启发学生利用“数形结合” 的数学思想解决问题. 生:阅读教科书上的例 2,并完成 师:指导学生阅读教科书上的 例 1. 生: 新闻记者教科书上的例 1, 并完成教科书第 136 页的练习题 2.

81

第 137 页的练习题. 问 题 设计意图 明确弦长的 运算方法. 师生活动 师:引导并启发学生探索直线 与圆的相交弦的求法. 生:通过分析、抽象、归纳, 得出相交弦长的运算方法. 9.完成教科书第 136 页的练 习题 1、2、3、4. 巩固所学过 的知识, 进一步理 解和掌握直线与 圆的位置关系. 10.课堂小结: 教师提出下列问题让学生思考: (1)通过直线与圆的位置关系的判断,你学到了什么? (2)判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么? (3)如何求出直线与圆的相交弦长? 作业:习题 4.2A 组:1、3. 五、教后反思: 师:引导学生完成练习题. 生:互相讨论、交流,完成练 习题.

8.通过例 2 的学习,你发现 了什么?

82

第十二课时 一、教学目标

圆与圆的位置关系

1、知识与技能: (1)理解圆与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求 两圆的连心线长; (3)会用连心线长判断两圆的位置关系。 2、过程与方法:设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: ( 1)当
l ? r1 ? r2 时, 圆 C1 与圆 C 2 相离; (2) 当 l ? r1 ? r2 时, 圆 C1 与圆 C 2 外切; (3) 当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2

时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与 圆 C 2 内含。 3、情态与价值观:让学生通过观察图形,理解并掌握圆与圆的位置关系,培养学生数形结合的思 想。 二、教学重点、难点:重点与难点:用坐标法判断圆与圆的位置关系. 三、教学方法:学导式 四、教学过程 问 题 设计意图 结合学生已 有知识以验, 启发 学生思考, 激发学 生学习兴趣. 2 .判断两圆的位置关系,你 有什么好的方法吗? 引导学生明 确两圆的位置关 系, 并发现判断和 教师引导学生阅读教科书中的 相关内容,注意个别辅导,解答学 生疑难,并引导学生自己总结解题 师生活动 教师引导学生回忆、举例,并 对学生活动进行评价;学生回顾知 识点时,可互相交流.

1 .初中学过的平面几何中, 圆与圆的位置关系有几类?

83

解决两圆的位置 问 题 设计意图 关系的方法.

的方法. 师生活动 学生观察图形并思考,发表自己的 解题方法.

3.例 3 你能根据题目,在同一个直角 坐标系中画出两个方程所表示的 圆吗?你从中发现了什么? 4 .根据你所画出的图形,可 以直观判断两个圆的位置关系.如 何把这些直观的事实转化为数学 语言呢?

培养学生 “数

教师应该关注并发现有多少学

形结合”的意识. 生利用“图形”求,对这些学生应 该给予表扬.同时强调,解析几何 是一门数与形结合的学科. 进一步培养 学生解决问题、 分 析问题的能力. 利用判别式 来探求两圆的位 置关系. 师: 启发学生利用图形的特征, 用代数的方法来解决几何问题. 生:观察图形,并通过思考, 指出两圆的交点,可以转化为两个 圆的方程联立方程组后是否有实数 根,进而利用判别式求解. 师:指导学生利用两个圆的圆 心坐标、半径长、连心线长的关系 来判别两个圆的位置. 生:互相探讨、交流,寻找解 决问题的方法,并能通过图形的直 观性,利用平面直角坐标系的两点 间距离公式寻求解题的途径.

5 .从上面你所画出的图形, 你能发现解决两个圆的位置的其 它方法吗?

进一步激发 学生探求新知的 精神,培养学生

6 .如何判断两个圆的位置关 系呢?

从具体到一 般地总结判断两 个圆的位置关系 的一般方法.

师:对于两个圆的方程,我们 应当如何判断它们的位置关系呢? 引导学生讨论、交流,说出各 自的想法,并进行分析、评价,补 充完善判断两个圆的位置关系的方 法.

7.阅读例 3 的两种解法,解 决第 137 页的练习题.

巩固方法, 并 培养学生解决问

师:指导学生完成练习题. 生:阅读教科书的例 3,并完成第

84

题的能力. 问 题 设计意图 得出两个圆 的相交弦所在直 线的方程.

137 页的练习题. 师生活动 师:引导并启发学生相交弦所 在直线的方程的求法. 生:通过判断、分析,得出相 交弦所在直线的方程.

8 .若将两个圆的方程相减, 你发现了什么?

9 .两个圆的位置关系是否可 以转化为一条直线与两个圆中的 一个圆的关系的判定呢? 10.课堂小结: 教师提出下列问题让学生思考:

进一步验证 相交弦的方程.

师:引导学生验证结论. 生:互相讨论、交流,验证结 论.

(1)通过两个圆的位置关系的判断,你学到了什么? (2)判断两个圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么? (3)如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系? 作业:习题 4.2A 组:4、7. 五、教后反思:

85

第十三课时 一、教学目标

直线与圆的方程的应用

1、知识与技能: (1)理解直线与圆的位置关系的几何性质; (2)利用平面直角坐标系解决直线与 圆的位置关系; (3)会用“数形结合”的数学思想解决问题。 2、过程与方法:用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和 方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代 数问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论。 3、情态与价值观:让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题 与解决问题的能力. 二、教学重点、难点:重点与难点:直线与圆的方程的应用. 三、教学方法:学导式 四、教学过程 问 题 设计意图 启发并引导 学生回顾直线与 圆的位置关系, 从 而引入新课. 2.解决直线与圆的位置关系, 你将采用什么方法? 理解并掌握 直线与圆的位置 关系的解决办法 与数学思想. 师:引导学生通过观察图形, 回顾所学过的知识,说出解决问题 的方法. 生:回顾、思考、讨论、交流, 得到解决问题的方法. 师生活动 师:启发学生回顾直线与圆的 位置关系,导入新课. 生:回顾,说出自己的看法.

1 .你能说出直线与圆的位置 关系吗?

86





设计意图 指导学生从 直观认识过渡到 数学思想方法的 选择. 2.

师生活动 师:指导学生观察教科书上的 图形特征,利用平面直角坐标系求 解. 生: 自学例 4, 并完成练习题 1、

3.阅读并思考教科书上的例 4,你将选择什么方法解决例 4 的 问题?

师: 分析例 4 并展示解题过程, 启发学生利用坐标法求,注意给学 生留有总结思考的时间. 4 .你能分析一下确定一个圆 的方程的要点吗? 使学生加深 对圆的方程的认 识. 5 .你能利用“坐标法”解决 例 5 吗? 巩固“坐标 法” ,培养学生分 析问题与解决问 题的能力. 教师引导学生分析圆的方程 中,若横坐标确定,如何求出纵坐 标的值. 师:引导学生建立适当的平面 直角坐标系,用坐标和方程表示相 应的几何元素,将平面几何问题转 化为代数问题. 生:建立适当的直角坐标系, 探求解决问题的方法. 6.完成教科书第 140 页的练 习题 2、3、4. 使学生熟悉 平面几何问题与 教师指导学生阅读教材,并解 决课本第 140 页的练习题 2、 3、 4. 教

代数问题的转化, 师要注意引导学生思考平面几何问 加深 “坐标法” 的 解题步骤. 7 .你能说出练习题蕴含了什 么思想方法吗? 反馈学生掌 握 “坐标法” 解决 问题的情况, 巩固 所学知识. 8.小结: (1)利用“坐标法”解决问 对知识进行 归纳概括, 体会利 师:指导学生完成练习题. 生:阅读教科书的例 3,并完成第 学生独立解决第 141 页习题 4.2A 第 8 题,教师组织学生讨论 交流. 题与代数问题相互转化的依据.

87





设计意图 用 “坐标法” 解决

师生活动 教师引导学生自己归纳总结所

题的需要准备什么工作? (2)如何建立直角坐标系, 才能易于解决平面几何问题? (3)你认为学好“坐标法” 解决问题的关键是什么? (4)建立不同的平面直角坐 标系,对解决问题有什么直接的影 响呢? 作业:习题 4.2B 组:1、2. 五、教后反思:

实际问题的作用. 学过的知识, 组织学生讨论、 交流、 探究.

88

第十四课时

空间直角坐标系

一、教学目标:1、使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示。 2、通过数轴与数,平面直角坐标系与一对有序实数,引申出建立空间直角坐标系的必要性。 二、教学重点、难点:重点:空间直角坐标系中点的坐标表示。难点:空间直角坐标系中点的坐 标表示。 三、教学方法:学导式 四、教学过程 问题 (1)我们知道数轴上的任意 一点 M 都可用对应一个实数 问题设计意图 让学生体会到点与数(有序 数组)的对应关系 师生活动 师:启发学生联想思考, 生:感觉可以 师:我们不能仅凭感觉,我 们要把对它的认识从感 性化提升到理性化。

x 表示,建立了平面直角坐
标系后,平面上任意一点 M 都可用对应一对有序实数

( x, y ) 表示。 那么假设我们建
立一个空间直角坐标系时, 空间中的任意一点是否可用 对应的有序实数组 ?x, y, z ? 表示出来呢?

问题 (2)空间直角坐标系该如何建立呢?

问题设计意图 体会空间直角坐标

师生活动 师:引导学生看图[1],

89

z

系的建立过程











OABC ? D' A' B' C ' ,让学
D' A' O A B B' C y C'

生认识该空间直角坐标系 O — xyz 中,什么是坐标原 点,坐标轴以及坐标平面。

[1]

x

师: 该空间直角坐标系我们 称为右手直角坐标系。 (3)建立了空间直角坐标系以后,空 间中任意一点 M 如何用坐标表示呢? 学生从( 1 )中的感 性向理性过渡 师:引导学生观察图[2], 生: 点 M 对应着唯一确定的 有序实数组 ( x, y, z ) , x 、
R M O P Q M' y

y 、z 分别是 P、 Q、 R在x、 y 、 z 轴上的坐标
[2] 师: 如果给定了有序实数组

x

( x, y, z ) ,它是否对应着空
间直角坐标系中的一点呢/ 生: (思考)是的 师: 由上我们知道了空间中 任意点 M 的坐标都可以用有 序实数组 ( x, y, z ) 来表示, 该数组叫做点 M 在此空间直 角坐标系中的坐标,记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横 坐标, y 叫做点 M 的纵坐 标, z 叫做点 M 的竖坐标。 师:大家观察一下图 [1], 你能说出点 O,A,B,C 的 坐标吗?

90

生:回答

(4)例 1、例 2

学生在教师的指导 下完成, 加深对点的 坐标的理解, 例2更 能体现出建立一个 合适的空间直角系 的重要性

师:让学生思考例一一会, 学生作答,师讲评。 师:对于例二的讲解,主要 是引导学生先要学会建立 合适的空间直角坐标系, 然 后才涉及到点的坐标的求 法。 生:思考例一、例二的一些 特点。 总结如何求出空间中 的点坐标的方法。

(5)练习 2

学生在原宥小结的 经验的基础上, 动手 操作, 并且锻炼学生 的口才

师:大家拿笔完成练习 2 然后上黑板来讲解 生:完成

(6)小结:今天通过这堂课的学习, 你能有什么收获? 五、教后反思:

让学生的自信心得 到增强

生:谈收获 师:总结

91

第十五课时

空间两点间的距离公式

一、教学目标:通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 二、教学重点、难点 重点:空间两点间的距离公式 难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导。 三、教学方法:学导式 四、教学过程 由平面上两点间的距离公式, 引 入空间两点距离公式的猜想

先推导特殊情况下的空间两点
92

间的距离公式

推导一般情况下的空间两点间 的距离公式

问题 在 平 面 上 任 意 两 点 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y 2 ) 之 间 距 离 的 公 式 为
2 2 |AB|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ,

问题设计意图 通过类比,充分发挥学 生的联想能力。

师生活动 师: 、只需引导学生大胆猜测, 是否正确无关紧要。 生:踊跃回答

那么对于空间中任意两点 A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间距 离的公式会是怎样呢?你猜猜? (2)空间中任意一点 P ( x, y, z ) 到 原点之间的距离公式会是怎样呢?
z

从特殊的情况入手,化 解难度

师:为了验证一下同学们的猜 想,我们来看比较特殊的情 况,引导学生用勾股定理来完 成

P(x,y,z) O A B(x,y,0) y

学生:在教师的指导下作答 [1] 得出 OP ?

x

x2 ? y2 ? z2

问题 ( 3 ) 如 果 OP 是 定 长 r, 那 么

问题设计意图 任何知识的猜想都要建 立在学生原有知识经验 的基础上, 学生可以通过 类比在平面直角坐标系

师生活动 师:注意引导类比平面 直角坐标系中,方程

x 2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 表示什么图形?

x2 ? y2 ? r 2 表 示 的
图形,让学生有种回归

93

中, 方程 x 2 ? y 2 ? r 2 表 示原点或圆, 得到知识上 的升华,提高学习的兴 趣。 ( 4 ) 如 果是 空 间中 任 意 一点 人的认知是从特殊情况

感。 生:猜想说出理由

P1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的 到一般情况的
距离公式会是怎样呢?
z

师生:一起推导,但是 在推导的过程中要重 视学生思路的引导。 得 出 结 论 :

P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N

P1 P2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

[2

] 五、教后反思:

本章小结与复习 第十六课时 直线与方程小结与复习

一、教材分析:本节课是对第三章的基本知识和方法的总结与归纳,从整体上来把握本章,使学 生基本知识系统化和网络化,基本方法条理化。本章内容大致分为三个部分: (1)直线的倾斜角 和斜率; (2)直线方程; (3)两条直线的位置关系。可采用分单元小结的方式,让学生自己回顾 和小结各单元知识。再此基础上,教师可对一些关键处予以强调。比如可重申解析几何的基本思 想——坐标法,并用解析几何的基本思想串联全章知识,使全章知识网络更加清晰。指出本章学 习要求和要注意的问题,可让学生阅读教科书中“学习要求和要注意的问题”有关内容。教师重 申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法 在本章中的特殊地位。

94

二、教学目标:通过总结和归纳直线与方程的知识,对全章知识内容进行一次梳理,突出知识间 的内在联系,进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力。能够使学生综合运用知识解决有关 问题,培养学生分析、探究和思考问题的能力,激发学生学习数学的兴趣,培养分析讨论的思想 和抽象思维能力。 三、教学重点:1.直线的倾斜角和斜率.2.直线的方程和直线的位置关系的应用.3.激发学生学习 数学的兴趣,培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 教学难点:1、数形结合和分类讨论思想的渗透和理解.2、处理直线综合问题的策略. 四、教学过程 (一) .知识要点:学生阅读教材 P 113 的小结部分. (二) .典例解析 1.例 1.下列命题正确的有 ⑤ :①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯

一一个斜率与之对应;②倾斜角的范围是:0°≤α <180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大;③过两 点 A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示;⑤直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当 A,B,C 中有 一个为零时,这个方程不能化为截距式.⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;⑦若两直线垂直, 则它们的斜率相乘必等于-1. 2 .例 2. 若直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与直线 l 2 : x ? (a ? 1) y ? a ? 1 ? 0 ,则 l1与l 2 相交 时,
2

a_________; l1 // l 2 时,a=__________;这时它们之间的距离是________; l1 ? l 2 时, .答案: a ? 2且a ? ?1 ; a ? ?1 ;

a=________

2 6 5 ;a ? 3 5

3.例 3.求满足下列条件的直线方程:(1)经过点 P(2,-1)且与直线 2x+3y+12=0 平行;(2)经过 点 Q(-1,3)且与直线 x+2y-1=0 垂直;(3)经过点 R(-2,3)且在两坐标轴上截距相等;(4)经过点 M(1,2)且与点 A(2,3)、B(4,-5)距离相等; 答案: (1)2x+3y-1=0; (2)2x-y+5=0;(3)x+y-1=0 或 3x+2y=0; (4)4x+y-6=0 或 3x+2y-7=0 4.例 4.已知直线 L 过点(1,2) ,且与 x,y 轴正半轴分别交于点 A、B(1)求△AOB 面积为 4 时 L 的方程。解: 设A(a,0),B(0,b) 线上 ∴

x y ∴a,b>0∴L 的方程为 y ? ?1 a b
B (1,2) A

∵点(1,2)在直

1 2 ? ?1 a b

∴b ?

2a a?1

① ∵b>0

∴a>1

O

x

95

(1) S△AOB=

1 2a 1 =4 ab = a ? 2 a?1 2

∴a=2

这时 b=4

∴当 a=2,b=4 时 S△AOB 为 4

此时直线 L 的方程为

x y ? ? 1 即 2x+y-4=0 2 4

( 2 )求 L 在两轴上截距之和为 3 ? 2 2 时 L 的方程. 解: a ?

2a ? 3? 2 2 a?1



a ? 2 ?1
y=- 2 x+2+ 2

这 时 b ? 2?

2 ∴ L 在 两 轴 上 截 距 之 和 为 3+2 2 时 , 直 线 L 的 方 程 为

5.例 5.已知△ABC 的两个顶点 A(-10,2),B(6,4),垂心是 H(5,2),求顶点 C 的坐标. 解: ∵ k BH ?

2?4 ?2 5?6

∴ k AC ? ?

1 2

∴直线 AC 的方程为 y ? 2 ? ?

1 (x ? 10) 2
∴BC 所在直线与 x 轴垂直 故直线 BC 的方程为 x=6 (2)解

即 x+2y+6=0

(1)又∵ k AH ? 0

(1)(2)得点 C 的坐标为 C(6,-6) (三) .课堂小结:本节课总结了第三章的基本知识并形成知识网络,归纳了常见的解题方法, 渗透了几种重要的数学思想方法. (四) .作业.:教材 P 114 复习参考题 五、教后反思:

第十六课时

圆与方程小结与复习

一、教材分析:本章在第三章“直线与方程”的基础上,在直角坐标系中建立圆的方程,并通过 圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系。在直角坐标系中建立几何对象的方程,并通过方程 研究几何对象,这是研究几何问题的重要方法,通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来, 实现空间形式与数量关系的结合。 坐标法是贯穿本章的灵魂, 在教学中要让学生充分的感受体验。 二、教学目标:1.了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题;掌握圆的标准方程 和一般方程,加深对圆的方程的认识。2.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的 位置关系,能用直线与圆的方程解决一些简单问题。3.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标 系刻画点的位置, 会用空间两点间的距离公式。 4. 通过本节的复习, 使学生形成系统的知识结构,

96

掌握几种重要的数学思想方法,形成一定的分析问题和解决问题的能力。 三、教学重点:解析几何解题的基本思路和解题方法的形成。 教学难点:整理形成本章的知识系统和网络。 四、教学过程: (一) .知识要点:学生阅读教材 P 142 的小结部分. (二) .典例解析: 1.例 1。(1)求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x─y─3=0 上的圆的方程; (2)求以 O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形 OAB 外接圆的方程 解:(1)设圆心 P(x0,y0),则有 ?
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?2 x 0 ? y 0 ? 3 ? 0
2 2 2 2 ?( x0 ? 5) ? ( y 0 ? 2) ? ( x0 ? 3) ? ( y 0 ? 2)
2 2

,

解得 x0=4, y0=5, ∴半径 r= 10 , ∴所求圆的方程为(x─4) +(y─5) =10
2 2

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(2)采用一般式 ,设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, 将三个已知点的坐标代入列方程组解得: D=─2, E=─4, F=0
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点评:第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式

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2.例 2。设 A(-c,0) 、B(c,0) (c>0)为两定点,动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比 为定值 a(a>0) ,求 P 点的轨迹
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分析: 给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一, 其基本方法就是把几何条件代数化; 主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质,即用代数的方法研究几何问题 解:设动点 P 的坐标为(x,y) ,由
2 2 2 2
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( x ? c) 2 ? y 2 | PA | =a(a>0)得 =a , | PB | ( x ? c) 2 ? y 2
2 2 2
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化简,得(1-a )x +2c(1+a )x+c (1-a )+(1-a )y =0 当 a=1 时,方程化为 x=0 当 a≠1 时,方程化为 ( x ?
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2ac 1 ? a2 2 c) ? y 2 = ( 2 ) 2 2 a ?1 a ?1
2ac a2 ?1 c, 0) 为圆心, | 2 | 2 a ?1 a ?1

所以当 a=1 时, 点 P 的轨迹为 y 轴; 当 a≠1 时, 点 P 的轨迹是以点 ( 为半径的圆

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点评:本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识,考查运用解析几何的方法解决问题的能 力,对代数式的运算化简能力有较高要求 同时也考查了分类讨论这一数学思想
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3.例 3。已知⊙O 的半径为 3,直线 l 与⊙O 相切,一动圆与 l 相切,并与⊙O 相交的公共弦恰为
97

⊙O 的直径,求动圆圆心的轨迹方程

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分析:问题中的几何性质十分突出,切线、直径、垂直、圆心,如何利用这些几何性质 呢? 解:取过 O 点且与 l 平行的直线为 x 轴,过 O 点且垂直于 l 的直线为 y 轴,建立直角坐标系 设动圆圆心为 M(x,y) ,⊙O 与⊙M 的公共弦为 AB,⊙M 与 l 切于点 C,则|MA|=|MC| ∵AB 为⊙O 的直径,∴MO 垂直平分 AB 于 O
y
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M A o B C x

由勾股定理得|MA| =|MO| +|AO| =x +y +9,而|MC|=|y+3|,∴ x 2 ? y 2 ? 9 =|y+3|
2 2 2 2 2

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化简得 x =6y,这就是动圆圆心的轨迹方程

2

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点评:求轨迹的步骤是“建系,设点,找关系式,除瑕点”

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4 . 例 4 。 已 知 圆 C 的 圆 心 在 直 线 x─y─4=0 上 , 并 且 通 过 两 圆 C1:x +y ─4x─3=0 和 C2:x +y ─4y─3=0 的交点,(1)求圆 C 的方程; (2)求两圆 C1 和 C2 相交弦的方程
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解:(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为:x +y ─4x─3+λ (x +y ─4y─3)=0,

2

2

4x 4?y ? ? 3 =0, 1? ? 1? ? 2 2? 2 2? 圆心为 ( , ), 由于圆心在直线 x─y─4=0 上 , ∴ ─ ─4=0, 解得 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?
即 (1+λ )(x +y )─4x─4λ y─3λ ─3=0,即
2 2

x2 ? y2 ?

λ

=─1/3 所求圆的方程为:x +y ─6x+2y─3=0 (2)将圆 C1 和圆 C2 的方程相减得:x+y=0,此即相交弦的方程
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点评:学会利用圆系的方程解题
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5.例 5。求圆 x ? y ? 4 x ?12 y ? 39 ? 0 关于直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的对称圆方程 解:圆方程可化为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 6 ? ? 1 , 圆心 O(-2,6),半径为 1
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设对称圆圆心为 O (a, b) ,则 O 与 O 关于直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 对称,
'


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32 b?6 ? ? a?2 a? 3? ? 4? ?5 ? 0 ? ? ? ? 5 2 2 因此有 ? 解得 ? ? b ? 6 ? 3 ? ?1 ?b ? ? 26 ? ? 5 ?a ? 2 4 ?

32 ? ? 26 ? ? ∴所求圆的方程为 ? x ? ? ?? y ? ? ?1 5? ? 5? ?

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点评:圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题,由对称性质知对称圆半径相等

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(三) .课堂小结:本章的知识点主要是实现由形到数的一种转变,所以在今后的学习中要把握 关键,寻求规律,掌握方法,要时刻把握好直线于圆的综合问题、相交及交点等问题的应用以及 直线于圆的实际应用。 (四) .作业:教材 P 144 复习参考题 五、教后反思:

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