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2014年高三数学(理科)试卷(20)

时间:2013-12-26


2014 年高三数学(理科)试卷(20)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后, 用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的 空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:台体的体积公式 V ?

1 ( s1 ? s2 ? s1s2 ) ? h ,其中 s1 , s 2 分别表示台体的上、下 3

底面积, h 表示台体的高。 第Ⅰ部分 选择题(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡上. 1.设集合 M ? {x | x2 ? x ? 0, x ? R} , N ? {x | x2 ? x ? 0, x ? R} ,则 M ? N ? ( A. {0} B. {0,1} C. {?1, 0} ) D. {?1, 0,1} )

2. “ | a ? b |?| a | ? | b | ” 是“ ab ? 0 ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不 必要条件 3.在长为 10,宽为 6 的矩形内画一个内切椭圆,切点为各边的中点,则此椭圆的离心率为 ( )

A.

4 5

B.

3 5

C.

3 4

D.

34 5

4.某台体的三视图如图所示,则该台体的体积是( )

正视图 A. (5 ? 5)? B. 28?

侧视图 C. 7? D. 21?

俯视图

5.关于两条不同直线 l , m 及两个不同平面 ? , ? ,下列命题中正确的是(



1

A.若 l // ? , ? ? ? ? m, 则 l // m C.若 l // ? , m // ? , 则 l // m 6.已知离散型随机变量 ? 的分布列为:

B.若 l ? ? , l // ? , 则 ? ? ? D.若 l // ? , m ? l ,则 m ? ?

?
P
且 ? 的数学期望 E (? ) ? A. 1 ? ln 2

a
b

2a

3a

2b
10 b

2b

11 1 ,则 ? ( )dx ? ( ) a 5 x B. 1 C. ?1 ? ln 2

D. ln 2

7.在函数 (1) y ? e x ? e? x , (2) y ?

2x ? 1 , (3) y ? cos x ? ln( x 2 ? 1 ? x) 中,是奇函数的个 x 2 ?1

数为( ) A.0 B.1 C. 2 D.3 8.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,延长 CD 至 E ,使得 DE ? CD 。动点 P 从 点 A 出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点, AP ? ? AB ? ? AE 。 下列三个命题: ①当点 P 与 D 重合时, ? ? ? ? 2 ; ② ? ? ? 的最小值为 0, ? ? ? 的最大值为 3; ③ 在 满 足 1 ? ? ? ? ? 2 的 动 点 P 中 任 取 两 个 不 同 的 点 P 和 P , 则 0 ?| P P2 |? 1 1 2

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

???? ? 1 ?| PP |? 2 1 2
其中正确命题的个数为( ) A. 0 B.1 C. 2 D. 3 第Ⅱ部分 非选择题(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。请把答案填在答题卡上。 (一)必做题 (9~13 题)

1 或 2

x?2 ? 0 的解集为 9.不等式 x ?1
10.若复数 z 满足 (1 ? i ) ? z ? 2i ,则 | z |?

开始



k ?1


11.如右图是一个算法框图,则输出的 k 的值 是 _______. 12.若 ( x ?1)6 ? a6 x6 ? a5 x5 ? ?? a2 x2 ? a1x ? a0 , 则函数 f ( x) ? a2 x ? a1x ? a0 的增函数区间为
2

k 2 ? 6k ? 5 ? 0
是 输出 k

k ? k ?1

.
结束

2

13.记 Sk ? 1k ? 2k ? 3k ???? ? nk ,当k ? 1, 2,3, ?时,观察下列等式:

S1 ?

1 2 1 1 1 1 1 1 1 n ? n S 2 ? n3 ? n 2 ? n S3 ? n 4 ? n 3 ? n 2 , , 2 2 3 2 6 4 2 4 1 1 1 1 S 4 ? n 5 ? n 4 ? n 3 ? n, 5 2 3 30 1 1 5 S5 ? n6 ? n5 ? n 4 ? An 2 , ??可以推测, A ? _______. 6 2 12



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,若两题全答的,只计 14 题的得分。 ) 14. (坐标系与参数方程选做题)

? 2 t ?x ? 4 ? ? 2 ( 为参数) 曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 1 ,点 P 是 已知直线 l 的参数方程为 ? , t 2 ?y ? t ? ? 2
直线 l 上的一个动点,过点 P 作曲线 C 的切线,切点为 Q ,则 | PQ | 的最小值为 。

15. (平面几何选做题) 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 , C 为半圆上一点, 过点 C 作半圆的切线 CD ,过点 A 作 AD ? CD 于 D ,交半 圆 O 于点 E , DE ? 1 ,则 BC 的长为 .
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?
3

) , x? R。

(Ⅰ)先完成下列表格,然后在给定坐标系中作出函数 f(x)在 [0, ? ] 上的图象;

π 2x-3 x f(x)

π -3 0 1 2

0 π 6

π 2

π 2 3π -1

3 2π 11 12π π

(Ⅱ)若

f(

?
2

?

?
6

)?

3 ? ? ? ? ? 0 ,求 sin(2? ? ) 的值。 ,? 5 2 4

3

17.(本小题满分 12 分) 某公司有一批专业技术人员, 对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查, 其结果 (人数分布)如下表: 学历 本科 研究生 35 岁以下 80 35~50 岁 30 20 50 岁以上 20

x

y

(Ⅰ)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 10 的样本, 将该样本看成一个总体, 从中任取 3 人, 求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (Ⅱ)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人,其中 35 岁 以下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上 的概率为

5 ,求 x 、 y 的值. 39

18. (本小题满分 14 分) ? ? 如 图 , 三 棱 锥 C ? ABD 中 , A B ? A D? B D? B C C D2 , O 为 BD 的 中 点 ,

?AOC ? 120? , P 为 AC 上一点, Q 为 AO 上一点,且
(Ⅰ)求证: PQ ∥平面 BCD ; (Ⅱ)求证: PO ⊥平面 ABD ; (Ⅲ)求 BP 与平面 BCD 所成角的正弦值。

AP AQ ? ? 2. PC QO

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1的上顶点为 A ,直线 y ? ?4 交椭圆 E 于点 B ,C (点 B 在 100 25

点 C 的左侧) ,点 P 在椭圆 E 上。 (Ⅰ)求以原点为顶点,椭圆的右焦点为焦点的抛物线的方程; (Ⅱ)若四边形 ABCP 为梯形,求点 P 的坐标; (Ⅲ)若 BP ? m ? BA ? n ? BC ( m , n 为实数) ,求 m? n 的最大值及对应的 P 的坐标。

4

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? t (t为非零常数),{an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? 3Sn . (Ⅰ)当 t ? 1 时,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若对任意 n ? N * ,都有 ? ?

n(n ? 1) ,求实数 ? 的取值范围。 an

21. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? (1 ? x) (1 ? ) ( x ? 0 ) ,其中 ? 、 ? 为正常数.
? ?

1 x

(Ⅰ)当 ? ? ? ? 1 时,求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若 y ? 0 ,求证: (

? ??

? ? 1 ? ? )? ? ? ? ( )? ( ) ? ? [( )? ? ( ) ? ]2 . x? y x y 4 x y

5

参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A C B D D D 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (14、15 题,考生只能从中选做一 题,若两题全答的,只计 14 题的得分。 ) 题序 答案 9 10 11 6 12 13 14 15 2

[?2,1)

2

1 1 ( , ??) ,[ , ??) 也可 5 5

?

1 12

7

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)完成表格: π π 2x-3 -3 0 x f(x) 图象如图: 0 1 2 π 2 π 2 3π -1 3 2π 11 12π 0 5 3π
?????4 分(每列填完整各得 1 分)

π 5 6 12π 1 0

π 1 2

?????6 分

? 3 ? ) ? cos ? ? , ?????7 分 2 6 5 ? 4 ? ? ? ? ? 0 ? s i n ? ? ?????8 分 ? 2 5 24 ? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? ?????9 分 25 7 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? ?????10 分 25
(Ⅱ) f (

?

? sin(2? ? ) ? sin 2? cos ? cos 2? sin 4 4 4

?

?

?

?????11 分

??

24 2 7 2 17 2 ? ? (? ) ? ?? 25 2 25 2 50

?????12 分

6

17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ) 解:(方法一)设抽取学历为本科的人数为 m , ∴ 2分 ∴ 抽取了学历为研究生 4 人,学历为本科 6 人
3 从中任取 3 人的所有基本事件数: C10 ? 120 ?? 3 分 1 2 2 1 3 其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件数 C4C6 ? C4 C6 ? C4 ? 100 ?? 4 分

30 m ? , 解得 m ? 6 . ?? 50 10

∴ 从中任取 3 人,至少有 1 人的教育程度为研究生的概率为 P ? (方法二)设抽取学历为本科的人数为 m , ∴

100 5 ? . 120 6

?? 6 分

30 m ? , 解得 m ? 6 . ??2 分 50 10

∴ 抽取了学历为研究生 4 人,学历为本科 6 人
3 C6 ? 从中任取 3 人,至少有 1 人的教育程度为研究生的概率为 P ? 1 ? 3 ?? 4 分 C10

? 1?
(Ⅱ)解: 依题意得:

1 5 ? ?? 6 分 6 6

10 5 ? ,解得 N ? 78 . N 39

?? 7 分

∴ 35~50 岁中被抽取的人数为 78 ? 48 ? 10 ? 20 .?? 8 分 ∴ 48 ? 20 ? 10 . ?? 10 分 80 ? x 50 20 ? y 解得 x ? 40,

y ? 5.

∴ x ? 40,

y ? 5.

?? 12 分

18. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:?

AP AQ ? PC QO

? PQ || CO ?????1 分
?????2 分

又? PQ ? 平面 BCD , CO ? 平面 BCD

? PQ ∥平面 BCD

?????3 分

( Ⅱ ) 由 等 边 ?ABD , 等 边 ?B C D , O 为 BD 的 中 点 得 : BD ? AO, BD ? OC ,

AO ? OC ? O ? BD ? 平面 AOC ?????4 分 又? PO ? 平面 AOC ? BD ? PO ?????5 分
在 ?AOC 中, ?AOC ? 120 , AO ? OC ? 3 ,
?

? ?OAC ? 30? , AC ? OA2 ? OC2 ? 2 ? OA ? OC ? cos120? ? 3 ?????6 分
7

AP ? 2 ? AP ? 2 PC 在 ?APO 中,由余弦定理得: PO ? 1
又?

?????7 分

? PO2 ? AO2 ? AP2 ? PO ? AO
又 AO ? BD ? O ? PO ⊥平面 ABD

?????8 分 ?????9 分

(Ⅲ)方法一:过 P 作 PH ? OC 于 H ,连结 BH 由(Ⅱ)知 BD ? 平面 AOC , BD ? 平面 BCD ? 平面 BCD ? 平面 AOC , ?????10 分 ? PH ? 平面 BCD ??PBH 为 BP 与平面 BCD 所成角

?????11 分

在 Rt ?CPH 中, CP ? 1, ?PCH ? 30? , ?PHC ? 90? ,? PH ? 在 Rt ?PBO 中, BO ? PO ? 1, ?POB ? 90?

1 2

?????12 分

? PB ? 2

?????13 分

1 PH 2 ? 2 ? 在 Rt ?PBH 中, sin ?PBH ? PB 4 2

?????14 分

? BP 与平面 BCD 所成角的正弦值为
方 法 二 : 建 立 如 图

2 。 4
的 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

B(1, 0, 0), D(?1, 0, 0), C (0,

3 3 , ), P(0, 0,1) ???10 分 2 2
??11 分

??? ? ??? ? ? 3 3 ??? ? BP ? (?1, 0,1), CB ? (1, ? , ? ), BD ? (?2, 0, 0) 2 2
设平面 BCD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

?

? ??? ? ? ? ?n ? CB ? 0 ? x ? 3 y ? 3 z ? 0 ? 则 ? ? ??? ,取 n ? (0, ? 3,1) ?12 分 ?? ? 2 2 ?n ? BD ? 0 ??2 x ? 0 ? ? ??? ? ? ??? ? ? | BP ? n | 2 ? ? ? 设 BP 与平面 BCD 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? BP , n ?|? ??? ????? | BP | ? | n | 4
14 分

? BP 与平面 BCD 所成角的正弦值为
19. (本小题满分 14 分)

2 。 4

解: (Ⅰ)设此抛物线的方程为 y ? 2 px
2

?????1 分

8

? 椭圆的右焦点为 (5 3,0) ?

p ? 5 3 即 p ? 10 3 2
?????3 分

?????2 分

? 此抛物线的方程为 y 2 ? 20 3x

(Ⅱ) A(0,5), B(?6, ?4), C (6, ?4)

?????4 分

要使四边形 ABCP 为梯形,当且仅当 CP || AB

? k AB ?
把y?

3 3 3 ? 直线 CP 的方程为 y ? 4 ? ( x ? 6) 即 y ? x ? 13 2 2 2

?????5 分

3 x2 y 2 x ? 13 代入 ? ? 1 得: 5x 2 ? 78x ? 288 ? 0 ?????6 分 2 100 25

解得: x ? 6 或

48 (由韦达定理求得也可)?????7 分 5

? P(

48 7 , ) ?????8 分 5 5

(Ⅲ)方法一:设 P( x, y) ,易知 BA ? (6,9), BC ? (12,0), BP ? ( x ? 6, y ? 4)

??? ?

??? ?

??? ?

? BP ? m ? BA ? n ? BC ? x ? 6 ? 6m ? 12n, y ? 4 ? 9m ?????9 分
则m ?

y?4 3x ? 2 y ? 10 3x ? 2 y ? 26 ,n ? ,m ? n ? 9 36 36

?????10 分

?3x ? 2 y ? t ? 2 2 2 y2 令 3x ? 2 y ? t ,由 ? x 消 y 得: 10 x ? 6tx ? t ? 100 ? 0 ? ?1 ? ?100 25


?????11 分

??0





36t 2 ? 40(t 2 ?100) ? 0



t 2 ? 1000

?????12 分 ? ? 0 1 0? ? 1 0 1 0 1 t

? (m ? n)max ?

10 10 ? 26 5 10 ? 13 ? , ?????13 分 36 18 10 10 ) 即 P(3 10, 2 2
?????14 分

此时 x ? 3 10, y ?

方法二:设 P( x, y) ,易知 BA ? (6,9), BC ? (12,0), BP ? ( x ? 6, y ? 4)

??? ?

??? ?

??? ?

? BP ? m ? BA ? n ? BC ? x ? 6 ? 6m ? 12n, y ? 4 ? 9m
则m ?

?????9 分 ?????10 分

y?4 3x ? 2 y ? 10 3x ? 2 y ? 26 ,n ? ,m ? n ? 9 36 36

9

由 P( x, y) 在

? x ? 10cos ? x2 y 2 ? ? 1 上可设 ? , ? 为参数, 0 ? ? ? 2? ) ( 100 25 ? y ? 5sin ?

?3x ? 2 y ? 30cos? ?10sin ? ? 10 10 cos(? ? ? ) , ?????11 分
其中 cos ? ?

3 10 10 ,sin ? ? ( ? 为锐角) 10 10

?(3x ? 2 y)max ? 10 10 , ?????12 分
? (m ? n)max ? 10 10 ? 26 5 10 ? 13 ? 36 18
?????13 分

此时 ? ? ? ,即 x ? 3 10, y ? 20. (本小题满分 14 分)

10 10 即 P(3 10, ) 2 2

?????14 分

解: (Ⅰ)方法一:由 Sn?1 ? 3Sn 得:数列 {Sn } 是等比数列,公比为 3,首项为 1????2 分

? Sn ? 1? 3n?1 ? 3n?1

?????3 分 ?????4 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3n?1 ? 3n?2 ? 2 ? 3n?2

?1 (n ? 1) ? an ? ? n ? 2 ?????5 分 (n ? 2) ?2 ? 3
方法二:? Sn?1 ? 3Sn ,? Sn ? 3Sn?1 (n ? 2) 以上两式相减得: an?1 ? 3an

(n ? 2) , ?????2 分

在 Sn?1 ? 3Sn 中,取 n ? 1 得: a1 ? a2 ? 3a1 即 a2 ? 2a1 ? 2 , ?????3 分

?

a2 ?2?3 a1
?????4 分

?{an } 为第二项起的等比数列,公比为 3
?1 (n ? 1) ? an ? ? n ? 2 (n ? 2) ?2 ? 3
(Ⅱ)令 bn ?

?????5 分

n(n ? 1) an

10

由(Ⅰ)知: {an } 为第二项起的等比数列,公比为 3, a2 ? 2t

? 当 n ? 2 时, an ? 2t ? 3n?2 , bn ?

n( n ? 1) ?????6 分 2t ? 3n ? 2 (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)(1 ? n) bn ?1 ? bn ? ? ? ?????7 分 2t ? 3n ?1 2t ? 3n ?2 t ? 3n ?1

① 若 t ? 0 , 则 bn?1 ? bn ? 0 即 bn?1 ? bn (n ? 2) ? 数 列 {bn } 是 从 第 二 项 起 的 递 减 数 列 ??8 分

2 3 , b2 ? , b2 ? b1 t t 3 ? (bn ) max ? b2 ? ?????9 分 t
而 b1 ?

? 对任意 n ? N * ,都有 ? ?

n(n ? 1) an

?? ?

3 t

?????10 分

② 若 t ? 0 , 则 bn?1 ? bn ? 0 即 bn?1 ? bn (n ? 2) 列 ??11 分 而 b1 ?

? 数 列 {bn } 是 从 第 二 项 起 的 递 增 数

2 n( n ? 1) ? 0 ,当 n ? 2 时, bn ? ?0 t 2t ? 3n ? 2

当且仅当 x ?

1 即 x ? 1 时,等号成立 x

?????3 分

? 当 x ? 1 时, f ( x) 的最小值为 4
(Ⅱ)? x ? 0 ,其中 ? 、 ? 为正常数,? ( ) ? 0, (
?

?

?
y

x

)? ? 0

1 ? ? 1 ? ? ? ? ? [( )? ? ( )? ]2 ? [2 ( )? ( ) ? ]2 ? ( )? ( ) ? 4 x y 4 x y x y

?????5 分

11

? ? ,令 f ' ( x) ? 0 得: 0 ? x ? ?????8 分 ? ? ? ? ? f ( x) 的增函数区间是 ( , ?? ) ,减函数区间是 (0, ) ?????9 分 ? ?
令 f ' ( x) ? 0 得: x ?

1 1 1 ? (1 ? ) ? ? (1 ? x)? ? ? (1 ? ) ? ?1 ? (? 2 ) ?????6 分 x x x 1 ? ?1 1 1 ? (1 ? x)? ?1 ? (1 ? ) ? [? (1 ? ) ? (1 ? x) ? (? 2 )] x x x 1 1? x ? (1 ? x)? ?1 ? (1 ? ) ? ?1 ? 2 (? x ? ? ) ?????7 分 x x 1 ? ?1 1 ? x ? ?1 由 x ? 0 , ? 、 ? 为正常数,得 (1 ? x) ? (1 ? ) ? 2 ? 0 x x
又 f ( x) ? ? (1 ? x)
'

? ?1

? f ( x) 在 x ?

? ? ? ?? ? ? ?? ? ) ( ) 处取得最小值, f ( x) min ? f ( ) ? ( ? ? ? ?
?????12 分

?????10 分

? y ? f ( ) ? f ( ) ( x ? 0, y ? 0 ) ? x
?(

? ?? ? ? ?? ? x? y ? x? y ? ) ( ) ?( ) ( ) ? ? x y

?????13 分

整理得: (

? ??

)? ? ? ? ( )? ( ) ? x? y x y

?

?

?????14 分

12


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