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对一道2002年高考试题的质疑的商榷

时间:2014-08-06


2003 年第 11 期               数学通讯

43

对一道 2002 年高考试题的质疑的商榷
李克全
( 高阳中学 , 河北   071500)

中图分类号 :O12 - 44      文献标识码 :A      文章编号 :0488 - 7395 ( 2003) 11 - 0043 - 02

   文 [ 1 ] 对 2002 年高招文史类第 22 题的 解法和答案展示了自己的见解 , 其中有一个 说法欠妥 . 原文是 “ : 按题 目要求 , 图 1 剪拼成正三 棱锥模型 , 其方法是唯一 的 , 即沿正三角形之三条 中位线折起 , 可拼一个正 三棱锥 ( 如图 1 ) . ” 实际 图1  三角形 上按要求剪拼成的正三 棱锥不是唯一的 , 可有多种剪拼方法 . 下面按 文 [ 1 ]的思路给出两种方法 . 如图 2 所示 , 设正三角形边长为 1 , 取正 三角形两腰 O M , ON 的四等分点 A , B , C 和 D , E , F; 分别引底边垂 线 , 垂足分别为 A 1 ,
B 1 , C1 , D 1 , E1 , F1 ;

个全等的等腰三角形的为侧面 , 图 1 中三角 形 O CD 为底面做成的正三棱锥符合条件 . 此时的正三棱锥的体积 V 锥 = 所给 V 锥 =
2 要小 . 96 14 , 比答案 384

另一种方法 . 如图
5 所示 , 将边长为 1 的

正三角形各边四等分 , 顺次过各点作三边之 平行线 , 可得 16 个全 1 等的边长为 的正三 4 图4  全等三角形 角形 , 其中一个做正三 棱锥的底面 , 将其余的 15 个正三角形的每一
1 3 × 的矩形 , 将此 15 个矩形拼 8 8 1 15 3 成 × 的长条矩形 . 如图 3 所示图形 . 8 8

个剪拼成

作 OO1 ⊥MN 于 O1 , OO1 交 CD 于 H , 将对 称 的 两 个 矩 形
CHO1 C1 , DHO1 D1 ;
图2  三角形的剪拼

四 个 梯 形 C1 CBB 1 ,
D 1 D EE1 , B 1 B A A 1 ,

E1 EFF1 和两个三角形 A 1 M A , F1 N F 剪拼

用上述方法可得符合条件的正三棱锥 . 若将边长为 1 的正 三角形 PQ R 的三边分成 n( n ≥ 2 , n ∈N + ) 等分 ( 如 1 图 6 ) , 即 PS = P T = ,
n

成一个

1 15 3 × 8 8

仿上述方 法 均 可 剪 拼 成 底面为三角形 PS T , 其面 积 为
2

图5  三角形

的长条矩形 , 再将 这一 长 条 矩 形 分 1 成三 个 全 等 的 图3  矩形 8 5 3 × 的矩形 ( 如 8 图 3) , 再将每一个矩形沿对角线分成两个全
1 5 3 等的直角三角形后拼成一个底为 高为 4 8 的三个全等的等腰三角形 ( 如图 4 ) , 以这三
收稿日期 :2003 - 04 - 02 作者简介 :

3 , 高 为 4 n2

3 6
2

n - 2 (n 24 n 2 ≥ 2 , n ∈N + ) 的符合条件的正三棱锥 . 按文 [ 1 ]所给方法将正三角形拼成三棱柱的体积 n - 2 , 体积为 V 锥 = g ( n ) = V 柱 = f ( n) = V锥 n2 - 2 (n≥ 2 , n ∈N + ) , 显然有 16 n 3 > V 柱 ,或 V 锥 < V 柱 .

44

数 学 通 讯               2003 年第 11 期

上述各法均是以整分等边三角形的边为 实现要求的 , 实际上 ( 如图 6) , PS = P T 可以 取 0 , 2 上的任意实数 , 即 PS = P T = x ( x 2 ∈ 0 , 2 ) , 可求得符合题目要求的正三棱 2
x 锥的体积 V 锥 = g ( x ) =

1 - 2 x2 ,(x ∈ 24

1 上为单调增函 2 1 数 , 在 1 , 2 上为单调减函数 , 在 x = 时 2 2 2 2 取得 最 大 值 , 值 域 为 0 , 2 . f ( x ) 在 96 96 6 上为单调增函数 , 在 6 2 上为单 0, , 6 6 2

导数可证明 : g ( x ) 在 0 ,

2 ) , 正三棱柱的体积 V = f ( x ) = 柱 2 2 x (1 - 2 x ) ( x ∈ 16 0, 0, 2 ) ,用 2

调减函数 , 在 x =

6 3 时取得最大值 , 值域 6 144

为 0 , 3 . 显然有 : V 锥 > V 柱 或 V 锥 < V 柱 144 或 V 锥 = V 柱 . 当然从实际操作来说 , 整分正 三角形的边可操作性较好 , 否则操作性较差 .
参考文献 : [ 1 ]王国平 . 对一道 2002 年高招试题的质疑 , 数学通 讯 , 2003 ( 3)

图6  三角形

华中师范大学校庆启事
历经百年沧桑 , 铸就世纪辉煌 . 2003 年 10 月 8 日 , 华中师范大学将迎来百年 校庆 . 这是学校和学院发展史上一个重要里程碑 , 也是全体师生员工和广大校友 的一件盛事 . 学校和学院将以 “弘扬传统 , 再创辉煌” 为主题 , 通过开展隆重 、 热列 、 俭朴 、 务实的丰富多彩的校庆活动 , 弘扬优良传统 , 展示光辉成就 , 树立良好形象 , 凝聚力量 , 开拓创新 , 促进各项事业再上一个新的台阶 . 届时 , 我们诚邀关心和支 持华中师范大学数学与统计学学院的各级领导 、 系友 、 社会各界人士和朋友们拨 冗光临 . 目前 , 校庆的各项准备工作己经开始 , 我们恳请广大系友 ( 包括数学系各 类毕业生) 积极与我们联系 , 以便我们及时寄发邀请函 .

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华中师范大学数学与统计学学院 ( 原数学系) 2003 年 5 月 13 日


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