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【优化方案】2012高中数学

时间:2012-04-16


1.2.2

空间两条直线的位置关系

学习目标 1.掌握理解公理4及其他定理; 2.理解并掌握异面直线及异面直线所成的角 的概念; 3.掌握空间两条直线的位置关系,求异面直 线所成的角,用反证法证明命题的方法与步

骤.

1.2.2

空 间 两 条 直 线 的 位 置 关 系

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 无限延展性,不可度 1.平面的本质特征是___________________ 量性 _____. A∈α,B∈α, 2.公理1的符号语言表达为:____________ A∈l,B∈l?l?α ________________.

3.公理2是:过不在同一条直线上的三点,

有且只有一个平面.别忘了它还有三个推论
呢!

共线 共点 4.公理3是证明多个点_____或多线_____的
主要理论依据. 平行 5.平面几何中,两直线位置关系有_____和 相交 _____ .

知新益能

1.空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种: (1)从是否有公共点的角度:
?_________ ? ? 平行直线 ?没有公共点? ?_________ ? ? 异面直线 ? 相交直线 ?有且仅有一个公共点——_________

(2)从是否共面的角度:
?_________ ? ? 相交直线 ?在同一平面内? ? 平行直线 ? ? _________ ? 异面直线 ?不同在任何一平面内——_________

2.平行公理(公理 4):平行于同一条直线的 互相平行 两条直线_________, a∥b? ??a∥c. 符号表示: b∥c ?

3.异面直线 不同在任何一个平面内 (1)定义:_____________________的两条直 线叫做异面直线. (2)画法:图形表示为如图所示(通常用一个

或两个平面衬托).

(3)判定定理:过平面内一点与平面外一点

不经过该点 的直线,与这个平面内___________的直线
是异面直线. 符号表示:若l?α,A?α,B∈α,B?l,则 直线AB与l是异面直线.

思考感悟

1.若a?α,b?β,那么a与b一定是异面直线
吗?

提示:不一定.两直线是异面直线,则不同
在任何一个平面内.当a?α,b?β时,可能

存在平面γ,使a?γ且b?γ,即a与b共面.

4.等角定理 对应平行 空间中如果两个角的两边分别_________,那 相等 互补 么这两个角_____或_____. 5.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间 任一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′ 锐角 直角 与b′所成的_____(或_____)叫做异面直线a 与b所成的角(或夹角).

(0°, 90°] (2)异面直线所成的角θ的取值范围:___________.

90° a⊥b (3)当θ=____时,a与b互相垂直,记作_____.
思考感悟

2.怎样求两异面直线所成的角?
提示:求两异面直线所成的角需转化为两条相交

直线所成的角,即空间问题平面化,体现了转化
的数学思想方法.

课堂互动讲练

考点突破

平行公理、等角定理的应用 公理4常用来证明分别在两个不同平面的两
条直线平行,往往通过“中间量”即第三条

直线来实现;证明角相等,利用空间等角定
理是常用的思考方法.

例1

已知棱长为a的正方体ABCD-

A′B′C′D′中,M,N分别为CD,AD的 中点,求证四边形MNA′C′是梯形. 【思路点拨】 要证明一个四边形是梯形,

需找平行,由图可知A′N与C′M不可能平 行,需证MN∥A′C′.

【证明】

如图所示,连结 AC.

∵M,N 分别为 CD,AD 的中点, 1 ∴MN AC. 2 由正方体的性质知 AC A′C′, 1 ∴MN A′C′. 2 又由已知可知 A′N 与 C′M 不平行, ∴四边形 MNA′C′是梯形.

【名师点评】

证明两直线平行的方法:

①平行线的定义:在同一平面内没有公共点 的两直线是平行直线.

②利用三角形中位线平行于底边这一性质.
③利用公理4.

④利用平行四边形对边互相平行的性质.

变式训练1

如图所示,已知

E,F,G,H分别是空间四边
形ABCD的边AB,BC,CD,

DA的中点.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;

(2)若四边形EFGH是矩形,求证:AC⊥BD.

证明:(1)如图所示,连结 EF,FG,GH,HE, 在△ABD中,∵E,H分别 是AB,AD的中点,

∴EH∥BD,同理FG∥BD,
∴EH∥FG,∴E,F,G,H四点共面.

(2)由(1)知EH∥BD,同理GH∥AC.
又∵四边形EFGH是矩形,∴EH⊥GH, ∴AC⊥BD.

异面直线的判定 两条直线异面,有时看上去像平行,有时看 上去像相交,所以要仔细观察,培养空间想 象能力,尤其要学会判定两条直线异面的方 法.

例2

如图所示,在空间四边

形ABCD中,AB≠AC,AE是

△ABC的边BC上的高,DF是
△BCD的边BC上的中线,求证:AE和DF是

异面直线.
【思路点拨】 要证两条直线异面,可分别

用定理法及反证法证明.

【证明】 法一: (定理法)由题设条件可知点 E,F 不重合,设△BCD 所在的平面为 α,如 图所示.
?DF?α, ? ?A?α, ∴? ?E∈α, ? ?E?DF.

∴AE 和 DF 是异面直线.

法二:(反证法)若AE和DF不是异面直线, 则AE和DF共面,设过AE,DF的平面为β. ①若E,F重合,则E是BC的中点,从而有 AB=AC,这与题设AB≠AC相矛盾.

②若E,F不重合,∵B∈EF,C∈EF,
EF?β, ∴BC?β. 又A∈β,D∈β,∴A,B,C,D四点共面, 这与题设ABCD是空间四边形相矛盾.

综上,AE和DF不是异面直线不成立. 故AE和DF是异面直线. 【名师点评】 证明两条直线为异面直线,

方法主要有两种: (1)定理法,即:a?α,A?α,B∈α,B?a? 直线a与AB是异面直线.(2)反证法.

变式训练2

如图,在长方体

ABCD-A1B1C1D1中,判断下
列直线的位置关系.

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是______;
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是______; (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是______; (4)直线AB与直线B1C的位置关系是______.

解析:(1)∵A1D1

BC,∴A1BCD1为平行四边

形,
∴A1B∥D1C; (2)A1B与B1C不同在任何一个平面内,∴异面; (3)∵D1D∩D1C=D1,∴D1D与D1C相交; (4)AB与B1C不同在任何一个平面内,∴异面.

答案:平行

异面

相交

异面

求异面直线所成的角 求异面直线所成的角,关键是寻找出相应的 平行线所成的角,进而构造出某个三角形, 看作求此三角形一内角的问题.
例3

(本题满分14分)在正方体ABCD-A1B1

C1D1中,求异面直线AC1与B1D1所成的角.

【思路点拨】
【规范解答】

找?作?平行线 → 指出所求的角 → 求角

法一:如图,连结

A1C1 交 B1D1 于 O,则 O 为 A1C1 的 中点,取 A1A 的中点 E,连结 EO, 1 则 EO AC . ???????4 分 2 1 ∴∠EOB1 为异面直线 AC1 与 B1D1 所成的角 (或其补角). ????????????6 分 设该正方体的棱长为 2a.

1 在△B1OE 中,B1O= B1D1= 2a, 2 B1E= A1E2+A1B2= 5a, 1 1 EO= AC1= 3a. 2 ∵EO2+B1O2=B1E2, ∴△B1OE 为直角三角形,∠EOB1=90° . ∴AC1 与 B1D1 所成的角为 90° ??14 分 .

法二:如图,在正方体的右 侧补上一个同样大小的正方 体 BF1,??????4 分 连结 C1E1,AE1,∵C1E1 B1D1,∴∠AC1E1 为异面直线 AC1 与 B1D1 所成的角(或其补角). ?????????????????6 分 设正方体棱长为 2a,易得 C1E1=2 2a,AC1 =2 3a,AE1=2 5a. 2 2 2 验证知:AE1 =AC1 +C1E1 ,∴∠AC1E1= 90° . ∴AC1 与 B1D1 所成的角为 90° ???14 分 .

【名师点评】

(1)求两条异面直线所成的角

的数学思想是化空间为平面,也就是通过平 移直线至相交位置求角,它是立体几何问题 的一个难点,找异面直线所成的角时可综合

运用多种方法,总结起来有如下“口诀”:
中点、端点定顶点,平移常用中位线; 平行四边形柱中见,指出成角很关键; 求角构造三角形,锐角、钝角要明辨; 平行线若在外,补上原体在外边.

(2)求两异面直线所成角的基本步骤是:

变式训练 3

如图所示,在等腰直角三角形

ABC 中,∠BAC=90° ,BC= 2,DA⊥AC, DA⊥AB.若 DA=1,且 E 为 DA 的中点,求 异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值.

解:如图,取 AC 的中点 F,连结 EF 和 BF. 在△ACD 中,E、F 分别是 AD、 AC 的中点,∴EF∥CD, ∴∠BEF 和其补角当中的较小角即为异面直 线 BE 与 CD 所成的角. 又∵△ABC 为等腰直角三角形,且 BC= 2, DA=1, 1 1 ∴在 Rt△EAB 中,AB=1,AE= AD= , 2 2 5 ∴BE= . 2

在 Rt△AEF 中,∵AC=1, 1 1 2 ∴AF= ,AE= ,∴EF= . 2 2 2 1 5 在 Rt△ABF 中,∵AB=1,AF= ,∴BF= . 2 2 1 2 EF 2 4 10 在等腰三角形 EBF 中,cos∠FEB= = = . BE 10 5 2 10 故异面直线 BE 与 CD 所成的角的余弦值为 . 10

方法感悟 1.判定两条直线平行的方法:

一是在同一平面内判断它们不相交;二是在
空间寻找与两已知直线都平行的直线.

2.判定空间两条直线是异面直线的方法:
(1)定理法;(2)反证法.

3.求异面直线所成角的方法是平移法,一

般步骤是:(1)根据定义作出或找出两异面
直线所成的角;(2)使该角为某个三角形的

内角;(3)解这个三角形来求角,并时刻注
意异面直线所成角的取值范围.若解三角形 求出的是钝角,应取它的补角作为异面直线 所成的角.


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