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2017学年数学必修三:3.1.1 随机事件的概率_图文

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第三章 概



3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率

【知识提炼】 1.事件的概念与分类 一定会发生 的事件 必然事件:在条件S下,___________ 确定事件 事件

一定不会发生 的事件 不可能事件:在条件S下,_____________

可能发生也可能不发生 的事件 随机事件:在条件S下_____________________

2.频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试 次数nA 为事件A出现的频数,称事件A出现的比例 验中事件A出现的______ fn(A)= n A 为事件A出现的频率.
n

3.概率 可能性大小 的量. (1)含义:概率是度量随机事件发生的___________ 频率fn(A) (2)与频率的联系:对于给定的随机事件A,事件A发生的_________ 频率fn(A) 来估 概率P(A) ,因此可以用_________ 随着试验次数的增加稳定于_________ 概率P(A) 计_________.

【即时小测】 1.思考下列问题: (1)事件的分类是确定的吗? 提示:事件的分类是相对于条件来讲的,在条件变化时,必然事件、 随机事件、不可能事件可以相互转化. (2)频率和概率可以相等吗? 提示:可以相等.但因为每次实验的频率是多少是不固定的,而概率 是固定的,故一般是不相等的,但有可能是相等的 .

2.下列事件是确定事件是的

(

)

A.2018年世界杯足球赛期间不下雨 B.没有水,种子发芽 C.对任意x∈R,有x+1>2x D.抛掷一枚硬币,正面朝上 【解析】选B.选项A,C,D均是随机事件,选项B是不可能事件,所以 也是确定事件.

3.下列事件中,是随机事件的是

(

)

A.长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形 B.长度为2,3,4的三条线段可以构成一直角三角形 C.方程x2+2x+3=0有两个不相等的实根 D.函数y=logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数 【解析】选D.A为必然事件,B,C为不可能事件.

4.下列说法正确的是

(

)

A.任一事件的概率总在(0,1)内 B.不可能事件的概率不一定为0 C.必然事件的概率一定为1 D.以上均不对 【解析】选C.任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为0, 必然事件的概率为1.

5.某射击运动员射击20次,恰有18次击中目标,则该运动员击中目标 的频率是 .
20

【解析】设击中目标为事件A,则n=20,nA=18,则f20(A)= 18 =0.9. 答案:0.9

【知识探究】 知识点1 事件的分类

观察图形,回答下列问题:

问题1:以上三个事件一定发生吗? 问题2:事件分哪几类?怎样判断?

【总结提升】 1.事件的分类及三种事件

2.对事件分类的两个关键点 (1)条件:在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的,没有条件, 无法判断事件是否发生. (2)结果发生与否:有时结果较复杂,要准确理解结果包含的各种情 况.

知识点2

频率与概率

阅读下面的试验,回答问题: 小明同学为验证掷硬币一次出现正面的概率为0.5 的猜想,特将质地均匀的一元硬币抛掷了100次. 问题1:小明所掷的100次中正面向上的次数一定是 50次吗? 问题2:频率与概率有什么联系与区别?

【总结提升】 频率与概率的联系与区别 名称 区别 本身是随机的,在试验之前 无法确定,大多会随着试验 次数的改变而改变.做同样次 数的重复试验,得到的频率 值也可能会不同 是一个[0,1]中的确定值, 不随试验结果的改变而改变 联系

频率

概率

1.频率是概率的近似值,随 着试验次数的增加,频率会 越来越接近概率. 2.在实际问题中,事件的概 率通常情况下是未知的,常 用频率估计概率.

【题型探究】 类型一 事件的判断

【典例】在下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是 随机事件: ①如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;②从分别标有1,2,3,4,5, 6的6张签中任取一张,得到4号签;③没有空气,种子发芽;④某电 话总机在60秒内接到至少15个电话;⑤在标准大气压下,水的温度达 到50℃时会沸腾;⑥同性电荷,相互排斥.

【解题探究】典例中如何判断一个事件是必然事件、不可能事件、随

机事件?
提示:典例中判断一个事件可根据相应事件的定义来判断 .

【解析】由实数的运算性质知①恒成立;由物理知识知同性电荷相斥,
即⑥恒成立,故①⑥是必然事件.没有空气,种子不会发芽;标准大 气压下,水的温度达到50℃时不会沸腾,故③⑤是不可能事件.从6张 签中任取一张,可能取出4号签,也可能取不到4号签;电话总机在60 秒内可能接到至少15个电话,也可能接不到15个电话,故②④是随机 事件.

【方法技巧】绘制频率分布直方图的注意事项 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件,首先一定要看 条件,其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不 一定发生(随机事件),还是一定不会发生(不可能事件).

【变式训练】指出下列事件哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些 是随机事件? (1)函数f(x)=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称. (2)某人给其朋友打电话,却忘记了朋友电话号码的最后一个数字, 就随意拨了一个数字,恰巧是朋友的电话号码. (3)直线y=kx+6是定义在R上的增函数. (4)若|a+b|=|a|+|b|,则a,b同号.

【解析】必然事件有(1);随机事件有(2),(3),(4).对于(4),当 |a+b|=|a|+|b|时,有两种可能:一种可能是a,b同号,即ab>0,另 外一种可能是a,b中至少有一个为0,即ab=0.

类型二

利用频率与概率的关系求概率

【典例】1.样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频 率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 据落在[6,10)内的概率约为 . ,数

2.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支,该公司对这些灯 管的使用寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如表所示:
分组
频数 频率

[500,900)
48

[900,1 100)
121

[1 100,1 300)
208

[1 300,1 500)
223

[1 500,1 700)
193

[1 700,1 900)
165

[1 900,+∞)
42

(1)将各组的频率填入表中. (2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1500小时的概率.

【解题探究】1.典例1中频率分布直方图的纵轴表示什么?组距是 多少? 提示:纵轴表示
频率 , 组距是4. 组距

2.典例2中如何计算频率?当试验次数较多时,频率是否就是概率? 提示:频率= n A . 当试验次数较多时,频率很接近概率,但一般不等
n

于概率.

【解析】1.由题干图易知组距为4,故样本数据落在[6,10)内的频率 为0.08×4=0.32,频数为0.32×200=64,所以估计数据落在[6,10) 内的概率约为0.32. 答案:64 0.32

2.(1)频率依次是:0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,
0.042. (2)样本中寿命不足1500小时的频数是48+121+208+223=600,所以样 本中寿命不足1500小时的频率是
600 =0.6. 1000

即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.

【延伸探究】若典题2中得到的统计表部分数据丢失,请补充完整, 并回答问题.

分组
频数 频率

[500,900)
48

[900,1 100)

[1 100,1 300)
208

0.121

[1 300,1 500)

[1 500,1 700)

[1 700,1 900)

[1 900,+∞)

223

193
0.165

若灯管使用寿命不小于1100小时为合格,求合格率.

【解析】
分组 频数 [500,900) 48 [900,1 100) 121 [1 100,1 300) 208

频率

0.048

0.121 [1 700,1 900) 165
0.165

0.208 [1 900,+∞) 42
0.042

[1 300,1 500) 223
0.223

[1 500,1 700) 193
0.193

合格率为0.208+0.223+0.193+0.165+0.042=0.831.

【方法技巧】随机事件概率的理解及求法 (1)理解:概率可看作频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机 事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时,频率越来越趋 近于概率.当次数足够多时,所得频率就近似地看作随机事件的概率. (2)求法:通过公式fn(A)= n A = m 计算出频率,再由频率估算概率.
n n

【变式训练】国家乒乓球比赛的用球有严格标准,下面是有关部门对 某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测,结果如表所示:

抽取球数目
优等品数目 优等品频率

50
45

100
92

200
194

500
470

1 000
954

2 000
1 902

(1)计算表中优等品的各个频率.
(2)从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是

多少?

【解析】(1)如表 抽取球数目 优等品数目 50 45 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902

优等品频率

0.9

0.92

0.97

0.94

0.954

0.951

(2)根据频率与概率的关系,可以认为从这批产品中任取一个乒乓球, 质量检测为优等品的概率约是0.95.

【补偿训练】(2014·济宁高一检测)已知40个同学,他们有的步行上 学,有的骑车上学,还有的乘车上学. (1)根据已知信息完成下表. 上学方式 “正”字法记录 频数 频率 (2)试估计40个同学中任意一名同学不步行上学的概率. 步行 正正正 10 0.375 骑车 乘车

【解题指南】解题时要注意公式“频率=
定义解题.

频数 ”,抓住频率的 试验次数

【解析】(1)步行的频数是15,频率是 15 =0.375;
骑车的频数是10,则频率是 10 =0.25;
40 40

乘车的频率是0.375,则频数是40×0.375=15.

如表所示:
上学方式 步行 骑车 乘车

“正”字法记录
频数 频率

正正正
15 0.375

正正
10 0.25

正正正
15 0.375

(2)不步行上学包括骑车和乘车两种情形,由(1)可估计其概率为 0.25+0.375=0.625.

类型三

试验与重复试验的结果分析

【典例】下列随机事件中,一次试验各指什么?试写出试验的所有结 果. (1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次. (2)从集合A={a,b,c,d}中任取3个元素组成集合A的子集.

【解题探究】典例中的事件怎样才算完成一次试验? 提示:(1)中的一次试验指的是抛掷两枚质地均匀的硬币一次; (2)中 一次试验指的是从集合A={a,b,c,d}中任取3个元素组成一个子集.

【解析】(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”,试验 的可能结果有4个:(正,反),(正,正),(反,反),(反,正). (2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成一个子集”,试 验的结果共有4个:{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}.

【延伸探究】若本例(2)中改为任取2个元素呢? 【解析】一次试验是指“从集合A中一次选取2个元素”,试验的结果 有{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}.

【方法技巧】不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法 (1)结果是相对于条件而言的,要弄清试验的结果,必须首先明确试 验中的条件. (2)根据日常生活经验,按照一定的顺序列举出所有可能的结果,可 应用画树状图、列表等方法解决.

【变式训练】袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出
以下随机试验的条件和结果. (1)从中任取1球. (2)从中任取2球. 【解析】(1)条件为:从袋中任取1球.结果为:红、白、黄、黑4种. (2)条件为:从袋中任取2球.若记(红,白)表示一次试验中,取出的 是红球与白球,结果为:(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄), (白,黑),(黄,黑)6种.

【补偿训练】先后抛掷两枚骰子,至少有一个点数1出现的结果有 ( A.4种 B.6种 C.8种 D.11种 )

【解题指南】分别考虑第一枚点数为1及第二枚点数是1,将含有点数 1的结果一一列出. 【解析】选D.含有点数1的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1, 5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),共11种.

易错案例

事件类型判断问题

【典例】(2015·汕头高一检测)从12个同类产品(其中10个是正品,2

个是次品)中任意抽取3个的必然事件是
A.3个都是正品

(

)

B.至少有1个是次品

C.3个都是次品

D.至少有1个是正品

【失误案例】

【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:两种错误解法的关键是未分析取出的产品的构成情况,而是凭 经验,想当然认为.

【自我矫正】选D.任意抽取3件的可能情况是:3个正品;2个正品1个 次品;1个正品2个次品.由于只有 2个次品,不会有3个次品的情况 .3

种可能的结果中,都至少有1个正品,所以至少有1个是正品是必然发
生的,必然事件应该是“至少有1个是正品”.

【防范措施】试验结果分析及判断技巧 (1)准确理解必然事件,不可能事件和随机事件的含义是判断事件类 型的关键. (2)在试验中,当结果可能不唯一时,要判断事件类型,必须把握所 有的可能结果,才能正确判断.


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