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2014陕西高考数学卷及详细解析

时间:2014-08-21


2014 年陕西省高考数学试卷(理科)

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2014 年陕西省高考数学试卷(理科)
一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分) (2014?陕西)设集合 M={x|x≥0,x∈R},N={x|x <1,x∈R},则 M∩ N=( ) A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1) 2. (5 分) (2014?陕西)函数 f(x)=cos(2x﹣ A. B.π )的最小正周期是( C.2π ) D.4π
2

3. (5 分) (2014?陕西)定积分 A.e+2

(2x+e )dx 的值为( C .e

x

) D.e﹣1 )

B.e+1

4. (5 分) (2014?陕西)根据如图框图,对大于 2 的正数 N,输出的数列的通项公式是(

A.an=2n

B.an=2(n﹣1)

C.an=2n

D.an=2n

﹣1

5. (5 分) (2014?陕西) 已知底面边长为 1, 侧棱长为 A. B.4π

的正四棱柱的各顶点均在同一球面上, 则该球的体积为 ( C.2π D.



6. (5 分) (2014?陕西)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方形 边长的概率为( ) A. B. C. D.

7. (5 分) (2014?陕西)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( ) 3 x A. B.f(x)=x C. D.f(x)=3 x f(x)=( ) f(x)=x 8. (5 分) (2014?陕西)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性 的判断依次如下,正确的是( )
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www.jyeoo.com A.真,假,真

B.假,假,真

C.真,真,假

D.假,假,假

9. (5 分) (2014?陕西)设样本数据 x1,x2,…,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i=1, 2,…,10) ,则 y1,y2,…,y10 的均值和方差分别为( ) A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a 10. (5 分) (2014?陕西)如图,某飞行器在 4 千米高空飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处开始下降,已知 下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )

A.

y=

﹣ x

B.

y=

x﹣ x

3

C.

y=

x ﹣x

3

D. y=﹣

x+ x

3

二、填空题(考生注意:请在 15、16、17 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,共 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分) a 11. (5 分) (2014?陕西)已知 4 =2,lgx=a,则 x= _________ . 12. (5 分) (2014?陕西) 若圆 C 的半径为 1, 其圆心与点 (1, 0) 关于直线 y=x 对称, 则圆 C 的标准方程为 _________ . 13. (5 分) (2014?陕西)设 0<θ< ,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(cosθ,1) ,若 ∥ ,则 tanθ= _________ .

14. (5 分) (2014?陕西)观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 5 6 9 三棱柱 6 6 10 五棱锥 6 8 12 立方体 猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是 _________ . (不等式选做题) 15. (5 分) (2014?陕西)设 a,b,m,n∈R,且 a +b =5,ma+nb=5,则
2 2

的最小值为 _________ .

(几何证明选做题) 16. (2014?陕西)如图,△ ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F,若 AC=2AE,则 EF= _________ .

(坐标系与参数方程选做题)

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www.jyeoo.com 17. (2014?陕西)在极坐标系中,点(2, )到直线 ρsin(θ﹣ )=1 的距离是 _________ .

三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤(共 6 小题,满分 75 分) 18. (12 分) (2014?陕西)△ ABC 的内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c. (Ⅰ )若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ )若 a,b,c 成等比数列,求 cosB 的最小值. 19. (12 分) (2014?陕西)如图 1,四面体 ABCD 及其三视图(如图 2 所示) ,过棱 AB 的中点 E 作平行于 AD,BC 的平面分别交四面体的棱 BD,DC,CA 于点 F,G,H. (Ⅰ )证明:四边形 EFGH 是矩形; (Ⅱ )求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 θ 的正弦值.

20. (12 分) (2014?陕西)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) ,点 P(x,y)在△ ABC 三边围成的区域(含边界)上. (Ⅰ )若 (Ⅱ )设 + =m + +n = ,求| |;

(m,n∈R) ,用 x,y 表示 m﹣n,并求 m﹣n 的最大值.

21. (12 分) (2014?陕西)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上的 产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 500 作物产量 300 (kg) 0.5 0.5 概率 作物市场价 6 格(元/kg) 0.4 概率 10 0.6

(Ⅰ )设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (Ⅱ )若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率.

22. (13 分) (2014?陕西)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1:

+

=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线 C2:y=﹣x +1

2

(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为



(Ⅰ ) 求 a,b 的值; (Ⅱ )过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B) ,若 AP⊥ AQ,求直线 l 的方程.

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23. (14 分) (2014?陕西)设函数 f(x)=ln(1+x) ,g(x)=xf′ (x) ,x≥0,其中 f′ (x)是 f(x)的导函数. (Ⅰ )令 g1(x)=g(x) ,gn+1(x)=g(gn(x) ) ,n∈N+,求 gn(x)的表达式; (Ⅱ )若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ )设 n∈N+,比较 g(1)+g(2)+…+g(n)与 n﹣f(n)的大小,并加以证明.

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2014 年陕西省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 2 1. (5 分) (2014?陕西)设集合 M={x|x≥0,x∈R},N={x|x <1,x∈R},则 M∩ N=( ) A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1) 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 集合. 先解出集合 N,再求两集合的交即可得出正确选项.
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解:∵ M={x|x≥0,x∈R},N={x|x <1,x∈R}={x|﹣1<x<1,x∈R}, ∴ M∩ N=[0,1) . 故选 B. 点评: 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键.

2

2. (5 分) (2014?陕西)函数 f(x)=cos(2x﹣ A. B.π

)的最小正周期是( C.2π

) D.4π

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意得 ω=2,再代入复合三角函数的周期公式
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求解.

解答:

解:根据复合三角函数的周期公式 函数 f(x)=cos(2x﹣ 故选 B.

得,

)的最小正周期是 π,

点评:

本题考查了三角函数的周期性,以及复合三角函数的周期公式

应用,属于基础题.

3. (5 分) (2014?陕西)定积分 A.e+2 考点: 专题: 分析: 解答:

(2x+e )dx 的值为( C .e

x

) D.e﹣1

B.e+1 定积分. 导数的概念及应用. 根据微积分基本定理计算即可
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解:

(2x+e )dx=(x +e )

x

2

x

=(1+e)﹣(0+e )=e.

0

故选:C. 点评: 本题主要考查了微积分基本定理,关键是求出原函数. 4. (5 分) (2014?陕西)根据如图框图,对大于 2 的正数 N,输出的数列的通项公式是(
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A.an=2n 考点: 专题: 分析: 解答:

B.an=2(n﹣1)

C.an=2n

D.an=2n

﹣1

程序框图. 算法和程序框图. 根据框图的流程判断递推关系式,根据递推关系式与首项求出数列的通项公式.
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解:由程序框图知:ai+1=2ai,a1=2, n ∴ 数列为公比为 2 的等边数列,∴ an=2 . 故选:C. 点评: 本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键. 5. (5 分) (2014?陕西) 已知底面边长为 1, 侧棱长为 A. B.4π 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上, 则该球的体积为 ( C.2π D. )

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由长方体的对角线公式,算出正四棱柱体对角线的长,从而得到球直径长,得球半径 R=1,最后根据球的 体积公式,可算出此球的体积. 解答: 解:∵ 正四棱柱的底面边长为 1,侧棱长为 , ∴ 正四棱柱体对角线的长为 =2 又∵ 正四棱柱的顶点在同一球面上, ∴ 正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径,得球半径 R=1
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根据球的体积公式,得此球的体积为 V= πR = π. 故选:D. 点评: 本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长,求该球的体积,考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公 式和球的体积公式等知识,属于基础题. 6. (5 分) (2014?陕西)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方形 边长的概率为( ) A. B. C. D.

3

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 应用题;概率与统计;排列组合.

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www.jyeoo.com 分析: 设正方形边长为 1,则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共有 10 条线段,4 条长度为 1, 4 条长度为 ,两条长度为 ,即可得出结论.

解答: 解:设正方形边长为 1,则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点,共有 10 条线段,4 条长度 为 1,4 条长度为 ∴ 所求概率为 ,两条长度为 ,

= .

故选:C. 点评: 本题考查概率的计算,列举基本事件是关键. 7. (5 分) (2014?陕西)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( ) 3 x A. B.f(x)=x C. D.f(x)=3 x f(x)=( ) f(x)=x 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对选项一一加以判断,先判断是否满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,然后考虑函数的单调性,即可得到答案. 解答: 解:A.f(x)= ,f(y)= ,f(x+y)= ,不满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,故 A 错;
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B.f(x)=x ,f(y)=y ,f(x+y)=(x+y) ,不满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,故 B 错; C.f(x)=
x

3

3

3

,f(y)=
y

,f(x+y)=
x+y

,满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,但 f(x)在

R 上是单调减函数,故 C 错. D.f(x)=3 ,f(y)=3 ,f(x+y)=3 ,满足 f(x+y)=f(x)f(y) ,且 f(x)在 R 上是单调增函数, 故 D 正确; 故选 D. 点评: 本题主要考查抽象函数的具体模型,同时考查幂函数和指数函数的单调性,是一道基础题. 8. (5 分) (2014?陕西)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性 的判断依次如下,正确的是( ) A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假 考点: 四种命题. 专题: 阅读型;简易逻辑. 分析: 根据共轭复数的定义判断命题的真假,根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假,再利用四种命题的真假 关系判断否命题与逆否命题的真假. 解答: 解:根据共轭复数的定义,命题“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”是真命题; 其逆命题是:“若|z1|=|z2|,则 z1,z2 互为共轭复数”,例|1|=|﹣1|,而 1 与﹣1 不是互为共轭复数,∴ 逆命题是 假命题; 根据否命题与逆命题是互为逆否命题,命题与其逆否命题同真同假, ∴ 命题的否命题是假命题;逆否命题是真命题. 故选:B. 点评: 本题考查了四种命题的定义及真假关系,考查了共轭复数的定义,熟练掌握四种命题的真假关系是解题的 关键.
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9. (5 分) (2014?陕西)设样本数据 x1,x2,…,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i=1, 2,…,10) ,则 y1,y2,…,y10 的均值和方差分别为( )
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www.jyeoo.com A.1+a,4

B.1+a,4+a

C.1,4

D.1,4+a

考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 方法 1:根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论. 方法 2:根据均值和方差的公式计算即可得到结论. 解答: 解:方法 1:∵ yi=xi+a, ∴ E(yi)=E(xi)+E(a)=1+a, 方差 D(yi)=D(xi)+E(a)=4. 方法 2:由题意知 yi=xi+a,
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则 =
2

(x1+x2+…+x10+10×a)=
2

(x1+x2+…+x10)= +a=1+a,
2 2

方差 s =

[(x1+a﹣( +a) +(x2+a﹣( +a) +…+(x10+a﹣( +a) ]=
2 2

[(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +…+

2

2

(x10﹣ ) ]=s =4. 故选:A. 点评: 本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系,若变量 y=ax+b,则 Ey=aEx+b,Dy=a2Dx,利用公式比较 简单或者使用均值和方差的公式进行计算. 10. (5 分) (2014?陕西)如图,某飞行器在 4 千米高空飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处开始下降,已知 下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )

A.

y=

﹣ x

B.

y=

x﹣ x

3

C.

y=

x ﹣x

3

D. y=﹣

x+ x

3

考点: 专题: 分析: 解答:

导数的几何意义;函数解析式的求解及常用方法. 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分别求出四个选项中的导数,验证在 x=±5 处的导数为 0 成立与否,即可得出函数的解析式. 解:由题意可得出,此三次函数在 x=±5 处的导数为 0,下依次特征寻找正确选项:
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A 选项,导数为 B 选项,导数为 C 选项,导数为 D 选项,导数为

,令其为 0 解得 x=±5,故 A 正确; ,令其为 0 解得 x=±5 不成立,故 B 错; ,令其为 0 解得 x=±5 不成立,故 C 错; ,令其为 0 解得 x=±5 不成立,故 D 错.

故 A. 点评: 本题考查导数的几何意义,导数几何意义是导数的重要应用. 二、填空题(考生注意:请在 15、16、17 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,共 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分) a 11. (5 分) (2014?陕西)已知 4 =2,lgx=a,则 x= .
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www.jyeoo.com 考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 化指数式为对数式求得 a,代入 lgx=a 后由对数的运算性质求得 x 的值. 解答: a 解:由 4 =2,得 ,
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再由 lgx=a= , 得 x= . 故答案为: . 点评: 本题考查了指数式与对数式的互化,考查了对数的运算性质,是基础题. 12. (5 分) (2014?陕西)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的标准方程为 x + 2 (y﹣1) =1 . 考点: 专题: 分析: 解答: 圆的标准方程. 直线与圆. 利用点(a,b)关于直线 y=x±k 的对称点为 (b,a) ,求出圆心,再根据半径求得圆的方程. 解:圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,可得圆心为(0,1) ,再根据半径等于 1,
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2

可得所求的圆的方程为 x +(y﹣1) =1, 2 2 故答案为:x +(y﹣1) =1. 点评: 本题主要考查求圆的标准方程,利用了点(a,b)关于直线 y=x±k 的对称点为 (b,a) ,属于基础题. 13. (5 分) (2014?陕西)设 0<θ< ,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(cosθ,1) ,若 ∥ ,则 tanθ= .

2

2

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出. 解答: 解:∵ ∥ ,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(cosθ,1) ,
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∴ sin2θ﹣cos θ=0, 2 ∴ 2sinθcosθ=cos θ, ∵ 0<θ< ∴ 2tanθ=1, ∴ tanθ= . 故答案为: . 点评: 本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式,属于基础题. 14. (5 分) (2014?陕西)观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 5 6 9 三棱柱 6 6 10 五棱锥 6 8 12 立方体 猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是 F+V﹣E=2 .
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2

,∴ cosθ≠0.

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www.jyeoo.com 考点: 归纳推理. 专题: 归纳法;推理和证明. 分析: 通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数 F、顶点数 V 和棱数 E,得到规律:F+V﹣E=2,进而发现此公式对任 意凸多面体都成立,由此得到本题的答案. 解答: 解:凸多面体的面数为 F、顶点数为 V 和棱数为 E, ① 正方体:F=6,V=8,E=12,得 F+V﹣E=8+6﹣12=2; ② 三棱柱:F=5,V=6,E=9,得 F+V﹣E=5+6﹣9=2; ③ 三棱锥:F=4,V=4,E=6,得 F+V﹣E=4+4﹣6=2. 根据以上几个例子,猜想:凸多面体的面数 F、顶点数 V 和棱数 E 满足如下关系:F+V﹣E=2 再通过举四棱锥、六棱柱、…等等,发现上述公式都成立. 因此归纳出一般结论:F+V﹣E=2 故答案为:F+V﹣E=2 点评: 本题由几个特殊多面体,观察它们的顶点数、面数和棱数,归纳出一般结论,得到欧拉公式,着重考查了 归纳推理和凸多面体的性质等知识,属于基础题.
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(不等式选做题) 15. (5 分) (2014?陕西)设 a,b,m,n∈R,且 a +b =5,ma+nb=5,则
2 2

的最小值为



考点: 专题: 分析: 解答:

基本不等式. 不等式的解法及应用.
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根据柯西不等式(a +b ) (c +d )≥(ac+bd) 当且仅当 ad=bc 取等号,问题即可解决. 解:由柯西不等式得, (ma+nb) ≤(m +n ) (a +b ) 2 2 ∵ a +b =5,ma+nb=5, 2 2 ∴ (m +n )≥5 ∴ 的最小值为
2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

故答案为: 点评: 本题主要考查了柯西不等式,属于中档题. (几何证明选做题) 16. (2014?陕西)如图,△ ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F,若 AC=2AE,则 EF= 3 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;几何证明. 分析: 证明△ AEF∽ △ ACB,可得
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,即可得出结论.

解答: 解:由题意,∵ 以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F, ∴ ∠ AEF=∠ C, ∵ ∠ EAF=∠ CAB,
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www.jyeoo.com ∴ △ AEF∽ △ ACB, ∴ ,

∵ BC=6,AC=2AE, ∴ EF=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查三角形相似的判定与运用,考查学生的计算能力,属于基础题. (坐标系与参数方程选做题) 17. (2014?陕西)在极坐标系中,点(2, )到直线 ρsin(θ﹣ )=1 的距离是 1 .

考点: 专题: 分析: 解答:

点的极坐标和直角坐标的互化. 坐标系和参数方程. 把极坐标化为直角坐标的方法,利用点到直线的距离公式求得结果. 解:根据极坐标和直角坐标的互化公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ,
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可得点(2,

)即(

,1) ; x﹣ y=1,即 x﹣ y﹣2=0, =1,

直线 ρsin(θ﹣ 故点(

)=1 即

,1)到直线 x﹣

y﹣2=0 的距离为

故答案为:1. 点评: 本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤(共 6 小题,满分 75 分) 18. (12 分) (2014?陕西)△ ABC 的内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c. (Ⅰ )若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ )若 a,b,c 成等比数列,求 cosB 的最小值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )由 a,b,c 成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用正弦定理化简,再利用诱导公式变形 即可得证; (Ⅱ )由 a,bc 成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,再利用余弦定理表示出 cosB,将得出的关系 式代入,并利用基本不等式变形即可确定出 cosB 的最小值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ a,b,c 成等差数列, ∴ 2b=a+c, 利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC, ∵ sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C) , ∴ sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C) ; (Ⅱ )∵ a,b,c 成等比数列, 2 ∴ b =ac,
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∴ cosB=

=



= ,

当且仅当 a=c 时等号成立,

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www.jyeoo.com ∴ cosB 的最小值为 . 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,等差、等比数列的性质,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理是解本题的 关键. 19. (12 分) (2014?陕西)如图 1,四面体 ABCD 及其三视图(如图 2 所示) ,过棱 AB 的中点 E 作平行于 AD,BC 的平面分别交四面体的棱 BD,DC,CA 于点 F,G,H. (Ⅰ )证明:四边形 EFGH 是矩形; (Ⅱ )求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 θ 的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间角. 分析: (Ⅰ )由三视图得到四面体 ABCD 的具体形状,然后利用线面平行的性质得到四边形 EFGH 的两组对边平 行,即可得四边形为平行四边形,再由线面垂直的判断和性质得到 AD⊥ BC,结合异面直线所成角的概念得 到 EF⊥ EH,从而证得结论;
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(Ⅱ )分别以 DB,DC,DA 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,求出所用点的坐标,求出 面 EFGH 的一个法向量 ,用

及平

与 所成角的余弦值的绝对值得直线 AB 与平面 EFGH 夹角 θ 的正弦值.

解答: (Ⅰ )证明:由三视图可知,四面体 ABCD 的底面 BDC 是以∠ BDC 为直角的等腰直角三角形, 且侧棱 AD⊥ 底面 BDC. 如图,

∵ AD∥ 平面 EFGH,平面 ADB∩ 平面 EFGH=EF,AD?平面 ABD, ∴ AD∥ EF. ∵ AD∥ 平面 EFGH,平面 ADC∩ 平面 EFGH=GH,AD?平面 ADC, ∴ AD∥ GH. 由平行公理可得 EF∥ GH. ∵ BC∥ 平面 EFGH,平面 DBC∩ 平面 EFGH=FG,BC?平面 BDC, ∴ BC∥ FG. ∵ BC∥ 平面 EFGH,平面 ABC∩ 平面 EFGH=EH,BC?平面 ABC, ∴ BC∥ EH. 由平行公理可得 FG∥ EH.
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www.jyeoo.com ∴ 四边形 EFGH 为平行四边形. 又 AD⊥ 平面 BDC,BC?平面 BDC, ∴ AD⊥ BC,则 EF⊥ EH. ∴ 四边形 EFGH 是矩形; (Ⅱ )解:分别以 DB,DC,DA 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 由三视图可知 DB=DC=2,DA=1. 又 E 为 AB 中点, ∴ F,G 分别为 DB,DC 中点. ∴ A(0,0,1) ,B(2,0,0) ,F(1,0,0) ,E(1,0, ) ,G(0,1,0) . 则 设平面 EFGH 的一个法向量为 . .



,得

,取 y=1,得 x=1.





则 sinθ=|cos<

>|=

=

=



点评: 本题考查了空间中的直线与直线的位置关系,考查了直线和平面所成的角,训练了利用空间直角坐标系求 线面角,解答磁体的关键在于建立正确的空间右手系,是中档题. 20. (12 分) (2014?陕西)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) ,点 P(x,y)在△ ABC 三边围成的区域(含边界)上. (Ⅰ )若 (Ⅱ )设 + =m + +n = ,求| |;

(m,n∈R) ,用 x,y 表示 m﹣n,并求 m﹣n 的最大值.

考点: 平面向量的基本定理及其意义;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ )先根据 + + = ,以及各点的坐标,求出点 p 的坐标,再根据向量模的公式,问题得以解决;
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(Ⅱ )利用向量的坐标运算,先求出 求出 m﹣n 的最小值. 解答:



,再根据

=m

+n

,表示出 m﹣n=y﹣x,最后结合图形,

解: (Ⅰ )∵ A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) ,

+

+

= ,

∴ (x﹣1,y﹣1)+(x﹣2,y﹣3)+(x﹣3,y﹣2)=0 ∴ 3x﹣6=0,3y﹣6=0 ∴ x=2,y=2, 即 ∴ =(2,2)

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www.jyeoo.com (Ⅱ )∵ A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) , ∴ ∵ =m +n , ,

∴ (x,y)=(m+2n,2m+n) ∴ x=m+2n,y=2m+n ∴ m﹣n=y﹣x, 令 y﹣x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1, 故 m﹣n 的最大值为 1.

点评: 本题考查了向量的坐标运算,关键在于审清题意,属于中档题, 21. (12 分) (2014?陕西)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上的 产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 500 作物产量 300 (kg) 0.5 0.5 概率 10 作物市场价 6 格(元/kg) 0.4 0.6 概率 (Ⅰ )设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (Ⅱ )若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率. 考点: 离散型随机变量及其分布列;相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ )分别求出对应的概率,即可求 X 的分布列; (Ⅱ )分别求出 3 季中有 2 季的利润不少于 2000 元的概率和 3 季中利润不少于 2000 元的概率,利用概率相 加即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ )设 A 表示事件“作物产量为 300kg”,B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”, 则 P(A)=0.5,P(B)=0.4, ∵ 利润=产量×市场价格﹣成本, ∴ X 的所有值为: 500×10﹣1000=4000,500×6﹣1000=2000, 300×10﹣1000=2000,300×6﹣1000=800,
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则 P(X=4000)=P( )P( )=(1﹣0.5)×(1﹣0.4)=0.3, P(X=2000)=P( )P(B)+P(A)P( )=(1﹣0.5)×4+0.5(1﹣0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2, 则 X 的分布列为: X 4000 2000 800
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www.jyeoo.com P

0.3

0.5

0.2

(Ⅱ )设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元”(i=1,2,3) , 则 C1,C2,C3 相互独立, 由(Ⅰ )知,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3) , 3 3 季的利润均不少于 2000 的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.8 =0.512, 3 季的利润有 2 季不少于 2000 的概率为 P( C2C3)+P(C1 C3)+P(C1C2 )=3×0.8 ×0.2=0.384,
2

综上:这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为:0.512+0.384=0.896. 点评: 本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算,考查学生的计算能力.

22. (13 分) (2014?陕西)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1:

+

=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线 C2:y=﹣x +1

2

(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为



(Ⅰ ) 求 a,b 的值; (Ⅱ )过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B) ,若 AP⊥ AQ,求直线 l 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: (Ⅰ )在 C1、C2 的方程中,令 y=0,即得 b=1,设 C1:的半焦距为 c,由 =
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及 a ﹣c =b =1 得 a=2;

2

2

2

(Ⅱ )由(Ⅰ )知上半椭圆 C1 的方程为

+x =1(y≥0) ,设其方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) ,代入 C1 的方程,

2

整理得(k +4)x ﹣2k x+k ﹣4=0. (*)设点 P(xp,yp) ,依题意,可求得点 P 的坐标为(
2

2

2

2

2



) ;

同理可得点 Q 的坐标为(﹣k﹣1,﹣k ﹣2k) ,利用

?

=0,可求得 k 的值,从而可得答案.

解答: 解: (Ⅰ )在 C1、C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(﹣1,0) ,B(1,0)是上半椭圆 C1 的左右顶点. 设 C1:的半焦距为 c,由 = ∴ a=2,b=1. (Ⅱ )由(Ⅰ )知上半椭圆 C1 的方程为 +x =1(y≥0) .
2

及 a ﹣c =b =1 得 a=2.

2

2

2

易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) , 代入 C1 的方程,整理得 2 2 2 2 (k +4)x ﹣2k x+k ﹣4=0. (*)
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www.jyeoo.com 设点 P(xp,yp) , ∵ 直线 l 过点 B, ∴ x=1 是方程(*)的一个根, 由求根公式,得 xp= ,从而 yp= ,

∴ 点 P 的坐标为(



) .

同理,由 ∴ = (k,﹣4) ,

得点 Q 的坐标为(﹣k﹣1,﹣k ﹣2k) , =﹣k(1,k+2) ,

2

∵ AP⊥ AQ,∴ ?

=0,即

[k﹣4(k+2)]=0,

∵ k≠0,∴ k﹣4(k+2)=0,解得 k=﹣ . 经检验,k=﹣ 符合题意, 故直线 l 的方程为 y=﹣ (x﹣1) ,即 8x+3y﹣8=0. 点评: 本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理 论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想,属于难题. 23. (14 分) (2014?陕西)设函数 f(x)=ln(1+x) ,g(x)=xf′ (x) ,x≥0,其中 f′ (x)是 f(x)的导函数. (Ⅰ )令 g1(x)=g(x) ,gn+1(x)=g(gn(x) ) ,n∈N+,求 gn(x)的表达式; (Ⅱ )若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ )设 n∈N+,比较 g(1)+g(2)+…+g(n)与 n﹣f(n)的大小,并加以证明. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )由已知 ,

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…可得

用数学归纳法加以证明; (Ⅱ )由已知得到 ln(1+x)≥ 小值即可; (Ⅲ )在(Ⅱ )中取 a=1,可得 然后各式相加即得到不等式. 解答: 解:由题设得, ,令 则 ,n 依次取 1,2,3…, 恒成立构造函数 φ(x)=ln(1+x)﹣ (x≥0) ,利用导数求出函数的最

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www.jyeoo.com (Ⅰ )由已知 ,



… 可得 下面用数学归纳法证明.① 当 n=1 时, ② 假设 n=k 时结论成立,即 , ,结论成立.

那么 n=k+1 时,

=

即结论成立.

由① ② 可知,结论对 n∈N+成立. (Ⅱ )已知 f(x)≥ag(x)恒成立,即 ln(1+x)≥ 设 φ(x)=ln(1+x)﹣ (x≥0) ,则 φ′ (x)= 恒成立.



当 a≤1 时,φ′ (x)≥0(仅当 x=0,a=1 时取等号成立) , ∴ φ(x)在[0,+∞)上单调递增, 又 φ(0)=0, ∴ φ(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立. ∴ 当 a≤1 时,ln(1+x)≥ 恒成立, (仅当 x=0 时等号成立)

当 a>1 时,对 x∈(0,a﹣1]有 φ′ (x)<0,∴ φ(x)在∈(0,a﹣1]上单调递减, ∴ φ(a﹣1)<φ(0)=0 即当 a>1 时存在 x>0 使 φ(x)<0, 故知 ln(1+x)≥ 不恒成立,

综上可知,实数 a 的取值范围是(﹣∞,1]. (Ⅲ )由题设知,g(1)+g(2)+…+g(n)= n﹣f(n)=n﹣ln(n+1) , 比较结果为 g(1)+g(2)+…+g(n)>n﹣ln(n+1) 证明如下:上述不等式等价于 在(Ⅱ )中取 a=1,可得 令 故有 则 , , , ,

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www.jyeoo.com ln3﹣ln2 ,… , 上述各式相加可得 结论得证.

点评: 本题考查数学归纳法;考查构造函数解决不等式问题;考查利用导数求函数的最值,证明不等式,属于一 道综合题.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有: 刘长柏; whgcn; gongjy; xintrl; 清风慕竹; caoqz; maths; 孙佑中; wfy814; sxs123; sllwyn;wdnah;minqi5(排名不分先后)
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