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2013人教新课标数学理二轮精选22个必考问题 专项突破《17与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题》

时间:2013-12-17


必考问题17 与圆锥曲线
有关的定点、定值、最值、 范围问题

1.(2011·新课标全国)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C 的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的 准线上一点,则△ABP的面积为 ( A.18 B.24 ).

C.36

D.48

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答案:C

[不妨设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),由于 l 垂

p 直于对称轴且过焦点,故直线 l 的方程为 x=2.代入 y2=2px 得 y =± p,即|AB|=2p,又|AB|=12,故 p=6,所以抛物线的准线方程 1 为 x=-3,故 S△ABP= ×6×12=36.] 2

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2.(2011·山东)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为 抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C的准线相交,则y0的取值范围是 ( A.(0,2) B.[0,2] ).

C.(2,+∞)

D.[2,+∞)

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答案:C

[∵x2=8y,∴焦点 F 的坐标为(0,2),准线方程为 y=-

2.由抛物线的定义知|MF|=y0+2.以 F 为圆心、|FM|为半径的圆的 标准方程为 x2+(y-2)2=(y0+2)2. 由于以 F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心 F 到准线 的距离为 4,故 4<y0+2,∴y0>2.]

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x2 3.(2010· 福建)若点O和点F(-2,0)分别为双曲线 a2 -y2=1(a>0)的 中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则O → · → P FP 的取值范围为 ( A.[3-2 3,+∞)
? 7 ? C.?-4,+∞? ? ?

).

B.[3+2 3,+∞)
?7 ? D.?4,+∞? ? ?

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答案:B [如图,由 c=2 得 a2+1=4,∴a2=3, x2 2 ∴双曲线方程为 3 -y =1. 设 P(x,y)(x≥ 3),

→ FP → OP· =(x,y)· (x+2,y)=x2+2x+y2
x2 4 2 2 =x +2x+ -1= x +2x-1(x≥ 3). 3 3 4 2 令 g(x)= 3 x + 2x-1(x≥ 3),则 g(x)在[ 3,+∞)上单调递

→ FP → 增.g(x)min=g( 3)=3+2 3.∴OP· 的取值范围为[3+2 3,+
∞).]
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4.(2012· 浙江)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为 曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x 的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则 实数a=________.

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解析 -

|0-?-4?| 因曲线 C2: +(y+4) =2 到直线 l: x y=x 的距离为 2
2 2

2=2

2- 2= 2,则曲线 C1 与直线 l 不能相交,即 x2+a

>x,∴x2+a-x>0. 设 C1:y=x2+a 上一点为(x0,y0), |x0-y0| -x0+x2+a 0 则 点 (x0 , y0) 到 直 线 l 的 距 离 d = = = 2 2
? 1?2 1 ?x0- ? +a- 2? 4 ?

2 答案 9 4

4a-1 9 ≥ = 2,所以 a= . 4 4 2

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本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题

之一,一般以椭圆或抛物线为背景,考查定点、定值、最
值、范围问题或探索性问题,试题难度较大.

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复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上,要在解
题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方 法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性 质,代数方程是解题的桥梁,要掌握一些解方程(组)的方 法,掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用,掌握 使用韦达定理进行整体代入的解题方法;其次注意分类讨 论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用,如

解析几何中的最值问题往往需建立求解目标的函数,通过
函数的最值研究几何中的最值.
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必 备 知 识 方 法

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有关弦长问题,应注意运用弦长公式及韦达定理,“设而不 求”;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简 化运算. (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则所得弦长|P1P2|= 1+k |x2-x1|或|P1P2|=
2

1 1+ 2 |y2-y1|,其 k

中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用韦达定理,即作如下变形: |x2-x1|= |y2-y1|= ?x1+x2?2-4x1x2; ?y1+y2?2-4y1y2.

(2)弦的中点问题 有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法” 来简化运算.
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圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 x2 y2 F1、F2为椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆的任 意一点,B为短轴的一个端点,O为坐标原点,则有 ①|OP|∈[b,a]; ②|PF1|∈[a-c,a+c]; ③|PF1|· 2|∈[b2,a2]; |PF ④∠F1PF2≤∠F1BF2.

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(2)双曲线中的最值 x2 y2 F1、F2为双曲线 a2 - b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲 线上的任一点,O为坐标原点,则有 ①|OP|≥a; ②|PF1|≥c-a. (3)抛物线中的最值 点P为抛物线y2=2px(p>0)上的任一点,F为焦点,则有 p ①|PF|≥2; ②A(m,n)为一定点,则|PA|+|PF|有最小值.
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1.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的
量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量 积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不 受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定 点、定值.化解这类问题的关键就是引进变的参数表示

直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、
数式变换等寻找不受参数影响的量.

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2.解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标 函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、

范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和
不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个 合适变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题, 这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标 等,要根据问题的实际情况灵活处理.

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热 点 命 题 角 度

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圆锥曲线中的定点、定值问题

该类问题多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数与方

程、向量等知识交汇,形成了过定点、定值等问题的证
明.难度较大.

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【例1】? (2012·湖南 )在直角坐标系xOy中,曲线C1上的点

均在圆C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M
到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最 小值.

(1)求曲线C1的方程;
(2)设P(x0,y0)(y0≠±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两 条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当

P在直线x=-4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标
之积为定值.

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[审题视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解,或者转化 为根据抛物线的定义求解均可;(2)首先建立圆的两条切线

的斜率与点的坐标之间的关系,其次把圆的切线方程与抛
物线方程联立消元,根据根与系数的关系得出纵坐标之和 和纵坐标之积,最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可

得证.
[听课记录]

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(1)解 法一 设 M 的坐标为(x, 由已知得|x+2|= ?x-5?2+y2 y), -3. 易知圆 C2 上的点位于直线 x=-2 的右侧,于是 x+2>0, 所以 ?x-5?2+y2=x+5. 化简得曲线 C1 的方程为 y2=20x. 法二 由题设知,曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2(5,0)的距离等 于它到直线 x=-5 的距离.因此,曲线 C1 是以(5,0)为焦点,直 线 x=-5 为准线的抛物线.故其方程为 y2=20x.

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(2)证明

当点 P 在直线 x=-4 上运动时,P 的坐标为(-4,y0),

又 y0≠± 3,则过 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率 k 存在且不为 0, 每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为 y-y0=k(x+4),即 |5k+y0+4k| kx-y+y0+4k=0.于是 =3. 2 k +1 整理得 72k2+18y0k+y2-9=0. 0 ①

设过 P 所作的两条切线 PA,PC 的斜率分别为 k1,k2,则 k1,k2 18y0 y0 是方程①的两个实根,故 k1+k2=- 72 =- 4 .
?k x-y+y +4k =0, ? 1 0 1 由? 2 ?y =20x ?
必备知识方法 热点命题角度

② ③

得 k1y2-20y+20(y0+4k1)=0.
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设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1,y2,y3,y4,则 y1,y2 是 20?y0+4k1? 方程③的两个实根,所以 y1y2= . k
1

④ ⑤

20?y0+4k2? 同理可得 y3y4= . k
2

于是由②,④,⑤三式得 400?y0+4k1??y0+4k2? y1y2y3y4= kk
1 2

400[y2+4?k1+k2?y0+16k1k2] 0 = k1k2
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2 400?y2-y0+16k1k2? 0 = =6 400. k1k2

所以,当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标 之积为定值 6 400.

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解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一 下特殊情况,找出定点或定值,再视具体情况进行研

究.同时,也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定
点问题的选择题或填空题,如将过焦点的弦特殊化,变成 垂直于对称轴的弦来研究等.

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【突破训练1】 设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线L 与C相交于A,B两点. (1)设L的斜率为1,求|AB|的大小; → OB → (2)求证:OA· 是一个定值.

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(1)解 设

∵F(1,0),∴直线 L 的方程为 y=x-1, 得 x2-6x+1=0,

?y=x-1, ? A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 ?y =4x ?

∴x1+x2=6,x1x2=1. ∴|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = 2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 2· 36-4=8.

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(2)证明

设直线 L 的方程为 x=ky+1, 得 y2-4ky-4=0.

?x=ky+1, ? 由? 2 ?y =4x ?

→ → ∴y1+y2=4k,y1y2=-4,OA=(x1,y1),OB=(x2,y2). → ∵O→· =x1x2+y1y2 A OB =(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2 =-4k2+4k2+1-4=-3. → OB → ∴OA· 是一个定值.
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圆锥曲线中的最值、范围问题

该类试题设计巧妙、命制新颖别致,常求特定量、特 定式子的最值或范围.常与函数解析式的求法、函数最值、 不等式等知识交汇,成为近年高考热点.

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【例 2】? (2012· 浙江)如图,椭圆 C: x2 y2 1 a2+b2=1(a>b>0)的离心率为2, 其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10. 不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程.

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1 [审题视点] (1)利用椭圆的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离 2 为 10求解. (2)由题意可知直线 l 的斜率存在, 设为 y=kx+m, 结合椭圆方程, 线段 AB 被直线 OP 平分可求 k 值.然后以 AB 为底,点 P 到直线 AB 的距离为高表示出 S△ABP 的表达式,借助导数求最值. [听课记录]

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解 (1)设椭圆左焦点为 F(-c,0),则由题意得 ? ?2+c?2+1= 10, ?c=1, ? ? ?c 1 得? ?a=2. ? ?a=2, ? x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线 AB 的方程为 x=0,与不过原点的 条件不符,舍去.故可设直线 AB 的方程为 y=kx+m(m≠0),
?y=kx+m, ? 由? 2 ?3x +4y2=12 ?

消去 y,整理得
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(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,(1) 则 Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0, ? ?x1+x2=- 8km 2, 3+4k ? ? 4m2-12 ? ?x1x2= 3+4k2 . ? 所以线段 AB 的中点
? 4km 3m ? ? ? M?- 2, 2?. 3+4k ? ? 3+4k

-2km 1 3m 因为 M 在直线 OP:y=2x 上,所以 2= 2. 3+4k 3+4k 3 得 m=0(舍去)或 k=-2.
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此时方程(1)为 3x2-3mx+m2-3=0,则 ?x1+x2=m, ? 2 Δ=3(12-m )>0,? m2-3 ?x1x2= 3 . ? 39 所以|AB|= 1+k · 1-x2|= 6 · 12-m2. |x
2

设点 P 到直线 AB 距离为 d,则 |8-2m| 2|m-4| d= 2 . 2= 13 3 +2 设△ABP 的面积为 S,则 1 3 S= |AB|· d= · ?m-4?2?12-m2?. 2 6
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其中 m∈(-2

3,0)∪(0,2

3). 3,2 3],

令 u(m)=(12-m2)(m-4)2,m∈[-2 u′(m)=-4(m-4)(m2-2m-6) =-4(m-4)(m-1- 7)(m-1+ 7).

所以当且仅当 m=1- 7,u(m)取到最大值. 故当且仅当 m=1- 7,S 取到最大值. 综上,所求直线 l 方程为 3x+2y+2 7-2=0.

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求最值或范围常见的解法:(1)几何法.若题
目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用 图形性质来解决;(2)代数法.若题目的条件和结论能体现 一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求最 值;(3)求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、导

数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等.

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y2 【突破训练2】 (2012· 陕西五校联考)已知双曲线x2- =1的左顶 3 → PF 点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则 PA1 ·→2 的 最小值为 ( A.-2 81 B.-16 C.1 D.0 ).

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→ → 答案: [由已知得 A1(-1,0), 2(2,0). P(x, A F 设 y)(x≥1), 则PA1· 2 PF =(-1-x, -y)· (2-x, -y)=4x2-x-5.令 f(x)=4x2-x-5, f(x) 则 在[1,+∞)上单调递增,所以当 x=1 时,函数 f(x)取最小值,即 → → PA1· 2取最小值,最小值为-2.] PF

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圆锥曲线中探索性问题
此类问题命题背景宽,涉及知识点多,综合性强,探

究平分面积的线、平分线段的线,或探究等式成立的参数
值.常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合,形 成知识的交汇.

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【例 3】? (2011· 重庆卷改编)如图,椭圆的中心为原点 O,离心率 2 a2 e= 2 ,且 c =2 2. (1)求该椭圆的标准方程; → → → (2)设动点 P 满足:OP=OM+2ON, 其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 1 与 ON 的斜 率之积为- .问:是否存在两个定点 F1,F2,使 2 得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求 F1,F2 的坐标;若不存在, 说明理由.

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2 a2 [审题视点] (1)利用 e= , =2 2求 a,c. 2 c → → → (2)设 P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),由OP=OM+2ON可得 x= x1+2x2,y=y1+2y2,又点 M、N 在椭圆 x2+2y2=4 上,可得 x2+ 1
2 2y1=4,x2+2y2=4,再结合直线 2 2

1 OM 与 ON 的斜率之积为-2.可

求得点 P 满足方程 x2+2y2=20.由椭圆的定义可求解. [听课记录]

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c 2 a2 解 (1)由 e= = , =2 2,解得 a=2,c= 2,b2=a2-c2= a 2 c x2 y2 2,故椭圆的标准方程为 4 + 2 =1. → → → (2)设 P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),则由OP=OM+2ON,得(x, y)=(x1,y1)+2(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2), 即 x=x1+2x2,y=y1+2y2.因为点 M、N 在椭圆 x2+2y2=4 上,
2 2 所以 x1+2y2=4,x2+2y2=4, 1 2 2 故 x2+2y2=(x2+4x2+4x1x2)+2(y1+4y2+4y1y2) 1 2 2 2 2 =(x2+2y1)+4(x2+2y2)+4(x1x2+2y1y2) 1 2

=20+4(x1x2+2y1y2).
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设 kOM,kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知 y1y2 1 kOM·ON=x x =-2,因此 x1x2+2y1y2=0, k 1 2 所以 x2+2y2=20. x2 y2 所以 P 点是椭圆 2+ 2=1 上的点,设该椭圆的左、右焦 ?2 5? ? 10? 点为 F1 ,F2 ,则由椭圆的定义 |PF1|+|PF2|为定值,又因 c= ?2 5?2-? 10?2 = 10,因此两焦点的坐标为 F1(- 10,0), F2( 10,0).

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探究是否存在的问题,一般均是先假设存在, 然后寻找理由去确定结论,如果真的存在,则能得出相应 结论,如果不存在,则会由条件得出相互矛盾的结论.

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【突破训练3】(2012· 济南模拟)在平面直角坐标系xOy中,经过点 x2 (0, 2)且斜率为k的直线l与椭圆 +y2=1有两个不同的交点 2 P和Q. (1)求k的取值范围; (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否 → → → 存在常数k,使得向量OP +OQ 与AB 共线?如果存在,求k的 值;如果不存在,请说明理由.

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(1)由已知,得直线 l 的方程为 y=kx+ 2,

x2 代入椭圆方程,得 2 +(kx+ 2)2=1,
?1 ? 2 2 整理,得?2+k ?x +2 ? ?

2kx+1=0,①

直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ=8k
2

?1 ? 2 -4×?2+k ?=4k2-2>0, ? ?

2 2 解得 k<- 或 k> , 2 2 即k
? 的取值范围为?-∞,- ? ? ? 2? ? 2 ? ? ∪? ,+∞?. ? 2? ?2 ? ?

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(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 4 2k 由方程①,得 x1+x2=- , 1+2k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2. → 而 A( 2,0),B(0,1),AB=(- 2,1), → → → 所以OP+OQ与AB共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2), 2 将②③代入上式,解得 k= 2 , 2 2 由(1)知 k<- 2 或 k> 2 ,故没有符合题意的常数 k.
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② ③

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阅 卷 老 师 叮 咛

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圆锥曲线“最”有应得

椭圆、双曲线、抛物线的最值问题的解题方法较灵
活,学生时常感到无从下手.常遇到面积最大最小问题, 距离的最长最短问题,不定量的最大最小问题等等,下面 给同学们提供两种解法,只要掌握了它们,就可以“最” 有应得.

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一、几何法求最值 【示例1】? 抛物线的顶点O在坐标原点,焦点在y轴负半轴上, 过点M(0,-2)作直线l与抛物线相交于A,B两点,且满足 → → OA+OB=(-4,-12). (1)求直线l和抛物线的方程; (2)当抛物线上一动点P从点A运动到点B时,求△ABP面积的 最大值.

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[满分解答]

(1)根据题意可设直线l的方程为y=kx-2,抛物线方

程为x2=-2py(p>0).
?y=kx-2, ? 由? 2 ?x =-2py, ?

得x2+2pkx-4p=0.

(2分)

设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)- 4=-2pk2-4.
? → +OB=(-4,-12),所以?-2pk=-4, → ? 所以OA ?-2pk2-4=-12, ? ?p=1, ? 解得 ? ?k=2. ?

故直线l的方程为y=2x-2,抛物线方程为x2=-2y. (6分)

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(2)设P(x0,y0),依题意,知当抛物线过点P的切线与l平行时,△ ABP的面积最大. 1 2 对y=- x 求导,得y′=-x,所以-x0=2,即x0=-2,y0=- 2 1 2 x =-2,即P(-2,-2). 2 0 此时点P到直线l的距离 |2· ?-2?-?-2?-2| 4 4 5 d= = = . 2 2 5 5 2 +?-1? (9分)

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?y=2x-2, ? 由? 2 ?x =-2y, ?

得x2+4x-4=0,

则x1+x2=-4,x1x2=-4, |AB|= = =4 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2

1+22· ?-4?2-4· ?-4? 10.

于是,△ABP面积的最大值为 1 2×4 4 5 10× 5 =8 2. (12分)

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老师叮咛:当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的

距离的最值问题时,可以通过作与这条直线平行的圆锥曲
线的切线,则两条平行线间的距离,就是所求的最值,切 点就是曲线上取得最值的点,这种求最值的方法称为切线 法. 切线法的基本思想是数形结合,其中求曲线的切线方程需

要利用导数知识,判断切线与曲线的最值需要借助几何图
形的直观性,通过图形来确定何时取得最大值,何时取得 最小值.
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二、函数法求最值 【示例2】? (2012· 广东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: 2 ,且椭圆C上的点到点 3

x2 y2 + =1(a>b>0)的离心率e= a2 b2 Q(0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C的方程;

(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny= 1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面 积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积; 若不存在,请说明理由.
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[满分解答]

c (1)由e= = a

a2-b2 = a2

2 ,得a= 3b, 3

x2 y2 椭圆C: 2+ 2=1,即x2+3y2=3b2, 3b b 设P(x,y)为C上任意一点, 则|PQ|= -b≤y≤b. 若b<1,则-b>-1,当y=-b时,|PQ|max= -2?-b+1?2+3b2+6=3,又b>0,得b=1(舍去), x2+?y-2?2= -2?y+1?2+3b2+6,

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若b≥1,则-b≤-1,当y=-1时,|PQ|max= -2?-1+1?2+3b2+6=3,得b=1. x2 2 ∴椭圆C的方程为 +y =1.(6分) 3 (2)法一 m2 假设存在这样的点M(m,n)满足题意,则有 3 +n2=1,

m2 1 2 即n =1- ,- 3 ≤m≤ 3 .由题意可得S△AOB= |OA|· |OB|sin∠ 3 2 1 1 AOB=2sin∠AOB≤2, 当∠AOB=90° 时取等号,这时△AOB为等腰直角三角形,

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2 此时圆心(0,0)到直线mx+ny=1的距离为 2 , 1 2 m2 3 2 2 2 2 则 = ,得m +n =2,又 +n =1,解得m = ,n2= 3 2 m2+n2 2
? 6 ? 6 ? 1 2? 2? 6 2? ? ? ? ? ? ,即存点M的坐标为 ? , ? , ? ,- ? , ?- , ? , 2 2? 2? 2 2? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?- ?

1 6 2? ? ,- ?满足题意,且△AOB的最大面积为2. 2 2? (12分)

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法二

m2 假设存在这样的点M(m,n)满足题意,则有 3 +n2=1,即

m2 n2=1- ,- 3≤m≤ 3, 3
?mx+ny=1 ? 又设A(x1,y1)、B(x2,y2),由 ? 2 2 ?x +y =1 ?

,消去y得(m2+n2)x2- ①

2mx+1-n2=0, m2 把n2=1- 3 代入①整理得(3+2m2)x2-6mx+m2=0, 则Δ=8m2(3-m2)≥0,

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? ?x1+x2= 6m 2, 3+2m ? ∴? m2 ?x x = , ? 1 2 3+2m2 ? 1 1 而S△AOB= |OA|· |OB|sin∠AOB= sin∠AOB, 2 2 1 当∠AOB=90° △AOB取得最大值2, ,S



→ ·OB =x x +y y =0,又y y = 1-mx1 · 1-mx2 = → 此时 OA 1 2 1 2 1 2 n n 3-3m?x1+x2?+3m2x1x2 , 2 3-m
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3-3m?x1+x2?+3m2x1x2 ∴x1x2+ =0, 2 3-m 即3-3m(x1+x2)+(3+2m2)·1x2=0, x 把②代入上式整理得2m4-9m2+9=0, 3 解得m =2或m2=3(舍去),
2

6 ∴m=± ,n=± 2 ∴M点的坐标为
? ? ?- ? ? ? ? ?

m2 2 1- =± , 3 2 6 2? ? , ? , 2 2?
? ? ? ?

6 2? ? ,- ? , 2 2?

? ? ?- ?

6 2? ? , ? , 2 2?

1 6 2? ? ,- ?,使得S△AOB取得最大值2. 2 2? (12分)
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老师叮咛:当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系 式时,我们常常先建立对应的函数关系式,然后利用函数

方法求出对应的最值,称这种方法为函数法,这是解析几
何问题中求最值的常用方法.函数法是研究数学问题的一 种最重要的方法,用这种方法求解圆锥曲线的最值问题 时,除了重视建立函数关系式这个关键点外,还要密切注 意所建立的函数式中的变量是否有限制范围,这些限制范

围恰好制约了最值的取得,因此在解题时要予以高度关
注.

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【试一试】 抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的 最小值是 ( 4 A. 3 7 B. 5 8 C. 5 D.3 ).

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答案:A [可知过抛物线点的切线与直线 4x+3y-8=0 平行时, 4 2 所求的距离最小,y′=-2x.令-2x=- ,解得 x= ,从而切点 3 3
?2 4? 坐标为?3,-9?,切线方程为 ? ?

4 4? 2? 4 ?x- ?,即 4x+3y- =0, y+ =- 9 3? 3? 3

由两平行线间距离公式,得点到直线的距离的最小值为 d=
? ? 4?? ?-8-?- ?? ? ? 3??

42+32

4 =3.故选 A.]

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