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高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第1节 平面的基本性质

时间:2017-04-20


第 1 节 平面的基本性质 【基础知识】 (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面 内(即直线在平面内). (2)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面). (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公 共直线. 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 【规律技巧】 公理 1 是判断一条直线是否在某个平面的依据; 公理 2 及其推论是判断或证明点、 线共面的 依据;公理 3 是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形 语言来表示公理. 画几何体的截面, 关键是画截面与几何体各面的交线, 此交线只需两个公共点即可确定, 作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快地确定交线的位置. 证明四点共面的基本思路:一是直接证明,即利用公理或推论来直接证明;二是先由其 中不共线的三点确定一个平面,再证第四个点也在这个平面内即可. 要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用公理 3,即 证点在两个平面的交线上.或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上. 【典例讲解】 【例 1】 (1)以下四个命题中,正确命题的个数是( ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A,B,C,D 共面,点 A,B,C,E 共面,则 A,B,C,D,E 共面; ③若直线 a,b 共面,直线 a,c 共面,则直线 b,c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. A.0 B.1 C.2 D.3 (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P,Q,R 分别是 AB,AD,B1C1 的中点,那么正方 体的过 P,Q,R 的截面图形是( A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 ) )

答案 (1)B (2)D 规律方法 (1)公理 1 是判断一条直线是否在某个平面的依据;公理 2 及其推论是判断 或证明点、线共面的依据;公理 3 是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语 言、符号语言、图形语言来表示公理.(2)画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的 交线, 此交线只需两个公共点即可确定, 作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件, 可以更快地确定交线的位置. 【变式探究】 如图所示是正方体和正四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,则 四个点共面的图形的序号是________.

解析 可证①中的四边形 PQRS 为梯形;②中,如图所示,取 A1A 和 BC 的中点分别为 M,N,可证明 PMQNRS 为平面图形,且 PMQNRS 为正六边形;③中,可证四边形 PQRS 为平行四边形;④中,可证 Q 点所在棱与面 PRS 平行,因此,P,Q,R,S 四点不共面.

答案 ①②③

【针对训练】 1、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P,Q,R 分别是 AB,AD,B1C1 的中点,那么正方体的 过 P,Q,R 的截面图形是( A.三角形 B.四边形 【答案】D ) C.五边形 D.六边形

2、以下四个命题中,正确命题的个数是(

)

①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面;

④依次首尾相接的四条线段必共面 A.0 【答案】B B.1 C.2 D.3

3、下列如图所示是正方体和正四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,则四个点共面 的图形是________.

【答案】①②③

4、如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,则直线 EF 与正 方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

【答案】4 【解析】取 CD 的中点为 G,由题意知平面 EFG 与正方体的左、右侧面所在平面重合或平 行,从而 EF 与正方体的左、右侧面所在的平面平行或 EF 在平面内.所以直线 EF 与正方 体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交.故直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交 的平面个数为 4. 5、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC,BD 交于点 M, 求证:点 C1,O,M 共线.

6、如图,直角梯形 ABDC 中,AB∥CD,AB>CD,S 是直角梯形 ABDC 所在平面外一点, 画出平面 SBD 和平面 SAC 的交线.

【练习巩固】 1、下列命题: ①三个点确定一个平面; ②一条直线和一点确定一个平面; ③两条相交直线确定一个平 面;④两条平行线确定一个平面;⑤若四点不共面,则必有三点不共线. 其中正确命题是________. 【答案】③④⑤ 2、l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 错解:A 错因:受平面几何知识限制,未能全面考虑空间中的情况. 正解:在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故 A 错;两平行线中的一条垂直 于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B 正确;相互平行的三条直线不一定共面, )

如三棱柱的三条侧棱,故 C 错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故 D 错. 3、三条直线两两垂直,给出下列四个结论: ①这三条直线必共点; ②其中必有两条是异面直线; ③三条直线不可能共面; ④其中必有两条在同一平面内. 其中正确结论的序号是________. 【答案】③ 4、如图,空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,G,H 分别在 BC,CD 上, 且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2.

(Ⅰ)求证:E,F,G,H 四点共面; (Ⅱ)设 EG 与 FH 交于点 P, 求证:P,A,C 三点共线. 【证明】 (Ⅰ)∵E,F 分别为 AB,AD 的中点, BG DH 1 ∴EF∥BD.在△BCD 中, = = , GC HC 2 ∴GH∥BD,∴EF∥GH. ∴E,F,G,H 四点共面. (Ⅱ)∵EG∩FH=P,P∈EG,EG?平面 ABC, ∴P∈平面 ABC.同理 P∈平面 ADC. ∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点. 又平面 ABC∩平面 ADC=AC, ∴P∈AC,∴P,A,C 三点共线. 5、如图,在四面体 ABCD 中 ,E,G 分别为 BC,AB 的中点,F 在 CD 上,H 在 AD 上, 且有 DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF,GH,BD 交于一点.

设 GH 和 EF 交于一点 O. 因为 O 在平面 ABD 内,又在平面 BCD 内, 所以 O 在这两个平面的交线上. 因为这两个平面的交线是 BD,且交线只有这一条, 所以点 O 在直线 BD 上. 这就证明了 GH 和 EF 的交点也在 BD 上, 所以 EF,GH,BD 交于一点.


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