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高中数学 垂直条件在解析几何中的应用举例

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垂直条件在解析几何中的应用举例 一. 与三角形知识的综合,合理使用勾股定理 例1. x2 y2 若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1、F2 ,且 F1 F2 =10,P 为双曲 a b PF1 ? PF2 , 线上一点,PF 1 ? 2 PF 2 , 求此双曲线的方程。 分析: PF 1 , PF 2 , F 1 F2 构成直角三角 P 形,利用勾股定理,可解。 解:? PF 1 ? 2 PF 2 ,? 令 F1 F2 PF1 ? 2 PF2 =2t ? 0 , 由 题 意 : PF 1 ? PF 2 ? F 1 F2 2 2 2 ? 4 t 2 ? t 2 ? 100? t 2 ? 20 ? t= 2 5 ? 2a ? PF1 ? PF 2 = 2 5 ? a = 5 又 2c= F1 F2 =10,? c=5 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 25 ? 5 ? 20 故所求双曲线的方程为 x2 y2 ? ? 1。 5 20 注:此类题目要注重挖掘三角形的隐含条件,如勾股定理等。 二.与向量知识的综合,注重数形结合 例 2.已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 Q 坐标轴上,直线 y ? x ? 1 与该椭圆交于 P 和 Q,且 OP ? OQ ,若 PQ ? 10 ,求椭 2 P O l 圆的方程。 分 析 : 椭 圆 的 方 程 可 设 为 mx2 ? ny2 ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) ,利用 条件联立方程可求解。 解:?椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,故椭圆的方程可设为 mx2 ? ny2 ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) ,由直线的方程 y ? x ? 1 ,得 x ? y ? 1 ,代入椭圆的 方 程 消 去 y 得 (m ? n) x 2 ? 2nx ? (n ? 1) ? 0 ( * ) 令 P( x1 , y1 ) Q( x2 , y 2 ) , 则 x1 + x2 = ? 2n n ?1 m ?1 ( x2 +1) = 又 OP ? OQ , x1 x 2 = ? y1 y 2 ? ( x1 +1) ? OP ? OQ ? x1 m?n m?n m?n m?n?2 10 =0 ? m ? n =2 ① 又 PQ ? = m?n 2 x2 + y1 y 2 = 1? k 2 x1 ? x2 = 2 2 10 m ? n ? mn ? m?n 2 m? ? mn ? 3 4 ② 由 ① ② 联 立 解 得 3 1 1 3 3 1 , n ? 或m ? , n ? 代入方程( *)? ? 0 ? 椭圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1或 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 x ? y ? 1。 2 2 (2) 本题在联立直线与椭圆的方程时, 用到了验证 ? 的方法, 也可由 ? ? 0, 得 m, n 的 注: (1)本题在设椭圆的方程的时候用了待定系数法并避开了分类讨论。 关系式,再验证。 (3)方程(2)的得出用到方程(1)的结论。 (4)结果也可写成方程的标准形式。 (5)注意垂直条件的隐含给出,如: OP ? OQ ? OP ? OQ 等 三.与坐标轴垂直,注意对称点的应用 例 3. 已 知 A 、 B 是 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上任意两点,BC ? x 轴交抛物线与 C 点,AC 交 x 轴 E,BA 的延长线交 x 轴 D, 求证: O (坐标原点) 为 DE 的中点。 A B 分析:本题的解题关键是直线的垂直以 及抛物线的对称性的应用。 解: 令A ( D O E y12 y2 B ( 2 , y 2 ) ? BC ? x , y1 ) 2p 2p 轴,? B、C 关于 x 轴对称,? 2 2 y2 y2 2 2 2 xc ? x B ? ,代入y ? 2 px得,yc ? 2 p ? ? y2 又yc ? y 2 ?y c ? ? y 2C 2p 2p 2p? 2 y2 y2 2 ? y2 又 y c ? y 2 ? yc ? ? y 2故C( 2 ,? y 2 ) 由 A、B 两点的坐标得直线 AB 的方 2p 2p y12 y y yy y ? y1 2p 程为 令 y=0 得 x D ? ? 1 2 故 D (? 1 2 ,0) 由 A、 C 两点的坐标得 AC ? 2 2 2p 2p y 2 ? y1 y 2 y1 ? 2p 2p x? y12 y y yy y ? y1 2p 的方程为 令 y ? 0得 x E ? 1 2 故 E ( 1 2 ,0) 故O为DE的中点。 ? 2 2 2p 2p ? y 2 ? y1 y 2 y1 ? 2p 2p x? 注:圆锥曲线都是轴对称图形,椭圆、双曲线还是中心对称图形。 四.与圆的知识综合,注意弦长公式的应用 例 4.已知定点 A(-2,0) B(2,0),曲线 E 上任一点 P 满足|PA|-|PB|=2 (1) 求曲线 E 的方程。 (2) 延长 PB 与曲线 E 交于另一点 Q,求|PQ|的最小值。 (3) 若直线 L 的方程 x ? a(a ? 1 ) ,如果延长 PB 与曲线 E 交于另一点 Q,总存在 2 某一位置, 使得 PQ 的中点 R 在 L 上的射影 C 满足 PC ? QC, 求 a 的取值范围。 分析:本题的第一问利用双曲线的定义可 直接求解,第二问只不过是通径最短的证 明,有一定的难度,第三问很难上手,方 法不对, 就会导致复杂的计算, 尝试 P、 C、 Q 三点共圆,可求解。 解:由|PA|-|PB|=2,得曲线 E 是以 A、B 为焦点的双曲线的右支, , 令双曲线的方程 P A C B R 为: x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, x ? 0) a2 b

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