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2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷

时间:2013-12-11

2013 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 (4 月 21 日上午 8:00——11:00) 第一试 填空题(每题 8 分,共 80 分) 1. 设 A、B 是两个非空的有限集,全集 U=A∪ B,且 U 中含有 m 个元素,若(CUA)∪ UB)中含 (C 有 n 个元素,则 A∩B 中所含元素的个数为 2. 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 a sin A sin B ? B cos2 A ? 2a .则

a 的值是 b

.

??? ? ??? ? ???? 3. 在直角坐标系 xOy 中,已知三点 A(a,1)、B(2,b)、C(3,4),若向量 OA 与 OB 在向量 OC 方向上的投

影相同,则 3a-4b 的值是 . 4. 已知正三棱锥 P—ABC 的侧棱与地面所成的角为 45° ,则相邻侧面所成角的余弦值为 5. 已知三个互不相等的整数 x、y、z 之和介于 40 与 44 之间,若 x、y、z 依次构成公差为 d 的的等差 数列,x+y,y+z,z+x 依次构成公比为 q 的等比数列,则 d· 的值是 q 6. 设点 P、Q 分别在直线 3x—y+5=0 和 3x—y—13=0 上运动,线段 PQ 的中点为 M(x0y0),且 x0+y0≥4. y 则 0 的取值范围是 . x0 7. 在一个圆上随机取三点,则以这三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率等于= 8. 设 M=14+24+34+…+20134,则 M 的各位数字为 . x ? 1 ? 1 9. 若对任意 x ? ? ? , ? ,都有 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ? ? an xn ? ? ,则 a3 ? a4 的值是 1 ? x ? 2 x2 ? 2 ? 10. 若 0 ≤ xi ≤1? i ? 1, , , , ? ,M=|x1—x2|3+|x2—x3|3+|x3—x4|3+|x4—x5|3+|x5—x1|3 的最大值是 2 3 4 5

第二试 一、 (本题满分 20 分) 已知函数 f ? x ? ?
1 3 2? ?? sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? sin ? x ? ? , x ? R . 4 2 4? ?

?

?

(1) 求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2) 求函数 f ? x ? 的单调区间.

二、 (本题满分 20 分) 设不经过坐标原点 O 的直线 l 与圆 x2+y2=1 交于不同的两点 P、Q,若直线 PQ 的斜率是直线 OP 和 OQ 斜率的等比中项,求△POQ 面积 S 的取值范围. 三、 (本题满分 20 分) 如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是半圆弧的中点,P 是 AB 延 长线上的一点,PD 与半圆 O 相切于点 D,∠APD 的评分线分 别交 AC、BC 于点 E、F.求证:线段 AE、BF、EF 构成一个 直角三角形.

四、 (本题满分 30 分) 已知曲线 C1 : f ? x ? ?

1 x ?e ? e? x ? ,曲线 C2 : g ? x ? ? 1 ? ex ? e? x ? ,直线 x=a 与曲线 C1 、 C2 分别交于点 A、 2 2

B,曲线 C1 在点 A 处的切线为 l1 ,曲线 C2 在点 B 处的切线为 l2 . (1) 证明:直线 l1 与 l2 必相交,且交点到直线 AB 的距离为定值; (2) 设 a<0,直线 l1 与 l2 的交点为 P.若△PAB 为钝角三角形,求 a 的取值范围.

五、 (本题满分 30 分) 设 P0 , P , P2 ,?, Pn ? n ? N? ? 是平面上的 n ? 1 个点,且任意两点间的距离都小于 1.证明 ? 1
k ?1 n

1

? PP

0 k

? 1?

4

?

7 . 2


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