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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 第6节 圆锥曲线的综合问题课件 理

时间:2015-10-16


第6节

圆锥曲线的综合问题

最新考纲 1.了解圆锥曲线的简单 应用.

2.理解数形结合的思想. 3.掌握解决直线与圆锥曲线位置关系的 方法.

编写意图

直线和圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的重点和热

点,通常作为解答题中的压轴题出现,试题有一定的难度;多种圆锥

曲线的综合,多以选择题或填空题进行考查,属中等难度.本节围绕
高考命题的重点设置了圆锥曲线的综合问题、直线和圆锥曲线、圆 与圆锥曲线等三个考点,精心选编例题和练习题,并根据该部分命题 的热点设置了规范答题栏目,起到解题示范作用,并归纳了相应的解 题步骤,让学生可以按部就班地解决相关问题,突破难点.

夯基固本

考点突破 规范答题

夯基固本
知识梳理
1.直线和圆锥曲线的位置关系

抓主干

固双基

已知直线 l:ax+by+c=0,圆锥曲线 M:f(x,y)=0.

?ax ? by ? c ? 0, 2 联立方程组 ? 消去 y,整理得 Ax +Bx+C=0. ? f ( x, y) ? 0,
(1)若 A=0 且 B≠0,则直线 l 和圆锥曲线 M 只有一个公共点. ①当曲线为双曲线时,直线 l 与双曲线的渐近线平行; ②当曲线为抛物线时,直线 l 与抛物线的对称轴平行.

(2)若A≠0,则Δ =B2-4AC ①当Δ >0时,直线和圆锥曲线M有 两个不同的公共点; ②当Δ =0时,直线和圆锥曲线M相切,只有 一个公共点; ③当Δ <0时,直线和圆锥曲线M 没有 公共点. 质疑探究:若直线和圆锥曲线只有一个公共点 ,则直线和圆锥曲线

相切吗?
(提示:不一定相切,如图(1)、(2)所示. 即与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只

有一个公共点;与抛物线对称轴平行的直
线与抛物线只有一个公共点,但此时它们 的位置关系是相交而不是相切)

2.直线被圆锥曲线截得的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 = (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ]
1 = (1 ? 2 )[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] (k 为直线斜率) k

3.直线与圆锥曲线相交时的常见问题的处理方法 (1)涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”,采用设而不求,利用

弦长公式计算弦长.
(2)涉及弦中点的问题,常用“点差法”设而不求,将动点的坐标, 弦中点坐标和弦所在直线的斜率联系起来,相互转化.

(3)特别注意利用公式求弦长时,是在方程有解的情况下进行的, 不要忽略判别式,判别式 大于零 是检验所求参数的值是否有意
义的依据.

基础自测
x2 y 2 1.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系是( A ) 9 4

(A)相交 (C)相离

(B)相切 (D)不确定

解析:y=kx-k+1=k(x-1)+1, 显然直线恒过点A(1,1),而点A在椭圆内, 故直线和椭圆总相交.

2.(2014 湖北孝感模拟)已知抛物线 y =4x 的准线过双曲线
x2 y 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左顶点,且此双曲线的一条渐近线方程为 y=2x,则 2 a b

2

双曲线的焦距为( B ) (A) 5 (B)2 5
2

(C) 3

(D)2 3

解析:因为抛物线 y =4x 的准线 x=-1, 所以 a=1, 双曲线的渐近线方程为 y=±
b x=±bx, a

故 b=2,c= a 2 ? b 2 = 5 ,双曲线的焦距为 2 5 .

3.已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax2 相切,则 a 等于( C ) (A)
1 (D)4 4 ? ? x ? y ? 1 ? 0, 解析:联立方程组 ? 2 y ? ax , ? ? 1 2

(B)

1 3

(C)

消去 y 得 ax2-x+1=0,
? ? a ? 0, 由已知得 ? 2 ? ? ( ? 1) ? 4 ? a ? 1 ? 0, ? ?

1 解得 a= . 4

4.如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线 的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率 的比值是( B ) (A)3 (B)2 (C) 3 (D) 2

解析:设双曲线的实轴长 2a,焦距 2c,则椭圆的长轴长为 4a.
2c e双 2a 因此 = =2. e椭 2c 4a

1 x2 y 2 5.已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0),过点(1, )作圆 x2+y2=1 的切线,切点分别为 2 a b

A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是

.

解析:≧圆的一条切线为 x=1,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点, ?椭圆的右焦点为(1,0),即 c=1, 设点 P(1,
1 1 ),连接 OP,则 OP⊥AB.≧kOP= ,?kAB=-2, 2 2

又≧直线 AB 过点(1,0), ?直线 AB 的方程为 2x+y-2=0. ≧点(0,b)在直线 AB 上,?b=2.
x2 y 2 又≧c=1,?a =5,?椭圆的方程为 + =1. 5 4 2 2
2

答案:

x y + =1 5 4

考点突破
考点一 圆锥曲线间的综合问题
的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3 ,则 C 的实轴长为( (A) 2 (B)2 2 (C)4 (D)8

剖典例

找规律

【例 1】 (1)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x )

x2 y 2 x2 y 2 (2)已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双 a b 16 9

曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为

.

解析:(1)设双曲线方程为 x2-y2=a2(a>0), 由抛物线的准线方程为 x=-4, 代入上式得 y2=16-a2. ?16-a2=12,?a2=4,a=2, 故双曲线的实轴长为 2a=4.故选 C.

7 x2 y 2 (2)椭圆 + =1 的焦点坐标为 F1(- 7 ,0),F2( 7 ,0),离心率为 e= . 16 9 4
x2 y 2 x2 y 2 由于双曲线 2 - 2 =1 与椭圆 + =1 有相同的焦点, a b 16 9

因此 a +b =7.
7 7 2 7 a 2 ? b2 又双曲线的离心率 e= = ,所以 = , a a 4 a
x2 y 2 所以 a=2,b =c -a =3,故双曲线的方程为 =1. 4 3
2 2 2

2

2

x2 y 2 答案:(1)C (2) =1 4 3

反思归纳

圆锥曲线间的综合问题,涉及两种及以上的曲线的方程

和性质的相关运算,准确记忆方程中各参数的几何意义,彼此之间

的关系和相关几何性质是解决此类问题的关键 .尤其是区分椭圆和
双曲线标准方程中a、b、c三者的关系.

x2 【即时训练】(1)(2014 河北省正定中学三模)已知双曲线 y - =1 m
2

的中心在原点 O,双曲线两条渐近线与抛物线 y =mx 交于 A,B 两点,且 S△OAB=27 3 ,则双曲线的离心率为( (A) 3 (B)2 (C) 5
2

2

)

(D) 7

x2 y 2 (2)若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则该抛物 9 5

线的准线方程为

.

解析:(1)由双曲线的方程知 m>0,
1 ? y ? ? x, 1 ? 故双曲线的渐近线为 y=± x,由 ? m m ? y 2 ? mx, ?

解得 A(m2,m m ),B(m2,-m m ). 所以|AB|=2m m ,点 O 到直线 AB 的距离 d=m2.
1 1 故 S△OAB= |AB|×d= ×2m m ×m2=m3 m =27 3 .解得 m=3. 2 2

x2 所以双曲线方程为 y - =1. 3
2

故 a=1,c=2,所以 e=

c =2.故选 B. a

x2 y 2 (2)椭圆 + =1 的半焦距 c= 9 ? 5 =2, 9 5

所以椭圆的右焦点为(2,0), 抛物线的焦点 F(
p p ,0),所以 =2,p=4, 2 2

所以所求抛物线方程为 y2=8x.

答案:(1)B (2)y2=8x

考点二

直线与圆锥曲线

【例 2】 (2015 哈师大附中月考)如图,已知圆 E:(x+ 3 )2+y2=16,点 F( 3 ,0),P 是圆 E 上任意一点.线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q.

(1)求动点 Q 的轨迹Γ 的方程; (2)已知 A,B,C 是轨迹Γ 上的三个动点,点 A 在第一象限,B 与 A 关于原点对 称,且|CA|=|CB|,问△ABC 的面积是否存在最小值?若存在,求出此最小值及 相应直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由.

解:(1)Q 在线段 PF 的垂直平分线上, 所以|QP|=|QF|, 得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4. 又 EF=2 3 <4, 得 Q 的轨迹是以 E,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,
x2 2 故动点 Q 的轨迹Γ的方程为 +y =1. 4 (2)由点 A 在第一象限,B 与 A 关于原点对称,

设 AB:y=kx(k>0), |CA|=|CB|, ?C 在 AB 的垂直平分线上,
? y ? kx, 1 ? ?CO:y=- x.由 ? x 2 2 k ? ? y ?1 ?4

k2 ?1 得(1+4k )x =4,|AB|=2|OA|=2 x ? y =4 , 2 4k ? 1
2 2

2

2

k2 ?1 同理可得|OC|=2 2 , k ?4
4( k 2 ? 1) ( k 2 ? 1) 2 1 S△ABC= |AB|·|CO|=4 = , 2 2 2 2 (4k ? 1)( k ? 4) 2 (4k ? 1)( k ? 4)

4k 2 ? 1 ? k 2 ? 4 5(k 2 ? 1) (4k ? 1)(k ? 4) ≤ = , 2 2
2 2

8 8 当且仅当 k=1 时取等号,所以 S≥ ,当 AB:y=x 时 Smin= . 5 5

反思归纳

(1)研究直线与圆锥曲线的位置关系,一般是联立直线与

圆锥曲线的方程,根据方程组解的个数判断,当已知直线与圆锥曲线 相交于两点时,要注意判别式大于0的条件. (2)直线与圆锥曲线相交所得弦长问题 ,较少单独考查弦长的求解, 一般是已知弦长(或三角形面积)的信息求参数或直线、圆锥曲线的 方程.解决此类问题的关键是设出点的坐标,利用根与系数的关系, 求得弦长(或面积),列出方程求解.

【即时训练】已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2).
(1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有 公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 在,说明理由.
5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存 5

解:(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1, 所以p=2.

故所求的抛物线C的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1.

(2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t.
? ? y ? ?2 x ? t , 由? 2 得 y2+2y-2t=0. ? ? y ? 4x

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点, 所以Δ=4+8t≥0,解得 t≥1 . 2

t 5 1 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d= 可得 = , 5 5 5
解得 t=±1. 因为-1
? ? 1 ? ? ???? 1 , +? ? ,1∈ ?? , +? ? ,所以 t=1, 2 ? ? 2 ?

故符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.

考点三

圆与圆锥曲线的综合问题

【例 3】 如图,已知抛物线 C:y2=2px(p>0)和☉M:(x-4)2+y2=1,过抛物线 C 上 一点 H(x0,y0)(y0≥1)作两条直线与☉M 相切于 A、B 两点,分别交抛物线于 E、 F 两点,圆心 M 到抛物线准线的距离为 (1)求抛物线 C 的方程; (2)当∠AHB 的平分线垂直于 x 轴时,求直线 EF 的斜率; (3)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t,求 t 的最小值.
解:(1)≧点 M 到抛物线准线的距离为 4+ ?p=
1 ,?抛物线 C 的方程为 y2=x. 2
p 17 = , 2 4

17 . 4

(2)≧当∠AHB 的平分线垂直于 x 轴时,点 H(4,2), ?kHE=-kHF, 设 E(x1,y1),F(x2,y2), ? ?
y ? y2 yH ? y1 =- H , xH ? x2 xH ? x1 yH ? y1 yH ? y2 =, 2 2 2 2 yH ? y1 yH ? y2 y2 ? y1 y2 ? y1 1 1 = 2 = =. 2 4 x2 ? x1 y2 ? y1 y2 ? y1

?y1+y2=-2yH=-4, ?kEF=

y3 4 ? x3 (3)设 A(x3,y3),B(x4,y4),≧kMA= ,?kHA= . x3 ? 4 y3
可得,直线 HA 的方程为(4-x3)x-y3y+4x3-15=0, 同理,直线 HB 的方程为(4-x4)x-y4y+4x4-15=0, ?(4-x3) y 02 -y3y0+4x3-15=0, (4-x4) y 02 -y4y0+4x4-15=0, ?直线 AB 的方程为(4- y 02 )x-y0y+4 y 02 -15=0, 令 x=0,得 y=t=4y0-

15 (y0≥1), y0

≧t 关于 y0 的函数在[1,+≦)上单调递增, ?tmin=-11.

反思归纳

圆与圆锥曲线的综合问题中,圆的有关问题多为背景的

形式出现,以“圆的切线”为主,此类问题的重点仍为直线和圆锥曲 线的位置关系为主,基本方法仍需把直线方程和圆锥曲线方程组成

方程组,利用方程的理论解决相关问题.

助学微博
1.准确把握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质,注意灵活 利用定义求解相关量. 2.解决直线和圆锥曲线问题时,应注意直线斜率的讨论,联立方程组

消元后,要注意判别式或符号的限制.
3.解决圆锥曲线与圆的综合问题,要注意各种曲线性质与定义的灵活 应用,求解相关最值更要注意圆锥曲线中的焦点与圆心的应用.

规范答题
圆锥曲线间的综合问题

得高分

有依据

【典例】 (13 分)(2014 高考陕西卷)如图,曲线 C 由上半椭圆
y 2 x2 2 C1: 2 + 2 =1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线 C2:y=-x +1(y≤0)连接而 a b

成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为 (1)求 a,b 的值;

3 . 2

(2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异 于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的方程.

【满分展示】 解:(1)在 C1,C2 的方程中, 令 y=0,可得 b=1,………………………………………………1 分 且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 C1 的左、右顶点. 设 C1 的半焦距为 c, 由
3 c 2 2 2 = 及 a -c =b =1 得 a=2.………………………………3 分 a 2

?a=2,b=1.……………………………………………………4 分
y2 2 (2)由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 +x =1(y≥0). 4

易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直, 设其方程为 y=k(x-1)(k≠0),…………………………………5 分 代入 C1 的方程,整理得 2 2 2 2 (k +4)x -2k x+k -4=0.(*)

设点 P 的坐标为(xP,yP), ≧直线 l 过点 B, ?x=1 是方程(*)的一个根.
k2 ? 4 由根与系数的关系,得 xP= 2 , k ?4

从而 yP=

?8 k , 2 k ?4

?8 k k2 ? 4 ?点 P 的坐标为( 2 , 2 ).……………………8 分 k ?4 k ?4
? ? y ? k ( x ? 1)(k ? 0), 同理,由 ? 2 ? ? y ? ? x ? 1( y ? 0)

得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k).………………………10 分

???? 2k (k,-4), AQ =-k(1,k+2). 2 k ?4 ??? ? ???? ≧AP⊥AQ,? AP · AQ =0,
??? ? ? AP =

?2 k 2 即 2 [k-4(k+2)]=0,≧k≠0,?k-4(k+2)=0, k ?4
8 解得 k=- .…………………………………………12 分 3 8 经检验,k=- 符合题意, 3 8 故直线 l 的方程为 y=- (x-1).……………………13 分 3

【答题模板】 第一步:根据题中条件找到a、b、c的关系式解得a、b.

第二步:根据条件设直线方程.
第三步:直线方程分别与曲线C1,C2联立,表示点P、Q的坐标. 第四步:利用向量转化条件AP⊥AQ得到关于k的方程,求解参数.

第五步:检验,写出结论.


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