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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题

时间:2016-07-23


2014级哈师大附中高二上学期期中考试

数 学 试 题(理科)
命题人:高二数学备课组 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.抛物线 x2 ? 4 y 的焦点坐标是( A. (0,1) B. (1, 0) ) C. (0,

1 ) 16

D. (

1 , 0) 16


2.若直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 ax ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于( A.1 B. ?

1 3

C. ?2

D. ?

2 3


3. 圆 O 1: x2 ? y 2 ? 2x ? 0 和圆 O 2: x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是( A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

4.焦点在 x 轴上的椭圆

x2 ? y 2 ? 1(n ? 0) 的焦距为 4 2 ,则长轴长是( 3n
C. 6 2 D. 2



A. 3

B. 6

5. 一束光线从点 A(?1,1) 出发,经 x 轴反射到圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 上的最短路径是 ( )A.4 B.5 C. 3 2 ? 1 D. 2 6

6. 方程

x2 y2 ? ? 1表示椭圆,则 t 的取值范围是( 4 ? t t ?1
B. t ? 1 或 t ? 4
2

) D. 1 ? t ?

A. 1 ? t ? 4

C. t ? 4

5 5 或 ?t?4 2 2
)条

7. 过 P (?4,1) 的直线 ? 与抛物线 y ? 4 x 仅有一个公共点,则这样的直线 ? 有( A.1 B.2
2

C.3
x ? y 2 ? 1 相切,则 m 的值为( 2

D.4 ) D. ?3

8.直线 y ? x ? m 与椭圆 A. ? 3

B. ? 2

C. ?1

x2 y2 9.已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 A、B 两点,且 AB 的中 a b
点为 M (1,3) ,则双曲线的渐近线方程为( )

A. y ? ?3x

B. y ? ? 3x

C. y ? ?

1 x 3

D. y ? ?

3 x 3

10.倾斜角为 45 ? 的直线 ? 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长为( A. 2 ) B. 4 C. 6 D. 8 )

11.直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的左支有两个公共点,则 k 的取值范围是( A. (? 2,0) 12. B. (? 2, 2) C. (? 2, ?1) D. (? 2, ?1]

已 知 向 量 a ? ( x0 ? 2, y0 ), 向 量 b ? ( x0 ? 2, y0 ), 且 | a | ? | b |? 4 3 , 设 )

?

?

?

?

???? ???? M ( x0 , y0 ) , A(?2, 0) , B(2, 0) ,则 | MA | ? | MB | 的最大值为(

A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.) 13.已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 ,则动点 P 的轨迹方 程 . 14.已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 相切,则 a 的值为________.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 15.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为____________. ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
16.设 F1,F2 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,椭圆上存在一点 P ,使得 a 2 b2
3 ab, 则椭圆的离心率为 2

| PF1 | ? | PF2 |? 2b,| PF1 | ? | PF2 |?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 10 分) △ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C=

π . 3

(Ⅰ)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (Ⅱ)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A ,求△ABC 的面积. 18.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过 P1( 6,1), P2(- 3,- 2)两点. (I)求椭圆 C 的标准方程. (II)过点 P(1,1)作椭圆的弦 AB,使点 P 为弦 AB 的中点,求弦 AB 的长.

19. (本题满分 12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥底面 ABCD,PA =AB= 6,点 E 是棱 PB 的中点. (Ⅰ)证明: AE ? 平面 PBC ; (Ⅱ)若 AD= 3,求二面角 A—EC—D 的平面角的余弦值.

20.(本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x ? 6x ? 5 与坐标轴的交点都在圆 C
2

上。 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB, 求 a 的值。

21.(本题满分 12 分) 设椭圆 C:

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率与双曲线 x2-y2=1 的离心 2 a b

率互为倒数,且椭圆 C 过点 P( 2,1). (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若椭圆 C 的左、 右焦点分别为 F1,F2 , 过F B 两点, 求 ?F 2AB 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 面积的最大值.

22. (本题满分 12 分)如图,已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F . 过点 P(2, 0) 的直线交抛物线于 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) 两点,直线 AF,BF 分别与抛物线交于点 M,N . (Ⅰ)求 y1 y2 的值; (Ⅱ)记直线 MN 的斜率为 k1 ,直线 AB 的斜率为 k 2 证明:

k1 为定值 k2

1~5ACBBA 13.

数学试题参考答案(理科) 6~10DCABD 11~12CD

5 x2 y 2 3 ? ? 1( x ? 0) ;14.8 或-18;15. ;16. 2 2 2 2
2 2

17.(I)由余弦定理及已知条件得, a +b -ab=4; 又因为△ABC 的面积等于 3, 所以
? ?a +b -ab=4, 联立方程组? ?ab=4, ?
2 2

1 absinC 2

= 3,得 ab=4.

解得 a=2,b=2.

(II)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA,即 sinBcosA=2sinAcosA, π π 4 3 2 3 当 cosA=0 时,A= ,B= ,a= ,b= , 2 6 3 3
? ?a +b -ab=4, 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a,联立方程组? ?b=2a, ?
2 2

2 3 4 3 1 2 3 解得 a= ,b= . 所以△ABC 的面积 S= absinC= . 3 3 2 3 18. (I)设椭圆 C: mx2 ? ny 2 ? 1(m, n ? 0, m ? n) P1( 6,1),P2(- 3,- 2)分别代入得

x2 y 2 ? ? 1. 9 3
1 1 x2 y 2 ? ?1 联立,得 ( II ) 直 线 AB 的 斜 率 为 k ? ? , 则 AB : y ? 1 ? ? ( x ? 1) 与 3 3 9 3

4 x2 ? 8x ? 11 ? 0

| AB |? 1 ?

5 1 6 | x1 ? x2 |? 3 9

19.(I) 如右图,以 A 为坐标原点,射线 AB、AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴 正半轴,建立空间直角坐标系 A-xyz.设 D(0,a,0),则 B( 6,0,0),C( 6, 6 6 a,0),P(0,0, 6),E( ,0, ). 2 2 6 6 → → → 因此AE=( ,0, ),BC=(0,a,0),PC=( 6,a,- 6). 2 2 → → → → 则AE·BC=0,AE·PC=0,所以 AE⊥平面 PBC. → (II)因为|AD|= 3,则 D(0, 3,0),C( 6, 3,0). → → → 设平面 AEC 的法向量 n1=(x1,y1,z1),则 n1·AC=0,n1·AE=0.又AC=( 6,

? 6x1+ 3y1=0, ? 6 6 → 3,0),AE=( ,0, ),故? 6 6 2 2 x1+ z1=0, ? 2 2 ?
所以 y1=- 2x1,z1=-x1.可取 x1=- 2,则 n1=(- 2,2, 2). → → 设平面 DEC 的法向量 n2=(x2,y2,z2),则 n2·DC=0,n2·DE=0,

x2=0, ? ? 6 6 → → 又DC=( 6,0,0),DE=( ,- 3, ),故? 6 6 2 2 x2- 3y2+ z2=0. ? 2 2 ?
所以 x2=0,z2= 2y2,可取 y2=1,则 n2=(0,1, 2). n1·n2 6 6 故 cos〈n1,n2〉= = .所以二面角 A-EC-D 的平面角的余弦值为 . |n1|·|n2| 3 3 20.(I) ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 ; (II) x ? y ? a ? 0 与 ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 得 2 x2 ? (2a ?12) x ? (a ? 3)2 ? 4 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由韦达定理得, x1 ? x2 ? 6 ? a, x1 x2 ?

a 2 ? 6a ? 5 2

??? ? ??? ? OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a2 ? a 2 ? 6a ? 5 ? 0 ? a ? ?1 或 a ? ?5
21. (I)双曲线的离心率为 2,则椭圆的离心率为 e= = 1 ?

c a

2 b2 2 2 = ,解得 a ? 2b 2 2 a

则椭圆 C 的方程为

x2 y2 x2 y 2 2 ? ? 1 ? ?1 b ? 2 , P ( 2 , 1 ) 代入得, , 所求椭圆 C 的方程为 2b 2 b 2 4 2 x2 y 2 ? ? 1 联立得, (m2 ? 2) y2 ? 2 2my ? 2 ? 0 4 2

(II) 过 F 1 的直线 l : my ? x ? 2 与 由韦达定理得, y1 ? y2 ?

?2 2 2 , y1 y2 ? 2 2 m ?2 m ?2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? m2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? m 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2

?

4(m2 ? 1) m2 ? 2

设 F2 到直线 l 的距离 d ?

2 2 1 ? m2 2 1? m
2

S?F 2 AB

1 4(m2 ? 1) ? | AB | d = ? 2 m2 ? 2

=

4 2 1 ? m2 ? 1 1 ? m2

? 2 2 (当且仅当 m ? 0 )

22.(I) ?

?my ? x ? 2 ? y ? 4x
2

? y 2 ? 4my ? 8 ? 0 ,由韦达定理得, y1 y2 ? ?8

(II)AF: y ?

y y1 ( x ? 1) 与 y 2 ? 4x 联立,得 1 y 2 ? (1 ? x1 ) y ? y1 ? 0 4 x1 ? 1

由韦达定理得, y1 yM ? ?4 ? yM ? ?

4 4 ,同理, yN ? ? y1 y2

4 k1 yM ? yN y ? y2 yy ? ? 1 ? ? 1 2 ? 2 (定值) 4 k2 yM ? y N 4 y1 ? y2


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