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历年国际赛题中文版(缺2011年C题)

时间:2013-01-25


美国大学生数学建模竞赛赛题目录
1985 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题 ............................................................................. 1 MCM 问题-A 动物群体的管理........................................................................................... 1 MCM85 问题-B 战购物资储备的管理 ................................................................................ 1 1986 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题 ............................................................................. 2 MCM 问题-A 水道测量数据 ............................................................................................... 2 MCM 问题-B 应急设施的位置............................................................................................ 2 1987 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题 ............................................................................. 3 MCM 问题-A 盐的存贮 ....................................................................................................... 3 MCM 问题-B 停车场 ........................................................................................................... 3 1988 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题 ............................................................................. 4 MCM 问题-A 确定毒品走私船的位置................................................................................ 4 MCM 问题-B 两辆铁路平板车的装货问题 ........................................................................ 4 1989 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题 ............................................................................. 4 MCM 问题-A 蠓的分类 ....................................................................................................... 5 MCM 问题-B 飞机排队 ....................................................................................................... 5 1990 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题 ............................................................................. 5 MCM-A 药物在脑内的分布 ................................................................................................. 5 MCM 问题-B 扫雪问题 ........................................................................................................ 5 1991 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题 ............................................................................. 6 MCM 问题-A 估计水塔的水流量 ..................................................................................... 6 MCM 问题-B 通讯网络的极小生成树 ................................................................................ 6 1992 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题 ............................................................................. 6 MCM 问题-A 空中交通控制雷达的功率问题.................................................................... 6 MCM 问题-B 应急电力修复系统的修复计划 .................................................................. 7 1993 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题 ............................................................................. 7 MCM 问题-A 加速餐厅剩菜堆肥的生成............................................................................ 7 MCM 问题-B 倒煤台的操作方案........................................................................................ 8 1994 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题 ............................................................................. 9 MCM 问题-A 住宅的保温 ................................................................................................... 9 MCM 问题-B 计算机网络的最短传输时间 ........................................................................ 9 1995 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题 ........................................................................... 10 MCM 问题-A 单一螺旋线 ................................................................................................. 10 MCM 题-B A1uacha Balaclava 学院.................................................................................... 11 1996 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题 ........................................................................... 11 MCM 问题-A 噪音场中潜艇的探测 ................................................................................. 11 MCM 问题-B 竞赛评判问题.............................................................................................. 12 1997 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题 ........................................................................... 12 MCM 问题-A Velociraptor(疾走龙属)问题.......................................................................... 12 MCM 问题-B 为取得富有成果的讨论怎样搭配与会成员 ................................................ 13 1998 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题 ........................................................................... 14 MCM 问题-A 磁共振成像扫描仪 ..................................................................................... 14

MCM 问题-B 成绩给分的通胀.......................................................................................... 15 1999 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛(ICM)赛题 ............................. 15 MCM 问题-A 大碰撞 ......................................................................................................... 15 MCM 问题-B “非法”聚会.............................................................................................. 15 ICM99 问题-C 地面污染.................................................................................................... 16 2000 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛(ICM)赛题 ............................. 17 MCM 问题-A 空间交通管制 ............................................................................................... 17 MCM 问题-B: 无线电信道分配....................................................................................... 17 ICM 问题-C:大象题.......................................................................................................... 18 2001 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛(ICM)赛题 ............................. 19 MCM 问题- A: 选择自行车车轮 ....................................................................................... 19 MCM 问题-B 逃避飓风怒吼(一场恶风…) .................................................................. 20 ICM 问题-C 我们的水系-不确定的前景............................................................................. 21 2002 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛(ICM)赛题 ............................. 22 MCM 问题-A 风和喷水池 ................................................................................................... 22 MCM 问题-B 航空公司超员订票........................................................................................ 23 ICM 问题-C ........................................................................................................................... 23 2003 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛(ICM)赛题 ............................. 26 MCM 问题-A:特技演员 ........................................................................................................ 26 MCM 问题-B: Gamma 刀治疗方案 ................................................................................... 26 ICM 问题-C 航空行李的扫描对策 ...................................................................................... 27 2004 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛(ICM)赛题 ............................. 29 MCM 问题-A:指纹是独一无二的吗? ............................................................................. 29 MCM 问题-B:更快的快通系统.......................................................................................... 29 ICM 问题-C 安全与否?...................................................................................................... 30 2005 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛(ICM)赛题 ............................. 32 MCM 问题 A.水灾计划 ....................................................................................................... 32 MCM 问题-B.公路收费站的设置......................................................................................... 33 ICM 问题-C:不可再生的资源 ............................................................................................ 33 2006 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛(ICM)赛题 ............................. 34 MCM 问题-A: 用于灌溉的自动洒水器的安置和移动调度 ............................................. 34 MCM 问题-B: 通过机场的轮椅 ........................................................................................ 34 ICM 问题-C : 抗击艾滋病的协调 ...................................................................................... 35 2007 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛(ICM)赛题 ............................. 38 MCM A-题:不公正的选区划分 .......................................................................................... 38 MCM 问题 B :飞机就座问题 ......................................................................................... 39 ICM 问题-C:器官移植:肾交换问题 ................................................................................ 39 2008 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛(ICM)赛题 ............................. 42 MCM 问题-A:给大陆洗个澡 ................................................................................................ 42 MCM 问题-B:建立数独拼图游戏...................................................................................... 42 ICM 问题-C:找出卫生保健系统中的有利之处 ................................................................ 43 2009 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛(ICM)赛题 ............................. 43 MCM 问题-A:设计一个交通环岛 ..................................................................................... 43 MCM 问题-B:能源和手机 ................................................................................................. 43

ICM 问题-C:构建食物系统: 重新平衡被人类影响的生态系统 ..................................... 44 2010 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛(ICM)赛题 ............................. 47 MCM 问题-A:最佳击球点 ................................................................................................. 47 MCM 问题-B:犯罪学 ......................................................................................................... 47 ICM 问题-C:太平洋垃圾带................................................................................................ 48 2011 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛(ICM)赛题.............................. 49 MCM A 题:单板滑雪场地 .................................................................................................. 49 MCM B 题 中继站的协调..................................................................................................... 49

1985年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题
MCM 问题-A 动物群体的管理
在一个资源有限, 即有限的食物、 空间、 水等等的环境里发现天然存在的动物 群体。 试选择一种鱼类或哺乳动物(例如北美矮种马、鹿、免、鲑鱼、带条纹的欧 洲鲈鱼)以及一个你能获得适当数据的环境,并形成一个对该动物群体的捕获量 的最佳方针。

MCM85 问题-B 战购物资储备的管理
钴对许多工业是必不可少的(1979 年仅国防需要就占了全世界钴生产量的 17%),但是钴不产生在美国。大部分钴来自政治上不稳定的构 F 地区。见图 85B-1,85B-2,85B-3。 1946 年制订的战略和稀有作战物资存贮法令要求钴的储存量应保证美国能 渡过三年战争时期。 年代政府按要求存贮了, 50 并在 70 年代卖掉了大部分贮量, 而在 70 年代后期决定重新贮存,贮存的指标是 8540 万磅,到 1982 年获得了 贮 量的一半。 试建立一个战略金属钴的储存管理数学模型。你需要考虑诸如以下的问题; 贮量应多大?应以多大的比率来获得贮量?买这些金属的合理价格应该是多少?还 要求你考虑诸如以下的问题,贮量达到多大时应开始减少贮存量?应以多大的比 率来减少?卖出这 些金属的合理价格应该是多少?应该怎样分配(附页中有关于 钴的资源、价格、需求及再循环等方面的信息) 关于钴有用信息: 1985 年政府计划需要 2500 万磅钴。 进行周而复始的生产经营, 从而每年可 生产 600 万磅钴。1980 年占总消耗量 70 银的 120 万磅钴再循环了,得到了 重新 处理。

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1986年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题
MCM 问题-A 水道测量数据
表 86A-1 给出了在以码为单位的直角坐标为 X, 的水面一点处以英尺计的 Y 水 Z. 水深 数据是在低潮时测得的。船的吃水深度为 5 英尺。在矩形区域(75, 200)×(-50,150)里的哪些地方船要避免进入。

本题是由加州海军研究生院数学系的Richard Scattered

Franke提供的,可阅他的论文

Data Interpolation,Math,Comput.,38(1982),18l-200。

MCM 问题-B 应急设施的位置
“里奥兰翘镇”迄今还没有自己的应急设施。1986 年该镇得到了建立两个 应急设施的 安全拨款。每个设施都把救护站、消防队和警察所合在一起。图 86B-1 指出了 1985 年每个 长方街区应急事件的次数。 在北边的上形状的区域 是一个障碍, 而在南边的长方形区域是一 个有浅水池塘的公园。 应急车辆驶过一 条南北向的街道平均要花 15 秒,而通过一条东西向 的街道平均要花 20 秒。 你的任务就是确定这两个应急设施的位置, 使得总的响应时间最少。
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①假定需求集中在每个街道的中心而应急设施位于街角处; ②假定需求是沿包围每个街区的街道上平均分布的,而应急设施可位于街道 任何地方。本题是由马里兰州沙里斯勃莱州立学院地理学与地区规划系的 J.C. McGrew 提供的。

1987年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题
MCM 问题-A 盐的存贮
美国中西部一个州把冬天用来洒在马路上的盐存贮在一个球顶仓库里大约 有 15 年了。 图 87A-1 表示在过去 15 年中盐是怎么存贮的,通过驾驶铲斗车在由盐 铺成的坡道上进出仓 里并利用铲斗车上的铲子把盐装进仓里或从仓里取出来。 最近, 一个小组确定这种做法是不安全的。 如果铲斗车太靠近盐堆的顶端, 盐就 要滑动,而铲斗车就耍翻到为加固仓库而筑的拥壁上去。小组建议,如果盐堆是 用铲斗车堆起来的, 那么盐堆的最高高度不要超过 15 英尺。对这种情况建立 一个数学模型并求得在仓库中的盐 堆的最大高度。图中仓高 50 英尺,拥壁高 4 英尺, 仓的外直径 103 英尺, 门的净空高 l9 英尺 9 英寸, 铲斗车高 10 英 尺 9 英寸。

本题是由印第安纳大学的 M.Thompon 提供的, 是从出现在 1986 年 11 月的 Indianapolis Star 的一个实际问题改造而成的。

MCM 问题-B 停车场
在新英格兰地区一个镇上位于街角处的一个停车场的场主雇你来设计该停车
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场的安排, 即设计“在地上的线应怎样划法” 。 你一定认识到要把尽可能多的车塞进停车场会导致以直角停靠的方式一辆 挨一辆地排 成行。但是缺乏经验的司机对于这种停靠方式是有困难的,这可能 引起昂贵的保险费要求。 为了减少停靠车辆时可能造成的损坏,场主就要启用一些熟练的汽车司机作为 “专职停靠司机” 。另一方面,如果汽车从通道进来有一个足够大的“转弯半 径”的话, 那么大多数司机看来都不会有很大的困难一次就停靠到该停靠的位 置上去。 当然通道愈宽能 容纳的车辆就愈少, 这就会导致停车场场主收入的减少。 本题是由加州海军研究生院的 M.D.Weir 提供的。

1988年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题
MCM 问题-A 确定毒品走私船的位置
相距 5.43 哩的监听站收听到一个短暂的无线电讯号。收听到讯早的时候 测向仪分别定 位在 111°和 119°处 〔见图 88A-1), 测向仪的精度为±2°, 该 讯号来自一个毒品交换活跃 的地方,据推测该处有一只机动船正等着有人来取 毒品。当时正值黄昏、无风、无潮流。一 架小型直升飞机离开监听站①的简易机 场并能精确地沿 111°角方向飞行。 直升飞机的飞行 速度是走私船的三倍。 在离 船 500 英尺时船上能听到直升飞机的声音。 直升飞机只有一种侦察仪器--探照 订。在 200 英尺远的地方探照灯只能照明半径为 25 英尺的圆域。 ①说明飞行员能找到正等着的毒品船的(最小)区域。 ②研究一种直升飞机的最佳搜索方法。 在你的计算中要有 95%的精度。 本题是由加州 Claremont McKenna 学院的 J.A.Ferling 提供的。这是一个 分 类(分组问题)的修正简化形式。原问题和现在简化的问题都还没有一种已知的最 化 解法。

MCM 问题-B 两辆铁路平板车的装货问题
有七种规格的仪装箱要装到两辆铁路平板车上去。 包装箱的宽利高是一样的, 但厚度(t, 以厘米计)及重量(w,以公斤计)是不同的。表 88B-1 给出了每种包 装箱的厚度、重量以及数 量。图 88B-1 中每辆平板车有 10.2 米长的地方可用 来装包装箱 (象面包片那样), 载重为 40 吨。由于当地货运的限制,对 C5,C6, C7 类的包装箱的总数有-个特别的限制;这类箱子所占的空间(厚度)不能超过 302.7 厘米。试把包装箱装到干板车上去使得浪费的空间最小。 本题是由佐治亚理工学院的 J.Bartholdi 提供的。这是出现在福特汽车公 司的一个尚未解决的问题的修正与简化。J.Bartholdi 章 The Outstanding Railroad v.9(1988),no.4,399-103. 还写了一篇评论性文

Flatcar Papers ,The UMAP Journal ,

1989年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题
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MCM 问题-A 蠓的分类
两种蠓 Af 和 Apf 己由生物学家 W.L.Grongan 和 W.W.Wirth(1981 年)根 据它们的触角长 度和翼长加以区分(见图 89A-1), 只 Af 蠓用标记, 只 Apf 9 6 鲸用 “.” 标记。 根据给出的触 角长度和翼长识别出一只标本是 Af 还是 Apf 是 重要的。 ①给定一只 Af 或者 Apf 族的蝶,你如何正确地区分它属于哪一族? ②将你的方法用于触角长和翼长分别为(1.24, 1.80)、 (1.28, 1.84)、 (1.40, 2.04) 的三个标本。 ③设 Af 是宝贵的传粉益虫,Apf 是某种疾病的载体,是否应该修改你的分类方 法,若需修改,怎么改?

MCM 问题-B 飞机排队
机场通常都是用“先来后到”的原则来分配飞机跑道,即当飞机准备好离开 登机口时, 驾驶员电告地面控制中心,加入等候跑道的队伍。 假设控制塔可以 从快速联机数据库中得到每架飞机的如下信息: ①预定离开登机口的时间; ②实际离开登机口的时间; ②机上乘客人数; ④预定在下一站转机的人数和转机的时间; ⑤到达下一站的预定时问。 又设共有七种飞机,载客量从 100 人起以 50 人递增,载客最多的一种是 400 人。 试开发和分析一种能使乘客和航空公司双方满意的数学模型。 本题是由纽约市立大学约克学院的 Joseph Malkevitch 提供的。

1990年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题
MCM-A 药物在脑内的分布
研究脑功能失调的人员欲测试新的药物的效果,例如治疗帕金森症往脑部 为了精确估计药物影响到的脑部区域, 他们必须 注射多巴胺(Dopamine)的效果, 估计注射后药物在脑内空间分布区域的大小和形状。 研究数据包括50个圆柱体组织样本的每个样本药物含量的测定值(如图 90A-1), 每个圆柱体长0.76mm,直径0.66mm,这些互相平行的圆柱体样本的中心 位于网络距为1mm×0.76mm×1mm 的格点上,所以圆柱体互相向在底面上接触, 侧面互不接触。 注射是在最高计数的那个圆柱体的中心附近进行的。 自然在圆柱体 之间以及由圆柱体样本覆盖的区域外也有药物。 试估计受到药物影响的区域个 药物的分布。

MCM 问题-B 扫雪问题
地图如图 90B-1 中的实线表示马里兰州威考密科县中扫雪区域中的二车道 马路, 虚线表 示州属高速公路。 一场雪后, 从位于地图 b 标记地点以西 4 英里的二 处车库派出两辆扫雪车。 求用两辆扫雪车扫清马路上的雪的有效的方法, 扫雪车
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可以利用高速公路进出扫雪区。 假设 扫雪车既不会发生故障也不停顿, 在交叉路 口不得特别的扫雪方法。

1991年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题
MCM 问题-A 估计水塔的水流量
美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率 以及每天所 用的总水量, 但许多社区并没有测量流人或流出当地水塔的水量的 设备, 他们只能代之以每小时测量水塔中的水位,其精度在 0.5%以内。更为重 要的是,无论什么时候,只要水塔中的水位下降到某一最低水位 L 时,水泵 就启动向水塔重新充水直至某一最高水位只,但也 无法得到水泵的供水量的测 量数据。 因此, 在水泵正在工作时, 人们不容易建立水塔中的水 位与水泵工作时 的用水量之间的关系。水泵每天向水塔充水一次或两次,每次约二小时。 试估 计在任何时刻,甚至包括水泵正在工作的时间内,水从水塔流出的流量 f(t), 并估计一 天的总用水量。

MCM 问题-B 通讯网络的极小生成树
两个通讯站间通讯线路的费用与线路的长度成正比。 通过引入若干个 “虚设站” 并构造 一个新的 Steiner 树就可以降低由一组站生成 Nf 自统的极小生成树 所需的费用。 用这种方法 可降低费用多达 。 而且为构造一个有 n 个站的网络的 费用最低的 Steiner 树绝不需要多于(n-2) 个虚设站。下面是两个简单的例子。 对于局部网络而言,有必要用直折线距离或“棋盘”距离来代替欧氏直线距 离。 假定你希望设计一个有 9 个站的局部网络的最低造价生成树。这 9 个站 的直角坐标是: 限定你只能用直线,而且所有的虚设站必须位于格点上(即其坐 标是整数)。每条直线段的造 价是其长度值。 ① 求该网络的一个极小费用树。 ② 假定每个站的费用为 ,其中 d=通讯站助度,若 w=1.2,求极小费用树。 ③ 试推广本问题。 本题是由马里兰州沙里斯勃菜州立大学数学科学系 B.A.Fusaro(他也是 MCM 的 Director)提供的 ,他是受启发于 Cipra.Barry geometry alive and no.1,16-17,19. A . Euclidean .

well in the computerage.SIAM New5,v.24(1991),

1992年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题
MCM 问题-A 空中交通控制雷达的功率问题
要求你决定一个主要城市的机场的空中交通控制雷达发射的功率。 机场行政部 门希望兼 顾安全性与经济性使雷达的发射功率最小。 机场行政部门限于使用现有的天线和接收线路。 唯一可以考虑的选择是改进雷 达的发射 电路使雷达更强大。你要回答的问题是雷达必须发射多少功率(以瓦
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特为单位)反以保证能探测到 100 公里以内的标准客机。 技术说明: ①雷达天线是一个旋转抛物面的一部分, 该抛物面的焦距又 1 米。 它投影至与顶点 相同 的平面是一个长轴为 6 米, 短轴为 2 米的椭圆。 从焦点发出的主能量柬是一 个椭圆锥, 其长轴角为 1 弧度,短轴角为 50 毫弧度。天线和能量束的简图如 图 92A-1 所示。 ②理想化的一类飞机是具有 75 平方米完全雷达反射截面团飞机, 亦即在你的初步 模型 中飞机等价于一个 75 的小心位于天线轴线上并垂直于该轴的 100%反 射圆碟,你亦 可以考虑其它模型或改进这个模型。 ③接收线路的灵敏度是雷达天线反馈报警器(位于雷达天线的焦点)刘 10 微瓦的 回波信号会作出反应。

MCM 问题-B 应急电力修复系统的修复计划
为沿海地区服务的电力公司必须具备应急系统来处理风暴引起的电力中断。 这样的系统需要由估计的修复时间和费用与由客观准则判定的停电的“价值” 构成的数据输入,过去HECO 电力公司曾因缺乏优先方案而遭受传播媒介的批评。 设想你是 HECO 电力公司顾问。HECO 具有一个实时处理的,通常包含下述 信息的服 务电话的计算机数据库: 报修时间;需求者类型;估计受害人数;地点(X,Y)。 有两个工程队调度所, 分别位于(0,0)和(40,40), 其中 x, y 以英里为单位。 HECO 的服务区域在-65<x <65 和-50<y<50 之内。 因为该地区完全都市化了, 有极好的道路网络。 程 工 队只是在上班和下班时必须回调度所。 公司的政策是: 若停电的设施是铁路或医 院, 只要 有工程队可派就立即处理,其他情形都要等暴风雨离开这一地区后才开始工作。 HECO 请你为表 92B-1 所列的暴风雨修复请求和表 92B-2 所列的维修能力建 立客观准则 和安排工作计划。 注意, 第一个电话是凌晨 4: 接到的, 20 暴风雨在 上午 6: 离开该地区,还要注意很多停电户是当酬反迟才报修的。 00 HECO 出自自身的目的需要一份技术报告和一份用外行术语写就的 “执行简要” 来提交 新闻媒介。 他们希望有对将来的建议。 为决定你的优先计划安排系统, 你 还需作一些附加的 假设,请详述这些假设。将来你可能希望有附加的数据,如 果有,详述这些需要的信息。

1993年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题
MCM 问题-A 加速餐厅剩菜堆肥的生成
一家注重环境的学校餐厅正用微生物把顾客没吃完的食物再循环生成堆肥。 每 天餐厅把 吃剩的食物和泥浆(粘结剂)混合, 再把它们和厨房里容易弄碎的色拉 菜以及少量的扯碎的纸 片混合, 并把混合物喂给一种真菌培养物和土壤细菌, 它 们把泥浆、 绿叶菜、 纸片消化形成 有用的塔肥。 易碎的绿叶莱为真菌培养物提供 氧气, 而纸片则吸收过量的湿气。 但有时真菌 培养物显得不能或不肯消化顾客留 下的那么多的剩饭菜。 餐厅并没有因为真菌培养物没有胃 口而责怪厨师长。 餐厅 收到要大量购买他们生产的堆肥的报价, 所以餐厅正在研究增加堆肥 产量的方 法。 由于无力营建一套新的堆肥设备, 因此餐厅首先寻求能加速真菌培养物活力的
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方法, 例如, 通过优化真菌培养物的环境(眼下大约是在 120F 和 100%湿度的环 境下生成堆 肥的),或通过优化喂给真菌培养物的混合物统成,或同时优化两者 (而达到加速真菌培养物的活力)。 试决定在喂给真菌培养物的混合物中泥浆、 绿叶莱和纸片印比例与真菌培养物 把混合物 生成堆肥的速度间是否存在任何关系。 若你认为不存在任何关系, 试说 明理由。否则, 试决 定什么样的比例会加速真菌培养物的活力。 除了按竞赛规则说明中规定的格式写的技术报告外, 请为餐厅经理提供一页长 的用非技 术术语表示的实施建议。 作为数据, 93A-l 列出了分别存放在不同的箱子中用磅表示的混合物组成 表 中各种原料 的数量,以及把混合物喂给真菌培养物的日期以及完全生成堆肥的 日期(以表示生成堆肥所需的时间)。 本题是由东华盛顿大学数学系的 Yves Nievegctlt 提供的, 本题叙述的情况 及数据来自华盛顿 奶 Medical Lake 地区监狱的餐厅。他还写了一篇评论 文 章 The outstanding optimal compostingpapers,The UMAP Journal, v.4(1993),no.3,227-228.

MCM 问题-B 倒煤台的操作方案
Aspen-Boulder 煤矿公司经营一个包括一个单个的大型倒煤台在内的装煤设 施。当装煤 列车到达时, 从倒煤台往上装煤。 一列标准列车要用 3 小时装满, 而 倒煤台的容量是一列半 标准列车。 每天, 铁道部门向这个装煤设施发送三列标准 列车。 这些列车可在当地时间上午 5 点到下午 8 点的任何时间内到达。每列列 车有三辆机车。如果一列车到达后因等待装煤而 停滞在那里(即处于等待服务状 态)的话、铁道部门要征收一种称为滞期费的特别费用、每小 时每辆机车 5000 美元。 此外, 每周星期四上午 11 点到下午 l 点之间有一列大容量列车到达。 这 种特殊的列车有五辆机车并能装两列标准列车的煤。 一个装煤工作班要用 6 个小 时直接从 煤矿运煤来把空的倒煤台装满。这个工作班(包括它用的设备)的费用 是每小时 9000 美元。 可以调用第二个工作班运行一个附加的倒煤台操作系 统来提高装煤速度,而费用为每小时12000 美元,出于安全的原因,当往倒煤台 装煤时, 不能往列车上装煤。 每当由于往倒煤台 装煤而中断往列车上装煤时,就 要征收滞期费。 煤矿公司的经理部门要请教你们如何决定该倒煤台的装煤操作的午预期开支, 你们的分析应包括考虑以下的问题: ① 应调用几次第二个工作班? ② 预期的月滞期费是多少? ③ 如果标准列车能按调度在确切时间到达,什么样的日调度安排能使装煤费用 最少? ④ 调用第三个费用每小时 12000 美元的倒煤台操作系统工作班, 能否降低年操 作费用? ⑤ 该倒煤台每天能否再装第四辆标准列车的煤? 本题是由位于科罗拉多州 Golden 的科罗拉多矿业学院的 Genc Woolsey 根 据他在怀俄明州一 家 煤矿公司做顾问中的 问 题建议的。位于纽 约 州 的西点 军校 的ChriArney和Jack Robortson据此形成了本问题。
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1994年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题
MCM 问题-A 住宅的保温
HUP 公司正在考虑建造从单幢住宅到公寓楼大小不同的住宅。 公司主要关心 的是房主 定期支付的费用--特别是暖气和冷气的费用最少。建房地区位于全年 温度变化不大的温带地区。 通过特殊的建筑技术 HUP 公司能不依靠对流--即不需要依靠开门开窗-来帮助调节住 宅的温度。 这些住宅都是只有混凝土厚板地板为仅有基础的单层住 宅。 你们被雇用为顾问来 分析凝土厚板地板小的温度变化, 由此决定地板表面的 平均温度能否全年保持在指定的舒适 范围内。如果可能的话,什么样的尺寸和 形状能做到这点? 第一部分地板温度: 由表 94A-1 给 G66 每天温度的变化范围,试研究混凝土厚板中温度的变 化。假定最高 温度在中午达到, 最低温度在午夜达到。 试决定能否在只考虑幅射 的条件下设计厚板使其表 面的平均温度保持在指定的舒适范围内。 一开始, 先假 定热是通过暴露在外的厚板的周边传 入住宅的,而厚板的上、下表面是绝热的。 就这些假设是否恰当、 假设的敏感性作山评论。 如果你们不能找到满足表 94A-1 条件的解,你们能作出满足你们提出的表 94A-1 的厚板的设计吗? 第二部分建筑物温度: 试分析一开始所作假设的实用性, 并将其推广到分析单层住宅内温度的变化。 住宅内温度能否保持在舒适范围内。 第三部分建筑费用 考虑到建筑的各种限制及费用, 试提出一种考虑 HUP 公司关于降低甚至免去 暖气和冷气费用这一目标的设计。

MCM 问题-B 计算机网络的最短传输时间
在你们的公司里, 各部门每天都要分享信息。 这种信息包括前一天的销售统计 和当前的 生产指南。尽快公布这些信息是十分重要的。 假设一个通讯网络被用 来从一台计算机向另一台计算机传输数据组(文件)。作为例子,考虑 下列图 94B-1 模型: 顶点从 表示计算机, 边 表示(由边的端点表示的计算机之间)要传输的文 件。表示传输文件乙所需的时间,表示计算机同时能传输多少个文件的容量。 文 件传输包括占用有关计算机为传输该文件所需的全部时间。 =1 表示计算机一次只能传输一个文件。 我们有兴趣的是以最优的方式安排传 输,即使得传输完所有的文件所用的总时间最小。 这个最小总时间称为接通时间(makespan)。请为你们的公司考虑以下三种情形: 情形 A; 你们公司有 28 个部门。 每个部门有一台计算机, 在图 94B-2 中每合计算机 用顶点表示。 每天必须传输 27 个信息, 在图 94B-2 中用边来表示。 对于这个网 络, 对所有的 x,y =1, =1 . 试找出该网络的最优安排以及接通时间。 你们能
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向你们的主管人员证明你们对该网络求得的接通时间是最小可能(最优)的吗?叙 述你们求解该问题的方法。你们的方法适用于一股情形吗,即是否适用干了,以 及图结构都是任意的情形? 情形 B: 假设你们公司改变了传输要求。 现在你必须在同样酌基本网络结构(见图 94B-2) 上考虑不同 类型和大小的文件。 传输这些文件所需时间由表 94B-1 中每条边的 了 项表出。 对所有 y 仍有 =1. 试对新网络找出最优安排和接通时间, 你们能

证明对新网络而言你们求得的最小接通时间是最小可能的吗?叙述你们求解该问 题的方法。 你们的方法适用于一般情形吗?试对任 何特异的或出乎意料的结果发 表评论。 情形 C: 你们公司正在考虑扩展业务。如果公司真的这样做的话.每天有几个新文件(边) 要传输。这 种业务扩展还边括计算机系统的升级换代.28 个部门中的某些部门 将配备新的计算机使之每 次能传输不止一个文件。 所百这些变化都在下面的图 94B-3 以及91B-2, 94B-3 中表明。你们能找到的最优安排和接通时间是什么? 表 你们能证明对该网络而言这个接通时间是最小可 能的吗?叙述你们求解该问题 的方法。试对任何特异的或者出乎意料的结果发表评论。

1995年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题
MCM 问题-A 单一螺旋线
问题为向小型微生物工程公司提供帮助。 设计出 “实时” 求一条螺旋线与空间 中位于一 般位置的平面(见图 95A-1)所有交点的方法, 证明方法的正确性并编程 对算法进行数值检验。 在计算机辅助几何设计(CAGD)中用类似程序可使工程人 员观察到他们所设计物体的截面, 例如, 飞机引擎, 汽车缓冲装置或者医疗器材 等。 而且工程设计人员也许还能显示出诸如气 流、压力、温度以及用颜色或水平 线的编码。进一步地,工程人员可以运 过对整个物体的截面部分进行快速扫描以得到物体的三维视觉及其运动、 受压 和受热时 的反应。 为达此目的, 所用的计算机程序必须以尽可能快的速度和尽可 能高的精度找出所需 观察平面与所给物体每一部分的所有交点, 一般所指的 “问 题求解” 即为求此类点, 但对特 殊问题而言, 特殊方法或许比通用方法更高效更 准确。 特别地, 通用的计算机辅助几何设计 软件或许会由于速度太慢而不能完成 实时计算, 或者软件适用范围虽然广泛但并不适合公司 所提出的医疗服务要求, 基于上述考虑,公司提出下列问题。 问题 设计、 判断、 编程并检验给定平面与螺旋线在空间小任意位置和方向上 的交点。 例如,在化学或医疗器械中,一段螺旋线可表示为直立悬挂的弹簧或 一小段纲管。 算法理论上的证明需要通过几种不同的角度来进行, 例如, 对算法 进行数学上的证明并用已 知例子的编程进行检验,另外,从事医疗服务的当事 人进行检验和证实也是必要的。
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MCM 题-B A1uacha Balaclava 学院
A1uacha Balaclava 学院聘用了一个新院长。前任院长是由于教员工资问 题而被迫辞职 的, 因此, 新院长需要制定一个公平台理的工资系统方案, 以树立 其权威。 作为第一步, 聘请你们队作为顾问,设计一个能够反映以下背景及原 她 则的工资系统。 背景 教员共分四级:助教、讲师、副教授、 教授。博士毕业后任教的教员被聘为讲 师。 在读 的博士生被聘为助教,并且当毕业时自动升为讲师。副教授通常须满七 年后才能申报教授。 级别晋升由院长及一个教师委员会来决定,你们无须考虑 此问题。 教员每年发 10 个月工资:从 9 月到次年 6 月。每次晋级从 9 月起生效。能 够用于晋级增加 工资的奖金数日每年有所不同, 通常需要到 3 月份才能知道确 切数白。 一个没有从教经历的 助教及讲师的韧始工资分别是 27000 元及 32000 元。 一个受聘教员在其他学校的教学经历同 样得到承认。 原则 ①只要资金允许,所有教员助工资每年都应增加。 ②教员应能从晋级中获得充分的利益。 如果一名教员在尽可能短的时间内得到晋 升, 其获得的利益应大致相当于七年增加的工资。 ③如果一个教员都是正常晋级(在一个级别上工作七、八年),并且典有 25 年 以上的教龄。 他退休时的工资应大致相当于一个刚毕业的博士的工资的两倍。 ④同一级别的教员中经验较丰富的应有较高的工资, 但是这种差别应随着时间的 报移而逐渐消失。换句话说,如果两个教员级别相同,他们的工资应随着时间 的推移而越来越接近。 方案 首先, 设计一个不考虑物价增长的新的工资系统, 然后再考虑物价增长的情形。 本方案 最终是要设计一个转移过程, 将现有的工资系统过渡到你设计的系统中 去, 并且不能消减任 何人的工资。现有教员的工资、级别及工作年限已列于表 95B-1 中。 院长要求 得到一个详尽酌工资系统方案, 她将以此为据进行工资调整。 同时, 她还要求 得到一份清晰、 简短的执行摘要, 用于分发给教员及张贴公布。 摘要应当概括出模型 的轮廓, 并介绍它的假设、优缺点及预期结果。

1996年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题
MCM 问题-A 噪音场中潜艇的探测
海洋中存在着背景噪音场, 地展引起的摄动, 海面上航行的船只, 以及生活 在大海中的 哺乳动物都是具有不同频率范围的噪音源。 我们要考虑如何利用这种 背景噪音测定大的移动 目标, 例如海面下的潜艇。 假定潜艇不产生影响测定的噪 音, 只利用测量背景噪音场的变化 所得到的信息, 研制一种能够探测出移动潜艇
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的存在, 并测出它的速度、 尺寸及航行方向酌方法。从一个固定的频率和振幅的 噪音着手进行

MCM 问题-B 竞赛评判问题
在确定像数学建模竞赛这种形式的比赛的优胜者时,常常要评阅大量酌答 卷。譬如说,有 P=100 份答卷,一个由 J 位评团人组成的小组来完成评阅任 务, 基于竞赛资金对于能够 聘请的评阅人数量和评阅时间的限制, 如果 P=l00; 通常取 J=8.理想的情况是每个评阅 人看所有的答卷, 并将它们一一排序, 但 这种方法工作量太大。 另一种方法是进行一系列的 筛选, 在一次筛选中每个评阅 人只看一定数量的答卷, 并给出分数。 为了减少所看答卷的数 量, 考虑如下的筛 选模式: 如果答卷是被排序的, 则在每个评闯人给出的排序中排在最下面的 30% 答卷被筛除;如果答卷被打分(譬如说从 1 分到 10 分),则某个截止分数线以 下的答 卷被筛除。 这样, 通过筛选的答卷重新放在一起返回给评阅小组, 重复上 述过程。 人们关注 的是,每个评阅人看的答卷总数要显著地小于 P.评阅过程 直到剩下 W 份答卷时停止,这 些就是优胜者。当 J=100 时通常取 W=3。 你的任务是利用排序、 打分及其它方法的组合,确定一种筛迫模式,按照这 种模式, 后选中的 v 份答卷只能来自 最 “最好的”2W 份答卷(所渭 “最好的”是 指,我们假定存在着一 种评阅人一致赞同的答卷的绝对排序)。例如,用你给出 的方法得到的最后 3 份答卷将全部 包括在 “最好的”6 份答卷中。在所有满足 上述要求的方法中,希望位能给出使每个坪阅人 所看答卷份数最少的一种方法。 注意在打分时存在系统偏差的可能。例如,对于一批答卷,一位评阅人平 均给 70 分, 而另一位可能给 80 分。在你给出的模型中如何调节尺度来适应 竞赛参数(P,J 和 W)的变化? 1996 年两道题都是由 Daniel Zwillinger Zwillinger&Associates、 Arlington,MA,USA 提供的。

1997年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题
MCM 问题-A Velociraptor(疾走龙属)问题
Velociraptor,Velociraptor mongo1iensis 是生活在距今约 7500 万年前 后白垩纪(译注: 垩纪为距今 1.36-0.65 亿年的地质年代,是中生代最后的 白 纪)的一种食肉(捕食其他动物的)恐龙。 古生物学家认为这是一种非常顽强的猎食其他动物的野兽, 而且可能是成对或 成群地外 出追猎。 然而, 不幸的是无法像观察现代哺乳食肉动物在野外是如何迫 猎其食物的行为那样 观察到 Velociraptor 在野外的追猎行为。 一组古生物学家 来到你们队请求你们在 Velociraptor 的追猎行为的建模方面给予帮助。 他们希 望把你们的结果与研究狮子、 老虎及其他类似的食 肉动物行为的生物学家的研究 报告相比较。 平均的成年 Velociraptor 长 3 米,髋高 0.5 米,重约 45 公斤。据估计, 这种动物跑得非 常快,速度可达 60 公里/小时,持续约 15 秒。在以这种速 度开始助冲刺后.它要停下来在其肌肉中积聚乳酸以恢复体力。 假设 Velociraptor 摘食一种称为 Thescelosaurus(太西龙届)neglectus
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的大小与 Velociraptor 差不多的双足食草动物。从 Thescelosaurus 化石的生 物力学分析得知 Thescelosaurus 可以 50 公里/小时的速度长时间奔跑。 第 1 部分 假设 Velociraptor 是一只独居的猎食其他动物的野兽,试设计一个单个 的 Velociraptor 潜近猎物并追猎一只单个的 Thescelosaurus 的策略以及 被追捕物逃避迟捕的策略的数学模 型。假设当 Vclociraptor 潜近 15 米内 时,Thescelosaurus 总能觉察到,根据栖息地及气候的 条件不同,甚至在(多 达 50 米 的 ) 更 大 的 范 围 内 觉 察 欲 捕 食 它 的 动 物 的 存 在 。 此 外 , 由 于 Vclociraptor 的身体结构及体能,它在全速奔跑时的拐弯半径是受到限制的。 据估计,拐弯 半径大约是其髋高的三倍。 另一方面, Thescelosaurus 却是极其 灵活的. 其拐弯半径只有 0.5 米。 第 2 部分 更现实地假设 Vclociraptor 是成对外出追猎,试设计一个新的关于成对 的 Vclociraptor 潜近猎物并追猎一只单个的 Thescelosaurus 的策略以及 被追捕物逃避追捕的策略的数学模 型。利用第 1 部分给出假定和限制

MCM 问题-B 为取得富有成果的讨论怎样搭配与会成员
为讨论重要问题, 特别是长远规划问题而召开小组讨论会正变得愈来愈普遍。 人们相信 有很多人参加的会妨碍有成果的讨论,甚至一位占支配地位的人能控 制并操纵会议的讨论。 因此,在公司的董事会议中在召集全体董事会议之前会 先开一些讨论有关事务的小组会议。 这些规模较小的小组会议仍然有被某个占 支配地位的人控制的危险。 为降低这种危险, 常用 的办法是安排每个小组开几次 会,每次会有不同的人参加. An Tostal 公司的一次会议的参加者为 29 位公司董事会成员, 其中 9 位是 在职董事(即公 司的雇员)。 会议要开一天, 每个小组上午开 3 段。 下午开 4 段。 每段会议开 45 分钟,从上午 9:00 到下午 4:00 每整点开始开会,中午 12: 每个小组讨论会都由公司的一 00 午餐。上午的每段会议都有 6 个小组讨论会, 位资深高级职员来主持讨论, 这些资深高级职员都不 是董事会的成员。 因此, 每 资深高级职员都要主持 3 个不同的小组讨论会。 这些资深高级职 员不参加下午 的讨论会,而且下午的每段会议只有 4 个不同的小组讨论会。 公司董事长要一份公司董事参加 7 段会议的每个小组讨论会酌分配名单。 这 份搭配名单 要尽可能多地把董事均匀搭配。 理想的搭配应是每一位董事和其他每 一位董事一起参加小组 讨论会的次数相同,与此同时要使不同段的小组中在一 起开过会的董事数达到最小。 名单中的搭配还应满足下列两个准则: ①在上午的讨论会上,不允许一位董事参加由同一位资深高级职员主持的两次会 议。 ②每个分组讨论会都不应有不成比例的在职董事参加。 给出一张 1-9 号在职董 事、 一 29 号董事、1-6 号公司资深高级职员的搭配名单。说明该名单在多大 10 程度上满足了前面提出的 各种要求和准则。 因为有的董事可能在最后一刻宣布不 参加会议, 也可能不在名单上的董事 将出席会议, 因此一个能使秘书在一小时前 得到变更与会与否通知的情况下来调整搭配的算 法定会得到赏识。 如果算法还能
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用于涉及不同水平的与会者参加的未来的会议中每类与会者 搭配的话,那就更 理想了。

1998年美国大学生数学建模竞赛(MCM)赛题
MCM 问题-A 磁共振成像扫描仪
引言 用于工业和医疗的磁共振成像扫描仪诊断机对像脑那样的三维物体进行扫描, 并把扫描 的结果以三维像素阵列的形式传送之。 每个像素由一个指示其颜色或灰 度的数构成, 它对像 素所在位置处的被扫描物体的一个小区域中含水量(浓度) 的度量进行编码。例如,0 能以黑 色来描绘出高含水量(脑室、血管),128 能 以灰色来描绘出中等含水量(脑核和灰质),而 255 以白色来描绘出低含水量(组 成有髓体轴的富含脂类白质)。 这类磁共振成像扫描仪还包括能 在屏幕画出通 过该三维像素阵列的平行或垂直片(与三个笛卡尔坐标轴平行的平片)的设 备. 能够描绘出斜的平片的算法是专卖的。 眼下的算法利用了角度及可供使用的参 数选择而受到限制, 算法的执行也有赖于大量使用专用的工作站; 在切片之前缺少 在画面上作点的输入能力;从而使原始像素间明晰的边界变得模糊。 能在个人 计算机上实现的更为准确可靠的、 灵活的算法对于以下几方面来说将是极为有用 的: ①设计尽可能少的介入处理; ②校准磁共振成像扫描仪; ②研究诸如动物研究中尸体解剖组织部分那样的在空间中斜向的结构; ④能作出以任意角度和由黑白固线组成的脑图谱相交的截面。 为设计这样的算 法, 就要能存取任意像素的值和位置,不仅仅是由扫描仪收集到的原始数据。 问题 设计并测试能产生与三维阵列在空间任意指向的平面的截面部分的算法, 并尽 可能保持 原始的灰度值。 数据集 典型的数据集由表示物体在位置 处的浓度的由数 A(i, k)构成的三维阵 j, 列 A 典型的 情形,A(i,j,k)的取值范围为 0 到 255.在大多数应用中,该 数据集是相当大的。 参赛队要设计用以测试井论证其算法的数据集。数据集应 能反映大概是有诊断意义的情况。 参赛队还应叙述限制其算法有效性的数据集 的特征。 总结 算法一定要生成由空间一平面与三维阵列相交出的切片部分的图象。 这种平面 在空间可 以钉任意的指向和位置(该平面可能会漏掉一些或全部数据点)。 算法 的结果应该是所扫描的 物体在所选平面上的浓度的一个模型。

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MCM 问题-B 成绩给分的通胀
背景 一些行政领导很为 A Better class(ABL)学院的成绩给分担扰。 平均说来, ABC 学院的教 师一直在给高分(现在结出的平均成绩分数为 A-),从而不可能区分 好学生和中等水平的学 生。金额很大的奖学金只能资助班上前 10%的学生,因 而要对班上的学生排名次。 院长有一想法: 把班上每个学生和其他学生进行比较, 并用比较获得的信息来排名次。 例如, 若某个学生得分为 A 而全班学生都得 A, 那么这个学生只能属于这个班上的“平均水平” 另一方面,如果班上只有一个 。 学生得 A,那么这个学生显然在“平均水平之上” ,结合几门 课中得到的比较信 息就能把全校的学生按十分位数排名次(前 l0%。次 l0%,??,等等)。 问题 假定给出的成绩记分为(A+,A,A-,B+,^?)院长的想法能否实现? 假定给出的成绩记分只有(A、B,C?)院长的想法能否实现? 有没有其他能给出名次排列的方案?一种担心是, 一个班级的成绩记分可能会 改变许多 学生的十分位数的排名次。可能出现这种情况吗? 数据集 参赛队要设计用以测试并论证其算法的数据集, 参赛队还应叙述限制其算法有 效性的数 据集的特征。

1999年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛 (ICM)赛题
MCM 问题-A 大碰撞
NASA(航空航天管理局)常常考虑这样一个问题:一颗较大的小行星与地球的 碰撞将会 产生怎样的后果。 作为这个问题的一部分, 要求你们讨论这颗小行星该到地球南极所造成的后 果, 有人认为其后果将与该行星撞到地球其它区域的后果有很大的不同。 你们可以假设这颗小行星的直径大约为 l000 米,并且立接撞在南极点处。 你们应当给出这样一次碰撞的后果的估计, 特别地, NASA 希望得到由这次碰撞所 造成 的人员伤亡的地区及数量的估计, 还希望得到关于对南半球的大洋区域的农作物 生长的危害 的估计,以及由于南极冰层大规模融化引起的沿海洪水的一个估计。

MCM 问题-B “非法”聚会
许多公共设施的房间都柯一种标有人数的记号, 当房间中人数超过记号上人 “非法”该数目可假定是以紧急情况下从房屋出口逃出的人数为基准 , 数时就视为

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确定的,类似地,电 梯及其它设施经常有一个“最大容量” 。 建立数学模型以确定标上多大人数值才是 “合法容量”作为求解的一部分要 , 〔或空间) 讨论若干准则(并非在火灾或其它紧急情况下的公共安全)决定出房屋 达到 “非法” 聚会的人 数,而且,在所建模型中要考虑几种不同的房屋结构,例 如, 像咖啡屋(拥有桌和椅子)那样 具有可移动家俱的房子, 具有成排椅子和走廊 的演训厅等, 你还可以对各种不同情形进行比 较与对比,例如:电梯,演讲厅, 游泳池,咖啡屋或健身房等。 收集摇滚音乐会或足球比赛的相关资料也许会为你提供一些特殊的信息。 将所 建模型用 于你所在学院(或附近城镇)的一个或多个公共设施中,如果该类设施 已标有“合法”人数的 话, 请将模型所得结果与之比较。 如果得到使用, 你的模 型可能部分受到利益驱动下要增加 容量之观点的挑战,为当地报刊撰写一篇文 章以捍卫模型所给的分析。

ICM99 问题-C 地面污染
背景 若干实践中重要但理论上困难的数学问题与污染的评估有关。 这种问题之一 就是根据只是在被怀疑为已污染地区的周围而不必直接在该地区中测得的很少 的测量数据来导出不易进入的地下的渗漏污染物的位置和数量、 以及污染源的精 确估计。 例子 数据可通过 http://www.comap.com/mcm.prodata.xis 找到。 该数据集(一种电子表格文件 an Excel file),它能卸载到大多数电子数 据表(spreadsheets)展示了从 1990 到 1997 在 10 个监测井处地下水中污染物 的数量数据。单位是微克(mg/l)。8 个测井的位置和高度是已知的并在下表给 出。 头两个数是在一张地图的直角格点上井的位置的坐标。第三个数是井中水面 高出平均海平面的高度(以英尺计)。
Well Number (ft) x-Coordinate (ft) y-Coordinate (ft) Elevation (ft) MW-1 MW-3 MW-7 MW-9 MW-11 MW-12 MW-13 MW-14 4187.5 9062.5 7625.0 9125.0 9062.5 9062.5 9062.5 4750.0 6375.0 4375.0 5812.5 4000.0 5187.5 4562.5 5000.0 2562.5 1482.23 1387.92 1400.19 1384.53 1394.26 1388.94 1394.25 1412.00

数据集中另两个井(MW-27 和 MW-33)的位置和高度不同。在该数据集中你 还会看到数字后面的字母 T(Top),M(Middle)或 B(Bottom), 它们分别表示测量是 在井的含水层的顶部、中部和底部进行的。因此,MW-7B 和 MW-7M 是来自同一个 井,但分别是底部和中部的测量。此外,其它的测量数据表明水有流向该区域中 的 MW-9 号井的趋势。

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问题一: 试建立一个数学模型来决定在由该数据集来表示的区域和时间里是否由任 何新的污染物产生。 若有, 试识别新的污染物并估计它们的污染源的位置和时间。 问题二: 在收集任何数据之前, 会提出下列问题:是否拟议中的数据类型和模型能给 出关于污染物所在的位置和数量的我们想要的估计。 液态的化学物质会从埋置在 均匀的土壤的储藏中的一个储藏罐中渗漏。 因为若要在许多大罐的下面去探测的 费用会过分昂贵而且危险, 所以只能在储藏设备的边缘地区附近或在看来更合适 的地区的表面进行测量。 试决定只是在整个储藏罐的边界的外面或表面进行什么 样类型的测量以及测量数目可以用于一个数学模型以决定上楼是否发生, 何时发 生,何处(从哪个罐)发生,以及渗漏多少液体。

2000 年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛(ICM) 赛题 MCM 问题-A 空间交通管制
为加强安全并减少空中交通指挥员的工作量, 联邦航空局(FAA)考虑对空中交 通管制系 统添加软件,以便自动探测飞行器飞行路线可能的冲突,并提醒指挥 员。为完成此项工作, FAA 的分析员提出了下列问题。 要求 A: 对于给定的两架空中飞行的飞机, 空中交通指挥员应在什么时候把 该目标视为 太靠近,并予以干预。 要求 B: 空间扇形是指某个空中交通指挥员所控制的三维空间部分。 给定 我们怎样从空中交通工作量的方位来估量它是否复杂?当几 任意一个空间扇形, 个飞行器同时通过该扇形 时,在下面情形所确定的复杂性会达到什么程度:1) ( 在任一时刻? (2)在任意给定的时间 范围内?(3)在一天的特别时间内?在此 期间可能出现的冲突总数是怎样影响着复杂性来 的? 提出所添加的软件工具对于自动预告冲突并提醒指挥员, 这是否会减少或增加 此种复杂 性? 在作出你的报告方案的同时,写出概述 (不多于二页)使 FAA 分析员能提交 给 FAA 当局 Jane Garvey ,并对你的结论进行答辩。

MCM 问题-B: 无线电信道分配
我们寻找无线电信道配置模型.在一个大的平面区域上设置一个传送站的均 衡網絡,以避免干扰.一个基本的方法是将此区域分成正六边形的格子(蜂窝狀), 如图 1.传送站安置在每个 正六边形的中心点. 容许频率波谱的一个区间作为各传送站的频率.将這一区间规则地分割成一 些空间信道, 用整数 1,2,3,?来表示.每一个传送站将被配置一正整数信道. 同一信道可以在许多局部地区 使用,前提是相邻近的传送站不相互干扰. 根 据某些限制设定的信道需要一定的频率波谱,我 们的目标是极小化频率波谱的
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這个区间宽度.這可以用跨度這一概念.跨度是某一个局部区域 上使用的最大信 道在一切滿足限制的配置中的最小值.在一个获得一定跨度的配置中不要求 小 於跨度的每一信道都被使用. 令 s 为一个正六边形的一側的长度.我们集中考虑存在两种干扰水平的一 种情况. 要求 A: 频率配置有几个限制,第一,相互靠近的两个传送站不能配给同 一信道.第二,由 於波谱的传播,相互距离在 2s 內的传送站必須不配给相同或相 邻的信道,它们至少差 2.在這些 限制下,关于跨度能说些什么. 要求 B: 假定前述图 1 中的格子在各方向延伸到任意远,回答要求 A. 要求 C: 在下述假定下,重复要求 A 和 B.更一般地假定相互靠近的传送 站的信道至少差 一个给定的整数 k,同时那些隔开一点的保持至少差 1.关于 跨度和关于设计配置的有效策略 作为 k 的一个函数能说点什么. 要求 D: 考虑问题的一般化,比如各种干扰水平,或不规则的传送站布局.其 他什么因素在 考虑中是重要的. 要求 E: 写一篇短文(不超过两页)给地方报纸,阐述你的发现。

ICM 问题-C:大象题
大象群落的兴衰 归根到底,如果象群对于栖息地造成不尽人意的影响,就 要考虑对它们的驱除,即使是运用淘汰法则。国家地理杂志(地球年鉴)1999 年12月 在位于南非的一个巨大的国家公园里,栖息着近乎11000只象。管理策略要 求一个健康的环境以便维持11000只象的稳定群落。公园的管理员们逐年统计象 的总数。 在过去的20年间, 整个群落经受驱除得以保持其总数尽量接近11000只。 这个过程涉及枪杀(对于大部分)和每年转移近乎600到800只象到异地。 近年来, 公众抗议枪杀这些象。 此外, 即使每年转移少量的象也是不可能了。 然而, 一种避孕注射法开发成功, 它可以在两年期间内阻止一只成熟的母象受孕。 下面是一些关于这个公园内象的信息: 很少发生象本身移入移出该公园的事。 性别比非常接近1:1,而且采取控制措施力求维持均衡。 新生幼象的性别比也是1:1左右。双胞胎的机会接近于1.35%。 母象在10岁和12岁之间第一次怀孕,平均每3.5年产下一个崽儿,直到60岁 左右为止。怀孕期约为22个月。 避孕注射使一只母象每个月发情(但不怀孕)。象通常在3.5年内仅求偶一 次,所以,上述按月周期能够引起附加的反应。 一只母象可以每年注射而没有任何有害的影响。一只成熟的母象在上次注射 后两年内将不能怀孕。 新生幼象中的70%到80%活到一岁,其后,存活率非常高 (超过95%)并且在各年龄段一致,直到60岁左右;假定象死于70岁之前是恰当 的。在这个公园内没有狩猎,偷猎也是微乎其微。 公园管理部门有一个粗略的数据文件,其中列出近两年内由这个地区运出的 象 的 大 致 年 龄 和 性 别 。 这 组 数 据 可 在 网 站 http://www.comap.com/icm/icm2000data.xls上找到。可惜的是,没有关于在这 个公园内被射杀和留下来的象的可用数据。 你的全部任务是发展和利用模型来研
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究避孕注射会如何用于控制象的数量。特别是: 任务1:发展和利用一个模型来推测年龄在2岁到60岁之间象的合理存活率。 并且推测这个大象群落的当前年龄结构。 任务2:估计每年有多少只母象需要避孕注射以保持这个群落固定在11000只 象左右。 说明被处理数据的不确定性如何影响你的估计。试加评论这个群落年龄 结构的任何改变以及会如何影响旅游者。(你或许要前瞻30-60年左右。) 任务3:假如每年转移50至300只象是可行的,这会怎样减少承受避孕注射的 象只数量?试加评定避孕注射和转移之间的折衷办法。 任务4:若干反对避孕注射的人提出疑问,如果发生一场大量象只的突然灭 绝(由于疾病或不受控制的偷猎),即使立即停止避孕注射,这个群落重新壮大 的能力也会受到严重阻碍。对这个顾虑进行研究并作出回应。 任务5:这个公园的管理部门不相信建模。他们特别表示,由于缺少完整的 数据, 任何通过模型来引导他们作出决定的尝试都构成一种愚弄。除了你的技术 报告之外,请附上一份字斟句酌写给公园管理部门的报告(最多三页),对于他 们的疑虑作出回应并且给予劝告。 还要提出一些办法来增加公园管理部门对于你 的模型和结论的信赖程度。 任务6:如果你的模型有效,南非的其他大象公园会乐于采用它。请为各种 规模的公园(300至25000只象)准备一项避孕注射计划,同时带有略微不同的存 活率和转运可能性。

2001年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛 (ICM)赛题

MCM 问题- A: 选择自行车车轮
有不同类型的车轮可以让自行车手们用在自己的自行车上。 两种基本的车轮类 型是分别 用金属辐条和实体圆盘组装而成(见图1) )辐条车轮较轻,但实体车轮 更符合空气动力学 原理。对于一场公路竞赛,实体车轮从来不会用作自行车的 前轮但可以用作后轮。 职业自行车手们审视竞赛路线, 并且请一位识文断字的人推断应该使用哪种 车轮。 选择 决定是根据沿途山丘的数量和陡度, 天气,风速,竞赛本身以及其他 考虑作出的。你所喜爱 的参赛队的教练希望准备妥当一个较好的系统, 并且对于 给定的竞赛路线已经向你的参赛队 索取有助于确定宜用哪种车轮的信息。 这位教练需要明确的信息来帮助作出决定, 而且已经要求你的参赛队完成下面 列出的各 项任务。 对于每项任务都假定, 同样的辐条车轮将总是装在前面, 而装 在后面的车轮是可以 选择的。 任务 1. 提供一个给出风速的表格, 在这种速度下实体后轮所需要的体能少 于辐条后轮。 这个表格应当包括相应于从百分之零到百分之十增量为百分之一 的不同公路陡度的风速。 (公路陡度定义为一座山丘的总升高除以公路长度。 如果把山丘看作一个三角形, 它的陡度 是指山脚处倾角的正弦。一位骑手以初始速度 45kph 从山脚出发, ) 他 的减速度与公路陡度成正比。对于百分之五的陡度,骑上 100 米车速要下降
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8kph 左右。 任务 2. 提供一个例证,说明这个表格怎样用于一条时间试验路线。 任务 3. 请判明这个表格是不是一件决定车轮配置的适当工具, 并且关于如 何作出这个决定提出其他建议。

MCM 问题-B 逃避飓风怒吼(一场恶风?)
1999年,在 Floyd 飓风预报登陆之前,撤离南卡罗来纳州沿海地区的行动 导致一场永垂青史的交通拥塞。 车水马龙停滞在州际公路 I-26 上, 那是内陆上从 Charleston 通往该州中心 Columbia 相对安全处所的主要干线。 正常时轻松的两 个小时驱车路要用上 18 个小时才能开到头。许多车竟然沿途把汽油消耗净尽。 幸运的是,Floyd 飓风掉头长驱北上,这次放过 了南卡罗来纳州, 但是, 公众的 喧嚷正在迫使该州官员们寻找各种办法, 以求避免这场交通恶梦再度出现。 倾力解决这个问题的主要提议是I-26公路上的车辆转向疏散,因此,包括通 往海岸的多条次级公路在内,从两个侧面疏导车流在内陆从 Charleston 开 Columbia。 把提议付诸实施的计划已经由 South Carolina Emergency Preparedness Division 准备好 (而且贴在互联网上) Myrtle Beach 和 Hilton 。 从 Head 通往内地的主干道上车辆转向疏散的方案也在规划中。 这里有一张南卡罗来纳州的简化地图。Charleston有近500,000人,Myrtle ( Beach有 200,000 人左右,而另一个 250,000 人分散在沿岸其余地区。如果查 找,更精确的数据随处可用。 州与州之间有两条车辆往来的次级公路, 自然大都市地区除外, 那里有三条。 Columbia, 又一个 500,000 人左右的大都市地区,没有充足的旅店空间为撤退 者提供食宿 (包括沿其他 路线来自大北边的一些人) ,所以,若干车辆继续撤离, 沿着 I-26 公路开往 Spartanburg 市; 沿着 I-77 公路北上 Charlotte 市; 而 且沿着 I-20 公路东进 Atlanta 市。 1999 年, Columbia 开往西北方向的 在 从 车辆行进得非常慢。 对这个问题建立一个模型, 调查研究哪种策略可以降低 在 1999 年观察到的拥挤。这里有一些问题需要加以考虑: 在什么条件下, I-26 的两条开往海岸的次级公路变成开往 Columbia 的两 把 条次级公路,特别是把整个 I-26 变成单行道会使撤离交通状况得到重大改善? 在 1999 年,南卡罗来纳州的整个沿海地区奉命同时撤离。如果采取另一种 策略,逐个 郡按某个时间段错开撤离, 同时与飓风对沿岸影响的模式相协调, 撤 离交通状况会改善吗? 在 I-26 公路旁边有若干较小的高速公路从海岸延伸到内陆。在什么条件 下,把车辆流 转向这些道路会改善撤离交通? 在 Columbia 建立更多临时收容所来减少离开 Columbia 的车辆, 这会对撤 离交通状况有 什么影响? 在 1999 年,离开海岸的许多家庭一路上携带他们的船只,露营设备和汽车 住宅。 许多家庭驾驶他们的所有汽车。 在什么条件下, 应当对携带的车辆类型或车

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辆数目加以限制以求保证适时撤离? 在 1999 年,人们还会记得,若干 Georgia 州 and Florida 州的沿岸居民 逃避较早预报的 Floyd 飓风南部登陆,沿着 I-95 公路北上而加重了南卡罗来 纳州交通问题。 他们对于撤离交 通的冲击会有多大? 要清楚地指明,为了比较各种策略,使用什么方法对实施状况予以评测。 要求: 预备一篇简短的报刊文章, 不超过两页, 向公众解释你的研究成果和结论。

ICM 问题-C 我们的水系-不确定的前景
斑马贻贝,Dreissena polymorpha,是指甲般大小的淡水软体动物,经由越 洋货轮的压舱水不留意引入北美。自上个世纪 80 年代中期引入以来,它们已经遍 布五大湖并且扩展到越来越多的美国和加拿大内陆水系。斑马贻贝依附在各种表 面上,诸如码头,船壳,商用鱼网,吸水管和阀门,本地软体动物和其他斑马贻 贝。它们的为人所知的天敌,某些潜水鸭,淡水鹧鸪,鲤鱼,以及鲟鱼,没有足 够的数量对他们产生重大的影响。斑马贻贝已经严重地冲击五大湖生态系统和经 济。许多社区正在设法控制或者消灭这些水生害虫。原始资料:Great Lakes Sea Grant Networkhttp://www.sgnis.org/ 研究人员正在试图分辨与斑马贻贝在北美水系蔓延有关的环境变数。可以限 制或阻止斑马贻贝扩展的相关因素是不确定的。你可以查阅若干参考数据,包括 供水系统中一些化学药品和物质的列表,这些或许对斑马贻贝在各个水系的扩展 产生影响。此外,你可以假定,单独的斑马贻贝每年都能生长 15 毫米,生命期介 于 4-6 年之间。常见的贻贝每天吞吐 1 升水。 要求 A : 研讨可能影响斑马贻贝扩展的环境因素。 要求 B : 利用化学数据,提供在: http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/imagesdata/LakeAChem1 .xls 和贻贝增殖数据,提供在: http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/imagesdata/LakeAPopula tion1.xls 对于斑马贻贝在湖泊 A 中的数量增长建立模型。 要保证熟读有关收集斑马贻 贝数 据的说明。 要求 C : 利用来自另一位科学家的关于湖泊 A 的附加数据,提供在: http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/imagesdata/LakeAChem2 .xls 和附加的贻贝增殖数据,提供在: http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/imagesdata/LakeAPopula tion2.xls 证实你依据要求 B 所建模型的合理性。借助于这个附加数据,调整你的前面的模 型。分析你的模型的效能,讨论它的灵敏度。 要求 D : 利用来自美国两个湖泊(湖泊 B 和湖泊 C)的化学数据,提供在: http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/imagesdata/LakeB.xlsLa
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keB.xls 和 http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/imagesdata/LakeC.xlsLa keC.xls 确定这些湖泊是否易受斑马贻贝扩展的损害。论述你的预言。 要求 E : 临近湖泊 B(见要求 D)的社区正在考虑在接近湖泊的路面上采取特殊 冬季除冰 政策。请为当地政府官员就有关除冰化学制剂政策编写一个工作指导。在你的工 作指导中,要对冬季除冰给予斑马贻贝增殖的长期冲击申明你的预见。 要求 F:美国的一个当地社区提议引进刺鳍鱼。斑马贻贝较少被当地鱼类吃掉,所 以,它 们就在生态上充当了一种终结者。但是,100 mm 以上的刺鳍鱼几乎唯一 地以斑 马贻贝为食。具有讽刺意味的是,由于栖息地破坏,刺鳍鱼在俄罗斯黑海和里海 的原始栖息地中面临危险。除了你的技术报告以外,请包括一个特地为当地社区 领导编写的言简意赅的报告(至多三页),对他们引进刺鳍鱼的提议作出反应。 也 要建议多种方法在各个水系内和水系之间降低贻贝的增殖。 有关收集斑马贻贝数据的说明 斑马贻贝的发育状态划分成三个阶段: 面盘幼体(幼虫),沉积幼体和成年贻贝。 面盘幼体(极细微的斑马贻贝幼虫)悬浮在水中漂来荡去一到三个星期,尔后开 始寻找硬的行将依附的表面并且开始它们的成年生活。查看斑马贻贝幼虫是困难 的,因为它们不易单凭裸眼看清楚。沉积幼体贻贝可以在船只和汽艇一类光滑表 面上摸到。年深日久的斑马贻贝侵扰会覆盖一个表面,甚至形成厚厚的垫子,有 时达到很高的密度。沉积贻贝的密度由安放在湖泊中的三块 15x15 cm 沉积板来测 定。顶上的板在整个取样季节(S –季节性的)中都留在水中以便评估季节累积。 中间和底下两块板在经过特定时间段(A-替换性的)以后取走待查,这个时间段 在数据文件中由 Lake Days 表示。 沉积板被放在显微镜下,而且,在板的下表面 上所有沉积贻贝被计数,尔后在贻贝/m2 单位下完成密度报告。 各类数据存放在无格式 xls 文件中: LakeAChem1of.xls, LakeAPopulation1.xls, LakeAChem2of.xls, LakeAPopulation2.xls, LakeB.XLS, LakeC.XLS

2002年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛 (ICM)赛题
MCM 问题-A 风和喷水池
在一个楼群环绕的宽阔的露天广场上, 装饰喷泉把水喷向高空。 刮风的日子, 风把水花 从喷泉吹向过路行人。 喷泉射出的水流受到一个与风速计 (用于测量风 的速度和方向) 相连 的机械装置控制, 前者安装在一幢邻近楼房的顶上。 这个控 制的实际目标, 是要为行人在赏 心悦目的景象和淋水浸湿之间提供可以接受的 平衡: 风刮得越猛, 水量和喷射高度就越低, 从而较少的水花落在水池范围以外。 你的任务是设计一个算法, 随着风力条件的变化, 运用风速计给出的数据来调 整由喷泉射出的水流。

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MCM 问题-B 航空公司超员订票
你备好行装准备去旅行,访问 New York 城的一位挚友。在检票处登记之后, 航空公司 职员告诉说, 你的航班已经超员订票。 乘客们应当马上登记以便确定他们 是否还有一个座位。 航空公司一向清楚, 预订一个特定航班的乘客们只有一定的 百分比将实际乘坐那个航班。 而,大多数航空公司超员订票?也就是,他们办 因 理超过飞机定员的订票手续。而有时,需要 乘坐一个航班的乘客是飞机容纳不 下的, 导致一位或多位乘客被挤出而不能乘坐他们预订的 航班。 航空公司安排延误乘客的方式各有不同。 有些得不到任何补偿, 有些改订到其 他航线的 稍后航班,而有些给予某种现金或者机票折扣。 根据当前情况,考虑超员订票问题: 航空公司安排较少的从 A 地到 B 地航班 机场及其外围加强安全性 乘客的恐惧 航空公司的收入迄今损失达数千万美元 建立数学模型, 用来检验各种超员订票方案对于航空公司收入的影响, 以求找 到一个最 优订票策略, 就是说, 航空公司对一个特定的航班订票应当超员的人数, 使得公司的收入达 到最高。确保你的模型反映上述问题,而且考虑处理“延误” 乘客的其他办法。 此外, 书写 一份简短的备忘录给航空公司的 CEO (首席执行官) , 概述你的发现和分析。

ICM 问题-C 如果我们过分扫荡自己的土地,将会失去各种各样的蜥蜴。
佛罗里达灌木蜥蜴是一种灰色或灰褐色小蜥蜴, 遍布于佛罗里达中部和大西洋沿 岸地区的沙质高地上。Florida 濒危动植物委员会把这种灌木蜥蜴归类为濒危的 生物。 在网址 http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/2002problem/scrubliza rd.pdf 你将会找到一份有关这种佛罗里达灌木蜥蜴的实情说明。 佛罗里达灌木蜥蜴的长期存活, 有赖于保留适当的空间搭配和灌木丛生地带的规 模。 任务 1:讨论在佛罗里达州促使灌木蜥蜴丧失适当栖息地的各种因素。为了保留 这些栖息地,你会提出哪些建议?并且论述实现你的建议的各种障碍。 任务 2:利用表 1 中提供的数据估计数值 Fa(成年蜥蜴平均产卵量);Sj(处在 出生和第一个繁殖季节之间的幼年蜥蜴存活率);Sa(成年蜥蜴平均存活率)。 摘要数据是关于一群灌木蜥蜴的, 它们先被捕捉尔后连续跟踪四年。 幼小蜥蜴 (0 岁)在出生当年夏季不产卵。所有其他雌蜥蜴的平均孵卵量与身体尺寸成比例, 正如线性函数 y=0.21*(SVL)-7.5 所表示的,其中 y 是孵卵量,而 SVL 是鼻子到 肛门以 mm 为单位的长度。 表1

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年度 年龄 存活总数 雌蜥蜴存活数平均雌蜥蜴身长 (mm) 1 0 972 495 30.3 2 1 180 92 45.8 3 2 20 11 55.8 4 3 2 2 56.0 任务 3:人们推测,参数 Fa ,Sj 和 Sa 与一片灌木地带的露天沙质区的规模和 总量有关联。利用提供在表 2 中的数据构造若干函数来针对不同地带估计 Fa , Sj 和 Sa 。此外,构造函数对给定地带评估其承载灌木蜥蜴的能力 C。 关于 8 个灌木地带的摘要数据,包括灌木蜥蜴的生命变化速率。对于每个地带, 雌蜥蜴的年产卵量(Fa),幼小蜥蜴存活率(Sj),以及成年蜥蜴存活率(Sa), 连同地带规模和露天沙质栖息地的总量列在一起。 表2 灌木地带 地带规模 (公顷) 沙质栖息地 (公顷) Fa Sj Sa 密 度(蜥蜴数/公顷) a 11.31 4.80 5.6 0.12 0.06 58 b 35.54 11.31 6.6 0.16 0.10 60 c 141.76 51.55 9.5 0.17 0.13 75 d 14.65 7 .55 4.8 0.15 0.09 55 e 63.24 20.12 9.7 0.17 0.11 80 f 132.35 54.14 9.9 0.18 0.14 82 g 8.46 1.67 5.5 0.11 0.05 40 h 278.26 184.32 11.0 0.19 0.15 1 15 任务 4:已有许多动物研究表明,在一个栖息地带中,食物,空间,掩蔽地,抑 或繁殖配偶可能受限制的, 这就导致动物个体在各个地带之间迁徙。有关灌木蜥 蜴的迁徙原因缺少明确的证据。 不过,确有百分之十的幼年蜥蜴在各个地带之间 游走,而这种迁徙会影响一个地带中群体规模。成年蜥蜴显然不迁徙。利用下面 直方图中给出的数据估计在任何两个地带 i 和 j 之间经迁徙而存活的蜥蜴的概 率。 幼年蜥蜴的迁徙数据,是经由个体标记,释放,再捕获直到 6 个月后获取的。对 于再捕捉的测量工作是在距离释放地点方圆 750m 内进行。 表 3 直方图

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任务 5:对于表 3 中给出的地表形貌,建立模型估计灌木蜥蜴的整个群体规模。 而且, 确定哪些地带适于灌木蜥蜴栖息, 哪些地带会不支持一个有生存力的群体。 对于一个展布在 Avon Park Air Force Range 上面的具有 29 个地带的地表形貌, 下面的表格列出了各个地带规模和露天沙质栖息地。参看: http://www.comap.com/undergraduate/contests/icm/2002problem/map.jpg 给出的一张地表形貌的地图。 灌木带标识 地带规模(公顷) 沙质栖息地(公顷) 1 13.66 5.38 2 32.74 11.91 3 1.39 0.23 4 2.28 0.76 5 7.03 3.62 6 14.47 4.38 7 2.52 1.99 8 5.87 2.49 9 22.27 8.44 10 19.25 7.58 11 11.31 4.80 12 74.35 19.15 13 21.57 7.52 14 15.50 2.82 15 35.54 11.31 16 2.93 1.15 17 47.21 10.73 18 1.67 0.13 19 9.80 2.23 20 39.31 7.15 21 2.23 0.78 22 3.73 1.02 23 8.46 1.67 24 3.89 1.89 25 1.33 1.11 26 0.85 0.79 27 8.75 5.30
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28 9.77 6.22 29 13.45 4.69 任务 6: 空中摄影业已确定, 在佛罗里达灌木区域内, 植被密度一年增长 6%左右。 请针对一个可控燃烧政策提出建议。

2003年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛 (ICM)赛题
MCM 问题-A:特技演员
影片在拍摄中, 一个激动人心的动作场景将要摄入镜头, 而你是特技协调 员! 一位特技演员驾驶着摩托车跨越一头大象, 随后跌落在借以缓冲的一堆纸箱 上. 你需要保护特技演员,而且, 也要使用相对而言较少的纸箱(较低的花费, 不能进入镜头, 等等)。 你的工作如下: ? 确定所用纸箱的大小 ? 确定所用纸箱的数目 ? 确定纸箱的堆放办法 ? 还请确定, 通过对纸箱的各种调整, 是否会有所帮助 请把你的研究推广到不同组合重量(特技演员 & 摩托车)和不同跨越高度的情 形 留心一下, 在影片“明日帝国”中,角色 James Bond 驾驶着摩托车飞过一架直 升机。

MCM 问题-B: Gamma 刀治疗方案
立体定位放射外科, 用单一高剂量离子化射束在 X 光机精确界定下照射颅内的 一个小的 3D 脑瘤, 与此同时, 并没有处方剂量的任何显著份额伤及周边的脑组 织. 在这个领域中,一般有三种形式的射束可以采用,分别是 Gamma 刀单元, 带 电重粒子射束, 以及来自直线加速器的外用高能光子束. Gamma 刀单元具备的单一高剂量离子化射束, 是 201 个钴-60 单位源通过厚重的 盔状物发射出来的。所有的 201 条射束同时交会于一个等中心(最大放射剂量 点),从而在有效剂量的水平上形成一个近似球形的剂量分布. 照射这个等中心 来达到处方剂量称为一个“shot”. 多个 shot 可以表述为不同的球. 四个可以互换的外部校准的盔状物分别具有 4, 8,14 和 18mm 的射束通道直径, 都可以用来照射不同尺寸的体积. 对于大于一 个“shot”的目标体积,可以用多个 shot 来覆盖整个目标. 实际上, 大多数目 标体积要用 1 到 15 个“shot”加以处理. 在这里,目标体积是一个有界的通常包 含数百万个点的三维数字图象。
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放射外科学的目的是消除肿瘤细胞同时保存正常的结构. 由于治疗过程中会涉 及物理限制和生物不确定性, 一个治疗方案就需要考虑到所有那些限制和不确定 性。一般而言,一个最优的治疗方案需要符合如下的要求: ? 穿过目标体积的剂量梯度最小 ? 为目标体积配置特异性的相同剂量轮廓线 ? 为目标和关键器官配置特异性的剂量-体积限制条件 ? 对正常组织或器官的整个体积照射要剂量总和最小 ? 对指定的正常组织点的剂量要限制在忍耐剂量以下 ? 使关键体积所需的最大剂量达到最小 在 Gamma 单元治疗方案中,有以下限制: ? 禁止“shot”伸展到目标以外 ? 禁止“shot”交迭(避免热点) ? 用有效的剂量覆盖尽可能多的目标体积,但至少 90%目标体积要被“shot” 覆盖 ? 用尽可能少的“shot” 你的任务是用球体填充问题模型来建立最优的 Gamma 刀治疗方案, 并且提出一个 求解的算法. 在设计算法时你要记住: 它必须是相当有效率的。

ICM 问题-C 航空行李的扫描对策
你们是交通安全管理局(TSA)安全运行办公室的分析作业组, 负责美国中西部 地区。 新的法律不久将规定, 全国 429 个民用机场要借助爆炸品侦测系统 (EDSs, 见图 1)对所有验关的包裹进行 100%的扫描鉴别。EDSs 用计算合成的 X 线断层 技术来扫描验关包裹, 与医院里使用 CAT 扫描的办法差不多。利用每个包裹的多 层 X 线影像,EDSs 生成包裹内容的三维图象,显示每件物品的密度。这些信息 则用来确定包裹里是否有爆炸装置。对 EDSs 的试验表明, 每台设备 92%的时间 在工作而且每小时可检查 160 到 210 个包裹。

Figure 1: Explosive Detection System (EDS) 图 1: 爆炸品侦测系统(EDS) TSA 一直在积极地买进 EDSs 并安装在全国的各个机场。据悉,购买这些设备每 台要花近一百万美元,其重量达 8 吨,而且在一个机场安装需耗费数千美元,因 而,确定配置在每个机场的准确的设备台数以及如何在应用方面(一旦可用)达 到最优,是一个重要的问题。 当前,制造商不能为机场制造出联邦托管所需要的 EDSs 的预期台数来适应对验 关行李进行 100%的扫描。TSA 正在要求对所有机场需求 EDSs 的估计台数有一个 详细的分析, 由于只有有限数量的 EDS 机可供使用,中西部地区的机场安全主任
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(Mr. Sheldon)对此并不感到惊讶。此外,既然每个机场可用的空间和基金有 限, Sheldon 认为, 对于涌现出来的各种技术实地进行详尽的分析势在必行。 Mr. 在未来的十年中, 若干前景看好的具有更适度的空间和劳力花费的技术将会问 世(例如,X 光衍射造影;基于中子的侦测;四极场谐振;毫米波成像;以及微 波成像)。 任务 1:你们的主任 Mr. Sheldon 已经给你们分派了任务:建立一个模型来确定 本区域的两个最大设施,机场 A & B,所需要的 EDS 的台数,相关数据在技术信 息图表 (TIS) ?附录 A 里有说明。 仔细地描述你们在模型设计中所作的假设条件, 然后借助 TIS 表 1 提供的数据,用你们的模型来提出所需的 EDSs 台数。 任务 2:准备一份短的(1 页)意见书附在你们的模型上,对 TIS 表 1 中所列各 组航班隶属的航空公司说明安全相关的任务和航行守则。 任务 3:由于安全扫描需要时间并可能拖延乘客,机场 A & B 的机场管理人员请 求你们建立一个模型, 帮助航空公司确定怎样安排不同型号的班机在高峰时间起 飞。 仔细地描述在模型设计中所作的假设条件,并且用你们的模型为两个机场制 定一个排序表,所需数据见表 1。 任务 4: 依据你们的分析,关于在两个机场为高峰期班机验关包裹的扫描,你 们能给 Mr. Sheldon 和航空公司什么样的建议? (译注:无“Task 5”,原文如此) 任务 6:Mr. Sheldon 认识到你们的工作可能引起全国的反响,请求你们写一个 备忘录解释如何调整你们的模型来为中西部地区共 193 个机场确定所需的 EDS 台数和定期航线日程安排。 他将把备忘录连同模型及分析一起送给在 TSA 的安全 运行办公室主任(他的老板)和这个地区的其他机场的安全管理员,以期听取他 们的意见和可能的参照执行。 与较高危险相关联的附加安全措施要求,高达 20%的乘客既要把他们全部验 关行李经过 EDS 扫描,还要经过爆炸品痕迹探测器(ETD)扫描,尽管一台 EDS 在分辨验关行李中的爆炸设备方面是 98.5%准确的。ETD 用质谱测定技术探测炸 药混合物的微小颗粒。买一台 ETD 机要花 45,000 美元,不过,运行 ETD 机的劳 力支出却相当于 EDS 的十倍。ETD 每小时可处理 40 到 50 个包裹,98%的时间在 运行,在辨别炸药物质上有 99.7%的准确性。目前,ETD 机还不是联邦认证的, 但是 Mr. Sheldon 相信,它们不久将成为国家机场安全系统的一个必备的部分。 任务 7:修改你们的 EDS 模型进而加入 ETD 机的应用,并且确定机场 A & B 所需 的 ETD 的数目以及是否需要改变班机的排序表。 因为这些信息将影响整个国家级 的决定, 给国土安全局主任和 TSA 的主任写一份备忘录,告诉他们对强化扫描政 策的技术分析。根据它提供的数值判定,这个政策下的花费合理吗?应当用 ETD 代替所有的 EDS 装置吗? 任务 8:国土安全局主任也必须决定怎样更好地资助未来的科学研究项目。应用 你们的 EDS/ETD 模型来检查一下在设备技术、花费、准确性、速度和运行可靠性 方面的改变所可能产生的效果。 请给出对于安全系统性能影响甚大的科学、 技术、 工程和数学等研究领域(STEM)相关建议。并把你们的建议附在任务 7 的备忘录 中。 附录 A 技术信息图表(TIS) Table 1(表 1) Peak Hour Flight Departures for Airports A and B (机场 A & B 高峰时间的班机起飞)

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Note: On average, 2% of flights are cancelled each day (注:平均每天有 2%的班机被取消) Flight Type 班机类型 Number of Seats on Each Flight 每架班机座位数 Airport A: Number of Flights of Each Type 机场 A 每种类型的班机数 Airport B: Number of Flights of Each Type 机场 B 每种类型的班机数 (具体数据见以下的英文原文) 虽然表 1 中的所有班机都在一个高峰期间起飞,但他们的实际起飞时间是由航 空系统在设计他们的飞行排序表时安排的。 直到所有验关包裹通过 EDS 扫描鉴别 后班机才能起飞。 为了避免因未扫描的包裹导致令人不快的航班延迟,航空系统 可以灵活地安排高峰期间航班的起飞时间。 历史数据表明, 不多于 85 个座位的班机起飞时基本上 70%到 100%的座位坐满。 有 128 到 215 个座位的班机起飞时一般是 60%到 100%的座位已满。 而有 350 个座 位的班机起飞时大体上 50%到 100%的座位已坐满。乘客大都提前 45 分钟到 2 个 小时到达机场。 对并非往返的班机而言,航空系统要求:20%的乘客不得交验任何 行李,20%的乘客可以交验一个行李,其余的乘客交验两个行李。 初步估算指出,机场 A 安装每台 EDS 需耗资$100,000 改善现有的基础设施 (加固 地面,等) ,而机场 B 安装每台 EDS 只需耗资$80,000。

2004年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛 (ICM)赛题
MCM 问题-A:指纹是独一无二的吗?
人们普遍认为世界上每一个活人的指纹都是不一样的, 请设计一个模型, 并且 用该模型 分析以上说法正确的可能性, 比较一下因为指纹相同导致确认身份时产 生错误的可能性和因为 DNA 相同导致产生错误的可能性。

MCM 问题-B:更快的快通系统
现在的快通系统在收费站、 娱乐公园和其他的地方, 正在被越来越频繁的使用, 来减少 人们排队等候的时间,现在我们考虑为一个娱乐公园所设计的快通系统, 在一次测试当中, 这个公园在几个游客比较多的景点旁边都设置了快通系统, 这个 系统的设计创意是对于那些 比较热门的景点, 可以到旁边的一个机器, 将门票插 入后出来一张纸条, 上面写着在具体的 时间段你可以回来, 比如说你把你的门票 在 1:15 查到机子里,系统就告诉你你可以在 3:30-4:30 回来,这个时候队 伍就比较短,你可以凭你的纸条加入这个队伍,很快就可以进 入景点, 为了防止 游客同时在几个景点使用这个系统。 系统的机器只允许你一次在一个景点 排队等 待。
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现在你是几个被公园雇佣的相互竞争的一个, 你的职责是改善快通系统的运 行。 很多游 客都在抱怨测试期间系统的异常现象, 比如说有一次系统提供的回到 景的时间是 4 小时以 后, 但是才过一小会, 在相同的景点系统提供的时间只 有 1 小时。 在另外一些时候根据快通 系统组织起来的游客的等候队伍,就和普 通的队伍一样长一样慢。 现在的问题是要提出并且测试一个模型, 这个模型能让快通系统的等候纸条的 发放能增 加人们在公园的乐趣的目的。 问题的一部分就是首先要决定衡量不同模 型的标准, 在你提交 的报告里还要附带一份非技术性的总结, 以便公园的领导, 在不同的顾问所提的模型当中选 择。

ICM 问题-C 安全与否?
你大概听说过计算机黑客和计算机病毒。 除非你的计算机遭到过黑客或病毒 的攻击你或许不知道它们能怎样影响个人或机构的。 如果一台计算机受到黑客或 者病毒攻击,那么其中重要的个人信息和软件就有可能丢失。 正在考虑创建一所新的大学校园, 你们的任务是对这所大学的信息技术 (IT) 安全性的风险评估建立模型。 下面的叙述给出了一些背景材料以帮助你形成有关 检验 IT 安全性的方案。明确的任务将在后面给出。 通过多个防御层来防止计算机系统遭受恶意活动的攻击。 包括政策层和技术 层(图 1, 预防性的防御措施(略))两者在内的这些防御层将会对机构的风险类 型产生各种不同的影响(图 2, IT 系统经济风险的示意图(略))。 管理和使用方面的政策处理用户怎样和机构的计算机和网络相互作用以及 员工(系统管理员)怎样维护网络。 这些政策可以包括密码验证, 正式的安全审核, 使用跟踪,无线设备的使用,有关可移动媒体的关注,个人应用的限制和用户培 训。 一种实例性的密码政策可以包括对密码的长度和密码所用字母的要求,更改 密码的频率以及允许登录错误的次数。 每一个政策方案都包含与其执行相关联的 直接的费用以及影响到生产效率和安全性的因素。在图 1 中,只对最高层面作了 详细说明,其实每个层面的结构都是同样的。 安全状况的第二个方面就是检测、 减轻和挫败来自内部和外部两方面用户的 未经授权的活动的一组技术方案。这些技术方案涵盖了软件和硬件两个方面,还 包括入侵检测系统(IDS = Intrusion Detection Systems),防火墙,防病毒系 统,易受攻击的扫描仪和冗余备份等。比如说,IDS 监视并记录某一特定计算机 或来自具有调查数据并能提供识别可疑活动“犯罪之后”的侦破能力的网络上的 重要事件。 SNORT(www.snort.org)是一个广受欢迎的 IDS 方案。图 1 提供了一个 关键防御措施的样本(管理/使用的政策和技术解决方案)。和政策一样, 技术解 决方案也有其直接的费用以及影响到生产效率和安全性的因素。 信息安全风险的来源包括(但并不限于)机构内部或者外部的人或硬件(图 2)。不同的预防性防御措施(图 1)可能在防御内部威胁比防御来自计算机黑 客的威胁更有效。另外,外部威胁的动机往往不同,这也可能需要不同的安全措 施。 比如说, 对付一个正试图检索私人数据或客户数据库的入侵者和对付一个正 试图瘫痪网络的入侵者很可能要采取极不同的斗法。 属于机构可能要面对信息安全方面的潜在费用包括机会成本(图 2) (校注: 企业管理当局没有作出一项决策或未能利用一个能带来更多收益的机会(例如投
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资项目), 失去的收益就是机会成本)、人员费用和预防性防御措施的费用。重要 的机会成本主要包括:诉讼的赔偿金,私人数据的丢失,消费者的信心,直接收 入的丢失, 重建数据, 重建服务。 每种花费根据机构规模的不同而不同。 比如说, 大学的卫生保健院由于在应诉、 病人医疗记录可用性方面的损失比之于重建服务 系统需要更大的潜在费用。 机构可以通过风险分析来评价潜在的机会成本。 风险可以被分成三个风险类 型;机密性,完整性和可用性。组合起来,这些分类确定了机构的安全状况。每 种风险类型都会对取决于机构的任务和要求的费用产生影响。 机密性指的是保护 数据不向未经授权的访问者公开。 如果卫生保健院的记录数据因疏忽而被公开或 者被盗, 那么该院可能面临严重的诉讼。 数据的完整性是指数据的状态不被改变。 如果入侵者修改了某些产品的定价信息或者删除了全部的数据集, 机构将会面临 的代价是: 与改正由于受错误数据影响的交易相关联的费用、与重新建立正确价 值相关联的费用以及消费者信心以及收入方面的可能的损失。最后,可用性是指 包括数据和服务的资源对授权用户的可利用的。这种风险可以用和机密性、完整 性类似的方式从财政上表明自己。 为增加机构安全状况所执行的每一种措施都会(正面或反面地)影响到这三 种风险类型。 每当实施一种新的防御安全措施时,它将会改变当前的安全状况以 及紧随其后的潜在的机会成本。 机构所面临的一个复杂的问题是怎样在他们的潜 在的机会成本对保护其 IT 基本设施(预防性的保护措施)费用的平衡。 任务 1: Rite-On 咨询公司交给你们的任务是要研制一个模型,该模型可以用来 确定一所新大学适当的 IT 安全水平所需要的正确的政策和技术增强。当要申请 开张一所新大学时的即刻需要是确定能使和采购、 维护与系统管理员的培训等各 项费用一起极小化机会成本的各种预防性防御措施的最佳组合。Rite-On 签约了 一批技术人员去搜集用来支持 IT 安全规划的当前的技术规范。一些可能采取的 防御措施编目的详细技术数据包含在附件中的表格 A 与表格 B 中。 准备这些数 据表的技术人员提示说,当你组合这些防御措施时,在机密性、完整性和可用性 及其相互之间的累积效应不能只是简单的相加。 打算新建的大学系统有 10 个学术系,一个校际体育部,一个招生办公室, 一家书店,一个教务办公室(成绩和学术状况管理),一个可容纳 15,000 名学生 的综合宿舍楼。大学预期有 600 名职员和教员(不包括 IT 支持人员)来完成日 常的工作。学术系将维护 21 个计算机实验室(每个实验室有 30 台计算机)以及 600 名职员和教员所使用的计算机(每个雇员一台计算机)。宿舍中的每个房间配 备两个可以高速接入校园网的接口。预计每个学生都将有一台计算机。其他部门 /机构所需的计算机数量现时还无法预测。已知书店将有一个 WEB 站点并能提供 网上售书服务, 教务办公室将维护一个 WEB 站点便于学生可以查询付费情况和成 绩。另外,行政办公室、学生健康中心和体育部也将各自维护一个 WEB 站点。 行政人员的平均年薪为$38,000,教员的平均年薪为$77,000。当前的行业通 常认为,管理每个局域网需要雇佣 3 到 4 个系统管理员,另外,每 300 台计算机 需要雇佣 1 个系统管理员(桌面支持)。另外,(WEB 主机或者数据管理系统的) 每个独立的计算机系统一般也是由 1 名系统管理员来管理的。 表 1 列出了当前没有防御措施的 IT 机会成本的预测. 各种不同风险类型(C 表示 机密性、I 表示完整性而 A 表示可用性)在给定成本中所占的比例也在表 1 给出。 表 1 当前机会成本和风险类型的贡献

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任务 2:我们知道技术性的规范随时间变化很快。但费用,风险类型和风险的来 源之间的关系和相互影响的变化则比较慢一些。 请针对任务 1 中的问题建立一个 模型,并使得这个模型有足够的灵活性,既可以适应技术能力的迅速变化,又可 以移植应用于不同的机构。精心描述你在设计模型时所做的假设。另外,提供一 个例子说明大学怎样利用你的模型来确定其最初的 IT 安全系统并定期对它进行 更新。 任务 3:为大学校长准备一个 3 页左右的描述你在任务 2 中所建模型的优点、弱 点和灵活性的立场声明。 另外, 解释一下从你的模型能推断什么以及不应该推断 什么。 任务 4:如果你为一家提供 WWW 搜索引擎的商业公司(例如 Google, Yahoo, AltaVista, ? )建立 IT 安全模型,解释两者在初始风险类型贡献方面(表 1)可 能存在的差异。你为大学建立的模型同样适用于这些商业性公司吗? 任务 5:Honeynets 是为搜集广泛的 IT 安全威胁信息而设计的。给你的主管写 一份两页的备忘录对大学或者搜索引擎公司是否应该考虑使用 honeynet 提出建 议. (校注: Honeynet Project 是一个由献身于信息安全的安全专业人员的非盈 利性研究组织. 它创建于 1999 年 4 月, 其全部工作就是开放资源(OpenSource) 并与安全界共享.) 任务 6: 要想成为一个 IT 安全咨询方面的领导者,Rite-On 咨询公司必须能够有 效地预见到信息技术的未来发展方向, 并能够向其他公司提出如何应对未来信息 安全风险的建议。 在完成你的分析之后,为 Rite-On 咨询公司的总裁写一份两页 的备忘录,告诉他信息安全的未来。另外,描述一下怎样用你的模型来预测和应 对不确定的未来。 [注:原题中的图 1、图 2 和附录 1、附录 2 略] [注:原题全文见此(PDF 文件)]

2005年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛 (ICM)赛题
MCM 问题 A.水灾计划
南卡罗来纳州中部的磨累河是由北部的一个巨大水坝形成的,这是在 1930 年为了发电 而修建的, 模拟一起洪水淹没下游的事件, 这起事件是由于一次灾难 性的地震损毁了水坝造成的。 两个问题:
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Rawls Creek 是水坝下游流入 Saluda 河的一条终年流动的河流, 当水坝损毁后 则 在 Rawls Creek 将会出现多大的洪流,洪水的波及面将有多大? S.C.国会大厦大楼在一座小山上,在 S.C.国会大厦大楼能俯视 Congaree 河。洪水能如 此巨大顺流以致于水将扩展到 S.C.国会大厦大楼吗?

MCM 问题-B.公路收费站的设置
像 Garden State Parkway,Interstate 95 等等这样的长途收费公路,通 常是多行道的,被分成几条高速公路,在这些高速公路上每隔一定的间隔会设立 一个通行税收费广场。 因为征收通行税通常不受欢迎, 所以应该尽量减少通过通行 税收费广场引起的交通混乱给汽车司机带来的烦恼。通常,收费亭的数量要多于 进入收费广场的道路的数量。进入通行税收费广场的时候, 流到大量收费亭的 车辆呈扇形展开, 当离开通行税收费广场 的时候, 车流将只能按照收费广场 前行车道路的数量排队按次序通过!从而,当交通是拥挤的时,拥挤在违背通行 税广场上增加。 当交通非常拥挤的时候, 因为每车辆付通行费的时间要求, 阻塞也 会出现在通行税收费广场的入口处。 建立一个模型来确定在一个容易造成阻塞的通行税收费广场中应该部署的 最优的收费亭的数量。 需要保证每一个进入收费广场的交通线路上都仅有一个收 费亭。 与当今的实践相比较,在什么条件下这或多或少有效? 注意:"最佳"的定义由你自己决定。

ICM 问题-C:不可再生的资源
选择一种必不可少的不可再生的或会枯竭的资源,比如水、矿藏、能源。食 物等等, 对此你们队能找到合适的世界范围内的有关其天赋资源、 已知的蕴藏量、 年消耗量、价格等历史数据。建模的任务为: 1、利用有关天赋资源、发现、年消耗量、价格等历史数据,运用资源建模的原 则,建立这种不可再生资源在长时间中逐渐消耗或退化的模型。 2、考虑未来的经济、人口统计学、政治和环境等因素来调整模型。务必展示你 们模型的细节,提供模型结果直观形象的表示,并指出模型的局限性。 3、创建一种公平、实用的“开采,管理”策略,其中包括经济上的鼓励和抑制 措施,从而确保资源的长期可用性,而求能避免这种资源的混乱的消耗、退化或 者迅速枯竭。 4、研制一种“安全保障”策略以保护这种资源被盗、滥用、遭到破坏、不必要 的退化或毁灭。 可能需要讨论问题与这些策略相应的政策和安全管理方面的候选 方案。 5、研制控制开采的短期或长期“环境影响”的策略。务必包括诸如污染物、不
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断增长的对自然灾害的敏感性、 垃圾处理和储存, 以及其他你们认为重要的因素。 6、把这些资源和相近用途的其他资源进行比较,为减少你选择的资源的消耗或 潜在的耗尽危险应该发展什么样的新的科学或技术?研制一种能推动这些新领 域的进步的研发策略。

2006年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛 (ICM)赛题
MCM 问题-A: 用于灌溉的自动洒水器的安置和移动调度
有各种各样的技术可以利用在灌溉领域。技术范围从先进的滴水系统到周期 性淹灌系 统。 其中有一种常被使用在较小农场的"手移动" 灌溉系统: 带着洒 水喷头的轻质铝管横贯 田地, 通过周期性的手动移动来保证整块田地都能得 到充足的水分。 这种类型的灌溉系统相 对于其它系统来说, 价格更加便宜且更容 易维护。特别是它还比较灵活, 可以在各种各样的 田地或庄稼地中使用。 它的 缺点在于, 需要很多的时间和精力来移动灌溉设备并且需要按照 规则的间隔 进行设备的安装。 假设使用这种类型的灌溉系统灌溉一块 80X30 米的矩形田地, 该怎样 配置可以使得灌 溉时间最少?为完成这项工作, 您需要找到一个灌溉算法使得灌 溉时间最少, 要求灌溉系统 仅有一个农夫来维护。 田地里经常会使用管子组。 您应 该确定喷头的数量和喷头之间的间距, 并且您应该制定一张管子移动的日程表, 其中包括要移动到的具体位置。 管子组是由一些可以连成一条直线的水管组成的。 每个管子内径 10 cm , 管子 20 带有一些内径 0.6 cm 可转动的喷嘴, 米长。 水源地的水压是 420 千

帕斯卡, 流速是每分钟 150 公升。 田地的水量每小时不超过 0.75 cm, 并且每 4 天至少需 2 厘米的水。 水应该尽可能 被用。 注意里面几根管子连接在一起一共是 20 米,翻译的时候由于仓卒翻译有问题!

MCM 问题-B: 通过机场的轮椅
在航空旅行中有一件令人头疼的事, 那就是旅途中需要通过多个机场, 并且 每次中转都要求旅客换乘另外一架飞机。 对于一些行走不便的旅客来说走到另一 架飞机的候机室是非常困难的。航空公司解决这种问题的一个简单方法是为那些 需要帮助的旅客提供轮椅和一名伴游。 这需要对旅客的情况有所了解, 但这 一点在旅客在机场登记的时候是做不到的。很多情况 下,航空公司是在飞机在 机场着陆的时候才得到通知的。 航空公司一直希望降低费用开销。 轮椅价格昂贵 且比较容易破损, 需要经常维护。 并且雇用 伴游也需要费用。 为了保证有需要的
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旅客在飞机着陆后能够及时得到服务, 伴游和轮椅必须 经常在机场附近备用。 在 一些大型机场, 横穿机场的时间也是相当可观的。 轮椅必须被存放 在某处, 但 在机场空间是非常昂贵且有限的。 并且将轮椅放在高交通区带来的风险如同推着 它们到处移动一样。 费用中最大的要数某个旅客由于没有伴游帮助耽误了登机使 得飞机无法 起飞带来的费用。后者的费用更加棘手,因为它将直接导致航空公 司的平均飞行延迟增加, 最终使得一些潜在的顾客放弃选择航空。 Epsilon 航空公司要求第三方帮助他们进行对保留和维护轮椅和伴游的问 题和费用的一个详 细的分析。 航空公司需要制定一个全天使用的、 比较经济的轮 椅的调度方案。 并且需要短期 和长期的费用预算。 Epsilon 航空公司对这个问题公开招标解决。您的标书应该包括对情况的 概要和分析。 包括 对于伴游和轮椅的全天运动的详细调度算法。 目标是尽可能地 降低总成本。 为了确保您能中 标。 您必须通过一些有力的实例来说明您的解答 是最佳, 并且说明它能够适应大机场使用, 适应各种各样的环境。 您的标书应该包括算法在大型(至少 4 个广场), 中型(至少二个广场), 小型(一个广场) 机场 的使用实例, 其中需要包括在人流量高峰和普通时的情 况。 您应该说明所有的潜在费用并说 明它们各自的关键性比重。 标书中还要涉及 当旅客中有很大比例的老人或需要帮助的人的情况,他们通常需要花费更多的时 间来换机。 您的报告还应该涉及为了适应未来的发展需要应 该出现的潜在费用和 投入。

ICM 问题-C : 抗击艾滋病的协调
HIV/AIDS2(人体免疫缺损病毒/艾滋病)的大范围流行已经进入第25 年,由 于这种疾病 导致的感染人数和死亡人数一直在不断上升. 尽管已经付出了巨大 的努力, 但是我们的国际 社会对怎样最有效地分配资源来抗击这种流行病仍然心 中无数 你们是联合国的一个专家组,就怎样管理可利用的资源来抗击HIV/AIDS 向 联合国提 出建议. 你们的工作就是要对令人关注的几种方案进行建模,并用你们 的模型就资金分配 提出建议.下面的说明提供了某些背景资料,也概述了特定的 任务. 任务1: 在每个大洲(非洲、 亚洲、 欧洲、 北美洲、 澳洲和南美洲)选择一个你们认为在 HIV/AIDS 方面是最严重的国家.建立模型来粗略估计这些国家在没有任何其他 的干预时从2006 年到 2050 年HIV/AIDS感染人数的变化率.确切地解释你们 的模型以及作为你们的模型的基础的那些假设.另外,解释一下你们是如何选择要 对之进行建模的国家的. 作为你们的分析中要包括的一组国家, 请利用附件中的电子数据表中的国 家, 该表包括 直到2003 年的世界卫生组织(WHO)所有成员的名单. 数据:―list_WHO_member_states.xls‖3 有关由国家给出的HIV 流行率的可靠数据一般难以得到. 所附的电子数据表 包括你们也许 可以用于你们的分析中的几个工作数据表. 数据:―hiv_aids_data.xls‖ a. ―Global HIV-AIDS cases, 1999‖: 这些数据来自 UNAIDS(关于HIV/AIDS
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的联合国联 合课题组),它们报告了1999 年底由国家提供的0 到49 岁HIV 检验为阳性的估计人数. b. ―HIV-AIDS in Africa over time‖: 这些数据来自美国政府, 它们给出了分开 的时间段上 有关某些非洲国家城市地区育龄妇女中随时间推移的HIV 流行率的数据. c. ―HIV-AIDS subtypes‖: 这些数据来自 UNAIDS, 它们给出了按国家的 HIV-1 子类型的地区分布. 附件中还有可以为你所用的某些基本人口数和人口统计学数据. 数据: (1) ―fertility_data.xls‖: 这些数据来自联合国, 它们给出了主要的地区、行政区 和国家 1995-2050 特定年龄的人口出生率(每千名妇女生育子女的数目) a. 1995-2005 的估计数 b. (在中等生育率的假设下) 2005-2050 的预测数 (2) ―population_data.xls‖: 这些数据来自联合国, 它们给出了主要的地区、行 政区和国家 (不分性别的) 1950-2050 每年的总人口数(单位: 千) a. 1950-2005 的估计数 b. (在中等生育率的假设下) 2006-2050 的预测数 (3) ―age_data.xls‖: 这些数据来自联合国, 它们给出了5 年年龄组、主要的 地区、行政区 和国家(不分性别以及分性别的) 1950-2050 的人口数(单位: 千) a. 1950-2005 的估计数 b. (在中等生育率的假设下) 2010-2050 的预测数 (4) ―birth_rate__data.xls‖: 这些数据来自联合国, 它们给出了主要的地区、 行 政区和国家 1950-2050粗略的出生率 (出生人数/每千人) a. 1950-2005 的估计数 b. (在中等生育率的假设下) 2005-2050 的预测数 (5) ―life_expectancy_0_data.xls‖: 这些数据来自联合国, 它们给出了主要的 地区、行政区 和国家在1950-2050 出生 (不分性别以及分性别的) 的人的预 期寿命(年) a. 1950-2005 的估计数 b. (在中等生育率的假设下) 2005-2050 的预测数 有几种HIV/AIDS 专款可以直接给予的方式介入 — 包括预防介入(志愿的咨 询和检测服 务、避孕套的社会营销、以学校为基础的艾滋病教育、防止母-婴传 染的药物, 等等)以及治 疗介入(治疗其他未经治疗的性传染病、治疗机会致病 的感染, 等等). 任务2: 首先, 对你们在任务1 中选择的国家, 从2006 到2050 年按年评估你们 实际上期望得 到的可以用于抗击HIV/AIDS的来自国外捐赠人资助的资金水平. 然后, 对下面三种方案的 符合实际的假设下, 利用你们在任务1 中研制的模 型以及这些资金资源的估计, 评估你们选 定的国家2006-2050 年HIV/AIDS 感染人数预期的变化率:
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(1) Antiretroviral (ARV)药物治疗 (2) 预防性HIV/AIDS 疫苗 (3) 同时采用ARV 准备和预防性HIV/AIDS 疫苗 假设上述三种方案都不会有出现HIV 抗药菌株的风险(你们将在任务3 中考察 这个问题). 务必仔细地描述作为你们模型的基础的假设. 你们可以选择在收支取 舍点、 疾病负担等的基础上对任务1 中选定的所有国家或部分国家执 行上述三 种方案. 如果你们想要的话, 附件是一个可以利用的有关各国收入水平数据的电 子 数据表. 数据: ―income_data.xls‖ 这些数据来自世界银行(2002), 它们给出了在你们的 分析中可以 自由利用的按人口平均计算的国民生产总值(GNP)以及一般的收入 分类5.ARV 药物治疗因其可以延长HIV/AIDS 感染者的生命带来极大的福音. 在富裕国家, ARV 药物使得很大比例的HIV/AIDS 感染者免于死亡, 政策制订者和国际组织正面 临怎样增加 贫穷国家的HIV/AIDS 感染者获得ARV 药物的途径的巨大政治 压力. 低收入国家的卫生保 健预算非常有限, 看来贫穷国家不大可能利用他 们自己的资源对大多数人口成功地开展这 些防治计划. 附件1 给出了来自 UNAIDS 对一些国家当前使用ARV 药物治疗的具体的国 家的数据. ARV 的疗效在很大程度上依赖于能否坚持医疗制度及严格的监督. 最获好评 的ARV 治疗 条件是具有广泛咨询和医生护理的井井有条的计划, 以及定期的 检查以监视病情的发展以及机会感染6的发病. 不能坚持或者不恰当的治疗会导 致两方面的严重后果. 首先, 对接受 治疗的个人治疗可能没有效果. 其次, 部分的或是不恰当的治疗被认为会直接 导致HIV 抗 药性菌株的出现. 一开始用于治疗病人的药物价格已经降到每个病人每年几百美元, 但分发这些 药物、 提供必 要的辅助医疗保健措施以及进一步的治疗是考验政府的行政和财政能力的关键. 据估计, 用意欲使出现抗药性菌株的可能性最小的临床推荐的方法(DOTS, 应 或 者直接观察短疗程治疗) 来购买和发放ARV 药物的成本会低于每人每年1100 美元. (Adams, Gregor et al. [2001]. ―Consensus Statement on Antiretroviral Treatment for AIDS in Poor Countries,‖ http://www.hsph.harvard.edu/bioethics/pdf/consensus_aids_therapy.pdf) 对于预防性HIV 疫苗, 请对(除了你们可能已经选来包括在你们模型中的其它因 素以外的) 以下情况做出你们认为合理的假设: (1) 预防性HIV/AIDS 疫苗可以投入实用的年份 (2) 多快的疫苗接种率有可能达到以下的疫苗接种的稳定水平: a. 如果你们希望使新的一群人(幼儿)得到免疫, 那么就假设按国家的新的人群 的稳定接种水平 就是WHO(2002)报告的白喉-百日咳-破伤风疫苗第三剂(DTP3)的免疫率 b. 如果你们希望使成人(5岁以上的人群)得到免疫, 那么就假设年龄较大人群的 稳定接种 水平 就是WHO(2002)报告的破伤风类毒素第二剂(TT2)的免疫率4 逆转录酶病毒 (retrovirus), 是一 种病毒, 大多数会产生含有核糖核酸和逆转录酶的肿瘤, 包括
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引起爱滋病 的病毒. 抗逆转录酶病毒药物(antiretrovirus drug ). — 译注. 5 世界银行的收入分类(2002): (a) 低收入: 按人口平均计算GNP 小于等于 760 美元; (b) 低中等收入: 按人口平均计算GNP 761 - 3030 美元; (c)高中等 收入: 按人口平均计算 GNP3031 - 9360 美元; (d) 高收入: 按人口平均计算

GNP 大于等于9361 美元. 6 机会感染 (opportunistic infection) 也有人称为条件性感染, 指在人体免疫 系统受伤而导致 抗感染能力降低的条件下,本来栖居于人体但未致病的菌群可以 变成致病微生物,所引起的感染. 13 数据: ―vaccination_rate_data.xls‖ (3) 疫苗的功效及其有效期 (4) 是否存在来自疫苗接种的流行病学的外部偶然因素 (5) 假设疫苗是三剂的(three-dose), 而且可以加进疫苗的标准封装随着WHO 的免疫扩展计 划(EPI)一起以另外0.75 美元的增加成本发放. 任务3: 考虑以下关于ARV 抗药性菌株的研制的假设, 重新阐明你们在任务2中 研制的三个模型.当前的评估表明, 采用ARV 治疗的病人的坚持程度低于90%

-95%的话, 有产生抗药 性菌株的―巨大危险‖. 在你们的分析中可以采用假设: 接受ARV 治疗的病人的坚持程度 低于90%, 就有5%的可能性产生对抗标准 的一线药物治疗的HIV/AIDS 菌株产生抗药性.人 们也可以使用二线和三线药 物治疗但在你们的分析中应假设, 要在欧洲、 日本和美国以外的 国家要使用这 些药物将会是昂贵得负担不起的. 任务4:向联合国写一份白皮书,就如下问题提 出你们专家组的建议: (1) 就抗击HIV/AIDS 中ARV 药物的供应和预防性HIV 疫苗的可利用资源 的分配提出建议 (2) 相对于其他外交政策的优先性而言, 你们关于怎样权衡作为国际关心的 HIV/AIDS 的重 要性的论证 (3) 你们对怎样协调捐赠人对HIV/AIDS 的介入的建议 对于问题(1), 假设从现在起到2010 年期间, 可利用的财政资源的分配能加速预 防性HIV 疫 苗的研制工作 — 或直接资助疫苗的研发(R&D), 或通过其他 的机制来实现这个目的. 花费 这种资助的任何收获都将把你们在任务2 中假 设的研制日期提早实现. 附件1. 接受ARV 药物治疗的晚期HIV 感染的成人的百分比(略)

2007年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛 (ICM)赛题
MCM A-题:不公正的选区划分
[美国宪法规定众议院由一定数目的众议员(目前是
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435人)组成,他们是由

各州按照该州人口占全国总人口的百分比选出来的。尽管这种规定提供了确定每 个州有多少众议员的方法,但是一点也没有说及有关一个特定的众议员所代表的 选区应该怎样按地区决定的问题。这种疏 忽已经导致了按某种标准看来是违反 常情的很不好的(至少某些人认为通常是不必这样做的) 选区安排。 + H- j# h$ ?/ v1 N8 F, K- I$ Z因此就向你们提出了以下的问题:假设你们有 机会去制定一个州 的众议院的选区。 你们会怎样把它作为一种纯“基础性”的 练习来创建一个州的所有选区的“最 简单”的划分。这些划分规则中至少要包 含一条: 该州的每个选区必须有同样的人口。 “简单” 的定义要由你们来下;但 是你们必须就你们的解决方法是公正的做出一个能够使该州选民信 服的论证。 作为你们的方法的应用,试创建纽约州的按地域来说是简单的选区划分。

MCM 问题 B :飞机就座问题
航空公司允许引领候机乘客以任何次序就座。 已经成为惯例的是首先引领有 特殊需要的乘客就座,然后是头等舱的乘客就座(他们坐在飞机的前部)。然后引 领持经济舱和商务舱机票的 乘客从飞机后排开始向前按照排结组就座。 从航空 公司的角度来看, 除了考虑乘客的等候时间外, 时间就是金钱, 所以登机时间最好 要 减到最少。 飞机只有在飞行的时候才能为航空公司赚钱, 而长的登机时间限制 了一架飞机一 天中可以飞行的次数。诸如 Airbus A380( 空中客车 A380 , 可 以容纳 800 名乘客)的大型机的发展就更要强调缩短 登机(以及下机)时间的问 题了。就乘客人数不同的飞机:小型机(85-21),中型机(210-330)和大型机 (450-800) ,设计登机和 下机时间的步骤并进行比较。 准备一份不超过两页纸 (不空行打印) 的实施概要, 以便向航空公司业务主管、 登机口执法 人员以及空 (地)勤人员阐明你们的结论。 在2006年11月14 日的《纽约时报》上刊登的一篇文章报告了当前遵循的步骤以 及航空公司寻求更好的解决方案的重要性。该文可以在如下网址找到 : http://travel2.nytimes.com/2006/11/14/business/14boarding.html

ICM 问题-C:器官移植:肾交换问题
移植网络: 尽管有医学和健康技术的持续不断和引人注目的进展, 对移植用的 器官的需求大 大超过了捐赠者的数目。 为帮助改善这种情况, 美国国会在 1984 年通过了全国器官移植法 案,建立了器官获得和移植网络(OPTN)来匹配器官捐 赠者和需要器官的病人。即使所有这 些有组织的技术和服务都到位,在美国仍 然有近 94 000 个移植申请人在等待器官移植而且 预计申请人的数目很快就会 超过 100 000 人。 平均的等待时间超过 3 年 ―是诸如大城市那 样的地区的 2 倍。 移植用的器官是从尸体队列或活着的捐献者那里得到的。 有效的利用尸 体 队列是通过网络来进行配合并进行很好的交流。 好消息是该系统正在起作用而且 今年有越 来越多的捐赠者 (活着的和故去的)认可并利用该系统, 这是和每个月 创记录的移植数目相 一致的。 坏消息是等待移植的候补表列变得越来越长。 有人
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认为由于对最需要移植的病人的 重要失败, 就当地以及全国而言, 目前的系统面 临着崩溃。此外,基本问题仍然存在:能否 改进该网络以及如何改进像 OPTN 那样的复杂网络的有效性?不同的国家有不同的处理过 程和政策,哪个做起来 最好呢?什么是目前这个系统将来的处境呢? 任务 1: 作为一开始的参考资料, 请阅读 OPTN 网址 (http://www.optn.org) 上 有关其政 策的描述以及数据库( http://www.optn.org/data 和 http://www.optn.org/latestData/viewDataReports.asp ). 试对普通的美国移植网络建 立一个数学模型。 该模型必须对以下问题给出洞察: 什么环节是有效的器官匹配的 潜在的瓶 颈?如果有更多的资源可用来改进捐赠者-匹配过程的有效性,什么环 节以及怎样来利用这 些资源?如果把该网络分为若干较小的 (例如州一级 的 )网络, 该网络的功能会更好些吗? 最后, 你们能够通过挽救和延长更多的生 命来使该系统更为有效吗?如果可以的话, 提出政 策改变的建议并修改你们的模 型来反映这些改进。 任务2:调研不同于美国的另一个国家的移植政策。修改你们在任务 1 中的 模型来确定通 过在另一个国家所采用的步骤看美国的政策是否可以得到改进。 作 为受雇于国会的 (有关公 共卫生事务和网络科学方面)专家分析小组的成员, 请 完成对这些问题的研究,并向国会写 一个一页纸的报告,提出任务 1 中要回答 的问题和有争议的问题以及你们对不同国家的政 策的研究中发现的信息以及可 能的改进措施。务必说明怎样参考任务 1 中你们的模型来帮 助回答这些问题。 把注意力集中于肾交换: 肾过滤血液、 排除废物、 制造荷尔蒙以及生产尿液。 不同的疾病和 条件会造成肾功能的衰退。末期肾病患者要面对死亡、透析(每年 超过 6 万美元的费用)或 者寄希望于肾移植。移植的肾可能来自同意在死后捐 赠器官的个人的尸体或活着的捐赠者。 在美国, 大约有 68 000 人正等待着已经 死亡的捐赠者的肾, 每年只有 10 000 人是从来自 尸体的肾移植的, 而 6 000 人 是从来自活人(通常是病人的亲戚)的肾移植的。 因此等待一 个匹配好的肾平均时 间为 3年 ―遗憾的是有些贫困的病人没能活到那么长的时间来接受一 个肾 移植。 有许多与肾移植有关的问题 ―接受肾移植的个体 (受体)总的身体健康和精神 健康的情况、 受体的经济状况(移植和术后医疗保险)以及捐赠者的可得性(有活 的捐赠者愿意捐赠一个 肾)。捐赠的肾必须是相容的 ABO 血型。通过使血液中 6 个 HLA1 制造者不匹配的数目极小 的方法来提高接受移植者 5 年的存活时 间。每年至少有 2 000 自以为是捐赠者 -受体对因 为血型不相容或者很差的 HLA 匹配而受阻。其他一些信息来源表明在当前的等待表列中超过 6 000 人有 排除不相容捐赠者的意愿。对于捐赠者群体来说这是一种巨大的损失并且是 制 定新政策和步骤时值得考虑的问题。 来自韩国的一种会发生在活的捐赠者或者尸体队列的有关肾交换系统的方 法。 一种交换就是成对-肾的捐赠,两个病人中的每一个人都有一个不相容的捐赠 每一个捐赠者通常是在同一个医 者,但是每一个捐赠者和另一个病人是相容的; 院同一天捐赠给另一个病人。 另一种方 法是表列配对捐赠, 一位心甘情愿的捐赠 者代表一个特定的病人捐赠给正等待肾的另一个病人; 作为回报, 该捐赠者-病人 对的病人得到来自尸体队列的相容肾的更高的优先权。 有第三种方法, 还 即把配
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对 -肾的捐赠扩大到三方、 四方或者 (n-对)的圈, 每个捐赠者给圈中 的下一个 人。 2006 年11 月 20 日在 Johns Hopkins Medical Facility(约翰霍浦金斯大学 医疗诊所)12 位外科医生完成了第一次全五方的肾交换手术。因为捐赠者和原先 计划好的受体 之间的不相容性,所以不可能有预先计划好的捐赠者 -受体的移 植。在任何给定的时刻,有 许多(也许有 6 000 人之多的)具有不同的血型和 HLA 制造者的病人捐赠者对。眼下,每天 尸体队列都得到肾而且当作出指派和 完成移植时这些肾也就用完了。 任务3: 设计一种考虑到医学和生理学动态情形的能够极大化肾交换数量和质量的 步骤。 明以什么样的方式你的步骤可以取得最大的效益。 证 估计你们的步骤每年 将多产生多少移植,以及对等待表列所产生的效果。 对策: 病人可能面对非常痛苦的选择。 假设从 HLA 的不匹配来说, 来自尸体队 列的一个勉强相容的肾成为可利用的。 病人应该用它, 或者等待来自尸体队列或交 换的比较好的匹配的 肾呢?特别是,尸体肾的半有效期比活的捐赠者的肾的半 有效期要短。 任务4: 为病人设计一种对策以决定是否要接受一个提供给你的肾, 或者甚至 去参与肾交换 计划。考虑风险、可供选择的方案以及在你们的分析中可能有的 后果。 道德方面的忧虑: 器官移植无论从技术还是从在什么是对社会最好和什么是 对个人最好之间 的平衡有关的政治问题而言都是有争议的问题。 试图确保在等 待表列上的人都能得到公平的 处理的准则已经非常仔细地研制出来了, 而某些 政策试图处理有关谁应该留在表列上以及谁 应该从表列上去掉的道德忧虑问 题。 与留在表列上或者从表列去掉的准则包括: 癌病的诊断、 HIV 感染或爱滋病、 严重的心血管疾病、 不遵从优先考虑的治疗的病史或者控制得不好的精 神病。 决定安排优先次序的准则包括: 在等待表列上的时间、 捐赠者和受体之间匹配的 质量 以及捐赠者和受体的身体差距。作为最近的政策改变的结果,18 岁以下 的儿童排在等待表 列优先接受的位置而且常常能够在从放在表列上的几周或 几个月内接受移植。 器官共享统一 网络(United Network for Organ Sharing)网站最 近 (2006 年 10 月 27 日)展示的正在等候的病人的年龄为: 18 岁以下: 748;18 – 34: 033;35 – 49: 8 20553;50 – 64: 530;65 及大于 65 岁: 28 10 628 人们持续关心的一个道德问题是就通过捐赠的挽救来延长总的存活时间中强调 并优先考虑 年龄的总体效果有多大。 从统计观点来看, 因为在预测存活时间长度 看来年龄是最重要的因 素,有些人相信对老年受体而言,肾正在被浪费掉。 政 治问题: 分区的移植系统已经产生了一些政治后果(例如, 某人急需一个肾而且在 表列上 排在相当前面, 但是他或她的患病的邻居的肾仍有可能供给 500 英里外 的大城市的一个酒精 中毒的毒贩子)。想要做好移植手术的居住在小社区的医生 需要通过每年做最低限度次数的 移植来获得重复的经验。 然而, 来自这些小社区 的肾常常去了大城市的医院, 所以当地的医 生就不可能保持他们的水平。 这就提 出了问题: 只应该在不多几个大医疗中心由少数几个专 家和有经验的外科医生来 做移植手术吗?这是一种公平的方法吗?以及这是提高或者降低 了方法的有效 性吗? 许多其他的道德和政治问题正在辩论之中。某些当前的政策可以从网址 http://www.unos.org/policiesandbylaws/policies.asp?resources=true 获得。 例如, 近 最 在美国已经通过了禁止贩卖或批准捐赠器官的法律, 然而有许多中介主张捐赠者
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接受对他 们的器官的经济上的补贴。 Illinois 州有一个新政策: 假设每个人都愿 意成为器官捐赠者(假设同意), 如果有人不同意, 那就要提出退出。 卫生和人事服 务部的器官移植咨询委员会(The Department of Health and Human Services Advisory Committee on Organ Transplantation)预期会建议所有的州都采用器官捐 赠的假设同意的政策。 有关新的全国性 政策的最后决定要有美国卫生和人事服务 部属下的卫生资源和服务管理部 (Health Resources and Services Administration) 来作出裁决。 任务 5:基于你们的分析,你们会建议对这些准则和政策作任何改变吗?讨 论你们所建议的 交换步骤和病人的对策(任务 3 和 4)的道德方面的特点。 对前面 你们用作优先性和布局的次 序排个序, 并说明为什么你们要安排在那里的理由。 你们会考虑允许人们出售用作移植的器 官吗?就你们的建议给美国卫生资源和 服务管理部的主任写一页纸的短文。 任务 6:从潜在的捐赠者的前景来看,志愿捐赠的风险包括评估受体成功的 概率、捐赠 者存活的概率、捐赠者未来健康问题的概率、 (诸如剩下的一个肾 出问题那样的)未来健康 风险的概率以及术后的病痛和康复的问题。 这些以及其 他的风险怎样影响着捐赠者的决定? 已经认识到的风险和个人问题(恐惧症、不 合情理的害怕、错误的信息、先前的外科手术的 经验无私的程度以及信任的程 度)怎样影响捐赠的决定?如果是进入一个成对的网络表列而 不是直接移植给亲 戚或朋友,n-对网络的大小 n 会对潜在的捐赠者的决定产生任何影响吗?能否 修改你们的模型来反映和分析这些问题吗?最后, 对扩展和补充更多的无私的捐 赠者的方法提出建议。

2008年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛 (ICM)赛题
MCM 问题-A:给大陆洗个澡
研究一下由于全球气温升高造成的北极冰帽融化对大陆的影响。 具体来说, 为佛罗里达海岸今后 50年,每十年由于融化造成的影响建立模型,要特别注意 大型 都市区。 提出一些适当的回应来处理这些问题。 对所使用的数据的详细讨论 是答 案的一个重要部分。 美国气象数据:http://www.ncdc.noaa.gov/oa/ncdc.html

MCM 问题-B:建立数独拼图游戏
建立一个算法, 构造一个难度任意变化的数独拼图游戏, 通过扩展矩阵大小
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来定 义难度,算法和矩阵应该是可扩展的, 可以适应任意数目的难度水平。 你 应该至少设计出 4个难度水平的算法, 你的算 法应该保证结果唯一, 分析你的算 法复杂度, 你的目标是用最小的算法复杂度来 实现以上的要求。

ICM 问题-C:找出卫生保健系统中的有利之处
国家为他们的居民提供医疗保健体系。人们经常关注的,也经常出现在新闻 中问题是出现的什么样的系统是更好、时下的系统是不是可以改善。不同国家之 间这些系统差别很大:它们是如何资助的;服务在公共、 私人或非营利组织之中时 怎么传递的;公众保险是否对所有的居民都是普遍存在的;谁有资格受帮助;应该 受到什么程度的帮助;最新的医疗程序是不是可用的;使用费用需要多少。确定 经常保健系统的质量的其他的因素范围包括:眼镜、口腔护理(互补、义肢、处方 药物等);这些疾病是影响整体健康的比例,占国内生产总值花在医疗保健的费用; 百分比的劳动/管理/医疗事故保险,比公开私人医疗开支最关键的一部分。

2009年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛 (ICM)赛题
MCM 问题-A:设计一个交通环岛
在许多城市和社区都建立有交通环岛,既有多条行车道的大型环岛(例如 巴黎的凯旋门和曼谷的胜利纪念碑路口),又有一至两条行车道的小型环岛。 有些环岛在进入口设有“停车”标志或者让行标志,其目的是给已驶入环岛的 车辆提供行车优先权;而在一些环岛的进入口的逆向一侧设立的让行标志是为 了向即将驶入环岛的车辆提供行车优先权;还有一些环岛会在入口处设立交通 灯(红灯会禁止车辆右转);也可能会有其他的设计方案。 这一设计的目的在于利用一个模型来决定如何最优地控制环岛内部,周围 以及外部的交通流。该设计的目的在于可利用模型做出最佳的方案选择以及分 析影响选择的众多因素。解决方案中需要包括一个不超过两页纸,双倍行距打 印的技术摘要,它可以指导交通工程师利用你们模型对任何特殊的环岛进行适 当的流量控制。 该模型可以总结出在何种情况之下运用哪一种交通控制法为最 优。当考虑使用红绿灯的时候,给出一个绿灯的时长的控制方法(根据每日具 体时间以及其他因素进行协调)。找一些特殊案例,展示你的模型的实用性。

MCM 问题-B:能源和手机
这个问题涉及到手机革命的能源问题。手机使用率迅速增加,许多人使用
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手机并放弃了固定电话。这方面的电能使用会带来什么后果?每个手机都配备 了电池和充电器。 要求 1 考虑现在的美国,人口约为 3 亿,从现有数据估计美国有 H 个家庭,每个 家庭有 M 个成员,以前是使用固定电话的。现在,假设所有的座机被手机取代, 也就是说每个家庭成员都有一部手机。建立当前美国在手机使用的过渡和稳定 两个阶段用电改变的模型,分析应该考虑到对移动电话充电的需要,同时移动 电话不能像固定电话那样长期使用也是一个现实问题(比如说移动电话可能会 丢失或者损坏) 要求 2 考虑“伪美国”--一个约 3 亿人口,跟当前美国具有相同的经济状况的国 家。然而,这个新兴国家既没有固定电话也没有移动电话,从能源角度看,为 这个国家提供电话服务的最佳方式是什么?当然,手机有很多固定电话所不具 有的用途和社会影响。这个讨论要涉及单独使用固定电话或者单独使用移动电 话,或者混合使用二者所带来的广泛和潜在的影响。 要求 3 手机需要定期充电。但是许多人在不考虑手机是否要充电的情况下,总是 将充电器一直插在电器插槽上,有的甚至整晚都在给手机充电。在你的要求 2 解决方案的基础上,针对“伪美国”,建立上述浪费方式的能源消耗的数学模 型。另外,假定“伪美国”以石油作为电力来源,以原油桶为单位计算浪费量。 要求 4 估计各种需要充电的电器设备(电视、DVR、电脑外围设备等)所使用能源 的数量,考虑设备没有使用,但插头仍然插在插座上的情况。要求用精确的数 据建立模型,估计当前美国每天所浪费的能源数量,以原油(桶/天)计量。 要求 5 考虑人口及经济增长在未来的 50 年内的情况。 如何使 “伪美国” 发展壮大? 对于今后 50 年内的每一个 10 年进行电话服务的能源需求预测,前提是在你前 三个要求的分析基础上进行。另外,假定以石油作为电力来源,以原油桶为单 位计算。

ICM 问题-C:构建食物系统: 重新平衡被人类影响的生态系统
背景 仅有不到 1% 的海底被珊瑚覆盖.。 然而, 这里却支持着 25%的海洋生物多样 性。 因此, 环保主义者非常关心珊瑚的消失, 因为随之而来的是这些区域中生物 多样性的消失。 考虑位于菲律宾共和国的一个狭窄的通道区域,它位于吕宋岛和 Bolinao 和 Pangasinan 的圣地亚哥岛之间,这里过去长满了珊瑚礁并且支撑了一个巨大 的生物种群(如图 1).。 在上世纪 90 年代中期, 由于商业化虱目鱼(Chanos chanos) 养殖的引入, 这一区域的生物多样性戏剧性地减少。现在海域底部大部分都被淤 泥覆盖, 曾经这里生活着大量的珊瑚, 自从珊瑚被埋葬以后, 由于过度的捕捞和 缺少野生鱼的栖息地, 现在已经很少有野生鱼出没了。然而鱼是当地居民的重要 食物来源, 寻找新的方法来使得自然生态系统继续繁荣是关系到人民生活的重
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要事情; 也就是要, 建立一个混养系统来代替现有的虱目鱼单养系统。 最终的目 标是要发展一系列水产养殖方法,利用这些方法不但可以经济、科学地支撑当地 居民的生活, 而且同时可以改善当地的水质,特别是使得珊瑚礁能够重新占据海 底,与水产养殖业共存。 理想情况下的混养方案是多种生物混养在一起, 一些生物的排泄物恰好是另 外一些生物的食物。 例如, 鳍--鱼的排泄物能被滤食性动物吃掉,鱼和滤食性动 物排泄的过度养料能被藻类吸收, 这些藻类也可以当做食物或商业副产品销售。 这不仅会减少鱼养殖中向周围水体排放的富营养物质, 同时也通过利用养鱼产生 的大量副产品(贻贝,海带等)来增加农民的收入。 就建模的目的而言,生物多样性环境中的主要动物生物体可细分为肉食性鱼类 (脊索动物门,亚脊椎亚门);草食性鱼类(脊索动物门,亚脊椎亚门);软体动 物(如贻贝,牡蛎,蛤,蜗牛等,软体动物门);甲壳类动物(如蟹,龙虾,藤 壶, 虾等, 节肢动物门, 甲壳动物亚门) 棘皮动物(如星鱼,海参,海胆等; 棘 ; 皮门 )和藻类。根据供养种类,有初级生产者 (光合作用生产者 ,如单细胞 藻类,浮游植物,藻青菌或多细胞藻类; 滤食性动物(株浮游生物,有机颗粒, 部分水中微生物);沉积性动物(吃泥土和消化其中的有机分子和养分);食草动 物(吃初级生产者);和捕食性动物 (如食肉动物)。正如在陆地上,大多数食 肉动物吃食草动物或小一些的肉食动物, 在海洋中它们也吃滤食性动物和沉积性 动物。 大多数动物的生长效率只有 10-20 % ,所以他们摄入的 80-90 %的食物 最终会以不同的形式释放出来,有些作为热量散发出来,有些是排泄物。在这一 生物多样性的环境中, 珊瑚的作用主要是划分空间,并通过让大量生物各自在一 个狭小空间内获得适宜生存的环境,来使物种能够集中共存, 就像在城市中的 高层建筑里一样。珊瑚还可以进行一定的滤食,这有助于水的净化。一个海域支 持珊瑚的能力,取决于许多因素,其中最重要的是水质。例如,在 Bolinao,当 每毫升海水中含有 50 万至 100 万微生物, 以及每升海水中含有 0.25ug 叶绿素 (大 量浮游植物的替代物)时,珊瑚就能够生存繁殖。目前养殖区的水平是每毫升一 千万微生物和每升 15ug 叶绿素。虱目鱼养殖所产生的过剩营养使得海藻快速增 长,阻止了珊瑚的生长,由于虱目鱼养殖所产生的颗粒流入,降低了珊瑚进行光 合作用的能力。因此,在珊瑚幼虫能够生长之前,必须保持适当的水质。对珊瑚 的其他威胁还包括大气中二氧化碳的增加、海洋酸度上升,以及全球变暖、海洋 温度上述所导致的珊瑚礁退化。 这些因素可被视为第二等的威胁,在本问题中不 予考虑。 问题陈述 本问题的任务是设计一个可行的混养系统,以取代目前单一的虱目鱼养殖, 从而根本改善水质, 让珊瑚幼虫得以在该地区生长。你的混养计划无论在短期还 是在长期,都应是有经济效益并适合环境。 1、建立进行养殖之前的 Bolinao 珊瑚礁生态系统模型 建立一个完整的珊瑚礁食物链模型, 其中包括作为唯一捕食性鱼类的虱目鱼, 一种草食性鱼类(由你选择),一个软体动物物种,一个甲壳类物种,一个 棘皮动物物种, 和一个藻类物种。确定每个物种你认为合理的数量;表明你的 引用来源或显示你在得出物种数量时进行的估计。 阐述你的模型,说明每个 物种如何与其他物种相互作用。说明你的模型如何预测水质的稳定状态,该 水质能够保证珊瑚的持续健康生长。如果你的模型不能得出足够高的水质,
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然后调整每一个物种的数量,直到你取得令人满意的水质水平,要清楚说明 对哪个物种的数量进行了调整,以及为什么这种调整是合理的。 2、为目前 Bolinao 单一养殖虱目鱼建模 A 首先,如果虱目鱼养殖抑制了其他物种,调查其后果。通过(设置下列物 种种群数量为零)删除所有食草鱼类,软体动物,甲壳动物和棘皮类动物来 开展调查。设置所有其他物种种群数量与上述完整模型中的种群数量一致。 鉴于你已排除虱目鱼的天然食物供养, 你需使用常数项来模拟渔民喂养箱式 虱目鱼;用该常数项来保持建模平衡。由此,模型预测什么样水质定态?水 质是否符合珊瑚种类的可持续健康生长?比较并描述你的结果与观察资料 的关系、 B 虱目鱼养殖并未完全抑制其他物种,同时水质也可能没有 Part 2a 所显 示得那么糟糕, 然后通过再次引入所有删除在外的物种并在水质符合博利 瑙观测结果时,利用你的模型来模拟博利瑙现状。比较现有物种种群数量 和在博利瑙观测到结果, 讨论如何调整模型来才能使你预测的种群数量预 测接近所观测到的数量。 3、对在 Bolinao 混养的修复作用进行建模 现在你需要用一种混养来代替当前的单一养殖,寻求要让水足够的清澈,这 样你在第一部分中建模的最初的礁生态系统能够不在人类的帮助下重新建立 自己。这个想法是想要引入一套相互依靠的物种,例如,不管乳香鱼渔民投 放什么饲料,他/她的养殖业的组合都将完全使用,这样就不会有任何或者只 能是最少的废屑料营养物和颗粒物(饲料和粪便)沉淀到下面的新生的礁栖 息地。并且,你要从这个多培养物中寻求商业性的收获可食用的生物,这样 才可以给人类提供食品并增加价值。 A 培养一种商业化的混养来修复 Bolinao 的生态. 从 2b 中的你的“当前的”养殖箱模式,并且给它引进额外的物种,这样 既可以帮助清洁水质,又可以产生有价值的、可以收获的生物。例如,你 可以用贻贝,牡蛎,蛤蜊或者其它的有经济价值的滤食动物等的养殖箱来 进行排列,这样来去除乳香鱼的一些废物。经济上有价值的水藻在靠近水 面(只要有足够的光线)的养殖箱的各个侧边上可以生长,并且有些水藻 可以给一些小型的食草鱼提供食物, 而这些食草鱼又可以给乳香鱼提供食 物。要求清楚的展示你的模型以及它的稳定状态的数目。 B 报告你的模型的产量。 你对什么进行了优化?设置了哪些约束,为什么要这样设置?你的模型产 生的水质如何?你的模型能有多大的产量,经济价值有多少?进一步提高 水质将 有多少花费?换而言之,在最理想的情况下,每提高一个养殖箱单 位的水质,需要花费多少美元? 4、科学: 讨论供人食用的每一物种的产量。我们怎么使用你的模型来预测和理 解供人食用的收获?是不是捕获的食肉鱼数量和收获的海藻数量一样重要所 以我们只需要努力最大化收获的重量?还是我们要区分价值(用收获的每一 物种的价格来衡量)以至于我们需要努力最大化收获的价值?抑或需要用收 获的总价值减去虱目鱼饲料成本来最大化总价值?我们是否要把食用生物价 值质定义为每种收获物种的总价值减去虱目鱼饲料成本? 5、最大化总体收获的价值:现在我们希望保持一种在可以接受的(最大化的) 水质和获得高价值可出售(因为可以使用和出售的副产品都是可以用来最大
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化价值的方法)生物质之间的平衡关系。在模型中这些可供人类食用生物质 来源于一切物种。请改变你的模型来从每种物种中获得固定产量。你能获得 的生物质(以上定义的)价值以及相对应的水质是多少?请尝试不通收获策 略与不同水平的虱目鱼饲养量(总是选择让你的模型保持平衡的价值) ,同时 牢记把水质作为一个收获价值功能。 哪个策略是最佳的, 什么是最佳的收货? 6、要求采取行动 给太平洋海洋渔业委员会的主席写一篇资料论文,要综述你在生物多样性和 用于珊瑚生长的水质之间关系的发现。包括用于像 Bolinao 地区的修复战略, 以及实施的时限。展示你在第五部分中的最优化收获/饲养战略,以及具有说 服力的证明,并且说明建议的渔业/收获指标来支持你的计划。通过展示你的 计划中的收获价值的比例与当前的 Bolinao 地区的收获价值的比例来表明你 的战略的杠杆作用。从生态角度来讨论实施你的混养系统的赞成和反对的理 由。一些信息见:www.wiki.pei

2010年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛 (ICM)赛题
MCM 问题-A:最佳击球点
解释一下棒球棒的“最佳击球点”。 每个击球者都知道, 在棒球棒的大头部分有一个点,当用这一点击球时转移 的能量会达到最大。 这一点为什么不在棒球棒的顶端呢?一个基于扭矩的简单解 释似乎可以确定“最佳点”应该出现在球棒的顶端,但是这与实际的经验不符。 建立一个模型,解释这一经验结论。 一些球员认为,给球棒“软木化”(在球棒头部掏出一个圆柱空腔,在里面 塞入软木或橡胶,然后盖上木帽)能够增加“最佳点”的效果。补充你的模型, 以证实或否认这种效果。 这是否能解释为什么美国职棒大联盟禁止“软木化”? 球棒的构造问题是否会涉及材料的选择?也就是说,是否这个模型能预测木质 (通常是岑木)或金属(通常是铝)球棒的不同特性?为什么美国职棒大联盟要 禁止使用金属球棒?

MCM 问题-B:犯罪学
在1981年, 彼得萨克利夫被判犯有十三起谋杀罪和一系列的恶意伤害罪。在 该案中, 一种用来缩小搜索萨克利夫先生所在范围的方法是找到这些犯罪地点发 生的“重心”。最后,这个嫌疑犯恰好生活在用这种技术所预测的那个城镇里。 从那时起,许多更复杂的技术被发展起来,用来确定系列犯罪的嫌疑人位置的 “地理轮廓”。 一个当地的机构要求你的团队开发一种方法来帮助他们调查连环犯罪。 你开 发的这种方法,应至少使用两种不同的方案来产生一个地理轮廓。你需要发展一
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种技术, 能综合不同方案的结果为执法人员产生一种有用的预测。这种预测应基 于过去的系列犯罪现场的时间和地点,提供下次犯罪发生的可能位置。如果在你 们的模型中, 使用了除时间和地点之外的证据,你必须提供具体的细节,说明你是 如何纳入额外信息的。 你的方法还应提供,在某一特定情况下方法可靠度的某种 形式的估计,包括适当的警告。 除了要求的一页摘要以外, 你的报告应该包括一个额外的2页纸的实施概要。 这个概要应该对潜在问题进行综述。它要概述你的方法,描述你的方法适合以及 不适合的情况。 概要将会被呈给**局长阅读,所以概要中应包括适当的技术细节 以适合其读者

ICM 问题-C:太平洋垃圾带
最近,已经有很多新闻报道“泛太平洋垃圾带”。 看看以下的网址: http://www.nytimes.com/2009/11/10/science/10patch.html?em http://www.sciencefriday.com/program/archives/200907314 http://www.reuters.com/article/idUSTRE57R05E20090828 最近的一项深入太平洋涡旋(垃圾碎片不断累积的汇流地带)进行的科学探险, 揭露出大量与处理这些垃圾碎片相关的科技问题。 倾倒废弃物流入海洋不是新鲜 事,但是科学界却首次发现这些垃圾碎片(尤其是塑料制品)在太平洋**领域中 密集出现。 科学界同时也发现这些垃圾碎片对海洋生态,对人类的福祉都带来了 许多潜在威胁。研究者把这些塑料垃圾描述成塑料汤或是塑料彩屑。 http://news.nationalgeographic.com/news/2009/09/photogalleries/pacifi c-garbage-patch-pictures/看。 今年 ICM 的问题是利用跨学科建模, 来解决由于海洋中垃圾存在与累积所带来的 各种复杂问题, 借此帮助研究者, 最终帮助政府政策制定者来了解该问题的程度、 范围和对全球潜在的影响。 作为科学探险的建模顾问, 你的任务是要关注垃圾问题中的某一个因素,建立模 型并分析它的性质,确定其对影响海洋生态、政府政策的潜在影响,以及改善它 的负面影响的具体措施。 一定要考虑未来科研的需求和这一问题的经济因素,然 后给科学探险的领队写一份报告,总结你的研究发现,提出解决建议、需要制定 的政策和采取的措施。以下是你可以建模研究的一些问题: 1。海洋中的塑料垃圾有哪些潜在的短期或长期影响?需要何种监测来追踪它对 海洋生态系统的影响?务必要说明时空变异性。有哪些相关的资源需求? 如何才能让涡旋中塑料垃圾的广度、密度、分布情况得到最佳理解和描述?需要 何种监测计划来追踪塑料垃圾的增加 减/运动,要实施该监测计划需要哪些资 源? 3。当这些塑料垃圾进入海洋并在涡旋中累积之后,它组成成分的的光降解机理 是什么?(比如说我们惊讶地发现了降解塑料的粒子最终会达到相似的大小。 4。这些塑料从何处来?可以采取什么步骤来控制或减少与这一情况相关的各种 风险?经济成本如何?控制或结束这种状态会带来什么经济效益?如何比较成
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本与效益?有多少塑料被生产, 丢弃与回收?有多少有可能被排入海洋?进入海 洋的又有多少可能会到处漂浮? 同样的情况会在海洋的其他地方发生吗?我们应当监控那些因素,应该如何监 控?北大西洋洋流和阿拉斯加洋流目前的情况如何?使用你的模型来预测一下 南部洋流(南大西洋,南太平洋)未来的塑料垃圾密度。 禁用聚丙烯外卖食品包装的即时效果如何?参考 http://bit.ly/5koJHB。十到 五十年后的远期效果又如何? 只要你主要依靠建模的方式来进行分析, 也可以探讨其他一些同该情况相关的 科学和技术问题。 为了明确你的任务, 重点应该集中在问题的某个重要方面, 对重要的问题和现 象的表现进行建模分析, 对你选择进行建模和分析的那个方面当中对当前和未来 影响最显著的因素进行定量分析。你的 ICM 报告应以如下形式提交:它将是篇 幅为 10 页的小组报告,提交给一位调查负责人,目的在于帮助她找出所探讨问 题或现象的相关表现, 主要分析这些问题或者现象的后果,并针对在问题进一 步恶化之前政府能够采取哪些措施来遏制该问题向她提出可行性建议。

2011年美国大学生数学建模竞赛(MCM)和交叉学科建模竞赛 (ICM)赛题
MCM A 题:单板滑雪场地
请设计一个单板滑雪场(现为―半管‖或―U 型池‖)的形状,以便能使熟练的 单板滑雪选手最大限度地产生垂直腾空。 ―垂直腾空―是超出―半管‖边缘以上的最大的垂直距离。 定制形状时要优化其他可能的要求,如:在空中产生最大的身体扭曲。 在制定一个―实用‖的场地时哪些权衡因素可能需要?

MCM B 题 中继站的协调
甚高频无线电频谱包含信号的发送和接受。 这种限制可以被中继站所克服。 中继站可以 捕捉到微弱的信号,然后把它放大,再用不同的频率重新发送。这样,低功耗的用户,例如 移动电话用户,在不能直接与其他用户联系的地方可以通过中继站来保持联系。然而,中继 站之间会互相影响,除非彼此之间有足够远的距离或通过充分分离的频率来传送。 除了地理的分离、―连续编码音调控制系统‖(CTCSS),有时被称为―私人专线‖(PL)、通过这项 技术可以减轻干扰问题。 该系统连接每个中继站, 靠的是所有通过同一个中继站连接的用户 发送的独立的亚音频音调来连接。中继站只回应接收到的具有特殊 PL 的语调的信号。通过 这个系统,两个附近的中继站可以共享相同的频率对(包括接收和发送);对于更多的中继站(并 且更多的用户)可以提供在一个特定的区域。 在一个半径 40 英里的圆形区域, 请你设计一个方案, 用最少量的中继站来容纳 1000 同时在 线用户。 假设频谱范围是 145 到 148 兆赫,在中继站中的发射机的频率要么是 600 千赫以上, 要么低于接收机频率 600 千赫、并且这里有 54 个不同的 PL 可用。
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如果这里有 10,000 个用户,如何改变你的解决方案。 在由于山区引起信号传播的阻碍的地区,讨论这样的情形。

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