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【学考优化指导】2016-2017学年高一数学(人教A版)必修1:模块综合测评

时间:2017-02-17


模块综合测评
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},M={1,3,5,6},N={1,2,4,7,9},则 M∪(?UN)等于( A.{3,5,8} C.{1,3,5,8} B.{1,3,5,6,8} D.{1,5,6,8} )

解析:∵?UN={3,5,6,8},∴M∪(?UN)={1,3,5,6,8},故选 B. 答案:B 2.函数 y= A. C.
1 ln (2 -1) 2-

的定义域为( B.
1 2

)

,+∞ 2
1 2

,2

,1

D.(-∞,2) 2-1 > 0, 1 解得2<x<2, 2- > 0, ,2 ,故选 B.

解析:要使函数有意义,则 即函数的定义域为 答案:B
1 2

3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( A.y=x-2 B.y=x-1 C.y=x2-2 D.y=log 1 x
2

)

解析:因为 y=x-1 是奇函数,y=log 1 x 不具有奇偶性,故排除 B,D,又函数 y=x2-2 在区间(0,+∞)
2

上是增函数,故排除 C,只有选项 A 符合题意. 答案:A 4.若 a=22.5,b=log 1 2.5,c=
2

1 2 .5 2

,则 a,b,c 之间的大小关系是(

)

A.c>b>a C.a>c>b

B.c>a>b D.b>a>c
1 2 .5 2
2 2

解析:a=22.5>22=4,b=log 1 2.5<log 1 1=0,c= 选 C. 答案:C 5.与函数 y=10lg(x-1)相等的函数是(

<

1 0 2

=1,又 c=

1 2 .5 2

>0,所以 a>c>b,故

)

A.y=x-1 B.y=|x-1|
2

C.y=

-1 -1

D.y= +1

2 -1

解析:y=10lg(x-1)=x-1(x>1),故选 C. 答案:C 6.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经过点( ,a),则 f(x)=( A.log2x C.2
1

)

B.log 1 x
2

D.x2

解析:因为函数 y=f(x)的图象经过点( ,a), 所以函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象经过点(a, ). 所以 =aa,即 a=2,故 f(x)=log 1 x.
2

1

答案:B 7.若定义运算 a*b 为:a*b= A.R C.(0,+∞) 解析:f(x)=2x*2-x= , ≤ , 如 1*2=1,则函数 f(x)=2x*2-x 的值域为( , > , )

B.(0,1] D.[1,+∞) 2 , ≤ 0,

2- , > 0, ∴f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间(0,+∞)上是减函数, ∴0<f(x)≤1. 答案:B log 2 , > 0, 8.已知函数 f(x)= log 1 (-), < 0,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是(
2

)

A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 解析:当 a>0 时,-a<0, 若 f(a)>f(-a), 则 log2a>log 1 [-(-a)],
2

即 log2a>log 1 a,此时 a>1;
2

当 a<0 时,-a>0,若 f(a)>f(-a), 则 log 1 (-a)>log2(-a),
2

此时 0<-a<1,-1<a<0. 答案:C 9.函数 f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是(

)

解析:由 f(x)=lg(|x|-1),知 x>1 或 x<-1.排除 C,D. 当 x>1 时,f(x)=lg(x-1)在区间(1,+∞)上为增函数.故选 B. 答案:B 10.(2016· 吉林延边州高一期末)若函数 f(x)=4x-3· 2x+3 的值域为[1,7],则 f(x)的定义域为 ( ) A.(-1,1)∪[2,4] C.[2,4] B.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2]
3 2

解析:设 t=2x,则 t>0,且 y=t2-3t+3= - 2

+ 4 ≥ 4.

3

3

∵函数 f(x)=4x-3· 2x+3 的值域为[1,7], ∴函数 y=t2-3t+3 在(0,+∞)上的值域为[1,7].
由 y=1,得 t=1 或 t=2;由 y=7,得 t=4 或 t=-1(舍去),则 0<t≤1 或 2≤t≤4, 即 0<2x≤1 或 2≤2x≤4,解得 x≤0 或 1≤x≤2, ∴f(x)的定义域是(-∞,0]∪[1,2],故选 D. 答案:D 11. 导学号 29900145(2016· 甘肃兰州高一期末)已知 f(x)的定义域为 x∈R,且 x≠1,已知 f(x+1)为奇函数,当 x<1 时,f(x)=2x2-x+1,则当 x>1 时,f(x)的递减区间是( ) A. 4 , + ∞ C. 4 , + ∞
7 5

B. 1, 4 D. 1, 4
7

5

解析:由题意知 f(x+1)为奇函数, 则 f(-x+1)=-f(x+1). 令 t=-x+1,则 x=1-t,f(t)=-f(2-t), 即 f(x)=-f(2-x). 设 x>1,则 2-x<1.

∵当 x<1 时,f(x)=2x2-x+1, ∴f(2-x)=2(2-x)2-(2-x)+1=2x2-7x+7. ∴f(x)=-f(2-x)=-2x2+7x-7. ∴函数图象的对称轴为 x=4.
故所求的递减区间是 4 , + ∞ .故选 C. 答案:C 12. 导学号 29900146 若不等式 lg 取值范围是 A.(-∞,0] C.[0,+∞) 解析:由 lg 得
3 1+2 +(1- )3 3 7 7

≥(x-1)lg 3 对任意的 x∈(-∞,1]恒成立,则 a 的 ( )

B.(-∞,1] D.[1,+∞) ≥lg 3(x-1),
1 3

1+2 +(1- )3

1+2 +(1- )3 3

≥3(x-1),1+2x+(1-a)3x≥3x,1+2x≥a· 3x,即

+

2 3

≥a 对任意的 x∈(-

∞,1]恒成立. 设 f(x)=
1 3

+
1

2 3

(x∈(-∞,1]),

则 f(x)min=f(1)=3 + 3=1,∴a≤1. 答案:B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2016· 山东淄博高一期末)函数 f(x)= -1 + 4- 2 的定义域为 区间表示) 解析:要使函数有意义,须 ≠ 1, -1 ≠ 0, 即 -2 ≤ ≤ 2, 4- 2 ≥ 0, 所以函数的定义域为[-2,1)∪(1,2]. .
2 -3

2

.(用

答案:[-2,1)∪(1,2] 14.函数 f(x)=log 1 (x2-2x-3)的单调递增区间为
2

解析:函数 f(x)的定义域为{x|x>3 或 x<-1}. 令 t=x2-2x-3,则 y=log 1 t.
2

因为 y=log 1 t 在区间(0,+∞)上单调递减,t=x2-2x-3 在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间
2

(3,+∞)上单调递增, 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为(-∞,-1). 答案:(-∞,-1) 15.若关于 x 的方程|x2-1|=a 有 2 个不相等的实数解,则实数 a 的取值集合 是 . 2 解析:构造函数 y1=|x -1|,y2=a,画出函数的图形,如图所示.

由图可得关于 x 的方程|x2-1|=a 有 2 个不相等的实数解时,a=0 或 a>1. 答案:{0}∪(1,+∞) 16.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x+4)=f(x),且 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+5,则 f(log220)=
4

6

.

解析:由 log22 <log220<log225, 即 4<log220<5, 则 4-log220∈(-1,0). 所以 f(log220)=f(log220-4) =-f(4-log220) =- 24-lo g 2 20 + 5 =- 2lo g 2 5 + 5 =-2. 答案:-2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知全集 U={x|x>0},集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|5a<x<a}. (1)求 A∪B,(?UA)∩B; (2)若 C?(A∪B),求 a 的取值范围. 解:(1)A∪B={x|2<x<10}, ?UA={x|0<x<3,或 x≥7},
4

6

6

(?UA)∩B={x|2<x<3,或 7≤x<10}. (2)①若 C 为空集, 则 5-a≥a,解得 a≤2.
5

②若 C 不是空集,则 2≤5-a<a≤10,
解得2<a≤3. 综上所述,a≤3. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=-9x+3x+1+4. (1)求函数 f(x)的零点; (2)当 x∈[0,1]时,求函数 f(x)的值域. 解:f(x)=-9x+3x+1+4=-(3x)2+3· 3x+4. 令 t=3x(t>0),则 y=-t2+3t+4. (1)由-t2+3t+4=0,得 t=4 或 t=-1(舍). 所以 3x=4,x=log34. 所以函数的零点是 log34. (2)当 x∈[0,1]时,t∈[1,3], 因为函数 y=-t2+3t+4 图象的对称轴是 t=2, 所以 y∈ 4,
25 4 3 5

,
25 4

故函数 f(x)的值域为 4,

.
1+ 1-

19.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=log2 (1)求 f(x)的解析式; (2)g(x)=log
1 1+ 2 ,当 1-

(a∈R),若 f - 3 =-1.

1

x∈ 2 , 3 时,f(x)≤g(x)有解,求实数 k 的取值集合.

1 2

解:(1)f - 3 =log2

1 3 =-1, 1+ 3



2 3

1+

3

= 2,即3=1+3 ,解得 a=1.
1+

1

4



∴f(x)=log2 1- .
(2)∵log2 1- ≤log =log2
1+ 2 1+ 1+ 1+ 2 =2log2

,

∴ 1- ≤

1+

1+ 2

.

易知 f(x)的定义域为(-1,1), ∴1+x>0,1-x>0, ∴k2≤1-x2. 令 h(x)=1-x2,则 h(x)在区间 2 , 3 上单调递减,
1 2

∴h(x)max=h

1 2 3

= 4.

3

∴只需 k2≤4.
又由题意知 k>0,

∴0<k≤ 2 .
20. 导学号 29900147(本小题满分 12 分)(2016· 湖南永顺一中高一期中)某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(单位:元)与时间 t(单位:天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的 两条线段上,该股票在 30 天内的日交易量 Q(单位:万股)与时间 t(单位:天)的部分数据如 表所示:

3

第t 4 10 16 22 天 Q/万 36 30 24 18 股

(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P 与时间 t 所满足的函数关系式; (2)根据表中数据求出日交易量 Q 与时间 t 的一次函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y 表示该股票日交易额(单位:万元),写出 y 关于 t 的函数关系式,并求 在这 30 天中第几天日交易额最大?最大值是多少?
1

解:(1)P=

5

+ 2,0 < ≤ 20,
1

- 10 + 8,20 < ≤ 30

(t∈N*). 4 + = 36, 解得 a=10 + = 30,

(2)设 Q=at+b(a≠0,a,b 为常数),把(4,36),(10,30)代入,得 1,b=40.

所以日交易量 Q 与时间 t 的一次函数关系式为 Q=-t+40,0<t≤30,t∈N*.

(3)由(1)(2)可得
1

y=

5

+ 2 (40-),0 < ≤ 20,
1

- 10 + 8 (40-),20 < ≤ 30
1

(t∈N*),

即 y=

- 5 (-15)2 + 125,0 < ≤ 20,
1 10

(-60) -40,20 < ≤ 30

2

(t∈N*).

当 0<t≤20 时,y 有最大值 ymax=125 万元,此时 t=15; 当 20<t≤30 时,y 随 t 的增大而减小,ymax<10 (20-60)2-40=120(万元). 所以在 30 天中的第 15 天日交易额最大,且最大值 125 万元. 21. 导学号 29900148(本小题满分 12 分)已知指数函数 y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为 R 的 函数 f(x)= +2 ( )是奇函数. (1)确定 y=f(x)和 y=g(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)的单调性,并用定义证明; (3)若对于任意 x∈[-5,-1],都有 f(1-x)+f(1-2x)>0 成立,求 x 的取值范围. 解:(1)设 g(x)=ax(a>0,且 a≠1),则 a3=8, ∴a=2.∴g(x)=2x.
1- ( ) 1

∵f(x)=2 +1 + .又 f(-1)=-f(1),
2 ∴ +1 =-4+ ?m=2;

1-2

1-

1

1 -2

经检验,满足题意.

∴f(x)=2+2 +1 .
(2)由(1)知 f(x)=2+2 +1 =-2 + 2 +1. f(x)在定义域 R 上是减函数. 证明如下: 任取 x1,x2∈R,设 x1<x2, 则 f(x2)-f(x1)=2 2 +1 ? 2 1 +1 = (2 1 +1)(2 2 +1).
1 1 2 1 -2 2 1-2 1 1

1-2

∵函数 y=2x 在 R 上是增函数,且 x1<x2, ∴2 1 ? 2 2 <0,
又(2 1 +1)(2 2 +1)>0, ∴f(x2)-f(x1)<0,即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.

(3)∵f(x)是奇函数,且 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数, 从而由不等式 f(1-x)+f(1-2x)>0, 得 f(1-x)>-f(1-2x), 即 f(1-x)>f(2x-1), 1- < 2-1, ∴ -5 ≤ 1- ≤ -1, 解得 2≤x≤3. -5 ≤ 1-2 ≤ -1, 故 x 的取值范围是[2,3]. 22. 导学号 29900149(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 21 2 1 3 2

, ≤ 0,

- + 1, > 0.

(1)写出该函数的单调区间; (2)若函数 g(x)=f(x)-m 恰有 3 个不同零点,求实数 m 的取值范围; (3)若 f(x)≤n2-2bn+1 对所有 x∈[-1,1],b∈[-1,1]恒成立,求实数 n 的取值范围. 解:(1)函数 f(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(-∞,0) 及(1,+∞).

(2)作出直线 y=m,函数 g(x)=f(x)-m 恰有 3 个不同零点等价于直线 y=m 与函数 f(x)的 图象恰有三个不同交点. 根据函数 f(x)=
1

21

1 3 2

的图象, + 1 , > 0 2

, ≤ 0,

且 f(0)=1,f(1)=2,

∴m∈

1 2

,1 .故实数 m 的取值范围为

1 2

,1 .

(3)∵f(x)≤n2-2bn+1 对所有 x∈[-1,1]恒成立, ∴[f(x)]max≤n2-2bn+1, 又[f(x)]max=f(0)=1, ∴n2-2bn+1≥1,即 n2-2bn≥0 在 b∈[-1,1]上恒成立.令 h(b)=-2nb+n2, ∴h(b)=-2nb+n2 在 b∈[-1,1]上恒大于等于 0.



-2 × (-1) + 2 ≥ 0, -2 × 1 + 2 ≥ 0,



( + 2) ≥ 0, ① (-2) ≥ 0, ② ≤ 0, ≥ 0, 或 + 2 ≤ 0, + 2 ≥ 0

由①得

解得 n≥0 或 n≤-2. 同理由②得 n≤0 或 n≥2. ∴n∈(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞). 故 n 的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).


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