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【中小学资料】三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入3 理

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第三节 数系的扩充与复数的引入

A 组 三年高考真题(2016~2014 年)

1.(2016·山东,1)若复数 z 满足 2z+ z =3-2i,其中 i 为虚数单位,则 z=( )

A.1+2i

B.1-2i

C.-1+2i

D.-1-2i

2.(2016·全国Ⅲ,2)若 z=1+2i,则 4i =( ) z z -1

A.1

B.-1

C.i

D.-i

3.(2016·全国Ⅰ,2)设(1+i)x=1+yi,其中 x,y 是实数,则|x+yi|=( )

A.1

B. 2

C. 3

D.2

4.(2016·全国Ⅱ,1)已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m

的取值范围是( )

A.(-3,1)

B.(-1,3)

C.(1,+∞)

D.(-∞,-3)

5.(2015·安徽,1)设 i 是虚数单位,则复数12-ii在复平面内所对应的点位于(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

6.(2015·湖北,1)i 为虚数单位,i607 的共轭复数为(

D.第四象限 )

A.i

B.-i

C.1

D.-1

7.(2015·新课标全国Ⅱ,2)若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a=( )

A.-1

B.0

C.1

D.2

8.(2015·广东,2)若复数 z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则 z =( )

A.3-2i

B.3+2i

C.2+3i

D.2-3i

9.(2015·湖南,1)已知

- z

2
=1+i(i 为虚数单位),则复数 z=(

)

A.1+i

B.1-i

C.-1+i

D.-1-i

10.(2015·北京,1)复数 i(2-i)=( )

A.1+2i

B.1-2i

C.-1+2i

D.-1-2i

11.(2015·四川,2)设 i 是虚数单位,则复数 i3-2i=(

)

A.-i

B.-3i

C.i

D.3i

z 12.(2015·山东,2)若复数 z 满足1-i=i,其中 i 为虚数单位,则 z=( )

A.1-i

B.1+i

C.-1-i

D.-1+i

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13.(2015·新课标全国Ⅰ,1)设复数 z 满足11+ -zz=i,则|z|=(

)

A.1

B. 2

C. 3

D.2

14.(2014·福建,1)复数 z=(3-2i)i 的共轭复数 z 等于( )

A.-2-3i

B.-2+3i

C.2-3i

D.2+3i

15.(2014·大纲全国,1)设 z=31+0ii,则 z 的共轭复数为(

)

A.-1+3i

B.-1-3i

C.1+3i

D.1-3i

16.(2014·新课标全国Ⅱ,2)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,

则 z1z2=( )

A.-5

B.5

C.-4+i

D.-4-i

17.(2014·天津,1)i 是虚数单位,复数37++4ii=(

)

A.1-i

B.-1+i

17 31 C.25+25i

17 25 D.- 7 + 7 i

18.(2014·湖南,1)满足z+z i=i(i 为虚数单位)的复数 z=(

)

A.12+12i

B.12-12i

C.-12+12i

+3 19.(2014·新课标全国Ⅰ,2) - 2=( )

D.-12-12i

A.1+i

B.1-i

C.-1+i

D.-1-i

20.(2014·安徽,1)设 i 是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数.若 z=1+i,则zi+i· z =

()

A.-2

B.-2i

C.2

D.2i

21.(2014·山东,1)已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+ bi)2=( )

A.5-4i

B.5+4i

C.3-4i

D.3+4i

22.(2014·广东,2)已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=( )

A.-3+4i

B.-3-4i

C.3+4i

D.3-4i

23.(2016·江苏,2)复数 z=(1+2i)(3-i),其中 i 为虚数单位,则 z 的实部是________.

24.(2016·北京,9)设 a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a=

________. 25.(2015·天津,9)i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为________.

26.(2015·重庆,11)设复数 a+bi(a,b∈R)的模为 3,则(a+bi)(a-bi)=________.

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27.(2014·江苏,2)已知复数 z=(5+2i)2(i 为虚数单位),则 z 的实部为________.

28.(2014·上海,2)若复数

z=1+2i,其中

i

是虚数单位,则??z+ ?

1 z

? ?· ?

z

=________.

29.(2014·四川,11)复数21-+2ii=________.

B 组 两年模拟精选(2016~2015 年) 1.(2016·山东青岛模拟)已知1+a i=1-bi,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则|a-bi|=

()

A.3

B.2

C.5

D. 5

2.(2016·广东汕头模拟)已知集合 A={1,2z2,zi},B={2,4},i 为虚数单位,若 A∩B=

{2},则纯虚数 z 为( )

A.i

B.-i

C.2i

i2 015 3.(2016·陕西八校联考)已知 i 是虚数单位,则1+i=( )

D.-2i

1-i A. 2

1+i B. 2

-1-i C. 2

-1+i D. 2

4.(2016·河南洛阳模拟)在复平面内,复数 z=i(1+2i)对应的点位于( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

5.(2016·山东滨州模拟)设 i 为虚数单位,则复数3-i4i=(

)

A.-4-3i

B.-4+3i

C.4+3i

D.4-3i

6.(2015·山东德州模拟)设复数 z 的共轭复数为 z-,若(2+i)z=3-i,则 z·z-的值为

()

A.1

B.2

C. 2

D.4

7.(2015·宁波模拟)已知复数 z=1+12-ii,则 1+z+z2+…+z2 012 为(

)

A.1+i

B.1-i

C.i

D.1

8.(2015·四川成都模拟)已知 i 是虚数单位, 若???12++mii???2<0(m∈R),则 m 的值为(

)

A.12

B.-2

C.2

D.-12

9.(2015·山东日照模拟)定义:若 z2=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则称复数 z 是复数

a+bi 的平方根.根据定义,则复数-3+4i 的平方根是( )

A.1-2i 或-1+2i

B.1+2i 或-1-2i

C.-7-24i

D.7+24i

10.(2016·吉林实验中学二模)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为________.

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11.(2016·广东东莞模拟)已知复数 z1=m+2i,z2=3-4i,若zz12为实数,则实数 m 的值为 ________.

答案精析

A 组 三年高考真题(2016~2014 年) 1.B [设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,

∴2(a+bi)+(a-bi)=3-2i,整理得 3a+bi=3-2i, ∴?????3ba==-3,2,解得?????ab==1-,2,∴z=1-2i,故选 B.]
2.C [z=1+2i,z z =5, 4i =i.] z z -1

3.B [由(1+i)x=1+yi,得 x+xi=1+yi? ?????xx==1y,? ?????xy==11,. 所以|x+yi|= x2+y2

= 2,故选 B.]

4. A [由复数 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限得:?????mm+ -31><00,解得 -3<m<1,故选 A.]

2i

2i(1+i) 2i(1+i)

5.B [1-i=(1-i)(1+i)= 2 =i-1=-1+i,其对应点坐标为(-1,

1),位于第二象限,故选 B.]

6.A [法一 i607=i4×151+3=i3=-i,其共轭复数为 i.故选 A.

法二 i607=ii608=i4×i152=1i=-i,其共轭复数为 i.故选 A.]

7.B [因为 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,得 4a=0 且 a2-4=-

4,解得 a=0,故选 B.]

8.D [因为 z=i(3-2i)=2+3i,所以 z=2-3i,故选 D.]

9.D

(1-i)2 [由 z =1+i,知

z=(11-+ii)2=-12+ii=-1-i,故选

D.]

10.A [i(2-i)=2i-i2=1+2i.]

11.C [i3-2i=-i-2ii2 =-i+2i=i.选 C.]

12.A [∵1-z i=i,∴z=i(1-i)=i-i2=1+i,∴z=1-i.]

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13.A [由11+ -zz=i,得 1+z=i-zi,z=-1+1+ii=i,∴|z|=|i|=1.]

14.C [因为复数 z=(3-2i)i=2+3i,所以 z=2-3i,故选 C.]

15.D [∵z=31+0ii=(31+0ii()3(-3i-)i)=1+3i,∴z=1-3i.故选 D.]

16.A [由题意得 z2=-2+i,∴z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故选 A.] 17.A [37++4ii=((37++4ii))((33--44ii))=25-2525i=1-i.选 A.]

18.B [去掉分母,得 z+i=zi,所以(1-i)z=-i,解得 z=1--ii=12-12i,选 B.]

(1+i)3 (1+i)2

1+i2+2i

19.D [(1-i)2=(1-i)2·(1+i)=1+i2-2i·(1+i)=-1-i,故选 D.]

20.C [因为 z=1+i,所以zi+i·z=(-i+1)+i+1=2.]

21.D [根据已知得 a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.]

22.D [(3+4i)z=25? z=3+254i=(3+254(i)3-(43i-)4i)=3-4i.选 D.]

23.5 [ z=(1+2i)(3-i)=5+5i.故 z 的实部为 5.] 24.-1 [(1+i)(a+i)=a+i+ai+i2=(a-1)+(a+1)i,由复数对应点在实轴上得

a+1=0,解得 a=-1.]

25.-2 [(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,由已知,得 a+2=0,1-2a≠0,∴a=

-2.]

26.3 [由|a+bi|= 3得 a2+b2= 3,即 a2+b2=3,所以(a+bi)(a-bi)=a2+b2

=3.] 27.21 [复数 z=(5+2i)2=21+20i,其实部是 21.]

28.6 [∵z=1+2i,∴z=1-2i.∴(z+1z)·z=z·z+1=5+1=6.]

29.-2i [21-+2ii=(1+2(i)1-(i1)-2 i)=(1-i)2=-2i.]

B 组 两年模拟精选(2016~2015 年) 1.D [解析 (1)由1+a i=1-bi 可得 a=1+b+(1-b)i,所以?????a1= -1b+ =b0, ,解得 a=2,b =1, 所以|a-bi|=|2-i|= 22+(-1)2= 5,故选 D.] 2.D [∵A={1,2z2,zi},B={2,4},且 A∩B={2}.∴2z2=2 或 zi=2. 解得 z=±1(舍去)或 z=-2i(此时 2z2=-8≠4).则纯虚数 z 为-2i,故选 D.]

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i2 015 -i -i(1-i) -1-i

3.C [1+i=1+i=

2

= 2 ,故选 C.]

4.B [∵z=i(1+2i)=-2+i,∴复数 z 对应的点为(-2,1),在第二象限.]

5.A [3-i4i=-4-3i,故选 A.]

6.B [∵(2+i)z=3-i,∴z=32- +ii=(3-i)5(2-i)=1-i,z· z =(1-i)(1+

i)=2,故选 B.]

7.D [z=1+12-ii=i,所以 1+z+z2+z3+…+z2 012=1-1-z2z013=1-1-i2i013=1.]

8.B [由???12++mii???2<0,知12++mii为纯虚数,∴12++mii=2+m+1(+1m-2 2m)i为纯虚数,

∴m=-2,故选 B.]

9.B [设(x+yi)2=-3+4i,则???x2-y2=-3,解得???x=1,或???x=-1,]

??xy=2,

??y=2 ??y=-2.

4 10.5

[由题意知

z=|34-+43ii|=3-54i=5(32+54i)=35+45i,故

z

4 的虚部为5.]

11.-32 [zz12=((m3+-24ii))((33++44ii))=(3m-8)+25(6+4m)i为实数,则 6+4m=0? m=-

32.]

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