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高中数学苏教版选修2-1课件:第2章 圆锥曲线与方程2.6.3

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阶 段 一

阶 段 三

2.6 2.6.3
阶 段 二

曲线与方程 曲线的交点
学 业 分 层 测 评

1. 掌握求两条曲线的交点的方法, 会判断直线与圆锥曲线公共点的 个数.(重点) 2.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系,掌握求弦长、 弦中点的有关问题.(难点) 3.直线与圆锥曲线公共点个数的讨论.(易错点)

[ 基础· 初探] 教材整理 两条曲线的交点与相交弦长

阅读教材 P65 的部分,完成下列问题. 1.两条曲线的交点 对于曲线 C1:f1(x,y)=0 和曲线 C2:f2(x,y)=0, (1)P0(x0,y0)是 C1 与 C2 的公共点?
? ?f1?x0,y0?=0, ? ? ?f2?x0,y0?=0. ______________

? ?f1?x,y?=0, ? ? (2)求两条曲线的交点,就是求方程组___________ ?f2?x,y?=0 的实数解.

2.弦长公式 设直线 l 的方程为 y=kx+b,l 与圆锥曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
1 1+ 2|y1-y2| 1 + k | x - x | 1 2 k 则弦长公式为 AB=_________________=_______________.
2

3.代点法 设直线 l 与圆锥曲线 C:f(x,y)=0 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则可将 A, B 两点坐标代入方程
? ?f?x1,y1?=0, ? ? f(x,y)=0,得________________ ?f?x2,y2?=0, 两式作差,变形,即可得

代点法 ,也称 到弦 AB 的斜率与中点坐标的关系,这种研究问题的方法称为__________ 点差法 . _________

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)过椭圆上一点 P 的直线与该椭圆必有两个公共点.( ) )

(2)过双曲线上一点,与双曲线只有一个公共点的直线只有一条.( (3)与抛物线只有一个公共点的直线必与抛物线相切.( )

(4)当直线与圆锥曲线相交时,若交点坐标方便求出,也可用两点间距离公 式求弦长.( )

【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.直线 y=mx+1 与椭圆 x2+4y2=1 有且只有一个交点,则 m2=________.
【解析】
? ?y=mx+1, 由? 2 2 ? x + 4 y =1, ?
2

得(1+4m2)x2+8mx+3=0.
2 2

3 由题意得 Δ=64m -12(1+4m )=0,解得 m = . 4 3 【答案】 4

3.曲线 x2+2xy+y2-2=0 与 x 轴的交点坐标为______.
【解析】 在曲线方程中,令 y=0,得 x2-2=0,解得 x=± 2,则曲线与 x 轴的交点坐标为(± 2,0).

【答案】 (± 2,0)

4.直线 y=x+1 与曲线 x2=2y 交于 A,B 两点,则 AB=________.
? ?y=x+1, 由? 2 ? ?x =2y,

【导学号:09390061】
得 x2-2x-2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),

【解析】

则 x1+x2=2,x1x2=-2, 由弦长公式得 AB= 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2 = 2· 22-4×?-2? =2 6.

【答案】 2 6

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
曲线公共点的个数问题

已知直线 l:kx-y+2=0,双曲线 C:x2-4y2=4,当 k 为何值时: (1)l 与 C 无公共点; (2)l 与 C 有唯一公共点; (3)l 与 C 有两个不同的公共点. 【精彩点拨】 直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所
组成的方程组解的个数,从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数 k 的取值.

【自主解答】 将直线与双曲线方程联立消去 y,得 (1-4k2)x2-16kx-20=0.① 当 1-4k2≠0 时, 有 Δ=(-16k)2-4(1-4k2)· (-20)=16(5-4k2). 5 5 (1)当 1-4k ≠0 且 Δ<0,即 k<- 或 k> 时,l 与 C 无公共点. 2 2
2

1 (2)当 1-4k =0,即 k=± 时,显然方程①只有一解. 2
2

5 当 1-4k ≠0,Δ=0,即 k=± 时,方程①只有一解. 2
2

1 5 故当 k=± 或 k=± 时,l 与 C 有唯一公共点. 2 2 5 5 1 (3)当 1-4k ≠0,且 Δ>0 时,即- <k< ,且 k≠± 时,方程有两解,l 2 2 2
2

与 C 有两个公共点.

判定直线与圆锥曲线公共点个数的步骤

[ 再练一题] 1. 已知抛物线的方程为 y2=4x, 直线 l 过定点 P(-2,1), 斜率为 k,k 为何值时,直线 l 与抛物线 y2=4x 只有一个公 共点;有两个公共点;没有公共点?
【解】 (1)当 k=0 时,直线 l 与 x 轴平行,易知与

抛物线只有一个交点. (2)当 k≠0
? ?y=k?x+2?+1, 时,联立? 2 ? ?y =4x,

图 265

消去 x,得 ky2-4y+4(2k+1)=0, Δ=16-4k×4(2k+1).

1 ①当 Δ=0,即 k=-1 或 时,直线 l 与抛物线相切,只有一个公共点; 2 1 ②当 Δ>0,即-1<k< 且 k≠0 时,直线 l 与抛物线相交,有两个公共点; 2 1 ③当 Δ<0,即 k<-1 或 k> 时,直线 l 与抛物线相离,没有公共点. 2 1 综上,当 k=-1 或 或 0 时, 2 直线 l 与抛物线只有一个公共点; 1 当-1<k< 且 k≠0 时,直线 l 与抛物线有两个公共点; 2 1 当 k<-1 或 k> 时,直线 l 与抛物线没有公共点. 2

直线被圆锥曲线截得的弦长问题

x2 y2 已知斜率为 2 的直线经过椭圆 + =1 的右焦点 F1, 与椭圆相交于 5 4 A,B 两点,求弦 AB 的长.

【精彩点拨】 先求出直线与椭圆的两个交点,再利用两点间的距离公式, 也可以从公式上考查 A,B 坐标间的联系,进行整体运算. x2 y2 【自主解答】 ∵直线 l 过椭圆 + =1 的右焦点 F1(1,0),又直线的斜率 5 4
为 2. ∴直线 l 的方程为 y=2(x-1),即 2x-y-2=0.

x-y-2=0, ? ?22 法一:由方程组?x y2 + =1, ? ?5 4 得交点
?5 4? ? , A(0,-2),B? ?3 3?. ? ?

则 AB= ?xA-xB?2+?yA-yB?2 =
? ? 5? 4? ? ?2 ? ?2 0 - - 2 - + ? ? ? ? = 3 3 ? ? ? ?

125 5 5 = . 9 3

x-y-2=0, ? ?22 法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 的坐标为方程组?x y2 的 + =1 ? ?5 4 公共解.

对方程组消去 y,得 3x2-5x=0, 5 则 x1+x2= ,x1x2=0, 3 ∴AB= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?x1-x2?2?1+k2 AB?
2 = ?1+k2 AB?[?x1+x2? -4x1x2]



? ? ?

1+2

2? ??5?2 ?

?? ? ??? ? ??3?

? 5 5 -4×0? ?= 3 . ?

x-y-2=0, ? ?22 法三:设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立?x y2 + =1, ? 5 4 ? 消去 y,得 3x2-5x=0, 则 x1,x2 是方程 3x2-5x=0 的两根. 5 ∴x1+x2= . 3 1 由圆锥曲线的统一定义,得 AF1= ×(5-x1), 5 1 F1B= ×(5-x2), 5 1 1 25 5 5 则 AB=AF1+F1B= ×[10-(x1+x2)] = × = . 3 3 5 5

弦长的求法 1.求弦长要分一般弦还是焦点弦,若是一般弦,利用一般 弦长公式求解,若是焦点弦,可利用圆锥曲线的统一定义求解. 2.弦中点坐标与弦所在直线斜率间的互求一般利用点差法 较为简捷.

[ 再练一题] x2 y2 2.如图 266,椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 16 9 F1,F2,一条直线 l 经过 F1 与椭圆交于 A,B 两点,若直 线 l 的倾斜角为 45° ,求△ABF2 的面积.

【解】

x2 y2 由椭圆的方程 + =1 知,a=4,b=3, 16 9

图 266

∴c= a2-b2= 7. 由 c= 7知 F1(- 7,0),F2( 7,0), 又直线 l 的斜率 k=tan 45° =1,

∴直线 l 的方程为 x-y+ 7=0. ?x-y+ 7=0, ? 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由? x y2 + =1. ? ?16 9 法一:消去 y,整理得 25x2+32 7x-32=0, 32 7 32 ∴x1+x2=- ,x1x2=- , 25 25 ∴AB= ?x1-x2?2+?y1-y2?2= 2?x1-x2?2

= 2??x1+x2?2-4x1x2? =
?? 32 7? 32? ?? ?2 ? 144 2×??- ? +4×25?= 25 . 25 ?? ? ?

| 7-0+ 7| 又点 F2 到直线 l 的距离 d= = 14, 2 1 1 144 72 14 ∴S△ABF2= AB· d= × × 14= . 2 2 25 25

法二:消去 x,整理得 25y2-18 7y-81=0, 18 7 81 ∴y1+y2= ,y1y2=- . 25 25 ∴|y1-y2|= ?y1+y2? -4y1y2=
2

?18 7? 81 72 2 ? ?2 ? 25 ? +4×25= 25 , ? ?

1 1 72 2 72 14 ∴S△ABF2= F1F2· |y1-y2|= ×2 7× = . 2 2 25 25

直线与圆锥曲线的综合问题

x2 y2 (2016· 济宁高二检测)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),过点 A(-a,0), a b π B(0,b)的直线倾斜角为 ,焦距为 2 2. 6 (1)求椭圆的方程; → → (2)已知直线过 D(-1,0)与椭圆交于 E,F 两点,若ED=2DF,求直线 EF 的 方程; (3)是否存在实数 k,直线 y=kx+2 交椭圆于 P,Q 两点,以 PQ 为直径的圆 过 D(-1,0)?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

【精彩点拨】 (1)根据直线的倾斜角求得 a,b 的关系式,又 2c=2 2,结 → → 合 a =b +c 可得 a 和 b ,即得方程;(2)设出直线方程,利用ED=2DF及韦达
2 2 2 2 2

定理可求 EF 的方程;(3)假设存在,利用 PD⊥QD 建立方程推导. b 3 2 【自主解答】 (1)由 = ,a -b2=c2=2,得 a= 3,b=1, a 3
x2 2 所以椭圆方程为 +y =1. 3 x2 2 (2)设 EF:x=my-1(m>0),代入 +y =1, 3 得(m2+3)y2-2my-2=0, → → 设 E(x1,y1),F(x2,y2),由ED=2DF,得 y1=-2y2.

-2 2m 2 由 y1+y2=-y2= 2 , y1y2=-2y2= 2 , m +3 m +3
? 2m ? 1 ? ?2 得?- 2 ? = 2 ,∴m=1 m + 3 m + 3 ? ?

或 m=-1.

直线 EF 的方程为 x-y+1=0 或 x+y+1=0. x2 2 (3)将 y=kx+2 代入 +y =1,得(3k2+1)x2+12kx+9=0.(*) 3 -12k 9 记 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 ,PQ 为直径的圆 3k +1 3k +1 过 D(-1,0),则 PD⊥QD,即(x1+1,y1)· (x2+1,y2)=(x1+1)(x2+1)+y1y2=0, -12k+14 又 y1=kx1+2,y2=kx2+2,得(k +1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5= =0, 2 3k +1 7 7 解得 k= ,此时(*)方程 Δ>0,∴存在 k= 满足题设条件. 6 6
2

存在性问题的一般方法 对于存在性问题,一般是假设存在,利用已知条件进行推 导,如本例中的以 PQ 为直径的圆过点 D,转化为 PD⊥QD,若 存在,则利用构建的方程可解出未知数;若不存在,则推出矛 盾.

[ 再练一题] x2 2 3.设双曲线 C: 2-y =1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同点 A,B. a (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; → 5→ (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P, 若PA= PB, 求 a 的值. 【导学号: 09390062】 12 x2 2 【解】 (1)将 y=-x+1 代入双曲线 2-y =1(a>0)中得(1-a2)x2+2a2x- a

2a2=0.
2 ? ?1-a ≠0, 所以? 4 2 2 ? 4 a + 8 a ? 1 - a ?>0, ?

解得 0<a< 2,且 a≠1.

1+a2 又双曲线的离心率 e= = a 6 所以 e> ,且 e≠ 2. 2

1 +1, a2

→ 5→ (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),因为PA= PB, 12 5 所以(x1,y1-1)= (x2,y2-1). 12 5 由此得 x1= x2. 12

17 由于 x1,x2 是方程(1-a )x +2a x-2a =0 的两根,且 1-a ≠0,所以 x2 12
2 2 2 2 2

2a2 5 2 2a2 =- , x =- , 1-a2 12 2 1-a2 2a2 289 17 消去 x2,得- = .由 a>0,解得 a= . 13 1-a2 60

[ 探究共研型]
直线与圆锥曲线的相交弦问题

探究 解决直线与圆锥曲线的相交弦问题要注意什么?
【提示】 (1)“设而不求”的方法,若直线 l 与圆锥曲线 C 有两个交点 A 和 B,一般地,首先设出交点坐标 A(x1,y1),B(x2,y2),其中有四个参数 x1,y1, x2,y2,它们只是过渡性符号,通常是不需要求出的,但有利于用根与系数关系 等解决问题,是直线与圆锥曲线位置关系中常用的方法.

(2) 涉及圆锥曲线的弦长问题 ,一般 用弦长公式 AB = 1+k2 |x1 - x2| = 1 1+ 2· |y -y |,弦过焦点时,也可用定义来解决. k 1 2 (3)解决与弦中点有关的问题的常用方法:一是联立方程用韦达定理及中点 坐标公式求解.二是把端点坐标代入曲线方程,作差构造出中点坐标和直线的 斜率.

x2 y2 已知椭圆 + =1,过点 P(2,1)作一弦,使弦在这点被平分,求此 16 4 弦所在直线方程.

【精彩点拨】

设出直线的斜率,联立直线与椭圆方程,消去 y,得关于 x

的方程,用根与系数的关系和弦中点坐标,得斜率的方程,求解即可,也可用 “点差法”求解. 【自主解答】

法一:设所求直线的方程为 y-1=k(x-2),

代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0. 又设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1,x2 是上面的方程的两个根,

8?2k2-k? 所以 x1+x2= 2 , 4 k +1 因为 P 为弦 AB 的中点, x1+x2 4?2k2-k? 所以 2= = , 2 4k2+1 1 解得 k=- ,所以所求直线的方程为 x+2y-4=0. 2

法二:设直线与椭圆交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 因为 P 为弦 AB 的中点,所以 x1+x2=4,y1+y2=2, 又因为 A,B 在椭圆上,
2 2 2 所以 x2 + 4 y = 16 , x + 4 y 1 1 2 2=16, 2 2 2 两式相减,得(x2 - x ) + 4( y - y 1 2 1 2)=0,

即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0, y1-y2 -?x1+x2? 1 1 所以 = =- ,即 kAB=- . 2 2 x1-x2 4?y1+y2? 1 所以所求直线的方程为 y-1=- (x-2), 2 即 x+2y-4=0.

[ 再练一题] x2 y2 4.过点 P(-1,1)的直线与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,若线段 AB 的中 4 2 点恰为点 P,求 AB 所在的直线方程及弦长 AB.
2 2 ? ?x1+2y1=4, 两点在椭圆上得? 2 2 ? x + 2 y ? 2 2=4,

【解】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 A,B 式相减得 (x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0.① 显然 x1≠x2,故由①得 y1-y2 x1+x2 kAB= =- . x1-x2 2?y1+y2?



因为点 P 是 AB 的中点,所以有 x1+x2=-2,y1+y2=2.② 1 把②代入①得 kAB= ,故 AB 的直线方程是 2 1 y-1= (x+1),即 x-2y+3=0. 2 2y+3=0, ? ?x- 由?x2 y2 消去 y 得 3x2+6x+1=0, + =1, ? ?4 2 1 ∴x1+x2=-2,x1x2= , 3

AB= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?x1-x2?2+[k?x1-x2?]2 = 1+k2 ?x1-x2?2 = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1 24 30 1+ · = . 4 3 3

[ 构建· 体系]

1.过点(0,1)且与抛物线 y2=x 只有一个公共点的直线有________条.
【解析】 点(0,1)在抛物线 y2=x 的外部,过点(0,1)与抛物线相切的直线有 两条.过点(0,1)平行于对称轴的直线有一条,因此,只有一个公共点的直线共有 3 条. 【答案】 3

2.已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax2 相切,则 a 等于________.
【解析】 由题意知
? ?x-y-1=0, a≠0.由? 2 ? y = ax , ?

消去 y 得 ax2-x+1=0,

该方程的判别式 Δ=(-1)2-4×a×1=1-4a,令 Δ=0,即 1-4a=0,解得 1 a= . 4
【答案】 1 4

x2 y2 3.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的交点个数为________. 9 4

【解析】 由于直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 过定点(1,1),而(1,1)在椭圆 内,故直线与椭圆必相交,故有 2 个交点.

【答案】 2

4.若直线 y=2x+b 被曲线 y2=4x 截得的弦 AB 的长为 3 5,则实数 b 等于 ________. 【导学号:09390063】
? ?y=2x+b, 联立方程? 2 ? ?y =4x,

【解析】

得 4x2+(4b-4)x+b2=0,(*)

设两个交点的坐标为 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ,则由根与系数的关系,得 1-b, ? ?x1+x2= ? b2 x1x2= . ? 4 ? 故 AB= 1+k2· |x1-x2| = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2

2 b = 1+22· ?1-b?2-4· 4

=3 5. 化简得 1-2b=3,于是 b=-4, 当 b=-4 时,方程(*)的判别式为 Δ=(4b-4)2-16b2=-32b+16 =-32×(-4)+16=144>0. 故直线与曲线有两个交点,于是所求的 b 的值为-4.

【答案】 -4

x2 2 5.对不同的实数值 m,讨论直线 y=x+m 与椭圆 +y =1 的位置关系. 4 x+m, ? ?y= 【解】 由?x2 2 +y =1, ? ?4

x2 消去 y 得 +(x+m)2=1, 4 整理得 5x2+8mx+4m2-4=0, Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2).

当- 5<m< 5时,Δ>0, 直线与椭圆相交; 当 m=- 5或 m= 5时,Δ=0, 直线与椭圆相切; 当 m<- 5或 m> 5时,Δ<0, 直线与椭圆相离.

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________


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